Как найти катет ромба - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Ромб — это параллелограмм у которой все стороны равны, а углы непрямые.

Диагональ ромба — это прямой отрезок соединяющий вершины противоположных углов ромба.

Свойства ромба:

Все стороны ромба равны;
Диагонали ромба пересикаются под прямым углом;
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам;
Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°;
Противоположные углы ромба равны.

Как найти сторону ромба через диагонали

D
d
a
a
a
a

a = dfrac{ sqrt{D^2 + d^2} }{2}

a — сторона ромба
D — большая диагональ ромба
d — меньшая диагональ ромба

Через площадь и высоту

Для того чтобы найти сторону ромба через площадь и высоту, необходимо воспользоваться следующей
формулой:

A = S /h

где S — площадь ромба, h — высота исследуемого ромба.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Найти сторону ромба, если площадь равна 30 см, а высота, опущенная на эту сторону — 3 см.

Решение. a=S/ha=30/3=10 см.

Сторона ромба через периметр

Для того чтобы найти одну из сторон ромба через периметр, нужно воспользоваться следующей
формулой:

a = P / 4

где P — периметр ромба.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Периметр ромба равен 28 см. Найти сторону ромба.

Решение. а = 28 / 4 = 7 см.

Через площадь и синус угла

Для нахождения стороны ромба через площадь и синус угла необходимо использовать формулу,
представленную ниже:

a = √S / √sinɑ

где S — площадь ромба, a — сторона ромба, ɑ — острый угол ромба.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Найти сторону ромба, если площадь равна 18 см, а острый угол — 30º.

Решение. a = √S/√sinɑ = a² =18/0.5=36 см a= 6 см.

Через площадь и радиус вписанной окружности

Для того чтобы рассчитать стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности, нужно
воспользоваться следующей формулой:

a = S/2r

где a — сторона ромба, S — площадь, r – радиус.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Найти сторону ромба, если радиус вписанной окружности равен 2 см, а площадь — 12 см. a = 12/2*2=3 см.

Через длинную диагональ и острый угол

Чтобы найти сторону ромба через длинную диагональ и острый угол следует воспользоваться данной
формулой:

a = D / 2 + 2*cosɑ

где D — длинная диагональ, ɑ — острый угол ромба.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Длинная диагональ ромба равна 12 см, а острый угол — 60º. Найти сторону ромба.

Решение. A= 12/2 + 2*1/2=6+1= 7 см.

Через короткую диагональ и тупой угол

Для того чтобы найти сторону ромба необходимо воспользоваться следующей формулой:

a = d/2 – 2cosβ

где d — короткая диагональ, β — тупой угол ромба.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Тупой угол ромба равен 120º, а короткая диагональ — 6 см. Найти сторону ромба.

Решение: a = 6 / 2 – 2 * (-0.5) = 3 + 1 = 4 см.

Сторона ромба через диагонали

Для нахождения стороны ромба через диагонали необходимо произвести следующие расчёты:

a = D² + d²/2

где a — сторона ромба, которую необходимо найти, D — наибольшая из диагоналей, d – наименьшая
диагональ ромба.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Найти сторону ромба, если диагонали равны 24 см и 10 см.
Решение. АС² + ВD² = 2(АВ² + ВС²), 100 + 576 = 4 · АВ²; АВ²= 169; АВ = 13 см. АВ = ВС = СD = АD = 13 см.

Примеры

Пример 1. Длины двух диагоналей d1 и d2 ромба равны 5 и 10 единицам соответственно.
Найдите площадь ромба.
Решение: d1 = 5 единиц и d2 = 10 единиц. Площадь = (d1 × d2) / 2 = (5 ×
10) / 2 квадратных единиц = 25 квадратных единиц.

Пример 2: Длины двух диагоналей d1 и d2 ромба равны 14 и 17 единицам соответственно.
Найдите площадь ромба.
Решение: d1 = 14 единиц и d2 = 17 единиц. Площадь = (d1 × d2) / 2 = (14
× 17) / 2 квадратных единиц = 70 квадратных единиц.

Пример 3: Длины двух диагоналей d1 и d2 ромба равны 3 единицам и 6 единицам
соответственно. Найдите площадь ромба.
Решение: d1 = 3 единицы и d2 = 6 единиц. Площадь = (d1 ×
d2) / 2 = (3 × 6) / 2 квадратных единиц = 9 квадратных единиц.

Стоит подчеркнуть свойство о том, что диагонали в рассматриваемой фигуре будут характеризоваться как
биссектрисы углов ромба, а также, то, что все существующие диагонали представляются
перпендикулярными. Соответственно, все перечисленные определения ромба доказывают, что он имеет
абсолютно все свойства параллелограмма.

Для того чтобы понять природу ромба необходимо также рассмотреть параллелограмм, его определение и
свойства. Параллелограмм представляет из себя четырёхугольник, в котором все стороны, лежащие
напротив друг друга, являются параллельными Ромб — частный случай параллелограмма.

Как и у любой фигуры, у ромба есть различные свойства, которые определяют, что он собой представляет.
К таким свойствам относятся:

Четыре прямые стороны равной длины (AB = CD = DA = BC)
Диагонали пересекают друг друга под углом 90°, или можно также сказать, что каждая из двух
диагоналей ромба является перпендикулярной биссектрисой другой (диагонали DB и CA пересекают
друг друга под углом 90°)
Противоположные углы равны, а противоположные стороны параллельны CD || AB и BC || AD; ∠A = ∠C и
∠D = ∠B
Смежные углы в сумме составляют 180° (∠A + ∠B = 180°; ∠B + ∠C = 180°; ∠C + ∠D = 180°; ∠A + ∠D =
180°)
Четыре вершины.
Две линии симметрии.
Четыре внутренних угла — два острых и два тупых.
Две пары параллельных прямых.

Источник

Где S — площадь ромба,h — его высота.

Где d1 — большая диагональ,d2 — меньшая диагональ.

Где d1 — большая диагональ,α — острый угол.

Где d2 — меньшая диагональ,β — тупой угол.

Где S — площадь ромба, α°,β° — его углы.

Где S — площадь ромба,r — радиус вписанной окружности.

Где P — периметр ромба.

Ромб — это параллелограмм у которого все стороны равны.
Противоположные стороны ромба параллельны.
Все ромбы различаются между собой только размером стороны и углов.

Как найти длину стороны ромба?

Сторона ромба может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a = S h
	a = √d1² ― d2² 2
	a = d1 √2 + 2·cos(α°)
	a = d2 √2 — 2·cos(β°)
	a = √S √sin(α°) = √S √sin(β°)
	a = S 2r
	a = P 4

Источник

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 2: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

Как найти сторону ромба через диагонали

Похожие калькуляторы:

Через площадь и высоту

Сторона ромба через периметр

Через площадь и синус угла

Через площадь и радиус вписанной окружности

Через длинную диагональ и острый угол

Через короткую диагональ и тупой угол

Сторона ромба через диагонали

Примеры

Как найти длину стороны ромба?

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи