Как найти катеты в остроугольном треугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 — m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 — m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 — m c 2

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 — a 2

m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 — b 2

m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
AE AB = EC BC

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

Угол между l c и l c ‘ = 90°

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

l a = 2 b c p p — a b + c

l b = 2 a c p p — b a + c

l c = 2 a b p p — c a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

l a = 2 b c cos α 2 b + c

l b = 2 a c cos β 2 a + c

l c = 2 a b cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

h a = b sin γ = c sin β

h b = c sin α = a sin γ

h c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

d 2 = R 2 — 2 R r

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Любой треугольник имеет три средних линии.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC

При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 1 2 a · h a ,
S = 1 2 b · h b ,
S = 1 2 c · h c ,

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,
S = 1 2 b · c · sin α ,
S = 1 2 a · c · sin β ,

где a, b, c — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b ,
α — угол между сторонами b и c ,
β — угол между сторонами a и c .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S ∆АВС S ∆MNK = k 2

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

Докажем, что BC=2AC.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источники:

http://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly-po-geometrii/treugolnik.php

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

Найти все стороны треугольника.
Найти все углы треугольника.
Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
Найти радиус (r) вписанной окружности.
Найти радиус (R) описанной окружности.
Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы для катета, (b):

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c₁, c₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

L — высота = биссектриса = медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

a — сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Формула длины через катеты, (M):

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Источник

Информация по назначению калькулятора

Треугольник — это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.

В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.

Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.

Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:

⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° — это правильный многоугольник.

⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.

Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:

⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны — катеты треугольника.

⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).

⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник — это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.

Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:

Длины сторон

— равны в равностороннем треугольнике

Углы

— также равны в равностороннем треугольнике

Высота

— это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)

Периметр

— равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)

Площадь

— равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)

Медианы
Биссектрисы
Радиус Вписанной и Описанной окружностей
Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
Длина Вписанной и Описанной окружностей
Площадь Вписанной и Описанной окружностей

Источник

Виды треугольников

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

$$ AB < BC + CA $$
$$ AB > BC — CA $$
$$ BC < AB + CA $$
$$ BC > AB — CA $$
$$ CA < AB + BC $$
$$ CA > AB — BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

AB = DE и BC = EF и AC = DF
Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;
Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;

∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;

AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

Гипотенуза и острый угол.

BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;
Катет и противолежащий угол.

AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

AC = DF и ∠ABC = ∠DEF
Катет и прилежащий угол.

AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

AC = DF и ∠BCA = ∠EFD
Два катета.

AB = DE и AC = DF
Гипотенуза и катет.

AB = DE и BC = EF

AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
$$
{AB over DE} = {BC over EF} = {CA over FD} = К_{подобия}
$$

Признаки подобия треугольников

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (K_{подобия})
$$
{S_{ΔABC} over S_{ΔDEF}} = К_{подобия}^2
$$
Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е.
в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	h – высота треугольника
	α, β, γ– углы треугольника
	P – полупериметр
	AC – основание треугольника

Площадь произвольного треугольника

$$
S = {1 over 2} * AC * h
$$

Площадь треугольника по формуле Герона

$$
P = {AB + BC + AC over 2}
$$
$$
S = sqrt{P * (P — AB) * (P — BC) * (P — AC)}
$$

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

$$
S = {1 over 2} * AB * AC * sin(α)
$$
$$
S = {1 over 2} * AB * BC * sin(β)
$$
$$
S = {1 over 2} * AC * BC * sin(γ)
$$

Площадь треугольника по двум углам и стороне

$$
S = {AB^2 over 2} * {sin(α) * sin(β) over sin(α + β)} = {AB^2 over 2} * {sin(α) * sin(β) over sin(γ)}
$$

$$
S = {BC^2 over 2} * {sin(γ) * sin(β) over sin(γ + β)} = {BC^2 over 2} * {sin(γ) * sin(β) over sin(α)}
$$

$$
S = {AC^2 over 2} * {sin(γ) * sin(α) over sin(γ + α)} = {BC^2 over 2} * {sin(γ) * sin(α) over sin(β)}
$$

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Где:	AB,AC – катеты треугольника

$$
S = {1 over 2} * AB * AC
$$

Площадь равнобедренного треугольника

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
	AC – основание треугольника

$$
S = {AC over 4} * sqrt{4 * AB^2 — AC^2}
$$

Площадь равностороннего треугольника

Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника
	h – высота треугольника

$$
S = {sqrt{3} over 4} * AB^2
$$
$$
S = {h^2 over sqrt{3}}
$$

Стороны треугольника

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	h – высота треугольника
	α, β, γ– углы треугольника
	P – полупериметр
	AC – основание треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

$$
AB = sqrt{BC^2 + AC^2 — 2 * BC * AC * cos(γ)}
$$
$$
BC = sqrt{AB^2 + AC^2 — 2 * AB * AC * cos(α)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + BC^2 — 2 * AB * BC * cos(β)}
$$

Сторона треугольника по стороне и двум углам

$$
AB = {AC * sin(γ) over sin(β)} = {AC * sin(γ) over sin(γ + α)} = {AC * sin(α + β) over sin(β)}
$$
$$
BC = {AB * sin(α) over sin(γ)} = {AB * sin(α) over sin(α + β)} = {AB * sin(β + γ) over sin(γ)}
$$
$$
AC = {BC * sin(β) over sin(α)} = {AB * sin(β) over sin(β + γ)} = {AB * sin(α + γ) over sin(α)}
$$

Сторона прямоугольного треугольника

Где:	AB,AC – катеты треугольника
	BC – гипотенуза треугольника

$$
AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α)
$$
$$
AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β)
$$
$$
BC = {AC over sin(α)} = {AC over cos(β)}
$$
$$
BC = {AB over cos(α)} = {AB over sin(β)}
$$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

$$
BC = sqrt{AB^2 + AC^2}
$$
$$
AB = sqrt{BC^2 — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{BC^2 — AB^2}
$$

Сторона равнобедренного треугольника

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
	AC – основание треугольника

$$
AC = 2 * AB * sin({β over 2}) = AB * sqrt{2 — 2 * cos(β)}
$$
$$
AC = 2 * AB * cos(α)
$$

$$
AB = {AC over 2 * sin(β / 2)} = {AC over sqrt{2 — 2 * cos(β)}}
$$
$$
AB = {AC over 2 * cos(α)}
$$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению
для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	h – высота треугольника
	P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC over 2} $$
	α, β, γ – углы треугольника
	R — радиус описанной окружности
	S — площадь треугольника

Высота на сторону АС, h_AC

$$
h_{AC} = {2 over AC} * sqrt{P * (P — AC) * (P — AB) * (P — BC)}
$$

Высота на сторону AB, h_AB

$$
h_{AB} = {2 over AB} * sqrt{P * (P — AC) * (P — AB) * (P — BC)}
$$

Высота на сторону BC, h_BC

$$
h_{BC} = {2 over BC} * sqrt{P * (P — AC) * (P — AB) * (P — BC)}
$$

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, h_AC

$$
h_{AC} = AB * sin(α) = BC * sin(γ)
$$

Высота на сторону AB, h_AB

$$
h_{AB} = BC * sin(β) = AC * sin(α)
$$

Высота на сторону BC, h_BC

$$
h_{BC} = AC * sin(γ) = AB * sin(β)
$$

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, h_AC

$$
h_{AC} = {2 * S over AC}
$$

Высота на сторону AB, h_AB

$$
h_{AB} = {2 * S over AB}
$$

Высота на сторону BC, h_BC

$$
h_{BC} = {2 * S over BC}
$$

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, h_AC

$$
h_{AC} = {AB * BC over 2 * R}
$$

Высота на сторону AB, h_AB

$$
h_{AB} = {BC * AC over 2 * R}
$$

Высота на сторону BC, h_BC

$$
h_{BC} = {AB * AC over 2 * R}
$$

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

Где:	AB,AC – катеты треугольника
	BC – гипотенуза треугольника
	BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
	α, β– углы треугольника

$$
h = {AB * AC over BC} = {AB * AC over sqrt{AB^2 + AC^2}}
$$

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

$$
h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β)
$$

Формула длины высоты через катет и угол

$$
h = AB * sin(α) = AC * sin(β)
$$

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

$$
h = sqrt{BD * DC}
$$

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит.
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	AA₁,BB₁,CC₁ — биссектрисы в треугольнике
	α, β, γ– углы треугольника
	P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC over 2} $$

Длина биссектрисы через две стороны и угол

$$
BB_1 = {2 * AB * BC * cos(β/2) over AB + BC}
$$
$$
AA_1 = {2 * AB * AC * cos(α/2) over AB + AC}
$$
$$
CC_1 = {2 * BC * AC * cos(γ/2) over BC + AC}
$$

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

$$
BB_1 = {2 * sqrt{AB * BC * P * (P — AC)} over AB + BC}
$$
$$
AA_1 = {2 * sqrt{AB * AC * P * (P — BC)} over AB + AC}
$$
$$
CC_1 = {2 * sqrt{BC * AC * P * (P — AB)} over BC + AC}
$$

Длина биссектрисы через три стороны

$$
BB_1 = {sqrt{AB * BC * (AB + BC + AC) * (AB + BC — AC)} over AB + BC}
$$
$$
AA_1 = {sqrt{AB * AC * (AB + BC + AC) * (AB + AC — BC)} over AB + AC}
$$
$$
CC_1 = {sqrt{BC * AC * (AB + BC + AC) * (BC + AC — AB)} over BC + AC}
$$

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

$$
BB_1 = sqrt{AB * BC — AB_1 * B_1C}
$$
$$
AA_1 = sqrt{AB * AC — BA_1 * A_1C}
$$
$$
CC_1 = sqrt{BC * AC — AC_1 * C_1B}
$$

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Где:	AB,AC – катеты треугольника
	BC – гипотенуза треугольника
	β, γ– острые углы треугольника

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

$$
AA_1 = sqrt{2} * {AB * AC over AB + AC}
$$

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

$$
AA_1 = {2 * BC over sqrt{2}} * {sin(γ) * cos(γ) over sin(γ) + cos(γ)}
$$

Длина биссектрисы через катет и угол

$$
BB_1 = {AB over cos(β / 2)}
$$
$$
BB_1 = AB * sqrt{2 over 1 + sin(γ)} = AB * sqrt{2 over 1 + cos(β)}
$$

$$
CC_1 = {AC over cos(γ / 2)}
$$
$$
CC_1 = AC * sqrt{2 over 1 + sin(β)} = AC * sqrt{2 over 1 + cos(γ)}
$$

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

$$
BB_1 = AB * sqrt{{2 * BC over AB * BC}}
$$
$$
CC_1 = AC * sqrt{{2 * BC over AC * BC}}
$$

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
	AC – основание треугольника
	α – равные углы при основании треугольника
	β – угол образованный равными сторонами треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

$$
BB_1 = AB * sin(α) = {AC over 2} * tg(α) = AB * cos({β over 2})
$$
$$
BB_1 = AB * sqrt{{1 + cos(β)} over 2}
$$

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

$$
BB_1 = sqrt{{AB^2 — AC^2 over 4}}
$$

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника

$$
BB_1 = {AB * sqrt{3} over 2}
$$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам.
Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	AA₁,BB₁,CC₁ — медианы в треугольнике
	α, β, γ– углы треугольника

Длина медианы через три стороны

$$
BB_1 = {1 over 2} * sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 — AC^2}
$$
$$
AA_1 = {1 over 2} * sqrt{2 * AB^2 + 2 * AC^2 — BC^2}
$$
$$
CC_1 = {1 over 2} * sqrt{2 * BC^2 + 2 * AC^2 — AB^2}
$$

Длина медианы через две стороны и угол между ними

$$
BB_1 = {1 over 2} * sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(β)}
$$
$$
AA_1 = {1 over 2} * sqrt{AB^2 + AC^2 + 2 * AB * AC * cos(α)}
$$
$$
CC_1 = {1 over 2} * sqrt{BC^2 + AC^2 + 2 * BC * AC * cos(γ)}
$$

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Где:	AB,AC – катеты треугольника
	BC – гипотенуза треугольника
	AA₁,BB₁,CC₁ — медианы в треугольнике
	β, γ– острые углы треугольника

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

$$
AA_1 = R = {BC over 2}
$$

Длина медианы через катеты

$$
AA_1 = {1 over 2} * sqrt{AB^2 * AC^2}
$$

Длина медианы через катет и острый угол

$$
AA_1 = {AB over 2 * sin(β)} = {AC over 2 * cos(β)}
$$

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC over 2} $$
	R — радиус описанной окружности

$$
R = {AB * BC * CA over 4 * sqrt{P * (P — AB) * (P — BC) * (P — AC)}}
$$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника
	h – высота треугольника
	R — радиус описанной окружности

$$
R = {AB over sqrt{3}}
$$
$$
R = {2 * h over 3}
$$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
	AC – основание треугольника
	h – высота треугольника
	R — радиус описанной окружности

$$
R = {AB^2 over sqrt{4 * AB^2 — AC^2}}
$$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Где:	AB,AC – катеты треугольника
	BC – гипотенуза треугольника
	R — радиус описанной окружности

$$
R = {1 over 2} * sqrt{AB^2 + AC^2} = {BC over 2}
$$

Длина окружности, L

$$
L = 2 * pi * R
$$

Площадь окружности, S

$$
S = pi * R^2
$$

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
	P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC over 2} $$
	R — радиус вписанной окружности

$$
R = sqrt{{P * (P — AB) * (P — BC) * (P — AC)} over P}
$$

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника
	R — радиус вписанной окружности

$$
R = {AB over 2 * sqrt{3}}
$$

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
	AC – основание треугольника
	R — радиус вписанной окружности
	h – высота треугольника
	α – угол при основании треугольника

$$
R = {AC over 2} * sqrt {{2 * AB — AC over 2 * AB + AC}}
$$
$$
R = AB * {sin(α) * cos(α) over 1 + cos(α)} = AB * cos(α) * tan({α over 2})
$$
$$
R = {AC over 2} * {sin(α) over 1 + cos(α)} = {AC over 2} * tan({α over 2})
$$
$$
R = {AC * h over AC + sqrt{4 * h^2 + AC^2}}
$$
$$
R = {h * sqrt{AB^2 — h^2} over AB + sqrt{AB^2 — h^2}}
$$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

Где:	AB,AC – катеты треугольника
	BC – гипотенуза треугольника
	R — радиус вписанной окружности

$$
R = {AB * AC over AB + AC + BC} = {AB + AC — BC over 2}
$$

Длина окружности, L

$$
L = 2 * pi * R
$$

Площадь окружности, S

$$
S = pi * R^2
$$

Углы треугольника

В произвольном треугольнике

Если известны два угла,(∠ α, ∠ β)
$$
∠ γ = 180° — ∠ α — ∠ β
$$
Если известны три стороны
$$
∠ α = {AB^2 + AC^2 — BC^2 over 2 * AB * AC}
$$
$$
∠ β = {AB^2 + BC^2 — AC^2 over 2 * AB * BC}
$$
$$
∠ γ = {AC^2 + BC^2 — AB^2 over 2 * AC * BC}
$$

Углы в прямоугольном треугольнике

$$
sin(α) = {AC over BC} ;;;;;;;;;; cos(α) = {AB over BC}
$$
$$
td(α) = {AC over AB} ;;;;;;;;;; ctd(α) = {AB over AC}
$$
$$
sin(β) = {AB over BC} ;;;;;;;;;; cos(β) = {AC over BC}
$$
$$
tg(β) = {AB over AC} ;;;;;;;;;; ctg(β) = {AC over AB}
$$
$$
sin(α) = cos(β) ;;;;;;;;;; tg(α) = ctg(β)
$$

Источник