Как найти коэффициент обратной пропорциональности для функции

Что такое коэффициент обратной пропорциональности? Коэффициент обратной пропорциональности это как?

С обратной пропорциональностью неразрывно связано понятие коэффициент обратной пропорциональности.

Обратная пропорциональность есть функция вида y = k/x, см. Обратная пропорциональность определение.

В этой формуле k есть коэффициент обратной пропорциональности.

Рассмотрим примеры коэффициента обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности примеры

Пример коэффициента обратной пропорциональности

Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен 54. О чем это говорит?

Если мы будем умножать значения переменной y на значения переменной x, то всегда будем получать 54, а это и есть наш коэффициент обратной пропорциональности.

Область определения обратной пропорциональности – все числа, кроме нуля.

Возьмем для примера из области определения три любые значения икс, пусть это будут 2, 27 и 54.

Найдем соответствующие значения y и заполним таблицу для y = 54/x

Далее, если мы будем умножать значения переменной x на соответствующее значение переменной y, то всегда будем получать коэффициент пропорциональности 54

2 * 27 = 54
27 * 2 = 54
54 * 1 = 54

То, что все эти произведения равны одному и тому же числу 54, и говорит о том, что наша функция y = 54/x есть обратная пропорциональность.

Может коэффициент обратной пропорциональности быть целым?

Может

Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен 10.

Может коэффициент обратной пропорциональности быть отрицательным?

Может

Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен минус 10.

Может коэффициент пропорциональности быть дробным?

Может

Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен минус десять целых пять десятых.

Обратная пропорциональность — коротко о главном

Определение:

Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида ( displaystyle y=frac{k}{x-a}+b ), где ( kne 0), ( xne 0) и ( xne а)

По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.

Область определения и область значений функции:

( Dleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или, что то же самое, ( Dleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right})

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right}).

График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.

Коэффициент ( displaystyle k)

( displaystyle k) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента ( displaystyle k) влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если ( displaystyle k>0), то ветви гиперболы расположены в ( displaystyle I) и ( displaystyle III) четвертях;

если ( displaystyle k<0), то во ( displaystyle II) и ( displaystyle IV).

Коэффициент ( displaystyle a)

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что ( displaystyle a) – это такое число, которому не может равняться ( displaystyle x).

То есть ( x=a) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции

Коэффициент ( b) 

Число ( b) отвечает за смещение графика функции вверх на величину ( b), если ( b>0), и смещение вниз, если ( b<0).

Следовательно, ( y=b) – это горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика функции ( displaystyle y=frac{k}{x-a}+b)

1. Определяем коэффициенты ( displaystyle k), ( displaystyle a) и ( displaystyle b).
2. Строим график функции ( displaystyle y=frac{k}{x}) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
3. График должен быть сдвинут вправо на ( displaystyle a). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Oy) сдвигаем влево на ( displaystyle a).
4. График должен быть сдвинут вверх на ( displaystyle b). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Ox) сдвигаем вниз на ( displaystyle b).
5. Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 2) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Что такое функция

Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость?

Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную.

Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Ну и на всякий случай немного повторим…

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому значению»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость. Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида ( displaystyle y=frac{k}{x}), где ( kne 0).

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

Давай определим область определения. Чему может быть равен ( x)? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это ( 0), поэтому ( xne 0):

• Знак «( mathbb{R})» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел.
• Знаком «( backslash )» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»).
• Число ( 0) в фигурных скобках означает просто число ( 0).

Получается, что из всех возможных чисел мы исключаем ( 0)).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если ( kne 0), то на что бы мы его не делили, ( 0) не получится:

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right}).

Также возможны некоторые вариации формулы ( y=frac{k}{x}). Например, ( y=frac{k}{x+a}) – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.

Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

• ( Dleft( y right)=left( -infty ;-a right)cup left( -a;+infty right))
• ( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)).

Давай посмотрим на такую функцию: ( displaystyle y=frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}). 

Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении ( x) увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально?

Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

( displaystyle y=frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}=frac{x-5}{left( x-5 right)left( x+5 right)}=frac{1}{x+5},text{ }xne 5).

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: ( xne 5).

Почему так? А потому, что выражение ( left( x-5 right)) было в исходном выражении в знаменателе, поэтому если мы возьмём значение ( x=5) и подставим его в исходную функцию (а ведь именно её нам нужно исследовать), то что мы получим?

Ноль, делённый на ноль. Но ведь на ноль нельзя делить ничего, даже другой ноль. Поэтому ( x) никак не может быть равен ( 5).

Но почему тогда мы также не пишем ( xne -5)? Оно ведь тоже в знаменателе!

А всё потому, что оно как было в знаменателе, так там и осталось, следовательно мы и так видим, что такое значение икса невозможно.

А поэтому — зачем лишний раз писать? Да-да, математики — народ ленивый, без надобности напрягаться не станут:)

Решения

Пример 1

( displaystyle y=1-frac{3}{x+2})

Пример 2

Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: ( displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=0).

Я найду их устно с помощью теоремы Виета: ( displaystyle {{x}_{1}}=-5), ( displaystyle {{x}_{2}}=1). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, получаем: ( displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=left( x+5 right)left( x-1 right)), следовательно:

( displaystyle y=frac{x+5}{left( x+5 right)left( x-1 right)}=frac{1}{x-1},text{ }xne -5)

Пример 3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?

Наверняка в том, что в числителе у нас ( displaystyle 2x), а в знаменателе – просто ( displaystyle x).

Это не беда. Нам нужно будет сократить на ( displaystyle left( x+2 right)), поэтому в числителе следует вынести ( displaystyle 2) за скобки (чтобы в скобках ( displaystyle x) получился уже без коэффициента):

( displaystyle y=frac{2{x}-3}{x+1}=frac{2left( x-frac{3}{2} right)}{x+1}=2cdot frac{x-1,5}{x+1}=2cdot frac{x+1-1-1,5}{x+1}=…) дальше сам.

Ответ: ( displaystyle y=2-frac{5}{x+1}).

График обратной пропорциональности

Как всегда, начнем с самого простого случая: ( displaystyle y=frac{1}{x}).

Составим таблицу.

Таблица обратной пропорциональности (зависимости)

( displaystyle mathbf{x})	( displaystyle -3)	( displaystyle -2)	( displaystyle -1)	( displaystyle -0,5)	( displaystyle 0,5)	( displaystyle 1)	( displaystyle 2)	( displaystyle 3)	( displaystyle 4)
( displaystyle mathbf{y})	( displaystyle -frac{1}{3})	( displaystyle -frac{1}{2})	( displaystyle -1)	( displaystyle -2)	( displaystyle 2)	( displaystyle ;1)	( displaystyle frac{1}{2})	( displaystyle frac{1}{3})	( displaystyle frac{1}{4})

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как?

Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.

Это график гиперболы и выглядит он так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям ( displaystyle Ox) и ( displaystyle Oy), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как ( displaystyle xne 0), график не может пересекать ось ( displaystyle Oy). Но и ( displaystyle yne 0), так что график никогда не коснется и оси ( displaystyle Ox).

Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

( displaystyle y=frac{1}{x};text{ }y=frac{2}{x};text{ }y=frac{4}{x};text{ }y=-frac{1}{x};text{ }y=-frac{3}{x}):

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси ( displaystyle Ox).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, ( displaystyle y=frac{1}{x-1}+2)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная ( displaystyle y=frac{1}{x}), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен ( x)? Правильно, ( xne 1). Значит, график никогда не достигнет прямой ( x=1).

А чему не может быть равен ( y)? Теперь ( yne 2). Значит, теперь график будет стремиться к прямой ( y=2), но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые ( x=1) и ( y=2) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции ( displaystyle y=frac{1}{x}).

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Обратная пропорциональность в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

И правда, вспомним формулу скорости: ( displaystyle v=frac{S}{t}), где ( v) – скорость, ( t) – время в пути, ( S) – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: ( displaystyle t=frac{S}{v})

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью ( 40) км/ч, и доезжает за ( 1) час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью ( 60) км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

( displaystyle frac{40}{x}=frac{60}{60}text{ }Rightarrow text{ }x=40)(мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

( displaystyle tleft( v right)=frac{S}{v}).

Известно, что ( tleft( 40 right)=60), тогда:

( frac{S}{40}=60text{ }Rightarrow text{ }S=40cdot 60=2400).

Нужно найти ( tleft( 60 right)):

( displaystyle tleft( 60 right)=frac{2400}{60}=40) (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.

Придумал? Молодец, если да. Удачи!

Принципы построения графика обратной пропорциональности (гиперболы)

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – ( displaystyle y=frac{k}{x}).

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу ( displaystyle y=frac{3}{x}).

Составим таблицу из ( 4) точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

( x)	( frac{1}{2})	( displaystyle 1)	( displaystyle 3)	( displaystyle 6)
( y)	( displaystyle 6)	( displaystyle 3)	( displaystyle 1)	( frac{1}{2})

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы

Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь?

Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы.

Вот:

Еще один полезный факт.

Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны ( sqrt{k}) для правой ветви гиперболы, и ( -sqrt{k}) для левой.

Для функций, у которых ( k) – точный квадрат (например, ( 1), ( 4) или ( displaystyle frac{1}{4})), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить.

В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции ( displaystyle y=frac{4}{x})

Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви.

Точка симметрии: ( displaystyle x=y=2). Выберем еще одну точку, например, ( displaystyle x=1), ( displaystyle y=4). У третьей точки координаты будут наоборот: ( displaystyle x=4), ( displaystyle y=1).

Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если ( displaystyle k<0)?

Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным ( displaystyle k), то нужно просто отразить его относительно оси ( displaystyle Ox)

То есть правая ветвь теперь будет ниже оси ( displaystyle Ox) (в ( displaystyle IV) четверти), а левая – выше (в ( displaystyle III) четверти).

Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили в один алгоритм:

21
Май 2013

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Обратная пропорциональность

2013-05-21
2019-08-13

Обратная пропорциональность и её график

Рассмотрим функцию, которая задается формулой 

.

Такая функция называется обратной пропорциональностью, причем x ≠ 0 (т.к. на 0 делить нельзя). Число k также отлично от 0 (в противном случае функция перестанет являться обратной пропорциональностью). Её графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей. Ты сможешь увидеть ее ниже.

Перед разбором тренировочных экзаменационных заданий очень хочется вспомнить, что конкретно влияет на расположение и вид графика.

Напомню, что координатная плоскость делится на 4 координатных четверти. У каждой четверти есть свой порядковый номер (см. рисунок).

Так вот к чему я это?

Если k > 0, то ветви гиперболы располагаются в 1 и 3 четвертях.

Если k < 0, то ветви гиперболы располагаются во 2 и 4 четвертях.

Убедимся в этом) Построим два графика.

                 

Чем больше точек ты запишешь, тем точнее получится график.

В обоих случаях ветви гиперболы никогда не пересекут оси Ох и Оу, т.к. ни х, ни у нулю равняться не могут. Это значит, что оси являются для графика асимптотами — ветви гиперболы бесконечно стремятся к ним, но никогда их не пересекают.

Но не всегда оси будут асимптотами.

Например, в следующей функции асимптотами будут являться прямые х = 2 и у = 1.

Практикум по гиперболам.

Оказывается, что на сайте ФИПИ все задания чисто с гиперболами однотипные, поэтому разберу только два задания, похожих друг на друга (почему они оси не прорисовывают не пойму).

Задание 1. Установите соответствие между графиками и их функциями.

Из общей массы выделяется график Б, т.к. ветви этой гиперболы находятся очень близко к началу координат. А из формул выделяется формула 1, т.к. в ее знаменателе икс умножен на 3. Вывод: график Б и формула 1 созданы друг для друга!

Далее, ветви графика А расположены в 1 и 3 четвертях плоскости, значит коэффициент k положительный. К А подходит формула 2.

И остались график В и формула 3.

Всё)

Задание 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Аналогично предыдущему заданию.

Б-2

А-1

В-3

---

УПРАЖНЕНИЯ

1. Графиком каких из функций является гипербола?

Решение:

а) График функции у=k/x — гипербола, следовательно гипербола является графиком функции у=1/х.

Ответ: 3)

---

2. Из данных функций укажите те, график которых проходит через начало координат:

Решение:

а) Если график функции проходит через начало координат, то при х=0 у=0.

Следовательно графики функций 

проходят через начало координат.

Ответ: 1), 3), 4), 5).

---

3. а) График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (2; -2). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.

    б) График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (4; 1,75). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.

Решение:

а) Формула обратной пропорциональности y=k/x. Подставим вместо х и у координаты точки (2; -2) и найдем коэффициент k. 

-2=k:2; k=-4.

Ответ: -4.

---

4. Укажите функции, областью определения которых являются все действительные числа:

Решение:

а) Область определения функции ограничена, если в формуле, которой задана функция есть квадратные корни и знаменатели, которые могут принимать значение 0 при некоторых значениях х. Область определения — все действительные числа у функций:

Ответ: 1), 4).

---

5. Из указанных функций 

выберите обратную пропорциональность, график которой расположен:

а) в I  и III координатных четвертях;

б) во II  и IV координатных четвертях.

Решение:

а) в I  и III координатных четвертях находятся графики обратной пропорциональности с коэффициентом k>0.

Ответ: 3), 4).

---

6. Переменные х и у обратно пропорциональны. 

а) Известно, что при х=0,5 у=12. Найдите значение у при х=-2;

б) известно, что при х=1,5 у=-6. Найдите значение у при х=2.

Решение:

а) Составим формулу обратной пропорциональности, для этого в формулу y=k/x подставим значения х=0,5 и у=12, найдем коэффициент k.

12=k:0,5; k=12*0,5=6. Обратная пропорциональность задана формулой у=6/х. Подставим в эту формулу х=-2: у=6: (-2)=-3.

Ответ: -3.

---

7. Найдите область определения функции:

Решение:

а) Выражение под корнем (4х-1)(х+0,5) должно быть неотрицательным. Решим неравенство:

(4х-1)(х+0,5)≥0,

Найдем нули функции (4х-1)(х+0,5)=0:

4х-1=0 или х+0,5=0

х=0,25        х=-0,5

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ: (-∞; -0,5]U[0,25; +∞).

---

8. а) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения

    б) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения

Решение:

---

9. График какой из функций симметричен относительно начала координат? Постройте график выбранной функции:

Решение:

Построим график:

---

10.Постройте график функции:

Решение:

---