Как найти кинетическую энергию протона формула

Решение.
На протон действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой, определим скорость с которой по окружности будет двигаться протон:

[ begin{align}
  & {{F}_{L}}=qcdot Bcdot upsilon cdot sin alpha , alpha ={{90}^{^{{}^circ }}}, sinalpha =1,{{F}_{L}}=qcdot Bcdot upsilon (1), {{F}_{L}}=mcdot a (2), a=frac{upsilon _{{}}^{2}}{R} (3), \
 & qcdot Bcdot upsilon =mcdot frac{upsilon _{{}}^{2}}{R}, upsilon =frac{qcdot Bcdot R}{m} (4). \
end{align}
 ]

Где: q – модуль заряда протона, q = 1,6∙10^-19 Кл, m – масса протона, m = 1,67∙10^-27 кг.
Кинетическая энергия протона определяется по формуле:

[ {{E}_{K}}=frac{mcdot {{upsilon }^{2}}}{2}, {{E}_{K}}=frac{mcdot {{q}^{2}}cdot {{B}^{2}}cdot {{R}^{2}}}{2cdot {{m}^{2}}}, {{E}_{K}}=frac{{{q}^{2}}cdot {{B}^{2}}cdot {{R}^{2}}}{2cdot m} (5). ]

Е_К = 0,28∙10^-11 Дж

Как определить кинетическую энергию протона?

Example:

A proton (m = 1.67 x 10^-27 kg) travels at a speed v = 0.9900c = 2.968 x 10⁸m/s. What is its kinetic energy?

According to a classical calculation, which is not correct, we would obtain:

K = 1/2mv² = ½ x (1.67 x 10^-27 kg) x (2.968 x 10⁸m/s)² = 7.355 x 10^-11 J

With relativistic correction the relativistic kinetic energy is equal to:

K = (ɣ – 1)mc²

where the Lorentz factor

ɣ = 7.089

therefore

K = 6.089 x (1.67 x 10^-27 kg) x (2.9979 x 10⁸m/s)² = 9.139 x 10^-10 J = 5.701 GeV

This is about 12 times higher energy as in the classical calculation. According to this relationship, an acceleration of a proton beam to 5.7 GeV requires energies that are in the order different.

References:

Reactor Physics and Thermal Hydraulics:

1. J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, MA (1983).
2. J. R. Lamarsh, A. J. Baratta, Introduction to Nuclear Engineering, 3d ed., Prentice-Hall, 2001, ISBN: 0-201-82498-1.
3. W. M. Stacey, Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons, 2001, ISBN: 0- 471-39127-1.
4. Glasstone, Sesonske. Nuclear Reactor Engineering: Reactor Systems Engineering, Springer; 4th edition, 1994, ISBN: 978-0412985317
5. Todreas Neil E., Kazimi Mujid S. Nuclear Systems Volume I: Thermal Hydraulic Fundamentals, Second Edition. CRC Press; 2 edition, 2012, ISBN: 978-0415802871
6. Zohuri B., McDaniel P. Thermodynamics in Nuclear Power Plant Systems. Springer; 2015, ISBN: 978-3-319-13419-2
7. Moran Michal J., Shapiro Howard N. Fundamentals of Engineering Thermodynamics, Fifth Edition, John Wiley & Sons, 2006, ISBN: 978-0-470-03037-0
8. Kleinstreuer C. Modern Fluid Dynamics. Springer, 2010, ISBN 978-1-4020-8670-0.
9. U.S. Department of Energy, THERMODYNAMICS, HEAT TRANSFER, AND FLUID FLOW. DOE Fundamentals Handbook, Volume 1, 2, and 3. June 1992.

Рассмотрим
кинетическую энергию релятивистской
частицы. Определим эту величину таким
же путем, как в классической физике:

.

Согласно
основному уравнению релятивистской
динамики (16)

,

,
где
– релятивистская масса.

Поэтому

Упростим
это выражение, используя формулу для
релятивистской массы

.
Приведем ее к виду
,
гдеи.

Найдем
дифференциал этого выражения

.

Разделим
на
,
получим

.

Отсюда
следует

. (17)

Таким
образом, приращение кинетической энергии
частицы пропорционально приращению ее
релятивистской массы. Для покоящейся
частицы
,
а.
Поэтому, интегрируя (17), получим

, (18)

или

. (19)

Это
и есть выражение для релятивистской
кинетической энергии
частицы. Убедимся, что при малых скоростях
выражение (19) переходит в ньютоновское.
Для этого воспользуемся формулой бинома
Ньютона, согласно которой

Тогда

.

Перепишем
соотношение (18) в такой форме:

.

Здесь

—

(20)

—
энергия покоя частицы,

-полная
энергия частицы

Отсюда

(22)

—закон
взаимосвязи массы и энергии.

Видно,
что масса тела, которая в классической
физике выступала как мера инертности
(во втором законе Ньютона) или как мера
гравитационного взаимодействия (в
законе всемирного тяготения), теперь
выступает в новой функции – как мера
энергосодержания
тела.

Всякое
изменение энергии тела
сопровождается изменением релятивистской
массы,
и наоборот, всякое изменение массысопровождается изменением энергии тела.

В
ядерной физике впервые оказалось
возможным экспериментально проверить
и подтвердить закон взаимосвязи массы
и энергии.

Формулы
(20)-(22) – знаменитые формулы Эйнштейна,
устанавливающие эквивалентность массы
и энергии.

9. Связь между энергией и импульсом частицы

Ясно,
что полная энергия
и импульсчастицы имеют разные значения в разных
системах отсчета. Оказывается, однако,
что существует величина – некоторая
комбинацияи,
которая является инвариантной, то есть
имеет одно и то же значение в разных
системах отсчета. Эта величина есть.
Убедимся в этом.

Итак,
и,.

Запишем

,

или
после сокращения

(23)

Тот
факт, что скорость
в правой части сократилась, означает,
что величина (не зависит от скорости частицы, а
следовательно, и от системы отсчета.

Отсюда

. (24)

Приведем
еще два полезных соотношения, с которыми
приходится часто встречаться при решении
задач в ядерной физике.

Первое:

, (25)

второе
– связь между импульсом и кинетической
энергией частицы. Подставим в
формулу (23)
,
получим

(26)

Рассмотрим
вопрос о возможности существования
частиц с нулевой массой покоя
.
Из формул (24) и (25)

следует,
что эти два выражения совместны, если
.

Таким
образом, согласно теории относительности
существование частиц с нулевой массой
покоя возможно, причем эти частицы могут
двигаться только со скоростью света
.
Как сейчас известно, такими частицами
являются фотон и нейтрино.

СТО
находит подтверждение в экспериментах
с элементарными частицами.

Однако
СТО не дает возможности создать теорию
гравитационного взаимодействия, не
объясняет закон всемирного тяготения
Ньютона.

Задачи

Задача
1. Серпуховский ускоритель разгоняет
протоны до кинетической энергии

76
ГэВ. Найти массу и скорость ускоренных
протонов.

Решение

,
отсюда

эВ,

эВ, получим.

найдем
.

;

.

Задача
2. Частица массы
начинает двигаться под действием
постоянной силы.
Найти зависимость скорости частицы от
времени.

Решение

,

.

;

.

Отсюда

.

Согласно
второму закону Ньютона
,можно представить в виде:

Отсюда
видно, что
,
т.е. скоростьчастицы растет со временем медленнее,
чем,
причем при(рис. )

Рис.

Задача3.
Метод
встречных пучков

Два
протона движутся навстречу друг другу
с одинаковыми кинетическими энергиями
(в -системе отсчета). Найти кинетическую
энергиюодного протона в-системе
отсчета, где другой протон покоится.

Решение

Рис.1
Рис.2

Воспользуется
инвариантностью величины
,

где

–масса
покоя протона.

Запишем
выражение () в К -системе, а также в-системе.

В
-системе
(рис. 1) два протона движутся навстречу
друг другу, поэтому

, (1)

(2)

В
-системе
(рис. 2) один протон покоится, а второй
движется со скоростью,
поэтому

(3)

. (4)

Итак,

,

После
подстановки (1)-(4), получим

.

Отсюда

.

Для
протона
939
МэВ1ГэВ.
Например, при= 50 ГэВ величинаГэВ. Возможность получения такого
большого «выигрыша» в энергии лежит в
основе принципа действия ускорителей
на встречных пучках, которые называются
коллайдерами.

25

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Физика, 11 класс

Урок №21. Релятивистские эффекты

На уроке рассматриваются понятия: энергия покоя, полная энергия частиц; связь массы и энергии в специальной теории относительности; релятивистский импульс частицы, релятивистская кинетическая энергия; принцип соответствия.

Глоссарий урока:

Релятивистская механика — раздел физики, где описывается движение частиц со скоростями близкими к скорости света.

Закон взаимосвязи энергии и массы — тело обладает энергией и при нулевой скорости, такую энергию называют энергией покоя.

Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии.

Безмассовыми называют частицы массы, которых в состоянии покоя равны нулю, они существуют только в движении, при этом во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю.

Массовыми называют частицы, для которых масса является важной характеристикой, мерой инертности тела.

Принцип соответствия – это подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматриваются как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорость света.

Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай.

Обязательная литература:

1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 239 – 241.
2. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2013. — С. 147 – 149

Дополнительная литература:

1. Анциферов Л.И., Физика: электродинамика и квантовая физика. 11кл. Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2001. – С. 253-260.
2. Кирик Л.А., Генденштейн Л.Э., Гельфгат И.М.. Задачи по физике. 10-11 классы для профильной школы. – М.: Илекса, 2010. – С. 311-315.
3. Айзексон У., Эйнштейн. Жизнь гения; пер. с анг. А.Ю. Каннуниковой. – М: АСТ, 2016 – С.144-157

Основное содержание темы

«Основы физики претерпели неожиданные и радикальные изменения благодаря смелости молодого и революционно мыслящего гения.»

Вернер Гейзенберг

Эти слова и множество других восхищённых эпитетов будут высказаны в адрес гениального учёного Альберта Эйнштейна. Эйнштейн не боялся опровергать общепринятые утверждения. Он разрушил представление об абсолютном времени и незыблемости пространства. Его теория утверждала, что есть движущиеся системы координат со своим относительным временем. А пространство существует, пока в нём существует всё материальное. Время идёт тем медленнее, если быстрее движется тело. Такие удобные и понятные принципы классической физики: о постоянстве массы, длины, времени, скорости — опровергаются следствиями из постулатов специальной теории относительности Эйнштейна.

Альберт (Einstein) Эйнштейн

14 марта 1879 г. – 18 апреля 1955 г.

Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист.

По законам классической физики: масса – это мера инертности тела. Но Эйнштейн утверждает другое: масса – это мера энергии, содержащейся в теле.

Любое тело обладает энергией уже в силу своего существования. Альбертом Эйнштейном была установлена пропорциональность между энергией и массой:

На первый взгляд, простая формула, является фундаментальным законом природы, законом взаимосвязи энергии и массы.

Согласно этой формуле тело обладает энергией даже при нулевой скорости, в таком случае энергию называют E энергией покоя. А массу, которая входит в формулу Эйнштейна назовём m₀ массой покоя.

Как же будет выглядеть закон взаимосвязи массы и энергии для движущегося тела? К нему добавляем радикал (релятивистский множитель) из преобразований Лоренца:

Такую формулу называют релятивистской энергией или полной энергией движущегося тела.

Релятивистская механика — раздел физики, где описываются движения тел и частиц со скоростями близкими к скорости света, где используются преобразования Лоренца, перехода из одной инерциальной системы в другую, когда одна система движется относительно другой со скоростью вдоль оси ОХ.

Любые изменения физических величин, связанные с сокращением размеров:

эффект замедления времени:

изменение массы тела при изменении энергии:

закон сложения скоростей:

в специальной теории относительности называют релятивистскими изменениями.

По законам классической физики полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела или частицы

Отсюда выразим кинетическую энергию тела

Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии

В классической физике кинетическая энергия вычисляется по формуле

Получим ещё одно выражение

Выразим кинетическую энергию из формулы релятивистской энергии:

Поставим релятивистский радикал, который можно преобразовать при малых скоростях и получим релятивистскую кинетическую энергию частицы:

Или другой способ выражения кинетической энергии, если использовать классическую кинетическую энергию, то получим

— выражение для определения релятивистской кинетической энергии.

Путём не сложных математических вычислений можно доказать, что формула определения кинетической энергии в классической физикеи формула кинетической энергии в релятивистской физике равны между собой.

Давайте проверим работают ли главные законы механики — законы Ньютона в релятивистской физике.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела.

Первый постулат СТО Эйнштейна: все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, или никакими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчёта, невозможно установить её движение относительно других инерциальных систем.

Внимание! Они не противоречат друг другу!

Третий закон Ньютона: силы с которыми тела действуют друг на друга равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Этот закон тоже работает в релятивистской физике (смотрите первый постулат СТО).

А что же со вторым законом классической механики? Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально силе и обратно пропорционально его массе.

Рассмотрим предельный случай: если на тело долгое время t (время стремится к бесконечности) действовать с постоянной силой F = const, то ускорение будет постоянным a = const. Ускорение в свою очередь, зависит от скорости, с которой движется тело:

Отсюда скорость тоже будет стремиться к бесконечности, а это невозможно (смотрите второй постулат СТО), так как скорость тела или частицы не может быть больше предельного значения скорости света ()!

Но давайте рассмотрим другую формулировку второго закона Ньютона, когда сила прямо пропорциональна изменению импульсов тела ко времени этого изменения:

В классической механике импульс равен произведению массы тела или частицы на его скорость: , где m – постоянная величина, мера инертности тела.

В релятивистской механике выражение импульса можно записать, используя преобразования Лоренца:

При скоростях намного меньших, чем скорость света 𝟅с, формула принимает вид классической механики Ньютона

Эти проявления — подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматривают как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорости света и называют принципом соответствия. Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай. То есть законы классической механики подтверждаются релятивистской, но только для частиц или тел, движущихся с малыми скоростями.

В природе существуют такие частицы (фотоны, мюоны, нейтрино), скорость которых равна или близка к скорости света. Массы таких частиц в состоянии покоя равны нулю, эти частицы называют безмассовыми. Они существуют только в движении, но во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю. Тогда подтверждается утверждение Эйнштейна, что масса – это мера энергии тела. Частицы, для которых масса является важной характеристикой — мерой инертности, называют массовыми.

Найдём соотношение между энергией и импульсом:

Взаимно уничтожаются подкоренные выражения, сокращается произведение массы на скорость света, и мы получим простое соотношение энергии и импульса, где нет зависимости от массы.

Энергия и импульс связаны соотношением

Поэтому во всех инерциальных системах отсчёта импульс и энергия не равны нулю. При превращениях элементарных частиц, обладающих массой покоя , в частицы у которых , их энергия покоя целиком превращается в кинетическую энергию вновь образовавшихся частиц. Этот факт является наиболее очевидным экспериментальным доказательством существования энергии покоя.

Во всех инерциальных системах отсчёта импульс частицы и её энергия связаны соотношением:

или

— эта формула является фундаментальным соотношением энергии и импульса для массовых частиц релятивистской механики. Эти соотношения экспериментально подтверждены.

Следовательно, для безмассовых частиц, где или , выражение примет вид

Основное выражение энергии через её импульс записывают так:

Отсюда, масса, движущейся частицы, будет равна

Если частица покоится, то её значение можно определить из основной формулы Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии:

В обычных условиях, при нагревании тела или его охлаждении, при химической реакции, эти приращения массы происходят, их можно вычислить, но изменения массы не так заметны. Энергию, полученную из расщепления ядер на атомных электростанциях, используют на благо человека, где незначительные массы радиоактивного топлива вырабатывают энергию, питающую электроэнергией огромные города. Но, к сожалению, такую энергию, высвобождающуюся при цепной реакции, люди использовали и военных целях, для уничтожения городов, людей. Поэтому, только в последствии, понимая ответственность за свои открытия, учёные искренне становятся общественными деятелями: правозащитниками и борцами за мир.

Рассмотрим задачи тренировочного блока урока:

1. Чтобы выработать количество энергии, которой обладает тело массой 1 кг, Красноярской ГЭС потребуется времени _________ суток (1,5·10⁷; 173,6; 182,3). Мощность Красноярской ГЭС 6000МВт.

Дано:

m = 1 кг

P = 6000 МВт = 6·10⁹ Вт

t — ? (сутки)

Воспользуемся выражением, описывающим зависимость энергии тела от массы:

И зависимостью мощности от работы и времени:

Выразим секунды в часах, а затем в сутках:

Ответ: 173,6 суток.

2. Чему равен импульс протона, летящего со скоростью 8,3·10⁷ м/с? На сколько будет допущена ошибка, если пользоваться формулами классической физики? Данные поученных вычислений занесите в таблицу:

Физические величины	Показатели
Масса покоя протона, m	1,67·10-27 кг
Скорость света, с	3·108 м/с
Скорость движения протона, 𝟅	8,3·107 м/с
Импульс протона по классическим законам, рк	?
Импульс протона по релятивистским законам, рр	?
Разница в вычислениях импульса протона,	?

Воспользуемся формулами для определения импульса релятивистским и классическим способами:

Вычислим разницу показаний:

Физические величины	Показатели
Масса покоя протона, m	1,67·10-27кг
Скорость света, с	3·108 м/с
Скорость движения протона, 𝟅	8,3·107 м/с
Импульс протона по классическим законам, рк	1,38·10-19кг·м/с
Импульс протона по релятивистским законам, рр	5,2·10-19 кг·м/с
Разница в вычислениях импульса протона,	в 3,8 раза