Как найти кинетическую энергию после неупругого удара - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Примером применения
законов сохранения импульса и энергии
при решении реальной физической
задачи является удар абсолютно упругих
и неупругих тел.

Удар
(или соударение)
—
это столкновение двух или более тел,
при котором взаимодействие длится очень
короткое время. Исходя из данного
определения, кроме явлений, которые
можно отнести к ударам в прямом смысле
этого слова

(столкновения
атомов или биллиардных шаров), сюда
можно отнести и такие, как удар человека
о землю при прыжке с трамвая и т. д. При
ударе в телах возникают столь
значительные внутренние силы, что
внешними силами, действующими на
них, можно пренебречь. Это позволяет
рассматривать соударяющиеся тела
как замкнутую систему и применять к ней
законы сохранения.

Тела
во время удара претерпевают деформацию.
Сущность удара заключается в том,
что кинетическая энергия относительного
движения соударяющихся тел на короткое
время преобразуется в энергию упругой
деформации. Во время удара имеет
место перераспределение энергии между
соударяющимися телами. Наблюдения
показывают, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего
прежнего значения. Это объясняется
тем, что нет идеально упругих тел и
идеально гладких поверхностей.
Отношение нормальных составляющих
относительной скорости тел после и до
удара называется коэффициентом
восстановления :

 =
v’_n/v_n.

Если
для сталкивающихся тел =0,
то такие тела называются абсолютно
неупругими, если
=1—абсолютно
упругими.

На
практике для всех тел 0<<1
(например, для стальных шаров 0,56,
для шаров из слоновой кости 0,89,
для свинца 0).
Однако в некоторых случаях тела можно
с большой точностью рассматривать либо
как абсолютно упругие, либо как
абсолютно неупругие.

Прямая,
проходящая через точку соприкосновения
тел и нормальная к поверхности их
соприкосновения, называется линией
удара. Удар
называется центральным,
если
тела до удара движутся вдоль прямой,
проходящей через их центры масс. Мы
будем рассматривать только центральные
абсолютно упругие и абсолютно
неупругие удары.

Абсолютно
упругий удар — столкновение
двух тел, в результате которого в обоих
взаимодействующих телах не остается
никаких деформаций и вся кинетическая
энергия, которой обладали тела до удара,
после удара снова превращается в
кинетическую энергию

Для абсолютно
упругого удара выполняются закон
сохранения импульса и закон сохранения
кинетической энергии.

Обозначим
скорости шаров массами m₁
и
m₂
до удара через v₁
и
v₂,
после
удара — через v’₁
и
v’₂
(рис.
18). При прямом центральном ударе
векторы скоростей шаров до и после удара
лежат на прямой линии, соединяющей их
центры. Проекции векторов скорости на
эту линию равны модулям скоростей. Их
направления учтем знаками: положительное
значение припишем движению вправо,
отрицательное — движению влево.

При указанных
допущениях законы сохранения имеют вид

Произведя
соответствующие преобразования в
выражениях (15.1) и (15.2), получим

Решая уравнения
(15.3) и (15.5), находим

Разберем несколько
примеров.

Проанализируем
выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров
различных масс:

а) m₁
=m₂.
Если
второй шар до удара висел неподвижно
(v₂=0)
(рис.
19), то после удара остановится первый
шар (v’₁=0),
а второй будет двигаться с той же
скоростью и в том же направлении, в
котором двигался первый шар до удара
(v’₂
= v₁);

б)
m₁>m₂.

Первый
шар продолжает двигаться в том же
направлении, как и до удара, но с меньшей
скоростью (v’₁<v₁).
Скорость
второго шара после удара больше, чем
скорость первого после удара (v’₂>v’₁)
(рис.20);

в)
m₁<m₂.
Направление
движения первого шара при ударе изменяется
— шар отскакивает обратно. Второй шар
движется в ту же сторону, в которую
двигался первый шар до удара, но с меньшей
скоростью, т.е. v’₂<v₁
(рис.
21);

г)
m₂>>m₁
(например,
столкновение шара со стеной). Из уравнений
(15.8) и (15.9) следует, что v’₁=-v₁,
v’₂2m₁v₁/m₂0.

2) При
m₁=m2
выражения
(15.6) и (15.7) будут иметь вид

v’₁=v₂,
v’₂=v₁,

т. е. шары равной
массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно
неупругий удар — столкновение
двух тел, в результате которого тела
объединяются, двигаясь дальше как единое
целое.

Продемонстрировать
абсолютно неупругий удар можно с
помощью шаров из пластилина (глины),
движущихся навстречу друг другу (рис.
22).

Если
массы шаров m₁
и
m₂,
их скорости до удара v₁
и
v₂,
то,
используя закон сохранения импульса,
можно записать

Если
шары движутся навстречу друг другу, то
они вместе будут продолжать двигаться
в ту сторону, в которую двигался шар,
обладающий большим импульсом. В частном
случае если массы шаров равны (m₁=m₂),
то

v
= (v₁+v₂)/2.

Выясним, как
изменяется кинетическая энергия
шаров при центральном абсолютно
неупругом ударе. Так как в процессе
соударения шаров между ними дей-

ствуют силы,
зависящие не от самих деформаций, а от
их скоростей, то мы имеем дело с силами,
подобными силам трения, поэтому закон
сохранения механической энергии не
должен соблюдаться. Вследствие деформации
происходит «потеря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или
другие формы энергии. Эту «потерю» можно
определить по разности кинетической
энергии тел до и после удара:

Если
ударяемое тело было первоначально
неподвижно (v₂=0),
то

Когда
m₂>>m₁
(масса
неподвижного тела очень большая), то
v<<v₁
и
почти
вся кинетическая энергия тела при ударе
переходит в другие формы энергии.
Поэтому, например, для получения
значительной деформации наковальня
должна быть массивнее молотка.
Наоборот, при забивании гвоздей в стену
масса молотка должна быть гораздо
большей (m₁>>m₂),
тогда
vv₁
и
практически вся энергия затрачивается
на возможно большее перемещение гвоздя,
а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий
удар — пример того, как происходит
«потеря» механической энергии под
действием диссипативных сил.

Контрольные
вопросы

• В чем различие
между понятиями энергии и работы?

• Как найти
работу переменной силы?

• Какую работу
совершает равнодействующая всех сил,
приложенных к телу, равномерно движущемуся
по окружности?

• Что такое
мощность? Вывести ее формулу.

• Дайте определения
и выведите формулы для известных вам
видов механической энергии. • Какова
связь между силой и потенциальной
энергией?

• Почему изменение
потенциальной энергии обусловлено
только работой консервативных сил?

• В чем заключается
закон сохранения механической энергии?
Для каких систем он выполняется?

• Необходимо
ли условие замкнутости системы для
выполнения закона сохранения механической
энергии?

• В чем физическая
сущность закона сохранения и превращения
энергии? Почему он является фундаментальным
законом природы?

• Каким свойством
времени обусловливается справедливость
закона сохранения механической энергии?

• Что такое
потенциальная яма? потенциальный барьер?

• Какие заключения
о характере движения тел можно сделать
из анализа потенциальных кривых?

• Как
охарактеризовать положения устойчивого
и неустойчивого равновесия? В чем их
различие?

• Чем отличается
абсолютно упругий удар от абсолютно
неупругого?

• Как определить
скорости тел после центрального абсолютно
упругого удара? Следствием каких законов
являются эти выражения?

Задачи

3.1. Определить:
1) работу поднятия груза по наклонной
плоскости; 2) среднюю и 3) максимальную
мощности подъемного устройства, если
масса груза 10 кг, длина наклонной
плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту
45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема
2 с. [1) 170 Дж; 2) 85 Вт; 3) 173 Вт |

3.2. С башни высотой
35 м горизонтально брошен камень массой
0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определить: 1) скорость, с которой
брошен камень, если через 1 с после начала
движения его кинетическая энергия 60
Дж; 2) потенциальную энергию камня через
1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2)
88,6 Дж ]

3.3. Пренебрегая
трением, определить наименьшую высоту,
с которой должна скатываться тележка
с человеком по желобу, переходящему в
петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала
полную петлю и не выпала из желоба. [25
м]

3.4.
Пуля массой m=
10 г, летевшая горизонтально со скоростью
v
= 500 м/с, попадает в баллистический
маятник длиной l=
1 м и массой М = 5 кг и застревает в нем.
Определить угол отклонения маятника.
[ 18°30′ ]

3.5.
Зависимость потенциальной энергии
частицы в центральном силовом поле от
расстояния r
до

центра
поля задается выражением П(r)
=A/r²
-B/r,
где А
и
В —
положительные постоянные.

Определить
значение r₀,
соответствующее
равновесному положению частицы. Является
ли это положение положением устойчивого
равновесия? [r₀
= 2А/В]

3.6.
При центральном абсолютно упругом ударе
движущееся тело массой m₁
ударяется
в покоящееся тело массой m₂,
в результате чего скорость первого тела
уменьшается в n=
1,5 раза. Определить: 1) отношение m₁/m₂;
2)
кинетическую энергию T’₂,
с
которой начнет двигаться второе
тело, если первоначальная кинетическая
энергия первого тела T₁
=
1000 Дж. [ 1) 5; 2) 555 Дж ]

3.7.
Тело массой m₁=4
кг движется со скоростью v₁=3
м/с
и ударяется о неподвижное тело такой
же массы. Считая удар центральным и
неупругим, определить количество
теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж ]

* У. Гамильтон
(1805—1865) — ирландский математик и
физик.

Соседние файлы в папке Трофимова

Источник

Кинетическая энергия системы после неупругого столкновения Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Масса тела А: 30 Килограмм —> 30 Килограмм Конверсия не требуется
Масса тела В: 13 Килограмм —> 13 Килограмм Конверсия не требуется
Конечная скорость тел A и B после неупругого столкновения: 21 метр в секунду —> 21 метр в секунду Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

9481.5 Джоуль —> Конверсия не требуется

17 Кинетика Калькуляторы

Кинетическая энергия системы после неупругого столкновения формула

Кинетическая энергия системы после неупругого удара = ((Масса тела А+Масса тела В)*(Конечная скорость тел A и B после неупругого столкновения^2))/2

E_k = ((m₁+m₂)*(v^2))/2

Что происходит с кинетической энергией при неупругом столкновении?

Неупругое столкновение — это столкновение, при котором происходит потеря кинетической энергии. В то время как импульс системы сохраняется при неупругом столкновении, кинетическая энергия — нет. Это потому, что некоторая кинетическая энергия была передана чему-то другому.

Источник

Закон сохранения импульса

Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.

Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.

Мера инертности – масса.

Таким образом можно сделать следующие выводы:

Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.

Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.

Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.

Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через Δu1 и Δu2 приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками . Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением . Мы знаем, что коэффициенты и не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.

Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.

Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как и соответственно, а после взаимодействия — u1' и u2' . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — и . Следовательно, соотношение можно записать так — .

Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —

Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .

Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — p=p' , где p=p1+p2 и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.

Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.

Закон сохранения энергии

Необходимое определение:

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.

Формулировка закона сохранения энергии:

В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . ∇U(r) – потенциальная энергия материальной точки. Помножим обе части на и получим . Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии.

Упругие и неупругие столкновения

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.

Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — . Кинетические энергии до и после удара: и . Найдем разность

где – приведенная масса шаров. Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого механическая энергия системы остается прежней.

Два шара , с и до соударения и и после. По закону сохранения импульса и энергии: , . Решением системы может стать и . Это значит, что шары не встретились. Потребуем и и перепишем уравнения в виде: , . Второе уравнение делим почленно на первое и получаем . Решаем систему из двух линейных уравнений и имеем: , .

Post Views:
67 632

Источник

Автор исходного текста — В. И. Плис, к. ф.-м. н., доцент кафедры общей физики МФТИ, Соровский учитель. Журнал Потенциал

В статье на основе законов сохранения импульса и энергии рассматриваются неупругие и упругие столкновения макроскопических тел и объектов в микромире. Анализированы энергетические превращения при неупругих столкновениях. Показана техника исследования упругих столкновений в системе центра масс. Рассматриваются упругие и неупругие процессы в микромире; как в рамках классической физики, так и с привлечением элементарных сведений по квантовой физике и специальной теории относительности.

Введение[править]

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном – как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии свободны. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют, причём могут происходить различные процессы: соединение в одно тело (абсолютно неупругий удар), возникновение новых тел и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими.

Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценно здесь то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что сопровождаются нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Но понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, когда на входящие в систему тела не действуют внешние силы, либо систему замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. В классической физике следует учитывать кинетическую и потенциальную энергии. В релятивистском случае надо применять выражение для энергии (как иногда, например, пишут «учитывать энергию покоя»). Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

Действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено всевозможными опытами.

Переходя к характерным примерам, напомним, что в физике при решении задач должна быть указана система отсчёта (тело отсчёта, оси координат и часы), в которой рассматривается динамика процесса. Исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСO), то есть в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, которая будет введена в статье. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб) называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.

Неупругие столкновения[править]

Задача № 1[править]

Частица массой m,! с кинетической энергией K,! сталкивается с неподвижной частицей массой M,! . Найдите приращение Q,! внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения.

Решение.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси OX со скоростью , кинетическая энергия частицы $K={{mV^{2}} over 2},!$ . В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью . По закону сохранения импульса ,по закону сохранения энергии ${{mV^{2}} over 2}={{(m+M)u^{2}} over 2}+Q,!$ . Из приведённых соотношений находим .

Отметим, что в предельных случаях .

Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной, например, электрона с атомом, происходит полная передача её кинетической энергии атому: атом возбуждается, а затем испускает фотон.

При равенстве масс (m=M),! .

Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.

Задача № 2[править]

Найдите минимальную относительную скорость двух одинаковых метеоритов, необходимую для их нагрева и полного испарения в результате абсолютно неупругого соударения. Удельная теплота нагревания и испарения вещества метеоритов $q=10^{6},!$ Дж/кг.

Решение.

Рассмотрим в ЛСО абсолютно неупругий удар двух тел. Введём обозначения: $m_{1},!$ и $m_{2},!$ – массы тел, ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ – их скорости до столкновения, – скорость составного тела после столкновения. Считая, что в процессе столкновения импульс системы тел сохраняется (внешние силы отсутствуют), $m_{1}{vec V}_{1}+m_{2}{vec V}_{2}=(m_{1}+m_{2}){vec V}',!$ , находим скорость составного тела ${vec V}'={{m_{1}{vec V}_{1}+m_{2}{vec V}_{2}} over {m_{1}+m_{2}}},!$ .

Кинетические энергии системы тел до взаимодействия и после равны соответственно $K_{{before}}={m_{1}V_{1}^{2} over 2}+{m_{2}V_{2}^{2} over 2},!$ , $K_{{after}}={(m_{1}+m_{2})(V')^{2} over 2},!$ .

Тогда убыль кинетической энергии системы после несложных преобразований принимает вид $K_{{before}}-K_{{after}}={1 over 2}{m_{1}m_{2} over m_{1}+m_{2}}({vec V}_{2}-{vec V}_{1})^{2}={1 over 2}mu ({vec V}_{{rel}})^{2},!$ , где $mu ={{m_{1}m_{2}} over {m_{1}+m_{2}}},!$ – приведённая масса системы тел, ${vec V}_{{rel}}={vec V}_{2}-{vec V}_{1},!$ относительная скорость. Таким образом, при абсолютно неупругом ударе в другие формы энергии переходит кинетическая энергия макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.

Вернёмся к задаче о минимальной относительной скорости метеоритов. Будем считать, что вся убыль кинетической энергии переходит в тепло, которое идёт на нагревание и испарение метеоритов, тогда ${1 over 2}mu ({vec V}_{{rel}})^{2}=2mq,!$ . С учётом равенства масс сталкивающихся метеоритов . Это приводит к оценке минимальной скорости $V_{{rel}}=2{sqrt {2q}}approx 2,8cdot 10^{3},!$ м/с.

Задача № 3[править]

На гладком горизонтальном столе лежит твёрдая шайба. На неё налетает мягкая, довольно упругая шайба такой же массы и между ними происходит центральный удар. Скорость мягкой шайбы после удара уменьшилась в 5 раз. Какая часть максимальной энергии деформации перешла в тепло при этом ударе? Считайте, что тепло выделяется в мягкой шайбе в процессе деформации.

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шайб в момент соударения. В процессе взаимодействия на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю, отсюда следует, что импульс системы шайб в результате соударения не изменяется $MV=M{V over 5}+MV_{X},!$ .

Скорость твёрдой шайбы после удара $V_{X}=0,8cdot V,!$ (если предположить, что налетающая шайба после соударения движется в отрицательном направлении оси OX со скоростью , то скорость твёрдой шайбы после соударения $V_{X}=1,2cdot V,!$ и её кинетическая энергия больше кинетической энергии налетающей шайбы). Найдём по закону сохранения энергии количество Q,! теплоты, которое выделится в мягкой шайбе за всё время удара, ${{MV^{2}} over 2}={{Mleft({0,2cdot V}right)^{2}} over 2}+{{Mleft({0,8cdot V}right)^{2}} over 2}+Q,!$ , отсюда $Q=0,32cdot {{MV^{2}} over 2},!$ .

Вычислим максимальную энергию $E_{{def}},!$ деформации мягкой шайбы. Для этого заметим, что при максимальной деформации шайбы друг относительно друга не движутся. Тогда по закону сохранения импульса $MV=(M+M)V_{*},!$ , шайбы в момент максимальной деформации движутся в ЛСО со скоростью $V_{*}=V/2,!$ . Естественно предположить, что теплота в равных количествах выделяется как при сжатии шайбы, так и при растяжении. Тогда по закону сохранения энергии в момент максимальной деформации ${frac {{MV^{2}}}{2}}={frac {{Mleft({0,5cdot V}right)^{2}}}{2}}+{frac {{Mleft({0,5cdot V}right)^{2}}}{2}}+{frac {Q}{2}}+E_{{def}},!$ . Отсюда $E_{{def}}=0,34cdot {frac {{MV^{2}}}{2}},!$ .

Искомое отношение ${frac {Q}{{E_{{def}}}}}={frac {{16}}{{17}}},!$ .

Упругие столкновения[править]

Задача № 4[править]

На гладкой горизонтальной поверхности лежит шар массой M.,! На него налетает шар массой m,! , движущийся со скоростью . Между шарами происходит упругий центральный удар. Найдите скорости ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, — это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса $m{vec V}=m{vec V}_{1}+M{vec V}_{2},!$ .
Переходя к проекциям на ось OX, получаем $mV=mV_{{1X}}+MV_{2},!$ ,
здесь учтено, что направление скорости ${vec V}_{1},!$ налетающего шара после соударения неизвестно. По закону сохранения энергии
${frac {{mV^{2}}}{2}}={frac {{mV_{{1X}}^{2}}}{2}}+{frac {{MV_{2}^{2}}}{2}},!$ .
Полученные соотношения перепишем в виде $m(V-V_{{1X}})=MV_{2},!$ , $m(V^{2}-V_{{1X}}^{2})=MV_{2}^{2},!$ .
Разделив второе равенство на первое, приходим к линейной системе $V_{2}=V+V_{{1X}},!$ , $m(V-V_{{1X}})=MV_{2},!$ , решение которой имеет вид
$V_{{1X}}={frac {{m-M}}{{m+M}}}V,!$ , $V_{2}={frac {{2m}}{{m+M}}}V,!$ .
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении ( $V_{{1X}}>0,!$ ) при m>M,! , т.е. если его масса больше массы покоящегося шара.

Задача № 5[править]

Две гладкие упругие круглые шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ . Найдите скорости шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб $m_{1},!$ и $m_{2},!$ .

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, оси координат OX и OY которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось OX направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис.1). В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется
${vec p}_{1}+{vec p}_{2}={vec p}'_{1}+{vec p}'_{2},!$ ,
здесь и – импульсы шайб до и после соударения.

Рис.1.

Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы – силы упругого взаимодействия шайб – направлены только по оси OX . Эти силы не изменяют Y-составляющие импульсов шайб. Тогда из $p_{{1Y}}=p'_{{1Y}},!$ , $p_{{2Y}}=p'_{{2Y}},!$ находим Y-составляющие скоростей шайб после соударения
$V'_{{1Y}}=V_{{1Y}},!$ , $V'_{{2Y}}=V_{{2Y}},!$ ,
т.е. в проекции на ось OY скорости шайб в результате соударения не изменились.

Найдём X-составляющие скоростей шайб после абсолютно упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
${frac {{m_{1}left({V_{{1X}}^{2}+V_{{1Y}}^{2}}right)}}{2}}+{frac {{m_{2}left({V_{{2X}}^{2}+V_{{2Y}}^{2}}right)}}{2}}=,!$
$={frac {{m_{1}left({left({V'_{{1X}}}right)^{2}+left({V'_{{1Y}}}right)^{2}}right)}}{2}}+{frac {{m_{2}left({left({V'_{{2X}}}right)^{2}+left({V'_{{2Y}}}right)^{2}}right)}}{2}}.,!$

С учётом равенства Y-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид
${frac {{m_{1}V_{{1X}}^{2}}}{2}}+{frac {{m_{2}V_{{2X}}^{2}}}{2}}={frac {{m_{1}left({V'_{{1X}}}right)^{2}}}{2}}+{frac {{m_{2}left({V'_{{2X}}}right)^{2}}}{2}},!$ .

Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось OX
$m_{1}V_{{1X}}+m_{2}V_{{2X}}=m_{1}V'_{{1X}}+m_{2}V'_{{2X}},!$ .

Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую – ко второй, и разделить полученные соотношения друг на друга. Это приводит к линейному уравнению вида
$V_{{1x}}+V'_{{1X}}=V_{{2X}}+V'_{{2X}},!$ .
Решая систему из двух последних уравнений, находим
$V'_{{1X}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}+2m_{2}V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ ,
$V'_{{2X}}={frac {{2m_{1}V_{{1X}}+(m_{2}-m_{1})V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ .
Полученные соотношения для $V'_{{1X}},V'_{{1Y}},!$ и $V'_{{2X}},V'_{{2Y}},!$ решают вопрос о величинах скоростей шайб после соударения
$V'_{1}={sqrt {left({V'_{{1X}}}right)^{2}+left({V'_{{1Y}}}right)^{2}}},!$ , $V'_{2}={sqrt {left({V'_{{2X}}}right)^{2}+left({V'_{{2Y}}}right)^{2}}},!$ ,
и об углах $alpha _{1},!$ и $alpha _{2},!$ , которые векторы скоростей ${vec V}'_{1},!$ и ${vec V}'_{2},!$ образуют с положительным направлением оси OX,
$tgalpha _{1}={frac {{V'_{{1Y}}}}{{V'_{{1X}}}}},!$ , $tgalpha _{2}={frac {{V'_{{2Y}}}}{{V'_{{2X}}}}},!$ .

Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём два примера.

Задача № 6[править]

Лёгкий пластмассовый шарик массой $m_{1},!$ роняют с нулевой начальной скоростью с высоты h,! . В нижней точке траектории по нему ударяют ракеткой снизу вверх, после чего шарик подпрыгивает на высоту в n,! раз большую первоначальной. Определите скорость ракетки перед ударом. Масса $m_{2},!$ ракетки во много раз больше массы шарика. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Проанализируем упругое столкновение в ЛСО, ось OX направим по вертикали вверх. Из кинематических соотношений для равнопеременного движения по прямой найдём проекции скорости шарика до и после соударения на ось OX
$V_{{1X}}=-{sqrt {2gh}},!$ , $V'_{{1X}}={sqrt {n2gh}},!$
При $m_{1}<<m_{2},!$ соотношение
$V'_{{1X}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}+2m_{2}V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ из решения задачи № 5 принимает вид $V'_{{1X}}=-V_{{1X}}+2cdot V_{{2X}},!$ . Отсюда находим искомую скорость ракетки до удара $V_{{2X}}={frac {{V_{{1X}}+V'_{{1X}}}}{2}}={sqrt {{frac {{gh}}{2}}}}cdot left({{sqrt n}-1}right),!$ .

Задача № 7[править]

Гладкая круглая шайба массы $m_{1},!$ движется со скоростью вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно R/2,! (рис.2). Обруч массы $m_{2},!$ и радиуса R,! лежит на гладком горизонтальном столе.
Через какое время tau ,! после первого удара
шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.

Рис.2

Решение.

Воспользуемся результатами решения задачи № 5. В ЛСО, ось OX которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скорости шайбы и центра обруча на ось OX после соударения равны соответственно
$V'_{{1X}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}+2m_{2}V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ ,
$V'_{{2X}}={frac {{2m_{1}V_{{1X}}+(m_{2}-m_{1})V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}}={frac {{2m_{1}V_{{1X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ , здесь $V_{{1X}}=Vcos {frac {pi }{6}},!$ – проекция скорости шайбы на ось OХ до соударения, $V_{{2X}}=0,!$ – обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с движущимся обручем, радиальная составляющая скорости шайбы после соударения

$V_{{1Xrel}}=V'_{{1X}}-V'_{{2X}}=-V_{{1X}}=-Vcos {pi over 6},!$
просто изменила знак, а перпендикулярная радиусу составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, относительно обруча шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения» и минимальное расстояние до центра обруча снова будет равно R/2,! . Искомое время. $tau ={R over {left|{V_{{1Xrel}}}right|}}={{2{sqrt 3}} over 3}{R over V},!$

Задача № 8[править]

Каков максимальный угол упругого рассеяния -частицы на дейтроне? Дейтрон – ядро одного из изотопов водорода – дейтерия, состоит из протона и нейтрона; -частица – ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в 2 раза меньше массы -частицы.

Решение.’

Проанализируем упругое столкновение в ЛСО (не прибегая к модели упругих шаров). Введём обозначения: $m_{1},!$ – масса
-частицы, – её скорость до рассеяния, $m_{2},!$ – масса дейтрона, ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ – скорости
-частицы и дейтрона соответственно после рассеяния. При отсутствии внешних сил в процессе упругого взаимодействия для системы «-частица + дейтрон» сохраняются импульс (рис.3 )
$m_{1}V=m_{1}V_{1}cos delta +m_{2}V_{2}cos varphi ,!$ ,
$m_{1}V_{1}sin delta =m_{2}V_{2}sin varphi ,!$ ,
и кинетическая энергия
${frac {{m_{1}V^{2}}}{2}}={frac {{m_{1}V_{1}^{2}}}{2}}+{frac {{m_{2}V_{2}^{2}}}{2}},!$ .

Рис.3.

Исключив из этих соотношений угол и вели-чину $V_{2},!$ скорости дейтрона, получим квадратное уравнение для $V_{1},!$
$(m_{1}+m_{2})V_{1}^{2}-2m_{1}VV_{1}cos delta +(m_{1}-m_{2})V^{2}=0.,!$
Корни этого уравнения будут вещественными при $sin delta leq m_{2}/m_{1},!$ . Максимальный угол , удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол . Таким образом, $theta =arcsin(m_{2}/m_{1})={frac {pi }{6}},!$ рад. Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии: масса налетающей частицы больше массы покоящейся.

Центр масс системы материальных точек. Теорема Кёнига[править]

В физике законы изменения и сохранения импульса системы частиц зачастую формулируются с привлечением центра масс. Для введения центра масс системы частиц рассмотрим движение этой системы в ЛСО и в системе отсчёта, которая движется поступательно с произвольной (пока!) скоростью ${vec V}_{C},!$ относительно лаборатории. Найдём связь импульсов системы частиц в лабораторной ${vec P}=sum {m_{i}}{vec V}_{i},!$ и в подвижной ${vec P}_{{OTH}}=sum {m_{i}}{vec V}_{{iOTH}},!$ системах отсчёта. Так как при переходе между поступательно движущимися системами отсчёта скорости частиц преобразуются по закону Гали-лея ${vec V}_{i}={vec V}_{C}+{vec V}_{{iOTH}},!$ , то связь импульсов системы частиц в ЛСО и в подвижной системе при-нимает вид
${vec P}=sum {m_{i}}{vec V}_{i}=M{vec V}_{C}+{vec P}_{{OTH}},!$ ,
$M=sum {m_{i}},!$ – масса системы частиц.
Отсюда следует, что если выбрать
${vec V}_{C}={frac {{sum {m_{i}}{vec V}_{i}}}{{sum {m_{i}}}}}={frac {{{vec P}}}{M}},!$ ,
то в этой системе ${vec P}_{{OTH}}={vec P}-M{vec V}_{C}={vec 0},!$ . Полученное соотношение ${vec V}_{C}=sum {m_{i}}{vec V}/M,!$ можно считать производной по времени радиуса- вектора, определяемого по формуле
${vec R}_{C}={frac {{sum {m_{i}}{vec r}_{i}}}{{sum {m_{i}}}}},!$ .

В классической физике эту точку называют центром масс системы частиц, а систему, начало которой традиционно помещают в центр масс, и которая движется поступательно со скоростью ${vec V}_{C}={vec P}/M,!$ относительно лаборатории, называют системой центра масс (Ц-системой). Как было показано, в этой системе отсчёта суммарный импульс частиц равен нулю.

Найдём связь кинетических энергий K,! и системы материальных точек в ЛСО и в Ц-системе соответственно. По закону сложения скоростей ${vec V}_{i}={vec V}_{C}+{vec V}_{{iOTH}},!$ . Тогда кинетическая энергия системы материаль-ных точек в ЛСО и в Ц-системе связаны соотношением
$K=sum {{frac {{m_{i}{vec V}_{i}^{2}}}{2}}=}sum {{frac {{m_{i}({vec V}_{C}+{vec V}_{{iOTH}})^{2}}}{2}}=},!$ $=sum {{frac {{m_{i}{vec V}_{C}^{2}}}{2}}+sum {{frac {{m{vec V}_{{iOTH}}^{2}}}{2}}+left({{vec V}_{C}cdot sum {m_{i}{vec V}_{{iOTH}}}}right)}},!$ .

Сумма $sum {m_{i}{vec V}_{{iREL}}=}left({sum {m_{i}}}right)cdot {vec V}_{{CREL}},!$ равна нулю, так как центр масс в Ц-системе покоится: ${vec V}_{{Crel}}={vec 0},!$ . Таким образом, $K={{left({sum {m_{i}}}right)cdot V_{C}^{2}} over 2}+K_{{rel}},!$ ,
т.е. кинетическая энергия совокупности материальных точек в ЛСО равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же совокупности материальных точек в её относительном движении в Ц-системе. Это утверждение составляет содержание теоремы Кёнига.

Приведём второе решение задачи № 8. Упругое столкновение удобно рассматривать в Ц-системе. Скорость центра масс системы « alpha -частица + дейтрон»
${vec V}_{C}={frac {{m_{1}{vec V}_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ .
До столкновения в Ц-системе импульс частицы массой $m_{1},!$ равен
${vec p}_{{1OTH}}=m_{1}{vec V}_{{1OTH}}=m_{1}({vec V}_{1}-{vec V}_{C})={frac {{m_{1}m_{2}{vec V}_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ ,
импульс частицы массой $m_{2},!$ равен ( $-{vec p}_{{1OTH}},!$ ). При упругом столкновении импульс и кинетическая энергия системы частиц в Ц-системе сохраняются. Импульс первой частицы после столкновения обозначим ${vec p}'_{{1OTH}},!$ , импульс второй будет равен $left({-{vec p}'_{{1OTH}}}right),!$ . Из закона сохранения энергии
${frac {{p_{{1OTH}}^{2}}}{2}}left({{frac {1}{{m_{1}}}}+{frac {1}{{m_{2}}}}}right)={frac {{left({p'_{{1OTH}}}right)^{2}}}{2}}left({{frac {1}{{m_{1}}}}+{frac {1}{{m_{2}}}}}right),!$
находим $p'_{{1OTH}}=p_{{1OTH}},!$ . Таким образом, в Ц- системе при упругом столкновении импульсы частиц поворачиваются на тот или иной угол, не изменяясь по величине. Угол поворота не определяется законами сохранения, а зависит от характера взаимодействия. Тогда в Ц-системе скорости обеих частиц изменяются тоже только по направлению. Для анализа скоростей воспользуемся графической техникой (рис.4).

Рис.4.

До столкновения скорость в ЛСО налетающей частицы ${vec V}_{1}={vec V}_{C}+{vec V}_{{1OTH}},!$ . После столкновения скорость ${vec V}'_{1}={vec V}_{C}+{vec V}'_{{1OTH}},!$ налетающей частицы в ЛСО может заканчиваться в любой точке ок-ружности радиуса $V_{{1OTH}}=V'_{{1OTH}}={frac {{m_{2}V_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ . Из векторной диаграммы следует, что в случае $m_{1}>m_{2},!$ угол между векторами скорости и ${vec V}'_{1},!$ налетающей части-цы не может превышать некоторого максимального значения , соответствующего случаю, когда ${vec V}'_{1},!$ касается указанной окружности,
$theta =arcsin {frac {{V_{{1OTH}}}}{{V_{C}}}}={frac {{m_{2}}}{{m_{1}}}}={frac {pi }{6}},!$ рад.

Обратим внимание, что в Ц-системе расчёт упругого соударения не требует проведения утомительных выкладок. Рассмотрим ещё один пример.

Задача № 9[править]

Два одинаковых гладких шара испытывают упругий нецентральный удар. Один из шаров до соударения покоился. Определите угол разлёта шаров.

Решение.

Из второго решения предыдущей задачи следует, что в рассматриваемом случае $V_{C}=V'_{{1OTH}}={frac {{V_{1}}}{2}},!$ (сохраняем обозначения, принятые в Задаче № 8). Тогда в диаграмме скоростей векторы ${vec V}_{1}^{prime },!$ и ${vec V}_{2}^{prime },!$ , отложенные из одной точки, лежащей на окружности, образуют вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Такой угол равен половине центрального, т.е. ${frac {pi }{2}},!$ . Шары разлетятся под прямым углом.

Рис.5.

Законы сохранения импульса и энергии в микромире[править]

Законы сохранения импульса и энергии позволяют решать задачи не только о взаимодействии макроскопических тел, но и задачи о взаимодействиях частиц в микромире.
В школьном учебнике рассказывается об искусственном превращении атомных ядер, которое впервые было осуществлено Э.Резерфордом в 1919 г. В первой искусственной ядерной реакции, ядра азота подвергались бомбардировке ядрами гелия (-частицами) и превращались в ядра кислорода и ядра атома водорода (протоны) по схеме ${}_{7}^{{14}}N+{}_{2}^{4}He,,to {}_{8}^{{17}}O+{}_{1}^{1}H,!$ .

Задача № 10[править]

Рассматриваемая реакция идёт с поглощением энергии МэВ. При какой пороговой (минимальной) скорости -частиц, бомбардирующих неподвижную мишень, такая реакция могла пойти? Масса -частицы $m_{{He}}=6,6cdot 10^{{-27}},!$ кг.

Решение.

Из теоремы Кёнига следует, что минимум кинетической энергии бомбардирующей частицы достигается в случае, когда
продукты реакции покоятся в Ц-системе. В этом случае кинетическая энергия -частицы (её импульс p,! ) является пороговой $K_{{threshold}}={frac {p^{2}}{{2m_{{He}}}}}$ и равна сумме энергии реакции Q и кинетической энергии сиcтемы как целого
$K_{{threshold}}=Q+{frac {p^{2}}{{2(m_{{He}}+m_{N})}}}$ ,

здесь учтено, что по закону сохранения импульса (в системе действуют только внутренние силы) импульс продуктов реакции равен импульсу бомбардирующей частицы. Кинетическая энергия движения системы как целого связана с кинетической энергией налетающей частицы

${frac {p^{2}}{{2(m_{{He}}+m_{N})}}}={frac {p^{2}}{{2m_{{He}}}}}{frac {{m_{{He}}}}{{m_{{He}}+m_{N}}}}E_{{threshold}}={frac {{m_{{He}}}}{{m_{{He}}+m_{N}}}}E_{{threshold}}$ .

Тогда соотношение для пороговой энергии принимает вид

$K_{{threshold}}=Q+{frac {{m_{{He}}}}{{m_{{He}}+m_{N}}}}K_{{threshold}}$ .

Отсюда находим пороговую энергию реакции

$K_{{threshold}}={frac {{m_{{He}}+m_{N}}}{m_{N}}}Q=1,45$ МэВ

и пороговую скорость

$V_{{threshold}}={sqrt {{frac {{2K_{{threshold}}}}{{m_{{He}}}}}}}=0,83cdot 10^{4}$ км/с.

Из решения следует, что зависящая от отношения масс взаимодействующих частиц доля кинетической энергии бомбардирующей частицы не может быть использована для реакции. Это устраняется при использовании встречных пучков, когда центр масс сталкивающихся частиц неподвижен.

В заключение рассмотрим два примера, которые упоминаются в школьном курсе, и требуют привлечения (разумеется, в рамках школьной программы) элементов квантовой физики и специальной теории относительности.

Предварительно проиллюстрируем элементарные квантовые представления о взаимодействии света с веществом.

Задача № 11[править]

Неподвижная пылинка массой m=0,1,! мг освещается импульсом лазерного света с длиной волны $lambda =0,63cdot 10^{{-6}},!$ м. Определите число N,! поглощённых пылинкой фотонов, если она в результате действия света приобрела скорость V=1,! мм/с. Постоянная Планка $h=6,6cdot 10^{{-34}},!$ Дж•с.

Решение.

В квантовой физике энергия фотона (кванта) $E=hnu =h{frac {c}{lambda }},!$ ,
здесь nu ,! – частота, – длина волны электромагнитного излучения.
Импульс фотона $p={frac {E}{c}}={frac {h}{lambda }},!$ .

В рассматриваемой задаче импульс $N{frac {h}{lambda }},!$ фотонов по закону сохранения импульса равен импульсу mV,! пылинки $N{frac {h}{lambda }}=mV,!$ , отсюда $N={frac {mVlambda }{h}}approx 9,5cdot 10^{{16}},!$ .

Первый пример – эффект Комптона. В 1922 г. А. Комптон обнаружил, что если рентгеновское излучение с длиной волны $lambda _{0},!$ рассеивается веществом с лёгкими атомами (графит, парафин), то в рассеянном потоке, наряду с излучением с той же длиной волны $lambda _{0},!$ , наблюдается излучение с большей длиной волны . Считая это излучение результатом упругого рассеяния рентгеновских квантов на свободных электронах, рассмотрим следующую задачу.

Задача № 12[править]

Рентгеновский квант (энергия ~105 эВ)сталкивается с неподвижным электроном и отражается в обратном направлении. Найдите приращение длины волны рентгеновского излучения в результате упругого рассеяния. Постоянная Планка $h=6,6cdot 10^{{-34}},!$ Дж•с, скорость электромагнитных волн в вакууме $c=3cdot 10^{8},!$ м/с, масса электрона $m_{e}=0,9cdot 10^{{-30}},!$ кг.

Решение.

Поясним принятую модель взаимодействия излучения с веществом. В атомах лёгких элементов для удаления электрона нужна энергия порядка 10 эВ. Так как эта энергия во много раз меньше энергии рентгеновских квантов, то электроны можно считать свободными.
При энергии кванта в сотни тысяч эВ необходим учёт релятивистских эффектов, так как энергия рентгеновского кванта сравнима с энергией покоящегося электрона ${m_{e}}{c^{2}}approx 0,51cdot 10^{5},!$ эВ. До рассеяния, энергия системы «квант + свободный электрон» состояла из энергии рентгеновского кванта $h{frac {c}{{lambda _{0}}}},!$ и энергии $m_{e}c^{2},!$ покоящегося электрона. В результате рассеяния, энергия электрона, движущегося со скоростью V,! , равна ${frac {{m_{e}c^{2}}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}},!$ и стала больше начальной. В свою очередь, энергия рентгеновского кванта $h{frac {c}{lambda }},!$ уменьшилась, т.е. длина волны излучения увеличилась.
По закону сохранения энергии $m_{e}c^{2}+h{frac {c}{{lambda _{0}}}}={frac {{m_{e}c^{2}}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}}+h{frac {c}{lambda }},!$ .

Проанализируем импульсы взаимодействующих частиц. До рассеяния импульс рентгеновского кванта $p_{0}={frac {h}{{lambda _{0}}}},!$ , после рассеяния $p={frac {h}{lambda }},!$ , импульс электрона, движущегося со скоростью V,! , равен $p_{e}={frac {{m_{e}V}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}},!$ . По закону сохранения импульса ${vec p}_{0}={vec p}+{vec p}_{e},!$ . Считая импульс рентгеновского кванта направленным в положительном направлении оси OX ЛСО и переходя к проекциям импульсов на эту ось, получаем ${frac {h}{{lambda _{0}}}}=-{frac {h}{lambda }}+{frac {{m_{e}V}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}},!$ .

Умножим второе равенство на $c=3cdot 10^{8},!$ м/с, сложим его с первым и вычтем его из первого равенства. Перемножив полученные соотношения, найдём
$Delta lambda =lambda -lambda _{0}=2{frac {h}{{m_{e}c}}}=4,84cdot 10^{{-12}},!$ м,
что хорошо согласуется с экспериментальными данными и подтверждает упругий характер процесса рассеяния рентгеновского кванта на свободном электроне. Эффект Комптона, так же как и фотоэффект, иллюстрирует корпускулярные свойства электромагнитного излучения.

В следующем примере анализ неупругого процесса поглощения фотона проводится с учётом дискретности энергетического спектра атома.

Задача № 13[править]

Неподвижный, невозбуждённый атом водорода поглощает фотон. В результате атом переходит в возбуждённое состояние и начинает двигаться. Найдите величину V скорости, с которой стал двигаться атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома $E_{{12}}=1,63cdot 10^{{-18}},!$ Дж. Энергия покоя атома водорода $m,c^{2}=1,49cdot 10^{{-10}},!$ Дж.

Указание. При x<<1,! можно считать, что $(1+x)^{alpha }approx 1+alpha ;x,!$ .

Решение.

Поглощение фотона атомом является типичным неупругим столкновением. Проанализируем энергетические превращения. Во-первых, энергия поглощённого фотона идёт на перевод атома в возбуждённое состояние (по условию для этого требуется $E_{{12}}=1,63cdot 10^{{-18}},!$ Дж). Во-вторых, закон сохранения импульса обязывает возбужденный атом прийти в движение, тогда та или иная часть энергии фотона пойдёт на увеличение кинетической энергии атома. По закону сохранения энергии ${{{{rm {{h}}}}{{rm {{c}}}}} over {{rm {{lambda }}}}}{{rm {{=E}}}}_{{{{rm {{12}}}}}}{{rm {{+}}}}{{{{rm {{m}}}}{{rm {{V}}}}^{{{rm {{2}}}}}} over {{rm {{2}}}}},!$ и импульса находим искомую скорость $V=cleft[{{sqrt {1+{{2E_{{12}}} over {mc^{2}}}}}-1}right]approx c{{E_{{12}}} over {mc^{2}}},!$ ,
которая определяется только отношением энергии возбуждения к массе атома водорода, выраженной в энергетических единицах. При выводе учтено, что дробь под корнем мала (~10-8). Это подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении. При переходе атома водорода из основного состояния в первое возбуждённое величина скорости атома $Vapprox c{{E_{{12}}} over {mc^{2}}}approx 3,3,!$ м/с.

Источник