Как найти коэффициент m для графика функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Свойства гиперболы

1) Область определения и область значений

По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:

D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)

Область значений

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;

Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*

x=-(k+ab)/b

3) Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство

Случай 1: a=0, b=0, k>0

f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)

Случай 1: a=0, b=0, k<0

f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая

Случай 1: a=0, b=0, k>0

Функция убывает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

Функция возрастает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

5) Четность и нечетность

Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x

Источник

Рассматривая линейную функцию вида (y=kx + b), особо выделяют случай, когда (b=0).

Тогда линейная функция принимает вид (y=kx) и называется прямой пропорциональностью.

Графиком функции (y=kx) является прямая, проходящая через начало координат.

Важно уметь переходить от аналитической модели (y=kx) к геометрической и, наоборот, от геометрической к аналитической модели.

Например, рассмотрим прямую, изображённую на рисунке.

Эта прямая является графиком линейной функции (y=kx), так как проходит через начало координат. Нужно лишь определить значение коэффициента (k).

Из формулы (y=kx) получим, что

k=yx

Чтобы определить коэффициент (k), необходимо выбрать некоторую точку на прямой и вычислить частное ординаты и абсциссы заданной точки.

Прямая проходит через точку (M(4; 2)), следовательно получим

24=0,5

. Значит, (k=0,5), и данная прямая является графиком линейной функции (y=0,5x).

Если в формуле (y=kx) вместо (x) подставим (1), то получим (y=k). Это означает, что прямая (y=kx) проходит через точку ((1; k)). Поэтому график линейной функции можно строить по двум точкам: ((0;0)) и ((1; k)).

Иногда вместо точки ((1; k)) удобнее взять другую точку.

Коэффициент (k) определяет угол между прямой и положительным направлением оси (x).

Если (k>0), то этот угол острый (как на первом рисунке), а

если (k<0), то этот угол тупой (как на втором рисунке).

Поэтому коэффициент (k) в записи (y=kx) называют угловым коэффициентом.

Обобщая сведения о линейных функциях, можно сделать вывод:

прямая, служащая графиком линейной функции (y=kx + b), параллельна прямой, служащей графиком линейной функции (y=kx).

На рисунке показаны параллельные прямые с одним и тем же коэффициентом (k = 4).

Поэтому коэффициент (k) в записи (y=kx + b) также называют угловым коэффициентом, и

если (k>0), то прямая (y=kx + b) образует с положительным направлением оси (x) острый угол;

если (k<0), то этот угол тупой.

Источник

Здравствуйте, уважаемый посетитель! В этой статье будут разобраны задания В3 из ГИА, те, что связаны с графиками функций. Мы научимся определять все коэффициенты параболы по графику, находить точки пересечения прямой с осями координат и ее коэффициент наклона, а также ближе познакомимся с гиперболой.

Давайте начнем разбор этих заданий со знакомства с прямой и ее уравнением.

Прямая задается уравнением: y=kx+b . В этом уравнении коэффициент k отвечает за наклон прямой, а коэффициент b — за смещение по оси y вверх или вниз.

Уравнение прямой и его коэффициенты

И тот, и другой коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными. В случае с коэффициентом b все понятно: [stextbox id=»alert» bwidth=»1″ bcolor=»5e56a9″ bgcolor=»0cb2f2″]если он положительный, то прямая пересекает ось y выше оси х, а если отрицательный — то ниже[/stextbox]. На рисунке этот коэффициент равен 2 для красной прямой ( b=2 ), для зеленой — b=-3 , для розовой — b=-1

Прямые с различными значениями коэффициентов

А как быть с k? Давайте разберемся. Как узнать по графику, положительный ли коэффициент k или он меньше 0? Посмотрим на графики на рисунке выше: они наклонены в разные стороны. Вот за наклон-то как раз и отвечает коэффициент k, и по наклону прямой мы «вычислим» его знак.

Признак такой: если прямая образует острый угол с положительным направлением оси х, то коэффициент k — положительный. Если прямая образует тупой угол с положительным направлением оси х, то коэффициент k — отрицательный

Посмотрим на наш рисунок:

Коэффициенты уравнения прямой и их значение

У красной и розовой прямых — положительный коэффициент наклона, у зеленой — отрицательный.

Чтобы определить оба коэффициента (а не только их знаки), нужно взять 2 точки на прямой (любые) и подставить их координаты в уравнение прямой. Тогда мы получим систему уравнений, которая позволит определить оба коэффициента. В отдельных случаях можно обойтись и одним уравнением: если прямая проходит через начало координат, или если можно определить коэффициент b по рисунку. Примеры:

Определим коэффициент k для прямой, изображенной на рисунке:

Определение коэффициента наклона прямой

Так как прямая проходит через начало координат, то b=0 . Тогда, чтобы определить k, потребуется всего одно уравнение. Возьмем любую точку, принадлежащую прямой, например, точку (1;3) — точки удобно брать с целыми координатами. Подставляем координаты точки в уравнение прямой вместо x и y:

Еще пример:

Определение обоих коэффициентов уравнения прямой

Определим уравнение прямой, для этого найдем коэффициенты b и k ее уравнения. Возьмем две точки на прямой, хорошо, если координаты точек целые. У нас это точки (5;0) и (-3;-2). В общее уравнение прямой подставим координаты этих точек:

Вычтем второе уравнение из первого, это позволит определить коэффициент k:

Чтобы найти b, подставим найденный коэффициент наклона в любое из двух уравнений:

Тогда уравнение этой прямой будет таким:

Иногда коэффициент наклона помогает определить знание следующего факта: если прямая лежит под углом 45 или 135 градусов к оси х (то есть проходит по диагоналям клеточек — как красные прямые на рисунке) — то модуль ее коэффициента наклона равен 1. Если прямая «прижимается» к оси y — желтая область на рисунке — то модуль ее коэффициента наклона больше 1. Если же она «жмется» к оси х (зеленая область) — модуль ее коэффициента k меньше 1. Данный факт помогает при решении таких задач, где необходимо сопоставить графики нескольких прямых и данные уравнения. Тем не менее, чтобы не ошибиться, лучше все же определить коэффициент аналитически: подставив координаты выбранной точки в уравнение.

Коэффициенты прямой, которые превосходят 1 по модулю, и меньше 1 по модулю

Пример такого задания:

Один из графиков на рисунке — график функции y=3x. Каким цветом он изображен?

Определение коэффициента наклона по графику

Рассуждаем так: коэффициент наклона положительный — угол наклона прямой к оси х будет острым — ни зеленый, ни желтый графики не подходят. Модуль коэффициента наклона больше 1 (равен 3) — прямая будет располагаться ближе к оси у, чем к оси х: значит, это график голубого цвета. После этих рассуждений надо обязательно (!) проверить их правильность: просто теперь нам придется проверять не все графики, а только один: голубому графику принадлежит точка (1;3). Подставим ее в уравнение:

Получилось тождество, значит, мы правы. Посмотрите видео-исследование прямой:

Переходим теперь к параболе. Парабола задается квадратичной функцией:. Коэффициент а определяет форму параболы, а также направление ее ветвей: если он положителен — то ветви параболы смотрят вверх, если отрицателен — вниз. От коэффициента b зависит расположение вершины параболы, то есть, в конечном счете, сдвиг по оси х вправо-влево. Наконец, коэффициент с показывает, какова ордината точки, в которой парабола пересечет ось y.

Рассмотрим несколько графиков, чтобы отработать определение последнего коэффициента — с, как наиболее простого.

Общий вид парабол с разными коэффициентами

Итак, с — точка пересечения параболой оси y. Для первой параболы на рисунке это 8, для второй — 3, для третьей — 6, для четвертой — (-5). А вот точка пересечения пятого графика с осью y только угадывается. Можно сказать с определенностью, что коэффициент с для нее меньше ноля. Однако его точное значение зависит также и от формы параболы, которая определяется величиной коэффициента a. Если этот коэффициент задан и равен (-1), то можно догадаться, что с для нее равен (-19). Однако. чтобы точно определить все коэффициенты, необходимо взять несколько точек, принадлежащих этому графику функции, и, подставив их координаты в уравнение квадратичной функции, решить систему уравнений, которая и позволит точно найти a,b и с.

Разберем такое задание: график какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Подбор формулы, задающей график функции

Посмотрим на график. Ветви параболы направлены вверх, значит, коэффициент a — положительный. Тогда нам не подойдут ни первая, ни последняя функция. Две оставшиеся отличаются одним лишь знаком коэффициента b, поэтому найдем абсциссу вершины параболы. Для второй:

Для третьей:

Тогда, значит, подходит вторая функция, так как видно, что вершина лежит в области отрицательных значений х.

Следующая задача такая: найдите значение а по графику функции , изображенному на рисунке.

Парабола, у которой коэффициент а=1

Есть два пути для решения данной задачи. Первый — рациональный. Находим точки, принадлежащие графику, подставляем их координаты в уравнение, получаем систему (как минимум, понадобится три точки, чтобы определить три коэффициента, и система будет из трех уравнений), решаем систему.

Есть и второй путь — эмпирический. Этот метод «тыка» иногда упрощает задачу очень существенно, тем более что «тык» будет у нас вполне обоснованным, а не случайным.

Давайте рассуждать:ветви направлены вверх? — коэффициент а — положительный. Где находится вершина параболы? Правильно, в точке (2;0). Значит, ее ось симметрии —

Парабола, у которой коэффициент а=1

прямая х=2. Тогда все ее точки должны располагаться симметрично по обе стороны от этой прямой.

Возьмем две точки на оси х, отстоящие на единицу от оси симметрии параболы — точки х=1, х=3. Какие им соответствуют ординаты? y=1 в обоих случаях. Теперь возьмем точки, отстоящие на 2 единицы от оси симметрии — х=0 и х=4. Какие ординаты будут им соответствовать? y=4! Иными словами, ординаты точек этого графика получаются, если просто возводить в квадрат разность абсцисс точки и вершины параболы: и т.д. Тогда коэффициент a этой параболы равен 1!

Наши рассуждения можно пояснить рисунком:

Теперь рассмотрим задачи более сложные, связанные как раз с необходимостью составлять систему уравнений.

Иногда вершина предлагаемого графика располагается не в пересечении клеточек, то есть координаты вершины — дробные числа. Кроме того, форма параболы отличается от «классической», которую мы получаем, если а=1. Тогда «метод научного тыка» не годится, «на глазок» коэффициенты уже не определить. Вот здесь необходимо найти принадлежащие графику точки, лучше, если они будут находиться на пересечении клеток, то есть их координаты будут целыми. Сколько же потребуется таких точек? Если возможно определить коэффициент с по графику, то две, а если нельзя — три.

Рассмотрим задачу: необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение:координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе — из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента — a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Посмотрите видео-исследование параболы:

Наконец, нужно познакомиться с гиперболой. График ее задается функцией: y=k/x . Он интересен тем, что располагается всегда в двух квадрантах: в первом и третьем, либо во втором и четвертом. От знака коэффициента k зависит вид функции: если знак положителен, то ветви гиперболы расположатся в первом и третьем квадрантах, если отрицателен — во втором и четвертом. Кроме того, от этого коэффициента зависит и форма гиперболы. Если k=1 , то гипербола непременно пройдет через точки (1;1), (-1;-1). Если k<1 , то гипербола будет «прижиматься» к осям координат, а если k>1 , то наоборот, точки графика будут лежать дальше от начала координат. Это иллюстрирует рисунок (одна клеточка — единичный отрезок):

Коэффициент гиперболы

Здесь зеленая область — область, где лежат точки гипербол с положительным коэффициентом k, меньшим 1. Желтая область — область точек гипербол с положительным коэффициентом k, большим 1. Черным цветом изображена «классическая» гипербола, k=1.

Для отрицательных k (одна клеточка — единичный отрезок):

Коэффициент гиперболы

Разберем задачу: нужно определить, график какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке.

Коэффициент гиперболы

Рассмотрим график. Все его точки лежат во второй и четвертой четвертях, это означает, что положительным х соответствуют отрицательные y, а отрицательным — положительные, то есть коэффициент у функции, задающей этот график, должен быть отрицательным. Тогда ни первая, ни третья функции не подходят. Значит, надо выбирать из второй и четвертой, причем у второй , а у четвертой . Значит, график второй функции должен быть расположен ближе к осям координат, чем точка (1;-1) — голубая область на предыдущем рисунке. У нас график расположен не так, если бы мы перенесли его на предыдущий рисунок, он бы попал в серую область, значит, предположительно, изображен график четвертой функции, однако, в этом надо быть уверенным наверняка. Поэтому возьмем точку на графике и подставим ее координаты в уравнение, например, точку (3;-1):

Получилось тождество, значит, уравнение выбрано верно.

Еще задача:

На одном из графиков изображен график функции y=-1/3x . Какой это рисунок?

Определение графика по заданной функции

Во-первых, не все изображенные графики — гиперболы. Сразу отбросим «лишние» — это розовый график функции — номер 2, и фиолетовый — номер 1, который расположен «не в тех» квадрантах. Остаются два графика — 3 и 4 — которые очень похожи друг на друга. Поскольку коэффициент перед х в заданной функции отрицательный, нам нужен 4 график — тот, что изображен черным цветом.

Последняя задача: найдите коэффициент k по графику функции y=k/x , изображенному на рисунке:

Определение коэффициента функции по графику

Здесь достаточно взять только одну точку, принадлежащую графику, и подставить ее координаты в уравнение:

Посмотрите короткое видео с исследованием гиперболы:

Надеюсь, эта статья поможет вам в подготовке к экзамену! Всего вам хорошего, вопросы можно задать в комментариях, я постараюсь ответить.

Источник

Что такое линейная функция, какого вида может быть линейная функция, как построить график линейной функции и его возможные варианты. Все это и многое другое вы узнаете в данной статье. Кроме того, мы разберем задания, связанные с построением графика линейной функции и нахождением ее параметров-коэффициентов.

Итак,

Содержание

1 Что такое линейная функция
2 График линейной функции. Самый быстрый способ построить прямую
3 Расположение прямой в зависимости от коэффициентов
4 Точки пересечения с осями координат
5 Условия пересечения, перпендикулярности и параллельности двух прямых
6 Задачи, связанные с линейной функцией, и как их решать

Что такое линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

y=kx+b

где k,b — некоторые числа, — переменная, — аргумент функции, зависящий от переменной .

Линейная функция может быть задана и вот так:

x=my+n

— ее обычно называют обратной для функции y=kx+b , здесь выразили через ( m,n -также некоторые числа).

Кроме того, можно встретить и такую запись линейной функции:

ax+by=c

здесь a,b,c — некоторые числа.

В любом из представленных видов, обратите внимание, переменные и имеют первую степень.

Примеры линейных функций:

Второй и третий способы задания линейной функции, встречаются редко (в основном при решении систем линейных уравнений). А для построения графика используется первый вид.

График линейной функции. Самый быстрый способ построить прямую

Графиком линейной функции является прямая. (Кстати, название линейная функция получила потому, что ее графиком является прямая линия).

Чтобы построить прямую, достаточно знать 2 точки. Так как аргумент зависит от переменной , нам нужно взять любые два значения и подставить в функцию, тогда получим два значения . Полученные точки с координатами $(x_{1};y_{1})$ и $(x_{2};y_{2})$ нанесем на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Давайте рассмотрим на конкретном примере, как строиться график линейной функции.

Итак, дана функция y=2x+1 .

Возьмем 2 некоторых значения равные, например, 0 и 1. Подставим в функцию:

Получили две точки (0;1) и (1;3) отметим их на координатной плоскости:

на координатной плоскости отметили точки с координатами А(0;1) и B(1;3)

Теперь приложив линейку так, чтобы она проходила через обе точки, проведем прямую:

через данные точки A(0;1) и B(1;3) провели прямую y=2x+1

Такой метод построения прямой дают в школьной программе. Но существует очень легкий и довольно быстрый способ построения прямой. Для того чтобы использовать этот метод запишем нашу функцию следующим образом:

$y=frac{2}{1}x+1$

Данной записью мы функцию не изменили и не «нарушили», так как $frac{2}{1}=2$ .

Итак,

1. Значение свободного слагаемого b=1 . На координатной плоскости от точки пересечения осей т.О(0;0) вверх по оси Оу отсчитываем 1 (так как b=1 ) и ставим в этом месте первую точку А(0;1) (на рисунке-схеме эта точка закрашена красным).

2. Значение $k=2=frac{2}{1}$ мы специально представили его в виде дроби, чтобы используя значения сначала знаменателя равного +1, а затем числителя равного +2, двигаться в следующем порядке. Сначала от точки А(0;1) отсчитываем вправо 1 (так как знаменатель равен +1) — это промежуточная точка (на схеме точка розовая), затем вверх на 2 (так как числитель равен +2) — здесь ставим вторую точку B(1;3) (на схеме точка снова красная). Теперь осталось с помощью линейки провести прямую через данные точки.

схема построения прямой

Давайте еще раз построим вторым методом другую функцию 2y-x=6 . Для начала приведем эту функцию к необходимому виду. Перенесем слагаемое с переменной вправо от знака равно, не забывая поменять знак на противоположный, и избавимся от коэффициента перед , разделив все слагаемые на него, то есть на 2:

2y=x+6

$y=frac{1}{2}x+frac{6}{2}$

$y=frac{1}{2}x+3$

Нам понадобятся значения $b=+3, k=frac{+1}{+2}$ . При движении по координатной плоскости будем использовать эти значения: вверх от т.О на +3 (первая точка), вправо на +2 (промежуточная точка) и снова вверх на +1 (вторая точка).

схема-пример 2

Пример 3. Функция

$y=-frac{3}{5}x-2$ ,

запишем вот в таком виде:

$y=frac{+3}{-5}x-2$

Коэффициенты $b=-2, k=frac{+3}{-5}$ . Теперь мы знаем как двигаться: вниз на 2 (так как -2) — получили первую точку А, влево на 5 (так как -5) — промежуточная точка С, вверх на 3 (так как +3) — вторая точка B, проводим прямую через точки А и B:

схема-пример 3

Расположение прямой в зависимости от коэффициентов

От коэффициентов k, b линейной функции y=kx+b зависит вид прямой, как она расположена на координатной плоскости. Давайте рассмотрим это по подробнее.

Если , функция будет выглядеть вот так: , а прямая будет проходить через начало координат. В зависимости от углового коэффициента k, равного тангенсу угла наклона к оси Ох (то есть ), прямая будет наклонена вправо или влево и будет отклонятся от положительного направления оси абсцисс на угол .
Давайте рассмотрим, как будет выглядеть прямая на графике:

прямая y=kx (k>0)
прямая y=kx (k<0)
То есть получаем:
а) при — прямая наклонена вправо относительно оси Оy и угол — острый;
б) при — прямая наклонена влево от оси Оy и угол — тупой;
в) при — функция вырождается в — а это прямая совпадающая с осью Ох.

Пройдя по ссылке: движение прямой в зависимости от коэффциента k, вы сможете наблюдать, как изменяется угол наклона прямой, при изменении коэффициента k в диапазоне от -5 до +5 (для этого необходимо нажать в месте задания функции кнопку просмотра):

скриншот ссылки
Если , то график функции будет сдвигаться на вверх, если функция или на вниз, если :

движение прямой y=kx в зависимости от значения b
Нажав на ссылку движение прямой в зависимости от изменения b, вы сможете пронаблюдать как изменяется расположение прямой при изменении значения линейной функции .

Если же , то график функции будет проходить параллельно оси Ox, выше неё при , и ниже неё при :

прямые y=b, параллельные оси абсцисс

Точки пересечения с осями координат

Иногда при решении задач с линейными функциями, необходимо найти точки пересечения с осями координат. Это очень просто!

Нужно только подставить ноль вместо , если ищем точку пересечения с осью Oy:

Получим y=b . Значит, линейная функция будет пересекать ось ординат в точке с координатами (0;b) .

Если в функции вместо подставим 0, то получим линейное уравнение

kx+b=0

Решив его, получим значение :

$x=frac{-b}{k}$

и получаем точку с координатами $(-frac{b}{k};0)$ — точку пересечения с осью абсцисс:

точки пересечения с осями координат

Условия пересечения, перпендикулярности и параллельности двух прямых

Пусть даны две линейные функции $y=k_{1}x+b_{1}$ (назовем ее прямую ) и $y=k_{2}x+b_{2}$ (эту прямую назовем ). При разных вариантах сочетания коэффициентов данных функций эти прямые будут либо пересекаться в одной точке (причем перпендикулярно или произвольно), либо не будут пересекаться, то есть будут параллельны. Рассмотрим эти варианты

Условие пересечения прямых
Если $k_{1}neq k_{2}$ , то прямые и пересекаются в одной точке E:

пересечение двух прямых m и n в точке Е
Условие перпендикулярности
Если коэффициенты $k_{1}neq k_{2}$ и при этом еще выполняется условие $k_{1}cdot k_{2}=-1$ , то прямые и будут не только пересекаться, но еще будут перпендикулярны друг другу

перпендикулярные прямые n и m
Условие параллельности
Две прямые будут параллельны друг другу, если будет выполнятся два условия одновременно:
$left{begin{matrix} k_{1}=k_{2} & & \ b_{1}neq b_{2} & & end{matrix}right.$

параллельные прямые n и m

Должна заметить, если второе условие не будет выполняться, то есть $b_{1}=b_{2}$ , то прямые будут просто совпадать.

Если пройдете по ссылке движение двух прямых и возможные варианты пересечения и параллельности при разных значениях коэффициентов k, то сможете пронаблюдать, как расположены прямые по отношению друг к другу при разных значениях коэффициентов.

Задачи, связанные с линейной функцией, и как их решать

При подготовке к экзаменам ЕГЭ по математике (как к базовой, так и профильной) или ОГЭ, нужно уделить внимание решению задач, связанных с линейной функцией. Эти задачи могут не встретиться точно в таком виде, как мы рассмотрим ниже, но «внутри» других задач они могут быть. Итак,

Пример 1.

Найти уравнение прямой, проходящей через 2 точки: A (2;5) и B(-1;2) .

Нарисовать прямую проходящую через 2 точки — очень просто! А вот написать уравнение прямой — нужно подумать Но не долго! Давайте вспомним общее уравнение прямой! Выше в статье я его много раз писала:

y=kx+b

Нам нужно найти коэффициенты k и b. Если мы в нашу линейную функцию вместо подставим координаты точек,
(сначала A (2;5) : так как , то получим ;
затем B(-1;2) : здесь , тогда )

то получим систему 2х уравнений, где k и b будут неизвестными:

$left{begin{matrix} 5=kcdot 2+b & & \ 2=kcdot (-1)+b& & end{matrix}right.$

Используя сначала метод сложения, затем метод подстановки, получим:

$left{begin{matrix} 5=2k+b & & \ 2=-k+b& & end{matrix}right. begin{matrix} & & \ | times 2 & & end{matrix} Rightarrow left{begin{matrix} 5=2k+b & & \ 4=-2k+2b& & end{matrix}right.Rightarrow$

подставим b=3 , во второе уравнение системы и найдем k:

Значит, уравнение прямой выглядит так:

y=x+3 .

Пример 2.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2), и перпендикулярной прямой y=2x+3 .

график к примеру 2

Пусть m — заданная прямая y=2x+3 , её угловой коэффициент $k_{1}=2$ .
Пусть n — прямая, которую нужно найти, её угловой коэффициент $k_{2}=frac{-1}{k_{1}}$ (согласно условию перпендикулярности $k_{1}cdot k_{2}=-1$ ), то есть $k_{2}=frac{-1}{2}=-0,5$ . Получили вот такой вид прямой n:

Подставим в полученное уравнение координаты точки А(4;2), через которую она проходит по условию. Так как , получим уравнение с неизвестным b:

Следовательно наша прямая n: .

Пример 3.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4;2), параллельно прямой y=2x+3

график к примеру 3

Также как и в предыдущем примере, пусть m — заданная прямая y=2x+3 , её угловой коэффициент $k_{1}=2$ .
Пусть n — прямая, которую нужно найти, её угловой коэффициент $k_{2}=k_{1}=2$ , по условию параллельности двух прямых.

Получили прямую n: y=2x+b .
Теперь найдем b: подставим координаты точки А в полученное уравнение, поскольку данная точка лежит на искомой прямой:

И вот уравнение прямой, которое нужно было найти

y=2x-6 .

Пример 4.
Построить график функции:

$y=frac{x^{2}-3x+2}{x-1}+3x$

С первого взгляда функция может показаться сложной: здесь и дробь, и квадратная функция и линейная функция одновременно… Но не стоит спешить с выводами о сложности. Здесь сначала нужно упростить функцию, причем не «в лоб», то есть просто привести к общему знаменателю и прибавить к дроби слагаемое . Здесь нужно сначала попробовать разложить на множители квадратный трехчлен в числителе, и посмотреть, что получиться. Итак, разложим квадратный трехчлен $x^{2}-3x+2$ на множители, для этого распишу :

$x^{2}-3x+2=x^{2}-x-2x+2$

разгруппирую слагаемые и вынесу общие множители, если это возможно:
$(x^{2}-x)-2x+2=x(x-1)-2(x-1)$ у меня получилось два слагаемых с одинаковой скобкой, вынесу ее также за скобку:

Теперь функция выглядит так:

$y=frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)}+3x$

Получили и в числителе и в знаменателе одинаковые множители-скобки, их можно сократить, но прежде чем это сделать, нужно отметить, что , то есть xneq 1 . Этот момент важен, его нужно будет отобразить на графике! А вот теперь можно спокойно сокращать:

y=4x-2

В итоге мы получили линейную функцию, построим её и не забудем «выколоть» точку на прямой, где xneq 1 :

график к примеру 4

Пример 5.

Построить графики функций, где присутствует модуль. (Модуль числа — это его абсолютная величина. Главное свойство модуля, которое используется при построении графика — это то, что модуль не может быть отрицательным). Рассмотрим различные структуры:

а) — в таких случаях та часть графика, которая выше оси Ох (и на самой оси) остается без изменений, а та часть которая имеет отрицательные значения , то есть ниже оси Ох, симметрично переносится в положительную часть относительно оси Ох.

Построим

график к примеру 5а

б) — в таких случаях та часть функции для которой x>0 остается неизменной, меняется отрицательная часть аргумента. Здесь часть, которая правее оси Оу отображается симметрично относительно оси ординат (Оу).

Построим

график к примеру 5б

в) — в таких случаях, та часть функции которая выше оси Ох остается неизменной, и эта же часть отражается вниз симметрично относительно оси абсцисс (Ох). Та часть прямой, которая была ниже оси Ох «уходит».

Построим

график к примеру 5в

Мы рассмотрели основные виды задач, связанные с темой «Линейная функция и её график».

Попробуйте сами также порешать такие задания:

1) Напишите уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-1) и В (0;1);

2) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(2;2) и перпендикулярной прямой y=-2x+1 ;

3) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(2;2) и параллельной прямой y=-2x+1 ;

4) Построить график функции $y=frac{x^{2}+5x}{x}-2x$ ;

5) Построить графики функций с модулем

Жду ваших решений!

Источник

Загрузить PDF

Линейная функция записывается в виде «y = mx + b», где значения букв должны быть подставлены или найдены, то есть: «x» и «y» — координаты прямой, , «m» – угловой коэффициент (угол наклона прямой к оси х), «b» – свободный член (точка пересечения прямой с осью y). Если вы хотите научиться применять линейную функцию, прочтите эту статью.

1

Уясните задачу. Перед тем, как приступить к решению, вы должны внимательно прочитать задачу для уяснения поставленного вопроса. Например: Сумма на вашем банковском счете растет линейно. Если после 20 недель на Вашем счете лежит $560, а после 21 недели — $585, выразите в линейной форме зависимость накопленной суммы от количества прошедших недель.
2

Подумайте, как представить решение в виде линейной функции. Запишите y = mx + b и учтите, что «m» – угол наклона, а «b» – точка пересечения. Заметьте, что «сумма на вашем банковском счете растет линейно», то есть значение накопляемой суммы за определенный период времени постоянно и поэтому график в этом случае — прямая. Если накопляемая сумма разная в определенной период времени, то график не может быть прямой.
3

Найдите угловой коэффициент (наклон) прямой. Для этого вычислите изменение значения функции (в данном случае — сумма на счету). Если через 20 недель сумма равна $560, а еще через неделю — $585, то вы заработали $25 ($585 — $560 = $25) за 1 неделю.
4
Найдите точку пересечения с осью у. Чтобы найти точку пересечения с осью у, или «b» в y = mx + b, необходимо знать стартовую сумму на счету. Если у вас $560 после 20 недель и вы знаете, что зарабатываете $25 за каждую неделю, то умножьте 20 х 25 и выясните, сколько денег вы заработали за 20 недель. 20 х 25 = 500, то есть вы заработали $500 за 20 недель.
- Так как на счету $560 после 20 недель и за этот срок вы заработали $500, то начальная сумма на счету: $560 — $500 = $60.
- Таким образом «b» (или или точка пересечения с осью у) = 60.
5
Записываем уравнение в виде линейной функции. Теперь, когда вам известно, что m= 25 (прирост $25 за 1 неделю), а b=60, Вы можете подставить их в уравнение:
- y = mx + b
- y = 25x + 60
6
Проверьте уравнение. В этом уравнении «у» — количество заработанных (накопленных) денег, а «х » — количество недель. Попробуйте подставить в уравнение различное количество недель, чтобы вычислить накопленную сумму. Попробуйте два примера:
- Сколько денег вы заработаете в течение 10 недель? Для этого подставьте «10» вместо » х» в уравнение.
  - y = 25x + 60 =
  - y = 25(10) + 60 =
  - y = 250 + 60 =
  - y = 310. За 10 недель вы заработаете $310.
- Сколько недель вам нужно работать, чтобы накопить $800? Подставьте «800» вместо «у» и найдите «х».
  - y = 25x + 60 =
  - 800 = 25x + 60 =
  - 800 — 60 =
  - 25x = 740 =
  - 25x/25 = 740/25 =
  - x = 29.6. Вы можете заработать $800 в течение примерно 30 недель.
Реклама

1

Запишите уравнение. Допустим, вам дано уравнение 4y +3x = 16.
2
Выделите переменную у. Перенесите переменную х на одну сторону уравнения. Помните про изменения знака при переносе за знак равенства. То есть » 3x», перемещенная в другую часть уравнения, станет «-3х «. Уравнение должно выглядеть как:
- 4y + 3x = 16 =
  - 4y + 3x — 3x = -3x +16
- 4y = -3x +16
3
Разделите все члены уравнения на коэффициент при у. Если при у коэффициента нет, то ничего делать не нужно. Если есть коэффициент, то нужно разделить каждый член уравнения на это число. В нашем случае коэффициент при у — это 4, так что делим 4у, — 3x, и 16 на 4, чтобы получить окончательный ответ в виде линейной функции.
- 4y = -3x +16=
- ⁴/₄y = ^-3/₄x +¹⁶/₄
- y = ^-3/₄x + 4
4

Определите члены уравнения. Если вы используете уравнение для построения графика, то «у» представляет собой координаты у , «-3/4» – угловой коэффициент, «х» — координаты х, «4» – координата пересечения с с осью у.

Реклама

1

Запишите уравнение в виде линейной функции. Во-первых, просто напишите y = mx + b. Допустим, дана следующая задача: Найти уравнение прямой, у которой угловой коэффициент = 4 и она проходит через точку (-1,-6)
2
Подставьте значения. «m» — угловой коэффициент = 4, «у» и «х » – координаты данной точки. В этом случае, «х» = -1 и «у» = -6. «b» — координата пересечения с осью у (она нам неизвестна).
- y = -6, m = 4, x = -1 (данные значения)
- y = mx + b (уравнение)
- -6 = (4)(-1) + b
3
Найдите координату пересечения с осью у.
- -6 = (4)(-1) + b
- -6 = -4 + b
- -6 +4 = b
- -2 = b
4
Напишите уравнение . Теперь, когда Вы нашли «b», вы можете записать уравнение в виде линейной функции:
- m = 4, b = -2
- y = mx + b
- y = 4x -2
Реклама

1

Запишите две точки. Пусть дана задача: Найти уравнение прямой, которая проходит через точки (-2 , 4) и ( 1 , 2)
2
Используйте две точки для вычисления углового коэффициента. Формула нахождения углового коэффициента прямой, которая проходит через две точки: (Y₂ — Y₁) / (X₂ — X₁). Здесь X₁ и Y₁ — координаты первой точки (-2,4), а X₂ и Y₂ — координаты второй точки (1,2). Теперь подставьте их в формулу:
- (Y₂ — Y₁) / (X₂ — X₁) =
- (2 — 4)/(1 — -2) =
- -2/3 = m
- Угловой коэффициент = -2/3.
3
Выберите одну из точек для вычисления координаты пересечения с осью у. Не имеет значения, какую точку вы возьмете. Теперь просто подставьте значения в уравнение y = mx + b, где «m» – угловой коэффициент, «x» и «y» – координаты выбранной точки. Находим b:
- y = 2, x, = 1, m = -2/3
- y = mx + b
- 2 = (-2/3)(1) + b
- 2 = -2/3 + b
- 2 + 2/3 = b, или b = ⁸/₃
4
Подставьте найденные значения в исходное уравнение. Теперь, когда вам известно, что угловой коэффициент =-2/3, а свободный член = 2 2/3 , просто подставьте их в исходное уравнение для прямой.
- y = mx + b
- y = ^-2/₃x + 2 2/3
Реклама

1

Запишите уравнение. Допустим, дано уравнение y = 4x + 3.
2

Начните график с точки пересечения с осью у. Свободный член в нашем примере = «+3», то есть положительная величина. Это означает, что прямая пересекает ось у в точке (0 ,3).
3
Используйте угловой коэффициент для вычисления координаты другой точки на прямой. Угловой коэффициент =4 и это означает, что при росте координаты у на 4 единицы, координата х увеличивается на 1 единицу. Соответственно, если вы начинаете в точке (0,3), то следующая точка на прямой — (1,7).
- Если угловой коэффициент – отрицательная величина, то следующая точка лежит ниже точки пересечения прямой с осью у.
4

Соедините две точки. Теперь все, что вам нужно сделать, это провести прямую линию через эти две точки, и вы получите график линейной функции. Вы можете продолжать вычислять координаты точек на прямой (взять новую точку как начальную точку и найти следующую).

Реклама

Советы

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой.
Постарайтесь проверять свои ответы. Если вам даны или вы нашли координаты х и у, подставьте их обратно в уравнение. Например, если х = 10, а именно вы нашли х=10 в уравнении y=x+3, подставьте 10 вместо х. Ответом должна быть соответствующая координата у, у = 13 в точке (х, у) = (10, 13). Y=13 может быть графически представлена в виде прямой горизонтальной линии, пересекающую ось у, с угловым коэффициентом =0 Вертикальная линия будет иметь бесконечный (несуществующий) угловой коэффициент.
Алгебра – наука, основанная на вычислениях. Вы должны их записывать для наилучшего усвоения процесса.
Если Вы делаете простейшие вычисления в своем уме, не записывая, то при решении более сложной задачи это может привести к ошибкам.
При ускорении или уменьшении скорости движения (скорость не линейна), график уравнения такого движения не будет прямой линией. Однако средняя скорость движения за определенный промежуток времени меняется равномерно, и график в этом случае – прямая линия. Поэтому во многих задачах дана именно средняя скорость.
Используйте калькулятор. Вы сможете найти уравнение прямой с помощью линейной регрессии данных , которая делается автоматически с помощью программы калькулятора. Этим надо пользоваться после того, как вы научитесь делать все это вручную. Калькулятор – удобный инструмент в руках опытного математика.
Записывайте примеры и практикуйтесь в решении задач для усвоения процесса вычислений.
Вы произведете впечатление на преподавателя, если поймете, как применить линейное уравнение для любой задачи.
Декартова система координат, использующаяся для построения графиков уравнений и т.д., была названа в честь французского ученого Рене Декарта. Эта система используется в математике, астрономии, навигации, для освещения пикселей на экранах компьютеров и вообще везде, где требуется определение координат.
Не забудьте умножить перед сложением, когда работаете с уравнением y = mx + b. То есть не складывайте х + b, а сначала умножьте m на x.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 20 095 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник