Прямая и обратная пропорциональность
- Прямая пропорциональность
- Формула прямой пропорциональности
- Обратная пропорциональность
- Формула обратной пропорциональности
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
следовательно,
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
следовательно,
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
следовательно,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.
Математика
6 класс
Урок № 6
Прямая и обратная пропорциональность
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
- Краткая запись условия задачи.
- Составление и решение пропорций по условию задачи.
Тезаурус
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Прямая пропорциональность
Пусть ручка стоит пять рублей, составим таблицу для нахождения стоимости от одной до семи ручек.
Из таблицы видно, что пять ручек стоят в пять раз больше, чем одна ручка. Говорят, что стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.
Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Задача.
Цена двух ручек 10 руб. Сколько нужно заплатить за пятнадцать таких же ручек?
Решение.
Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству ручек.
Запишем кратко условие задачи:
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции:
Ответ: 15 ручек стоят 75 рублей.
Обратная пропорциональность
На 600 рублей хотят купить несколько одинаковых коробок конфет. Зависимость количества купленных коробок конфет от цены одной коробки задана в таблице:
С увеличением цены за одну коробку в несколько раз количество коробок конфет, которые можно купить, уменьшается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Задача.
Грузовая машина, двигаясь со скоростью 60 километров в час, доезжает от одного города до другого за 3 часа. За сколько часов это же расстояние преодолеет легковой автомобиль, если его скорость 90 километров в час?
Решение.
При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.
Запишем кратко условие задачи:
Ответ: легковой автомобиль преодолеет расстояние между городами за 2 часа.
Свойство прямо пропорциональных величин.
Отношение прямо пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.
Величину этого отношения называют коэффициентом прямой пропорциональности.
5 – коэффициент прямой пропорциональности.
Свойство обратно пропорциональных величин: произведение обратно пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.
100 руб. · 6 коробок = 200 руб. · 3 коробки = 600 руб. · 1 коробку = 600
60 км/ч · 3 ч = 90 · 2 ч = 180
Задача.
Между двумя городами расстояние равно 32 км. На карте отрезок между ними равен 2 см. Найдите масштаб карты.
Решение.
Расстояние на местности и отрезок на карте – прямо пропорциональная зависимость.
Обозначим х см на местности отрезок в 1 см на карте.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Единичный выбор.
Для решения задачи нужно понять какая происходит зависимость между величинами. Зависимость между массой и объёмом прямо пропорциональная. Составим пропорцию и найдём её неизвестный член.
Ответ: 60 г.
№ 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.
Решение.
Зависимость между расходом угля и периодом, на который этого угля хватит, – обратно пропорциональная. То есть чем больше мы сжигаем угля в день, тем на меньшее количество дней нам этого угля хватит.
Обратная пропорциональность:
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Коэффициент пропорциональности (линейный коэффициент пропорциональности) равен отношению двух соответствующих сторон подобных фигур. Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Коэффициент пропорциональности используется для решения основных геометрических задач. Коэффициент пропорциональности можно использовать для вычисления длин неизвестных сторон. С другой стороны, по соответствующим сторонам можно вычислить коэффициент пропорциональности. Такие вычисления связаны с операцией умножения или с упрощением дробей.
-
1
Убедитесь, что фигуры подобны. У таких фигур все углы равны, а стороны соотносятся в некой пропорции. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но одна фигура больше другой.[1]
- В задаче должно быть сказано, что фигуры подобны, или что у них равные углы, или что стороны пропорциональны, или что одна фигура пропорциональна другой.
-
2
Найдите соответствующие стороны обеих фигур. Возможно, понадобится повернуть или зеркально отразить одну из фигур, чтобы выровнять обе фигуры и определить соответствующие стороны. Как правило, в задачах даются длины соответствующих сторон; в противном случае измерьте их.[2]
Если не знать значений хотя бы пары соответствующих сторон, нельзя найти коэффициент пропорциональности.- Например, дан треугольник, основание которого равно 15 см, и подобный треугольник с основанием, равным 10 см.
-
3
Запишите отношение. У каждой пары подобных фигур есть два коэффициента пропорциональности: один используется при увеличении размера, а другой – при уменьшении. Если размер меньшей фигуры увеличивается до размера большей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона большей фигуры)/(сторона меньшей фигуры). Если размер большей фигуры уменьшается до размера меньшей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).[3]
- Например, если треугольник с основанием 15 см уменьшается до треугольника с основанием 10 см, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
Подставив соответствующие значения, вы получите: коэффициент пропорциональности =.
- Например, если треугольник с основанием 15 см уменьшается до треугольника с основанием 10 см, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
-
4
Упростите отношение. Упрощенное отношение (дробь) является коэффициентом пропорциональности. При уменьшении размера коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь.[4]
При увеличении размера коэффициент пропорциональности представляет собой целое число или неправильную дробь, которую можно преобразовать в десятичную дробь.Реклама
-
1
Найдите значения сторон фигуры. Значения сторон одной из подобных фигур будут даны; в противном случае измерьте их. Если стороны одной из подобных фигур неизвестны, нельзя вычислить стороны второй фигуры.
- Например, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 см и 3 см, а гипотенуза равна 5 см.
-
2
Выясните, будет ли подобная фигура больше или меньше данной. Если больше, стороны будут больше, а коэффициент пропорциональности представляет собой целое число, неправильную или десятичную дробь. Если подобная фигура меньше данной, стороны будут меньше, а коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь.
- Например, если коэффициент пропорциональности равен 2, подобная фигура больше данной.
-
3
Умножьте значение одной стороны на коэффициент пропорциональности. Коэффициент пропорциональности должен быть дан. Если умножить сторону на коэффициент пропорциональности, можно найти значение соответствующей стороны подобной фигуры.[5]
- Например, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, гипотенуза подобного треугольника вычисляется так: . Таким образом, гипотенуза подобного треугольника равна 10 см.
- Например, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, гипотенуза подобного треугольника вычисляется так:
-
4
Найдите значения остальных сторон подобной фигуры. Для этого умножьте известные значения сторон на коэффициент пропорциональности. Вы получите значения соответствующих сторон подобной фигуры.
Реклама
-
1
Задача 1. Найдите коэффициент пропорциональности следующих подобных фигур: прямоугольник с шириной 6 см и прямоугольник с шириной 54 см.
-
2
Задача 2. Сторона неправильного многоугольника равна 14 см. Сторона подобного многоугольника равна 8 см. Найдите коэффициент пропорциональности.
-
3
Задача 3. Стороны прямоугольника ABCD равны 8 см и 3 см. Прямоугольник EFGH является большим и подобным прямоугольником. Найдите площадь прямоугольника EFGH, если коэффициент пропорциональности равен 2,5.
Реклама
-
1
Молярную массу соединения разделите на молярную массу по эмпирической формуле. Если эмпирическая формула химического соединения известна и нужно найти молекулярную формулу того же химического соединения, коэффициент пропорциональности равен отношению молярной массы соединения к молярной массе по эмпирической формуле.
- Например, найдите молярную массу соединения H2O, молекулярная масса которого равна 54,05 г/моль.
- Молярная масса Н2О равна 18,0152 г/моль.
- Молярную массу соединения разделите на молярную массу по эмпирической формуле:
- Коэффициент пропорциональности равен 54,05/18,0152 = 3
- Например, найдите молярную массу соединения H2O, молекулярная масса которого равна 54,05 г/моль.
-
2
Эмпирическую формулу умножьте на коэффициент пропорциональности. В эмпирической формуле индексы элементов умножьте на вычисленный коэффициент пропорциональности. Вы найдете молекулярную формулу химического соединения, данного в задаче.
- Например, чтобы найти молекулярную формулу данного соединения, умножьте индексы соединения Н20 на коэффициент пропорциональности, равный 3.
- H2O * 3 = H6O3
- Например, чтобы найти молекулярную формулу данного соединения, умножьте индексы соединения Н20 на коэффициент пропорциональности, равный 3.
-
3
Напишите ответ. Найдены эмпирическая и молекулярная формулы химического соединения, которое дано в задаче.
- Например, коэффициент пропорциональности равен 3. Молекулярная формула соединения: H6O3.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 63 614 раз.
Была ли эта статья полезной?
Прямая и обратная пропорциональность
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 546.
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 546.
Прямая и обратная пропорциональность – это одна из основ математики и геометрии 6 класса. Причем, это та основа, знания которой пригодятся не только при решении задач, но и в реальной жизни: пропорциональны друг другу бывают физические величины, заработные платы и конфеты, купленные в магазине.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Что такое пропорция?
Пропорция – это взаимосвязь двух величин. То есть, если меняется одна величина, меняется и другая. Если одна величина пропорциональна другой, а друга пропорциональна третьей, то все эти величины связаны между собой. Разделяют прямую и обратную пропорцию. Дадим им определения и приведем наглядные примеры.
Прямая пропорция
Прямая пропорция – это взаимоотношение величин, при котором, увеличивая одну величину, мы автоматически увеличим другую. Самый простой пример это булочки в магазине и цена на них. Булочка в любом случае стоит 30 руб. Покупая одну штуку мы платим 30 руб.
Если увеличим размер покупки, то соразмерно возрастет и цена. Она не может не возрасти, ведь булочник не будет отдавать свой товар просто так. За 2 булочки мы заплатим 60 рублей, за 3 – 90 и так далее.
Если устанавливать зависимость между количеством булочек и ценой на них, то получится следующее отношение:
Цена булочек/количество=30/1=60/2 и так далее. Заметим, что всегда это отношение равно одному и тому же числу. В данном примере это число 30. Оно будет постоянным для любого варианта данной пропорции. Конкретно в данном примере это число является одновременно и ценой одной булочки.
Иными словами, для приведенного примера пропорциональность можно объяснить так: сколько бы булочек мы ни купили, все равно цена одной будет 30 рублей. Вот и все. В рамках математики говорят, что если коэффициент пропорциональности не меняется, то числа пропорциональны.
Для того, чтобы понять, изменяется коэффициент или нет, нужно просто поделить друг на друга числа этой пропорции и сравнить результат. То есть, взять сначала отношение цены одной булочки к ее количеству, а затем цены 30 булочек к их количеству. Коэффициент сохранит свое значение, значит эти числа прямопропорциональны.
Обратная пропорция
Существует также понятие обратной пропорции. Часто бывает так, что одна величина зависит от другой, но не прямопропорционально. Сравним две взаимосвязанные между собой величины. Например, мотоциклист залил в бак бензин. Чем меньше бензина остается в баке мотоциклиста, тем больше проехал водитель. Здесь на лицо обратная зависимость количества бензина и пройденного расстояния.
Как просто запомнить?
Есть 4 простые схемы запоминания темы, по две для каждого вида пропорциональности.
Для прямой пропорции всегда работает схема: «больше-больше» или «меньше-меньше». То есть при увеличении одной величины, увеличится и другая, или при уменьшении одной величины уменьшится другая.
Соответственно, для обратной пропорциональности наоборот: «больше-меньше» или «меньше-больше». То есть, чем больше одна величина, тем меньше другая и наоборот.
Что мы узнали?
Мы привели объяснение прямой и обратной пропорциональности. Вывели простые схемы для запоминания темы и обговорили понятные примеры.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Лариса Раднаева
5/5
-
Валентина Макарова
5/5
Оценка статьи
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 546.
А какая ваша оценка?
Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.
Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.
Прямая пропорциональность
Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.
Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.
Функция прямой пропорциональности и ее график
Эта зависимость описывается следующей формулой:
y = k * x.
Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.
Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.
Пример построения
Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).
Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).
Свойства функции прямой пропорциональности
Основные свойства следующие:
-
область определения, значений составляют все действительные числа;
-
является нечетной;
-
возрастает при всех значениях x, если k > 0;
-
если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;
-
если k > 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 — 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.
Обратная пропорциональность
Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.
Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).
Функция обратной пропорциональности и ее график
Функция задается формулой:
где k – любое действительное число, кроме 0.
График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).
Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.
Пример построения
Нужно построить график функции y = 8/x.
Вот так выглядит таблица для данной функции:
Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:
Свойства функции обратной пропорциональности
Основные следующие:
-
области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;
-
если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;
-
оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.
К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.
Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.