Как найти катет прямоугольного треугольника по клеточкам

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 107    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–107

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 107    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–107

Решение заданий №19(задания на
клетчатой бумаге)

1.Основные типы задач

1.     
Определение тангенса угла;

2.     
Определение площади фигуры (ромба, трапеции,
параллелограмма, треугольника);

3.     
Определение расстояния от точки до прямой
(отрезка);

4.     
Определение длины средней линии треугольника и
трапеции;

5.     
Определение длины большего катета, большей
диагонали;

6.     
Определение площади сложных или составных фигур;

7.     
Определение градусной меры вписанного угла.

            1.Определение
тангенса угла

Задача
1

Най­ди­те
тангенс угла А тре­уголь­ни­ка ABC, изображённого
на рисунке 1.

Решение: Ответ: 0,4.

Рис.1

Задача 2

Найдите
тангенс угла AOB, изображённого 
на рисунке 3.

Решение: 1.      Достроим до прямоугольного треугольника СОВ. 2. Ответ: 2.

Рис. 3

2. Определение площади фигуры

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм (рис. 7).
Найдите его площадь.

Решение: 1.    Проведем высоту. 2.  Основание 5      Высота 2 2.      Найдем площадь Ответ: 10.

Рис. 7

.

Задача 2

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб (рис. 9).
Найдите площадь этого ромба.

Решение: 1. Проведем диагонали. 2. Найдем площадь Ответ: 30.

Рис. 9

3. Определение расстояния от
точки до прямой (отрезка)

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три
точки: A, B и C (рис. 11). Найдите расстояние от
точки A до середины отрезка BC.

Решение: 1.      Построим отрезок ВС и отметим его середину т.О. 2. Соединим т.А с т.О. Получа- ем нужное расстояние: Ответ: 8

Рис. 11

4. Определение длины средней линии
треугольника и трапеции

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC
(рис. 14). Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение: Средняя линия  Ответ: 4.

Рис. 14

Задача 2

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция (рис. 15). Найдите
длину её средней линии.

Основания трапеции соответствен-но равны 7 и 1 Средняя линия  Ответ: 4.

Рис.15

5. Определение длины большего катета, большей диагонали

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный
треугольник (рис. 16). Найдите длину его большего катета.

Решение: По рисунку видно, что длина большего катета = 6. Ответ: 6.

Рис. 16

6. Определение площади сложных
или составных фигур

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура (рис. 18). Найдите её
площадь.

Решение: Посчитаем ко­ли­че­ство кле­ток внут­ри за­кра­шен­ной области: их 19 Ответ: 19.

Рис. 18

Задача 2

Пло­щадь
одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке
19.

Решение: 1 способ (рис. 19.1) Найдём пло­щадь дан­ной фи­гу­ры по фор­му­ле Пика: Ответ: 20,5.	Рис. 19 Рис. 19.1
Решение: 2 способ (рис.19.2) Площадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух треугольников: Ответ: 20,5.	Рис. 19.2

Задачи для самостоятельно решения

       
I.           
Определение
тангенса угла

1.       Найдите тангенс угла А треугольника, изображённого на рисунке.

2.      Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.

3.      Найдите тангенс угла AOB,
изображённого на рисунке.

4.       Найдите тангенс углаAOB,
изображённого на рисунке.

5.      Найдите тангенс углаAOB,
изображённого на рисунке.

6.      Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

7.      Найдите
тангенс углаAOB.

8.      Найдите тангенс углаAOB.

9.      Найдите тангенс угла  AOB.

10.   
Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

     II.           
Определение площади фигуры (ромба, трапеции,
параллелограмма, треугольника)

1.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Найдите его площадь.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

3.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный
треугольник.

4.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён ромб. Найдите его площадь.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

6.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

7.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

  III.           
Определение расстояния от точки до прямой
(отрезка)

1.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до
пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

2.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах. 

3.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те
в сантиметрах.

4.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

5.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до пря­мой BC. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

   IV.           
Определение длины средней линии треугольника
и трапеции

1.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

2.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

3.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

4.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

6.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

     V.           
Определение длины большего катета, большей
диагонали

1.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

3.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

4.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину
его большей диагонали.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

   VI.           
Определение площади сложных или составных
фигур

1.      На клетчатой бумаге с размером
клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

3.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её
площадь.

4.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её
площадь.

5.      Пло­щадь одной клет­ки равна
1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

6.      Пло­щадь одной клет­ки равна
1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

VII.           
Определение площади сложных или составных
фигур

1.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

2.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

4.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

6.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

Как считать треугольник по клеткам

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см 2 .

Приведём другое решение:

Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника

Одна из сторон данного треугольника является диагональю квадрата со стороной 6, а высота, проведённая к этой стороне, является диагональю квадрата со стороной 2. Тогда

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.