Как найти коэф сопротивления

Сила сопротивления зависит от размеров и формы тела и скорости перемещения тела в среде, возникающая при его движении и затормаживает это движение. Сила сопротивления отличается от силы трения тем, что последняя рассматривает характер взаимодействия друг с другом твердых тел. Можно наблюдать, когда один элемент двигается по поверхности другого. Вектор силы сопротивления имеет направление противоположное движению.

Работа силы сопротивления видна на примере: при свободном падении листка с дерева на него действует сила сопротивления воздуха, которую можно сравнить с силой тяжести. В связи с этим, ускорение падающего листка будет не таким, как от ускорения свободного падения.

Аналогично с перемещением в жидкости, если тело погружается в воду плавно, то сопротивление воды будет меньше, чем при прыжке в нее.

Чему равна сила сопротивления

В числовом выражении общая сила сопротивления равна силе, которую следует приложить для равномерного передвижения тела по ровной горизонтальной поверхности. Определяется третьим законом Ньютона.

Зависимость силы от сопротивления определяется для каждой среды отдельно. Сила сопротивления среды растет, с ростом скорости движения предмета в среде.

От чего зависит сила сопротивления

На величину силы сопротивления влияют следующие факторы:

• особенности и плотность среды, например, у жидкости плотность выше, чем у газа;
• форма тела, у предметов с вытянутыми обтекаемыми вдоль движения формами сопротивление меньше, чем с расположенными перпендикулярно движению гранями;
• скорость движения.

В зависимости от воздействия на движущиеся предметы различают несколько типов силы сопротивления:

• Сила сопротивления качению [P_{f}]. Зависит от вида и состояния опорной поверхности, скорости перемещения, силы давления воздуха и прочее. Коэффициент сопротивлению качению f зависит типа и состояния опорной поверхности, его значение уменьшается, при повышении давления и температуры.
• Сила сопротивления воздуха [P_{B}] возникает при разных показателях давления. В аэродинамике называется лобовым сопротивлением. Показатель будет выше с ростом вихреобразования в передней и задней частях объекта движения. Величина вихреобразования зависит от формы передвигаемых предметов.

Понятие силы электрического сопротивления

Строение металлических проводников объясняет наличие сопротивления. Свободные электроны движутся по проводнику встречая ионы кристаллической решетки. При контакте с ними другие электроны теряют часть своей энергии. У проводников с отличающимся атомным строением будет разное сопротивление току. Поэтому чем выше сопротивление проводника, тем проводимость электрического тока будет меньше.

При нагревании движение частиц материала возрастает и создает препятствия для направленного движения электродов. Количество столкновений свободных электронов с ионами кристаллической решетки увеличивается.

Такое свойство применимо в термометрах сопротивления, измеряют температуру исходя из зависимости температуры и сопротивления с высокой точностью измерения.

Формула силы тока и сопротивление

Материалы с низким удельным сопротивлением считаются проводниками, они эффективно проводят электрический ток. С высоким удельным сопротивлением – диэлектрики, их используют как изоляторы. Промежуточное положение занимают полупроводники.

Силами сопротивления
называются силы, препятствующие движению
автомобиля. Эти силы направлены против
его движе­ния.

При
движении на подъеме, характеризуемом
высотой H_п,
длиной проекции В_п
на
гори­зонтальную плоскость и углом
подъема дороги α, на автомобиль действуют
следующие силы со­противления (рис.
3.12): сила со­противления качению Р_к,
равная
сумме сил сопротивления каче­нию
передних (Р_К|)
и задних (Р_К2)
колес, сила сопротивления подъе­му
Р_п,
сила
сопротивления воз­духа Д и сила
сопротивления раз­гону Р_И.
Силы
сопротивления ка­чению и подъему
связаны с особенностями дороги. Сумма
этих сил называется силой сопротивления
дороги Р_Д.

Рис.
3.13. Потери энергии на внутреннее
трение в шине:

а
— точка,
соответствующая мак­симальным
значениям нагрузки и прогиба
шины

Сила сопротивления качению

Возникновение
силы сопротивления качению при движении
обусловлено потерями энергии на
внутреннее трение в шинах, поверхностное
трение шин о дорогу и образование колеи
(на деформируемых дорогах).О потерях
энергии на внутреннее трение в шине
можно судить по рис. 3.13, на котором
приведена зависимость между вертикаль­ной
нагрузкой на колесо и деформацией шины
— ее прогибом f_ш.

При
движении колеса по неровной поверхности
шина, испы­тывая действие переменной
нагрузки, деформируется. Линия αО,
которая
соответствует возрастанию нагрузки,
деформирующей шину, не совпадает с
линией аО,
отвечающей
снятию нагрузки. Площадь области,
заключенной между указанными кривыми,
ха­рактеризует потери энергии на
внутреннее трение между отдель­ными
частями шины (протектор, каркас, слои
корда и др.).

Потери
энергии на трение в шине называются
гистерезисом, а линия ОαО
— петлей
гистерезиса.

Потери
на трение в шине необратимы, так как при
деформа­ции она нагревается и из нее
выделяется теплота, которая рассе­ивается
в окружающую среду. Энергия, затрачиваемая
на дефор­мацию шины, не возвращается
полностью при последующем вос­становлении
ее формы.

Сила
сопротивления качению Р_к
достигает
наибольшего зна­чения при движении
по горизонтальной дороге. В этом случае

где
G
— вес
автомобиля, Н; f
— коэффициент сопротивления качению.

При
движении на подъеме и спуске сила
сопротивления каче­нию уменьшается
по сравнению с Р_к
на
горизонтальной дороге, и тем значительнее,
чем они круче. Для этого случая движения
сила сопротивления качению

где α — угол
подъема, °.

Зная
силу сопротивления качению, можно
определить мощ­ность, кВт,

затрачиваемую на
преодоление этого сопротивления:

где
v
—скорости
автомобиля,м/c²

Для
горизонтальной дороги соs0°=1
и

Зависимости
силы сопротивления качениюР_к

и
мощности N_К
от
скорости автомобиля v
показаны
на рис. 3.14

Коэффициент сопротивления качению

Коэффициент
сопротивления качению существенно
влияет на потери энергии при движении
автомобиля. Он зависит от многих
конструктивных и эксплуатационных

Рис 3.15. Зависимости
коэффициента сопротивления качению от

Скорости движения (а), давления воздуха в шине (б) и момента, передаваемого через колесо (в)

факторов
и определяется экспериментально. Его
средние значения для различных дорог
при нормальном давлении воздуха в шине
составляют 0,01 …0,1.Рассмотрим влияние
различных факторов на коэффициент
сопротивления качению.

Скорость
движения.
При изменении скорости движения в
ин­тервале 0…50 км/ч коэффициент
сопротивления качению изме­няется
незначительно и его можно считать
постоянным в указан­ном диапазоне
скоростей.

При
повышении скорости движения за пределами
указанного интервала коэффициент
сопротивления качению существенно
уве­личивается (рис. 3.15, а)
вследствие
возрастания потерь энергии в шине на
трение.

Коэффициент
сопротивления качению в зависимости
от ско­рости движения можно приближенно
рассчитать по
формуле

где

—
скорость
автомобиля, км/ч.

Тип
и состояние покрытия дороги.
На дорогах с твердым по­крытием
сопротивление качению обусловлено
главным образом деформациями шины.

При
увеличении числа дорожных неровностей
коэффициент сопротивления качению
возрастает.

На
деформируемых дорогах коэффициент
сопротивления ка­чению определяется
деформациями шины и дороги. В этом случае
он зависит не только от типа шины, но и
от глубины образую­щейся колеи и
состояния грунта.

Значения
коэффициента сопротивления качению
при рекомен­дуемых уровнях давления
воздуха и нагрузки на шину и средней
скорости движения на различных дорогах
приведены ниже:

Асфальто-
и цементобетонное шоссе:

в
хорошем состоянии
………………………………. 0,007…0,015

в
удовлетворительном состоянии
…………… 0,015…0,02

Гравийная
дорога в хорошем состоянии …. 0,02…0,025

Булыжная
дорога в хорошем состоянии…… 0,025…0,03

Грунтовая
дорога сухая, укатанная …………..
0,025…0,03

Песок…………………………………………………………..
0,1…0,3

Обледенелая
дорога, лед …………………………. 0,015…0,03

Укатанная
снежная дорога ………………………..
0,03…0,05

Тип
шины.
Коэффициент сопротивления качению во
многом зависит от рисунка протектора,
его износа, конструкции каркаса и
качества материала шины. Изношенность
протектора, уменьше­ние числа слоев
корда и улучшение качества материала
приводят к падению коэффициента
сопротивления качению вследствие
снижения потерь энергии в шине.

Давление
воздуха в шине.
На дорогах с твердым покрытием при
уменьшении давления воздуха в шине
коэффициент сопро­тивления качению
повышается (рис. 3.15, б).
На
деформируемых дорогах при снижении
давления воздуха в шине уменьшается
глу­бина колеи, но возрастают потери
на внутреннее трение в шине. Поэтому
для каждого типа дороги рекомендуется
определенное давление воздуха в шине,
при котором коэффициент сопротивле­ния
качению имеет минимальное значение.

Нагрузка
на колесо.
При увеличении вертикальной нагрузки
на колесо коэффициент сопротивления
качению существенно возрастает на
деформируемых дорогах и незначительно
— на до­рогах с твердым покрытием.

Момент,
передаваемый через колесо.
При передаче момента через колесо
коэффициент сопротивления качению
возрастает (рис. 3.15, в)
вследствие
потерь на проскальзывание шины в месте
ее контакта с дорогой. Для ведущих колес
значение коэффициента сопротивления
качению на 10… 15 % больше, чем для ведомых.

Коэффициент
сопротивления качению оказывает
существен­ное влияние на расход
топлива и, следовательно, на топливную
экономичность автомобиля. Исследования
показали, что даже не­большое уменьшение
этого коэффициента обеспечивает
ощути­мую экономию топлива. Поэтому
неслучайно стремление конст­рукторов
и исследователей создать такие шины,
при использова­нии которых коэффициент
сопротивления качению будет незна­чительным,
но это весьма сложная проблема.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

9.4. Движение тел в среде с сопротивлением

Со времен опытов Галилея на Пизанской башне известно, что все тела падают в поле силы тяжести с одинаковым ускорением g.

Однако каждодневная практика указывает на другое: легкое перышко падает медленнее тяжелого металлического шарика. Понятна и причина этого — сопротивление воздуха.

Уравнения движения. Если ограничиться случаем поступательного движения невращающихся тел в неподвижной среде с сопротивлением, то сила сопротивления будет направлена против скорости. В векторном виде ее можно записать как

где — абсолютная величина этой силы, a — модуль скорости тела. Учет сопротивления среды меняет вид уравнений движения тела, брошенного под углом к горизонту:

В приведенных уравнениях учтена также выталкивающая сила Архимеда, действующая на тело: ускорение свободного падения g заменено на меньшую величину

где — плотность среды (для воздуха = 1.29 кг/м 3 ), а — средняя плотность тела.

Действительно, вес тела в среде уменьшается на величину выталкивающей силы Архимеда

Выражая объём тела через его среднюю плотность

приходим к выражению

При наличии сопротивления воздуха скорость падающего тела не может расти безгранично. В пределе она стремится к некоторому установившемуся значению, которое зависит от характеристик тела. Если тело достигло установившейся скорости падения , то из уравнений движения следует, что сила сопротивления равна весу тела (с учётом архимедовой силы):

Сила сопротивления как мы вскоре убедимся, есть функция скорости падения. Стало быть, полученное выражение для силы сопротивления представляет собой уравнение для определения установившейся скорости падения . Ясно, что при наличии среды энергия тела частично расходуется на преодоление её сопротивления.

Число Рейнольдса. Разумеется, уравнения движения тела в жидкости невозможно даже начать решать, пока нам ничего неизвестно о модуле силы сопротивления. Величина этой силы существенно зависит от характера обтекания тела встречным потоком газа (или жидкости). При малых скоростях этот поток является ламинарным (то есть слоистым). Его можно представить себе как относительное движение не смешивающихся между собой слоев среды.

Ламинарное течение жидкости демонстрируется на опыте, показанном на рис. 13.

Как уже отмечалось в главе 9.3, при относительном движении слоёв жидкости или газа между этими слоями возникают силы сопротивления движению, которые называются силами внутреннего трения. Эти силы обусловлены особым свойством текучих тел — вязкостью, которая характеризуется численно коэффициентом вязкости . Приведем характерные значения для различных веществ: для воздуха ( = 1,8·10 -5 Па·с), воды ( = 10 –3 Па·с), глицерина ( = 0,85 Па·с). Эквивалентное обозначение единиц, в которых измеряется коэффициент вязкости: Па·с=кг·м –1 ·с –1 .

Между движущимся телом и средой всегда существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы «прилипая» к нему. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарика диаметром D приводит к формуле Стокса:

Подставляя формулу Стокса в выражение для силы сопротивления при установившемся движении, находим выражение для установившейся скорости падения шарика в среде:

Видно, что чем легче тело, тем меньше скорость его падения в атмосфере. Полученное уравнение объясняет нам, почему пушинка падает медленнее,чем стальной шарик.

При решении реальных задач, например, вычислении установившейся скорости падения парашютиста при затяжном прыжке, не следует забывать, что сила трения пропорциональна скорости тела лишь для относительно медленного ламинарного встречного потока воздуха. При увеличении скорости тела вокруг него возникают воздушные вихри, слои перемешиваются, движение в какой-то момент становится турбулентным, и сила сопротивления резко возрастает. Внутреннее трение (вязкость) перестает играть сколько бы то ни было заметную роль.

Рис. 9.15 Фотография струи жидкости при переходе от ламинарного течения к турбулентному (число Рейнольдса Re=250)

Возникновение силы сопротивления можно тогда представить себе следующим образом. Пусть тело прошло в среде путь . При силе сопротивления на это затрачивается работа

Если площадь поперечного сечения тела равна , то тело «натолкнется» на частицы, занимающие объем . Полная масса частиц в этом объеме равна · Представим, что эти частицы полностью увлекаются телом, приобретая скорость . Тогда их кинетическая энергия становится равной

Эта энергия не появилась ниоткуда: она создана за счет работы внешних сил по преодолению силы сопротивления. Стало быть, A=К, откуда

Мы видим, что теперь сила сопротивления сильнее зависит от скорости движения, становясь пропорциональной ее второй степени (ср. с формулой Стокса). В отличие от сил внутреннего трения ее часто называют силой динамического лобового сопротивления.

Однако предположение о полном увлечении частиц среды движущимся телом оказывается слишком сильным. В реальности любое тело так или иначе обтекается потоком, что уменьшает силу сопротивления. Принято использовать так называемый коэффициент сопротивления C, записывая силу лобового сопротивления в виде:

При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей C не зависит от скорости движения тела, но зависит от его формы: скажем, для диска он равен единице, а для шара примерно 0,5.

Подставляя формулу для силы лобового сопротивления в выражение для силы сопротивления при установившемся движении, приходим к иному, нежели ранее полученная формула, выражению для установившейся скорости падения шара (при C = 0,5):

Применяя найденную формулу к движению парашютиста весом 100 кг с поперечным размером парашюта 10 м, находим

что соответствует скорости приземления при прыжке без парашюта с высоты 2 м. Видно, что для описания движения парашютиста больше подходит формула, соответствующая турбулентному потоку воздуха.

Выражение для силы сопротивления с коэффициентом сопротивления удобно использовать во всем интервале скоростей. Поскольку при малых скоростях режим сопротивления меняется, то коэффициент сопротивления в области ламинарного течения и в переходной области к турбулентному течению будет зависеть от скорости тела. Однако прямая зависимость C от невозможна, поскольку коэффициент сопротивления безразмерен. Значит, он может быть лишь функцией какой-то безразмерной комбинации с участием скорости. Такая комбинация, играющая важную роль в гидро- и аэродинамике, называется числом Рейнольдса (см. тему 1.3).

Число Рейнольдса — это параметр, описывающий смену режима при переходе от ламинарного течения к турбулентному. Таким параметром может служить отношение силы лобового сопротивления к силе внутреннего трения. Подставляя в формулу для силы сопротивления выражение для площади поперечного сечения шара , убеждаемся, что величина силы лобового сопротивления с точностью до несущественных сейчас числовых факторов определяется выражением

а величина силы внутреннего трения — выражением

Отношение этих двух выражений и есть число Рейнольдса:

Если речь идет не о движении шара, то под D понимается характерный размер системы (скажем, диаметр трубы в задаче о течении жидкости). По самому смыслу числа Рейнольдса ясно, что при его малых значениях доминируют силы внутреннего трения: вязкость велика и мы имеем дело с ламинарным потоком. При больших значениях числа Рейнольдса, наоборот, доминируют силы динамического лобового сопротивления и поток становится турбулентным.

Число Рейнольдса имеет огромное значение при моделировании реальных процессов в меньших (лабораторных) масштабах. Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в них явления могут быть получены одно из другого простым изменением масштаба измерения координат и скоростей. Поэтому, например, на модели самолета или автомобиля в аэродинамической трубе можно предугадать и изучить процессы, которые возникнут в процессе реальной эксплуатации.

Коэффициент сопротивления. Итак, коэффициент сопротивления в формуле для силы сопротивления зависит от числа Рейнольдса:

Эта зависимость имеет сложный характер, показанный (для шара) на рис. 9.16. Теоретически получить эту кривую трудно, и обычно используют зависимости, экспериментально измеренные для данного тела. Однако возможна качественная ее интерпретация.

Рис. 9.16. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнолъдса (римскими цифрами показаны области значений Re; которым соответствуют различные режимы течения воздушного потока)

Область I. Здесь число Рейнольдса очень мало ( 4 . Данная область соответствует переходу от ламинарного к турбулентному течению. Экспериментальные данные свидетельствуют, что при увеличении числа Рейнольдса достигается некоторое его критическое значение, после которого стационарное ламинарное течение становится неустойчивым. Разумеется, это критическое значение не универсально и различается для разных типов течений. Но его характерная величина порядка нескольких десятков.

При лишь слегка больших критического значения появляется нестационарное периодическое движение потока, характеризуемое некоторой частотой. При дальнейшем увеличении периодическое движение усложняется, и в нем появляются новые и новые частоты. Этим частотам соответствуют периодические движения (вихри), пространственные масштабы которых становятся все более мелкими. Движение приобретает более сложный и запутанный характер — развивается турбулентность. В данной области коэффициент сопротивления продолжает падать с ростом , но медленнее. Минимум достигается при = (4–5)·10 3 , вслед за чем С несколько повышается.

Область III. Эта область соответствует развитому турбулентному течению потока вокруг шара, а с этим режимом мы уже встречались выше. Характерные здесь значения числа Рейнольдса лежат в интервале 2·10 4 5 .

При движении тело оставляет за собой турбулентный след, за пределами которого течение ламинарно. Вихревой турбулентный след легко наблюдать, например, за кормой корабля. Часть поверхности тела непосредственно примыкает к области турбулентного следа, а его передняя часть — к области ламинарного течения. Граница между ними на поверхности тела называется линией отрыва. Физической причиной возникновения силы сопротивления является разность давлений на передней и задней поверхностях тела. Оказывается, что положение линии отрыва определяется свойствами пограничного слоя и не зависит от числа Рейнольдса. Поэтому коэффициент сопротивления примерно постоянен в этом режиме.

Область IV. Однако такой режим обтекания тела не может поддерживаться до сколь угодно больших значений . В какой-то момент передний ламинарный пограничный слой турбулизируется, что отодвигает назад линию отрыва. Турбулентный след за телом сужается, что приводит к резкому (в 4–5 раз) падению сопротивления среды. Это явление, названное кризисом сопротивления, происходит в узком интервале значений = (2–2,5)·10 5 . Строго говоря, приведенные теоретические соображения могут измениться при учете сжимаемости среды (воздуха, в нашем случае). Однако это проявится, как мы уже обсуждали, при скоростях объектов, сравнимых со скоростью звука.

Источник

The electrical and electronic components such as resistors, capacitors, inductors, wires,
cables, insulators, etc. are made up of different types of material. We generally refer all these
materials as engineering materials. Based on electrical resistivity, the engineering materials
are categorized into three categories namely – conductors, semiconductors, and insulators.

Since every material present in the nature possess a finite amount of electrical resistance.
Also, this resistance can change with the variation in the temperature. The following points
briefly explain the variation in resistance of the different types of materials with the change in
temperature −

• The resistance of conductors increases with the rise in its temperature.
• The resistance of semiconductors decrease with the increase in temperature.
• The resistance of insulating materials also decrease with the increase in temperature.

The change in the resistance of a material with the change in its temperature is expressed in
terms of the temperature coefficient of resistance.

In this article, we will discuss the temperature coefficient of resistance, its definition,
derivation, formula, and examples. So let’s begin with the definition of temperature
coefficient of resistance.

What is the Temperature Coefficient of Resistance?

The measure of change in the electrical resistance of a material with per unit change in the
temperature is referred to as the temperature coefficient of resistance. It is denoted by the
Greek letter alpha (α).

Experimentally, it has been found that in the normal range of temperatures −

• The change in resistance is directly proportional to the initial resistance, i.e.,

$$mathrm{Delta Rpropto R_{0}}$$

Where,

$$mathrm{Delta R=R_{t}- R_{0}}$$

And, 𝑅₀ is the initial resistance of the material, and Rt is the resistance of the material
at any t °C.

• The change in resistance is directly proportional to the rise in temperature, i.e.,

$$mathrm{Delta Rpropto t-0=t}$$

• The change in resistance depends upon the nature the material.

Combining the first two points, we have,

$$mathrm{Delta Rpropto R_{0}t}$$

$$mathrm{Rightarrow Delta R=alpha _{0} R_{0}t: cdot cdot cdot left ( 1 right )}$$

Also,

$$mathrm{R_{t}-R_{0}=alpha _{0}R_{0}t: cdot cdot cdot left ( 2 right )}$$

Or,

$$mathrm{R_{t}=R_{0}left ( 1+alpha _{0}t right ): cdot cdot cdot left ( 3 right )}$$

Where, α₀ is a constant of proportionality, and is called the temperature coefficient of
resistance of material at 0 °C.

On rearranging the equation (2), we get,

$$mathrm{alpha _{0}=frac{R_{t}-R_{0}}{R_{0}t}: cdot cdot cdot left ( 4 right )}$$

Hence, the temperature coefficient of resistance of a material is the change in resistance per
ohm original resistance per °C change in temperature. The unit of temperature coefficient is
per degree Celsius (/°C).

Since, the value of temperature coefficient of resistance at 0 °C (α₀) is different for different
materials. Thus, the change in resistance of different materials is different for the same
change in the temperature. That is why, conductors, semiconductors, and insulators shows
different variations in resistance with the same change in the temperature.

In case of conductors, the value of ΔR is positive, i.e. the resistance of conductors increase
with rise in temperature. Thus, the temperature coefficient of resistance for conductors is
positive. But, in the resistance of semiconductors and insulators decrease with the increase in
temperature. Thus, the temperature coefficient of resistance for semiconductors and insulators
is negative.

Graphical Determination of Temperature Coefficient of Resistance

We can also determine the value of temperature coefficient of resistance graphically with the
help of temperature-resistance graph of a substance. Consider a typical temperatureresistance
graph for a conductor as shown in Figure-1.

For conductors, the plot of the temperature-resistance graph is a straight line. Here, the
resistance of the conductor is 𝑅₀ at 0 °C as represented by OA. The resistance of conductor at
temperature t °C is R_t.

Thus, by the definition of the temperature coefficient of resistance, we have,

$$mathrm{alpha _{0}=frac{R_{t}-R_{0}}{R_{0}times t}}$$

From the temperature-resistance graph,

$$mathrm{R_{t}-R_{0}=XC}$$

And,

$$mathrm{Rise: in: temp.=t=AX}$$

Therefore, the temperature coefficient of resistance of the conductor at 0 °C is,

$$mathrm{alpha _{0}=frac{XC}{R_{0}times AX}}$$

But, the slope of the temperature-resistance graph is,

$$mathrm{Slope: of: graph=frac{XC}{AX}}$$

Therefore,

$$mathrm{alpha _{0}=frac{Slope: of: temp.: resistance graph}{Initial: reisstance}: cdot cdot cdot left ( 5 right )}$$

Hence, the temperature coefficient of resistance of a substance at 0 °C is the slope of the
temperature-resistance graph divided by the initial resistance of the substance (or the
resistance at 0 °C, i.e., 𝑅₀).

Temperature Coefficient of Resistance at any Temperature

For a material, if the temperature coefficient of resistance at 0 °C (i.e., 𝛼₀) is known. Then,
we can determine the value of temperature coefficient of resistance of the material at any
temperature by using the following expression,

$$mathrm{alpha _{t}=frac{alpha _{0}}{1+alpha _{0}t}: cdot cdot cdot left ( 6 right )}$$

Where, _𝛼0 is the temperature coefficient of resistance at t °C.

Note − The temperature coefficient of resistance helps us to determine the value of resistance
of the material at different temperatures. Let 𝑅₁ and 𝑅₂ are the resistances of a material at
𝑡₁°C and 𝑡₂°C respectively. If α₁ is the temperature coefficient of resistance at 𝑡₁°C. Then, the
resistance of the material R₂ is given by,

$$mathrm{R_{2}=R_{1}left [ 1+alpha _{1}left ( t_{2}-t_{1} right ) right ]: cdot cdot cdot left ( 7 right )}$$

Temperature Coefficient of Resistance of Some Materials

The following table gives the value of the temperature coefficient of resistance of some
materials at standard temperature (20 °C), which are used in electrical, electronics and other
engineering fields −

S. No.	Material	Temperature Coefficient of Resistance at 20 °C (in /°C)
6.	Iron (Fe)	0.00651
12.	Nickel (Ni)	0.00641
5.	Tungsten (W)	0.0045
4.	Aluminium (Al)	0.00429
13.	Tin (Sn)	0.0042
7.	Platinum (Pt)	0.003927
2.	Copper (Cu)	0.00386
1.	Silver (Ag)	0.0038
3.	Gold (Au)	0.0034
8.	Mercury (Hg)	0.0009
14.	Nichrome (Ni-Cr-Fe)	0.0004
16.	Constantan (Cu-Ni)	0.00003
15.	Manganin (Cu-Mn-Ni)	0.000002
9.	Carbon (C)	-0.0005
10.	Germanium (Ge)	-0.05
11.	Silicon (Si)	-0.07

Numerical Example (1)

The field winding of an electric motor has a resistance of 15 Ω at 0 °C and 18 Ω at 30 °C.
Find the temperature coefficient of resistance of the field winding at 0 °C.

Solution

Given data,

• 𝑅₀ = 15 Ω
• 𝑅₃₀ = 18 Ω

Since, the temperature coefficient of resistance at 0 °C is given by,

$$mathrm{alpha _{0}=frac{R_{t}-R_{0}}{R_{0}times t}}$$

In this case, t = 30 °C, thus,

$$mathrm{alpha _{0}=frac{R_{30}-R_{0}}{R_{0}times 30}=frac{18-15}{15times 30}}$$

$$mathrm{therefore alpha _{0}=0.00667: _{}^{circ }textrm{C}^{-1}}$$

Numerical Example (2)

The shunt winding of a DC generator is made up of copper wire and has a temperature
coefficient of resistance 0.00426 /°C at 0 °C. Determine the temperature coefficient of
resistance of the winding at 27 °C.

Solution

Given data,

• 𝛼₀ = 0.00426

The temperature coefficient of resistance at 27 °C is given by,

$$mathrm{ alpha _{27}=frac{alpha _{0}}{1+27alpha _{0}}}$$

$$mathrm{Rightarrow alpha _{27}=frac{0.00426}{1+left ( 27times 0.00426 right )}}$$

$$mathrm{therefore alpha _{27}=0.00382, _{}^{circ }textrm{C}^{-1}}$$

Numerical Example (3)

The stator winding of a motor has a resistance of 90 Ω at 17 °C. Find its resistance at 50 °C,
if its temperature coefficient of resistance is 0.003 at 17 °C.

Solution

Given data,

• 𝑅₁₇ = 90 Ω
• 𝛼₁₇ = 0.003

Then, the resistance of the winding at 50 °C is given by,

$$mathrm{R_{50}=R_{17}left [ 1+alpha _{17}left ( 50-17 right ) right ]}$$

$$mathrm{Rightarrow R_{50}=90times left [ 1+0.003times 33 right ]}$$

$$mathrm{therefore R_{50}=98.91, Omega }$$

Conclusion

We will conclude this article with the following points −

• The electrical resistance of materials changes with the variation in temperature.

• The change in resistance of materials is described by a factor known as temperature coefficient of resistance of the material.

• The temperature coefficient of resistance helps us in selecting a material suitable for a particular application.

• The temperature coefficient of resistance can also be used to determine the resistance of a material at a particular temperature.

• For metals, the temperature coefficient of resistance is positive, which indicates that the resistance of metals increases with the increase in temperature and vice-versa.

For semiconductors and insulators, the temperature coefficient of resistance is negative,
which indicates that the resistance of semiconductors and insulators decreases with the
increase in temperature and vice-versa.