Как найти коэффициент одночлена 7 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Произведение чисел, переменных и их степеней называется одночленом.

Уже знакомые нам одночлены:

Выражения

6⋅a⋅y

;

0,25×3

;

abbc

;

8,43

;

16c⋅−12d

;

38x2y

тоже являются одночленами.

При записи одночленов между числами и переменными знак умножения не ставится

Одночленом также считается:

— одна переменная, например, (x), т. к.

x=1⋅x

;

— число, например, (3), так как

3=3⋅x0

(одно число также является одночленом).

Некоторые одночлены можно упростить.

Упростим одночлен

6xy2⋅(−2)x3y

, используя свойство умножения степеней:

6xy2⋅(−2)x3y

(=)

6⋅(−2)xx3y2y=−12x4y3

(числа перемножаются, а показатели у одинаковых букв складываются).

Стандартный вид одночлена

Если в одночлене первым записан числовой множитель, а произведение одинаковых степеней переменных записано в виде одной степени, то такой вид одночлена называют стандартным видом.

Запишем одночлен

10⋅12abbb

в стандартном виде:

10⋅12abbb=5⋅2⋅12ab3=5ab3

(Коэффициенты перемножаются между собой, переменные — между собой.)

Если одночлен записан в стандартном виде, то его числовой множитель, называется коэффициентом одночлена.

Одночлен

5ab3

имеет коэффициент (5), одночлен

−12x4y3

имеет коэффициент (-12).

Коэффициенты (1) и (-1) обычно не записываются.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных.

Чтобы определить степень одночлена, нужно сложить показатели степеней всех переменных (букв).

−12x4y3

является одночленом седьмой степени ((4 + 3 = 7));

(6a) — одночлен первой степени (переменная (a) в первой степени);

(7) — одночлен нулевой степени.

Одночлен	Стандартный вид	Коэффициент	Степень
2a2x	2a2x1	(2)	(2+1=3)
−3ab⋅a2b	−3a3b2	(-3)	(3+2=5)
ab⋅(−1)	−a1b1	(-1)	(1+1=2)
(x)	1×1	(1)	(1)
(2)	(2)	(2)	(0)

Подобные одночлены

Одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться, называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются:

(6xy) и (xy);

(5) и (-3);

Подобными одночленами не являются

x2y

xy2

Если у подобных одночленов равные коэффициенты, они называются равными (одинаковыми) одночленами.

В этом можно убедиться, записав одночлены в стандартном виде.

Из пяти одночленов

8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y

равными являются только три

8xy3;8y3x;2⋅4xyyy

В этом можно убедиться, если записать все одночлены в стандартном виде и расположить переменные в одинаковом порядке:

8xy3=8xy3;xy3=xy3;8y3x=8xy3;2⋅4xyyy=8xy3;8x3y=8x3y.

Если у подобных одночленов коэффициенты являются противоположными числами, одночлены называются противоположными.

Противоположными являются одночлены:

(3ac) и (-3ac);

(9ba) и (-9ba).

Источник

Коэффициент одночлена

Что такое коэффициент одночлена? Всегда ли пишут коэффициент?

Определение.

Коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде, называется его числовой множитель.

Другими словами, коэффициент одночлена — это число, стоящее перед буквенной частью в произведении после приведения одночлена к стандартному виду.

Например,

$[1)underline 4 a{b^2}c]$

коэффициент равен 4;

коэффициент 0,32;

$[3)underline { - frac{1}{2}} {z^4}]$

коэффициент -1/2;

$[4)underline { - 10frac{2}{3}} {c^3}d]$

коэффициент -10 2/3.

Если одночлен состоит только из числового множителя, то этот множитель и есть коэффициент. Например, в одночлене

коэффициент равен 12.

В алгебре коэффициенты 1 и -1 в одночленах обычно не пишут.

Если в произведении перед буквенной частью не записан числовой множитель, значит, коэффициент одночлена равен единице:

$[{a^2}b{c^3} = underline 1 cdot {a^2}b{c^3}]$

Если в произведении перед буквенной частью стоит знак минус и не записан числовой множитель, то коэффициент одночлена равен -1:

Если одночлен записан не в стандартном виде, прежде чем находить коэффициент, нужно привести его к одночлену стандартного вида.

Например,

$[10{c^2}( - 5)bc = underline { - 50} b{c^3}.]$

Источник

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Выражение 5a²b — это произведение трёх множителей:
5a²b = 5 · a² · b.
Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.

Запомните!

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.
Примеры одночленов: ac, 2xy², −7xy, 0,5a³b.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена.
Буквенные множители иногда называют переменными.

Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.

Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1.
Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент
1 не записывают перед одночленом.
1 · a · b = ab

Также не записывают явно коэффициент «−1».
Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом.
При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1».
Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен
«−1».

Примеры одночленов и их коэффициентов

Одночлен

Коэффициент
одночлена

−8a²

−8

xy²z

ab²

−tz²

−1

144x²

144

Приведение одночлена к стандартному виду

Запомните!

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в
различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные
множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов стандартного вида:
2at, 16y³, −17pxy, 3d⁴

Примеры одночленов нестандартного вида:
2acа, 4xy² · 3,
x⁴y · (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри
одночлена действуют все законы умножения, в том числе

переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Важно!

Перемножить все числовые коэффициенты и поставить результат их умножения слева самым первым множителем.
По свойствам степени перемножить буквы и поставить их в алфавитном порядке.

Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.

Перемножаем все числовые коэффициенты
3 · a · d · a · 8 =
3 · 8 · a · d · a
= 24 · a · d · a
Теперь, используя свойства степени,
перемножаем все буквенные множители.
24 · a · d · a =
24 · a · a · d = 24a²d

Что такое степень одночлена

Запомните!

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Например, степень одночлена 9a²b
равна 3, т.к. у
a² (вторая степень), у
b (первая степень): 2 + 1 = 3.

Примеры степеней одночленов

Одночлен

Степень одночлена

−2a²b²

xy²

−xyz

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени!
Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е.
123 = 123 · a⁰ = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно
представить как 1 через нулевую степень.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

То есть, это число, на которое умножаются буквенные множители. Он может быть как целым, так и дробным, положительным или отрицательным, даже нулем.

Например:

одночлен	его коэффициент
(3a)	(3)
(0,012x)	(0,012)
(-frac{2}{7}abс)	(-frac{2}{7})

Правила работы с коэффициентами:

Например: у (2b7a) коэффициент равен (14), потому что (2b7a=2·7·a·b=14ab).

Если коэффициент равен (1) – его не пишут.

Например: в одночлене (x) коэффициент (1), потому что ( x=1·x).

Если коэффициент равен ((-1)) – пишут только знак минус перед одночленом.

Например: в одночлене (-ab) коэффициент (-1), потому что (-ab =(-1)·ab).

В многочлене у каждого входящего в его состав одночлена есть свой коэффициент.

Например: в двучлене (x^2-3bm) одночлен (x^2) имеет коэффициент (1), а (bm) – минус три. Обратите внимание, именно «минус три», а не просто «три». Дело в том, что многочлен – это сумма (не разность!) одночленов, поэтому многочлен (x^2-3bm) на самом деле имеет вид (1·x^2+(-3)bm).

С коэффициентам мы чаще всего сталкиваемся при решении квадратных уравнений и определяются они по тем же принципам.

Например, в уравнении (x^2-x-5=0) имеем следующие коэффициенты: (a=1), (b=-1), (c=-5). То есть, уравнение как бы представляют в виде (1·x^2+(-1)·x+(-5)=0).

Источник

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Являются одночленами

Не являются одночленами

$ 5m^2 n $

$ left(frac{3}{4}right)^2 k $

$8^3$

$ -34m^7 pm^4 z$

abcde

$a^2 b+1$

$ 4(k+n)^2 $

$ 500-m^4+2m^2 $

$ 10p^2+k $

Стандартный вид одночлена – представление одночлена в виде произведения, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент одночлена), а все остальные множители являются степенями различных переменных.

Степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, в него входящих.

Например:

$x^2cdot23xy$ — одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду

Определить коэффициент одночлена: перемножить все числовые множители и записать результат первым множителем.
Используя свойства степеней, найти общую степень для каждой из переменных одночлена.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $

Источник