Как найти коэффициент уравнения линейной функции

Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:

Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k 0). (k=+frac=frac<4><4>=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Коэффициенты k и b

Содержание

Положение прямой на графике зависит от величины коэффициентов $k$ и $b$

Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$

При $k > 0$ угол между графиком и осью $Ox$ меньше $90 degree$ (острый)

При $k

Коэффициент b

Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат.

Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график сдвинут вдоль оси $Oy$. Если $b > 0$, то график будет сдвинут вверх, и если $b

Так на нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).

График функции $y=50x + 500$

Частные случаи. b = 0

В случае, когда коэффициент $b = 0$, а функция прямо пропорциональна, ее график будет проходить через начало координат $O(0;0)$. Ведь при подставлении в формулу $x = 0$ получим и $y = 0$.

Для построения графика такой функции достаточно найти одну точку, вторая – начало координат $О(0;0)$.

Важно: график в виде вертикальной прямой, параллельной оси $Oy$, не является графиком функции. В таком случае одному значению аргумента соответствует множество значений $y$. Это не наш случай, потому что он не соответствует самому определению функции.

При этом прямой, параллельной оси $Ox$, график функции может быть. Это возможно, когда коэффициент $k = 0$. Угол наклона также будет равен $0$. Формула принимает вид $y = b$.

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

источники:

http://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/linejnaya-funktsiya-i-eyo-grafik/linejnaya-funktsiya/koeffitsienty-k-i-b/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции, т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

1. Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
   Примеры:

   

   Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

   Примеры:

   

2. Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

   Примеры:

   

3. Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

   Примеры:

   

Пример (ЕГЭ)

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k<0).

Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

(k=-frac{AC}{BC}=-frac{1}{3}). Получается (g(x)=-frac{1}{3}x+3).

Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

Способ 2

Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу (f(x)=kx+b) и решить получившуюся систему уравнений.

Пример (ЕГЭ)

Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

(A(-2;2)) и (B(2;-5)) подставим эти значения вместо (x) и (f(x)) в формулу (f(x)=kx+b):

Получим:

(begin{cases}2=-2k+b\-5=2k+bend{cases})

Теперь найдем (k) и (b), решив эту систему.

Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло (k):

(2+(-5)=-2k+b+2k+b)
(-3=2b)
(b=-1,5)

Теперь подставим найденное (b) во второе уравнение системы и найдем (k):

(-5=2k-1,5)
(-5+1,5=2k)
(-3,5=2k)
(k=-1,75)

Получается (f(x)=-1,75x-1,5). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть (f(x)), равна (16):

(16=-1,75x-1,5)
(17,5=-1,75x)
(x=-10).

Ответ: (-10).

Пример (ЕГЭ)

Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

Функция (f(x)) возрастает, значит (k>0). (k=+frac{AC}{BC}=frac{4}{4}=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

(begin{cases}4=-2k+b\1=-4k+bend{cases})

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(4-1=-2k+b-(-4k+b))
(3=2k)
(k=1,5)

Найдем (b):

(4=-2cdot 1,5+b)
(4=-3+b)
(b=7)

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

(x+1=1,5x+7)
(x-1,5x=7-1)
(-0,5x=6)
(x=6:(-0,5))
(x=-12).

Ответ: (-12).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Смотрите также:
Как определить a, b и c по графику параболы

Скачать статью

На прошлых уроках мы рассмотрели линейную функцию и научились строить ее график на координатной плоскости. На этом уроке мы углубимся в теорию и разберем, почему график выглядит именно так.

Вспомним, что линейная функция имеет вид $y = kx+b$, где $x$ – переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами.

Например,

• $y = textcolor{blue}{5}x + color{green}{10}$ – линейная функция
• $color{blue} k = 5$
• $color{green} b = 10$.

График линейной функции – прямая линия, а ее положение на плоскости зависит от того, какие у функции $k$ и $b$.

Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$

Коэффициент b

Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат. 

Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график выше или ниже оси $Oy$.

• Если $b > 0$, график сдвинут вверх,
• если $b < 0$, то график сдвинут вниз.

На нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).

Частные случаи. b = 0

Если коэффициент $b = 0$, функция приобретает вид $y = kx + 0$, что можно сократить до $y = kx$.

Подставим в формулу $x = 0$, получим: $$y = k times 0$$

Значит, график будет проходить через начало координат $O(0;0)$.

Для построения графика функции вида $y = kx$ достаточно найти одну точку, вторая – начало координат.

k = 0

Если коэффициент $k = 0$, угол наклона также будет равен $0$.

Функция при этом принимает вид $y = 0 times x + b$, то есть $y = b$.

Куда делась переменная $x$? Она нам больше не нужна, так как какой бы $x$ мы не подставили, значение $y$ не изменится.

Таблица

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2
• y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 5x + 3	k = 5	b = 3
y = −x + 1	k = −1	b = 1
y = 2 3 x − 2	k = 2 3	b = −2
y = 0,5x	k = 0,5	b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

x	Расчет «y = −2x + 1»
0	y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1	y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx» (абсцисса)	Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A	0	1
(·)B	1	−1

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.

---

Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
2. значение «x», если значение «y» равно
   1; 4; 0; −1.

---

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».

---

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.

---

Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x»	Полученное с графика значение «y»
−1	1
2	7
3	9
5	13

---

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y»	Полученное с графика значение «x»
−1	−2
0	−1,5
1	−1
4	0,5

---

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).

---

Подставим в функцию
«y = 2x −
»

координаты точки (0;
− ).

− = 2 · 0
−

   − =
−

(верно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).

---

Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1 −

        −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

---

Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.

Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

На этой странице вы узнаете:

• За что отвечают коэффициенты в записи линейной функции?
• Как пронумерованы четверти на координатной плоскости?
• Чем отличается график функции квадратного корня от графика квадратичной функции и почему?

Линейная функция

Любую функцию можно изобразить на графике (рисунке) и наглядно определить многие её свойства. Этим пользуются люди, составляя графики движения транспорта, посещения соцсетей или просмотра видеороликов на канале.  

Вспомним, что функция – это зависимость одной переменной от другой, а график функции – это представление данной зависимости на координатной плоскости. 

С помощью графика функции можно изучать поведение функции: возрастает или убывает, имеет ли нули, на каких промежутках значения положительные, а на каких отрицательные, наибольшее и наименьшее значение, является ли симметричной относительно OY.

Теперь давайте рассмотрим основные элементарные функции.

Что же такое линейная функция? 

Линейная функция – это функция вида y=kx+b, где k и b – известные числа, графиком которой является прямая.

y = kx + b, где
k – коэффициент
b – свободный член
x – переменная 

С линейной функцией мы встречаемся, когда оплачиваем проезд  в общественном транспорте.

Коэффициент и переменная определяют стоимость билета в зависимости от дальности поездки. Свободным членом может выступать доплата за комфортное место или за поезд-экспресс.

Пункт назначения	Станция 200 км	Станция 300 км	Станция 400 км
Цена поездки в обычном вагоне (kx)	500 руб.	750 руб.	1000 руб.
Цена за вагон “Люкс” (kx + b)	750 руб.	1000 руб.	1250 руб.

Рассмотрим пример такой функции и ее график:
y = 2x + 3

Составим таблицу значений.

Теперь отметим найденные точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Полученный нами график является графиком данной линейной функции.

Также можно составить уравнение линейной функции самостоятельно при наличии графика.

На графике найдем сначала коэффициент b , после определим координаты двух произвольных точек прямой и вычислим коэффициент k.

Подставим найденные коэффициенты в формулу линейной функции и получим
(y = frac{1}{2}x + 2)

Свойства линейной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значения не существует.
4. Непериодическая.
5. Возрастает при  k > 0, убывает при k < 0.

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция вида y = ax², где a – известное число и a ≠ 0, графиком которой является парабола.

y = ax², где 
a – известное число 
a ≠ 0
x – переменная

Для примера построим график функции y = 2x²

Параболой можно описать полет мяча в баскетбольную корзину.

Какой вид имеет парабола в зависимости от коэффициента a ?

При a > 0 – ветви параболы вверх

При a < 0 – ветви параболы вниз

Сдвиг параболы по оси Y

y = ax² + c

При c > 0 – сдвиг параболы вверх 

При c < 0 – сдвиг параболы вниз 

Сдвиг параболы по оси X

y = a(x — n)²

При n > 0 – сдвиг параболы вправо 

При n < 0 – сдвиг параболы влево 

Свойства квадратичной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. При a > 0 – наименьшее значение y = 0.
   При a < 0 – наибольшее значение y=0.
4. Непериодическая.
5. На (-∞; 0] – убывает при  a > 0 и возрастает при a < 0.
   На [0; +∞) — убывает при a < 0 и возрастает при a > 0.
6. Нуль функции x=0.
7. Четная (симметричная относительно OY).

Функция обратной пропорциональности

Функция обратной пропорциональности – это функция вида y = (frac{k}{x}), где k – известное число и k ≠ 0, графиком которой является гипербола.

(y = frac{k}{x}), где 
k – известное число 
k ≠ 0
x – переменная

Рассмотрим пример такой функции (y = frac{2}{x})

Как коэффициент k влияет на расположение гиперболы?

Гипербола при k > 0 – в первой и третьей плоскостях

Гипербола при k< 0 – во второй и четвертой плоскостях

Гипербола может также двигаться по оси X или по оси Y

Движение графика по оси Y

(y = frac{k}{x} + n) при k> 0

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно сделать вывод, что n = 3.

Движение графика по оси X

(y = frac{k}{x + c}) при k> 0

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

По графику выше можно сделать вывод, что c = 3.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1. Область определения: D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значений не существует.
4. Непериодическая.
5. При k > 0 убывает на (-∞;0) и (0; +∞).
   При k < 0 возрастает на (-∞; 0) и (0; +∞).
6. Нулей нет.
7. Нечетная.

Где же в реальной жизни мы можем встретить эту функцию? 

Самый простой пример – движение автомобиля: чем выше его скорость, тем меньше времени потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня – это функция вида (y = sqrt{x}), где x ≥ 0 .

(y = sqrt{x}), где
x – переменная
x ≥ 0

В жизни такая функция часто используется для определения стороны квадрата при известной площади. Например: при проектировании дома или разбиения участка земли на квадраты.

Рассмотрим график такой функции.

Какие бывают сдвиги функции квадратного корня?

Сдвиг по оси Y

(y = sqrt{x} + n)

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно утверждать, что n = -2.

Сдвиг по оси X

(y = sqrt{x + c})

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

Сделаем вывод, что для рисунка выше c = -2.

Свойства функции квадратного корня:

1. Область определения: D(y) = [0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. Наименьшее значение при y = 0.
4. Непериодическая.
5. Возрастает на всей области определения.
6. Нуль функции x = 0.

Фактчек

• Линейная функции y = kx + b.
• Квадратичная функции y = ax².
• Функция обратной пропорциональности (y = frac{k}{x}).
• Функция квадратного корня (y = sqrt{x}).

Термины

Элементарная функция – это функция вида y = f(x) , где f(x) – это формула, содержащая конечное число арифметических операций. 

Парабола – это незамкнутая линия, точки на которой равноудалены от оси ординат.

Проверь себя

Задание 1.
Определите какая из функций является линейной

1. (y = 2x^2 + frac{1}{2})
2. (y = sqrt{x + 2})
3. (y = frac{1}{2}x + 3)
4. (y = frac{1}{x — 2})

Задание 2.
Определите какая из функций является квадратичной

1. y = 4(x — 1)²
2. y = 2x + 11
3. (y = frac{x}{2} + 1)
4. (y = sqrt{x} + 3)

Задание 3.
Определите какая функция является обратной пропорциональностью

1. (y = frac{x}{2} + 5)
2. (y = frac{1}{x + 2})
3. (y = sqrt{x + 1})
4. y = x²

Задание 4.
Определите какая функция является функцией квадратного корня

1. y = x²
2. (y = sqrt{x — 1} — 4)
3. (y = 6x + frac{1}{3})
4. y = 2x² + 3

Задание 5.
В какую сторону будет сдвиг у параболы y = (x + 4)²?

1. Вправо
2. Вниз
3. Вверх
4. Влево

Ответы: 1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 2; 5. – 4