Как найти касательные к окружности параллельные прямой

Определение формулы касательной к окружности

Коэффициенты окружности

Точка на окружности, через которую надо провести касательную

Общая формула окружности

Уравнение касательной в указанной точке

Касательная к окружности

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то «Касательная к окружности — это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках»

Окружность на плоскости может быть представлена в виде нескольких исходных данных

1. В виде координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

2. В виде общего уравнения

В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на координатах центра окружности и радиусе.

Наша задача, зная параметры окружности и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.

Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка

Итак, если окружность выражена формулой

Уравнение касательной к окружности если нам известны параметры общего уравнения таково:

Таким образом, зная все коэффициенты, мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности,
и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Окружность. Касательная к окружности.

Прямая (MN), имеющая с окружностью только одну общую точку (A), называется касательной к окружности.

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Пусть O — центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ⊥ OA.Требуется доказать, что прямая MN — касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B. Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Но этого быть не может, так как, если OA — перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.

Обратная теорема.

Если прямая касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Следствие.

Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема.

Касательная параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB касается окружности в точке M и параллельна хорде СD. Требуется доказать, что ∪CM= ∪MD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ⊥ AB и следовательно, EM ⊥ СD. Поэтому СM=MD.

Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A. Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE — касательные к окружности O. Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

Так как OD и OE — радиусы, то D — середина OB, а E — середина OС, значит AD и AE — медианы, проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они — касательные.

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

begin{array}{ll}
text{Circle:} & (x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 9 \
text{Line parallel to a tangent:} & 3x — 4y = 1
end{array}

The line perpendicular to the parallel lines and passing through the center of the circle will pass through the two points where the parallel lines are tangent to the circle.

The perpendicular line must have the form $4x + 3y = c$.

Since it passes through the point $(1,2)$, the center of the circle, then $c = 4(1)+3(2) = 10$.

So the equation of the perpendicular line is $4x+3y= 10$

We find the two points where this line intersects the circle.

begin{align}
4x+3y &= 10 \
y &= -frac 43x + frac{10}{3} \
y-2 &= -frac 43x + frac 43 \
y-2 &= -frac 43(x -1) \
(y-2)^2 &= frac{16}{9}(x-1)^2 \
hline
(x — 1)^2 + (y — 2)^2 &= 9 \
(x — 1)^2 + frac{16}{9}(x-1)^2 &= 9 \
(x-1)^2 &= frac{81}{25} \
x &= 1 pm frac 95 \
(x,y) &in left{
left(frac{14}{5}, -frac 25 right),
left(-frac 45, frac{22}{5} right)
right}
end{align}

The form of the parallel lines is $3x-4y = c$

For the first point
$c = 3left(frac{14}{5} right) — 4left(-frac 25 right) = 10$.

For the second point
$c = 3left(-frac 45 right) — 4left(frac{22}{5} right) = -20$.

So the equations of the two lines is $3x-4y=10$ and $3x-4y=-20$.

аналитическая-геометрия — Составить уравнения касательных.

385 Составить уравнение окружности
в каждом из следующих случаев: 385.1 центр окружности
совпадает с началом координат и ее радиус R=3; 385.2 центр окружности
совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7; 385.3 окружность
проходит через начало координат и ее центр
совпадает с точкой С(6; -8); 385.4 окружность
проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с
точкой С(-1; 2); 385.5 точки А(3; 2) и В(-1; 6)
являются концами одного из диаметров окружности; 385.6 центр окружности
совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности; 385.7 центр окружности
совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является
касательной к окружности; 385.8 окружность
проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр
лежит на прямой ; 385.9 окружность
проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0); 385.10 окружность
проходит через три точки: М₁(-1;
5), М₂(-2; -2). М₃(5; 5). 386 Точка С(3; -1)
является центром окружности, отсекающей на
прямой хорду, длина которой равна
6. Составить уравнение этой окружности. 387 Написать уравнения
окружностей радиуса , касающихся
прямой в точке М₁(3; 1). 388 Составить
уравнение окружности, касающейся прямых , , причем
одна из них – в точке А(2; 1). 389 Составить
уравнения окружностей, которые проходят через
точку А(1; 0) и касаются прямых , . 390 Составить
уравнение окружности, которая, имея центр на
прямой ,
касается прямых , . 391 Составить
уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем
одной из них – в точке М₁(1; 2). 392 Составить
уравнения окружностей, проходящих через начало
координат и касающихся прямых , . 393 Составить
уравнение окружностей, которые, имея центры на
прямой ,
касаются прямых , . 394 Написать уравнения
окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и
касающихся прямых , . 395 Написать уравнения
окружностей, касающихся прямых , , . 396 Написать уравнения
окружностей, касающихся прямых , , . 397 Какие из
нижеприводимых уравнений определяют окружности?
Найти центр С и радиус R каждой из них: 397.1  ; 397.2  ; 397.3 ; 397.4 ; 397.5 ; 397.6 ; 397.7 ; 397.8 ; 397.9 ; 397.10  . 398 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 398.1 ; 398.2 ; 398.3 ; 398.4 ; 398.5 ; 398.6 ; 398.7 ; 398.8 ; 398.9  ; 398.10 . 399 Установить, как
расположена точка А(1; -2) относительно каждой из
следующих окружностей – внутри, вне или на
контуре: 399.1 ; 399.2 ; 399.3 ; 399.4 ; 399.5 . 400 Определить
уравнение линии центров двух окружностей,
заданных уравнениями: 400.1 и ; 400.2 и ; 400.3 и ; 400.4 и . 401 Составить
уравнение диаметра окружности , перпендикулярного
к прямой . 402 Вычислить
кратчайшее расстояние от точки до окружности в
каждом из следующих случаев: 402.1 А(6; -8), ; 402.2 В(3; 9), ; 402.3 С(-7; 2), . 403 Определить
координаты точек пересечения прямой и
окружности . 404 Определить, как
расположена прямая относительно окружности
(пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее),
если прямая и окружность заданы следующими
уравнениями: 404.1  , ; 404.2  , ; 404.3 , . 405 Определить, при
каких значениях углового коэффициента k прямая : 405.1 пересекает
окружность ; 405.2 касается этой
окружности; 405.3 проходит вне этой
окружности. 406 Вывести условие,
при котором прямая касается окружности
. 407 Составить уравнние
диаметра окружности , проходящего
через середину хорды, отсекаемой на прямой . 408 Составить
уравнение хорды окружности , делящейся
в точке М(8,5; 3,5) пополам. 409 Определить длину
хорды окружности , делящейся в точке
А(1; 2) пополам. 410 Дано уравнение
пучка прямых . Найти прямые этого пучка,
на которых окружность отсекает хорды
длиною . 411 Даны окружности , , пересекающиеся
в точках М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂). Доказать, что любая окружность,
проходящая через точки М₁, М₂, а также
прямая М₁М₂ могут быть определены уравнением
вида при надлежащем выборе числе и . 412 Составить
уравнение окружности, проходящей через точку А(1;
-1) и точки пересечения окружностей , . 413 Составить
уравнение окружности, проходящей через начало
координат и точки пересечения окружностей , . 414 Составить
уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения окружностей , . 415 Вычислить
расстояние от центра окружности до
прямой, проходящей через точки пересечения
окружностей , . 416 Определить длину
общей хорды окружностей , . 417 Центр окружности
лежит на прямой . Составить
уравнение этой окружности, если известно, что она
проходит через точки пересечения окружностей , . 418 Составить
уравнение касательной к окружности в
точке А(-1; 2). 419 Составить
уравнение касательной к окружности в
точке А(-5; 7). 420 На окружности найти точку М₁, ближайшую к прямой , и
вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой. 421 Точка М₁(x₁,
y₁) лежит на окружности . Составить
уравнение касательной к этой окружности в точке
М₁. 422 Точка М₁(x₁,
y₁) лежит на окружности . Составить
уравнение касательной к этой окружности в точке
М₁. 423 Определить острый
угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой
и окружности называется угол между прямой и
касательной к окружности, проведенной к точке их
пересечения). 424 Определить, при
каким углом пересекаются окружности , (углом между
окружностями называется угол между их
касательными в точке пересечения). 425 Вывести условие,
при котором окружности, пересекаются под
прямым углом. 426 Доказать, что
окружности , пересекаются под прямым углом. 427 Из точки А(5/3; -5/3)
проведены касательной к окружности . Составить
их уравнения. 428 Из точки А(1; 6)
проведены касательные к окружности . Составить
их уравнения. 429 Дано уравнение
пучка прямых . Найти прямые этого пучка,
которые касаются окружности . 430 Из точки А(4; 2)
проведены касательные к окружности . Определить
угол, образованный этими касательными. 431 Из точки Р(2; -3)
проведены касательные к окружности . Составить
уравнение хорды, соединяющий точки касания. 432 Из точки С(6; -8)
проведены касательные к окружности . Вычислить
расстояние d от точки С до хорды, соединяющей
точки касания. 433 Из точки Р(-9; 3)
проведены касательные к окружности . Вычислить
расстояние d от центра окружности до хорды,
соединяющей точки касания. 434 Из точки Р(4; -4)
проведены касательные к окружности . Вычислить
длину d хорды, соединяющей точки касания. 435 Вычислить длину
касательной, проведенной из точки А(1; -2) к
окружности . 436 Составить
уравнение касательных к окружности , параллельных
прямой . 437 Составить
уравнения касательных к окружности , перпендикулярных
к прямой . 438 Составить
уравнение окружности в полярных координатах в
полярных координатах по данному радиусу R и
полярным координатам центра C(R, ). 439 Составить
уравнение окружности в полярных координатах по
данному радиусу R и полярным координатам центра
окружности: 439.1 C(R, 0); 439.2 C(R, ); 439.3 C(R, ); 439.4 C(R, ). 440 Определить
полярные координаты центра и радиус каждой из
следующих окружностей: 440.1  ; 440.2 ; 440.3 ; 440.4  ; 440.5 ; 440.6 ; 440.7  ). 441 Окружности заданы
уравнениями в полярных координатах. Составить их
уравнения в декартовых прямоугольных
координатах при условии, что полярная ось
совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс –
с началом координат. 441.1  ; 441.2 ; 441.3 . 442

Окружности
заданы уравнениями в декартовых прямоугольных
координатах. Составить уравнения этих
окружностей в полярных координатах при условии,
что полярная ось совпадает с положительной
полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

442.1 ; 442.2 ; 442.3 ; 442.4 ; 442.5 . 443 Составить полярное
уравнение касательной к окружности в
точке М₁(R, ).