Как найти коэффициент уравнения по теореме виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение	Коэффициенты	Вывод
x2 − 7x + 1 = 0	a = 1 p = −7 q = 1	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3x2 − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3x2 + x − 1 = 0	a = 3 p = 1 q = −1	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x2 = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 −x2 − 2x + 3 = 0	a = −1 p = −2 q = 3	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

---

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

	x1 + x2 = −4
x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

---

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

---

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

	x1 + x2 = −(−8)
x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

---

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и
«x₂» квадратного уравнения
«x² + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x₂ = 3x₁».
Найти «p», «x₁»,
«x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

По условию дано, что
«x₂ = 3x₁».
Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

	x1 + 3x1 = −p
x1 · 3x1 = 3

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1»
методом подбора и найдем «x₁».

   x₁² = 1

• (Первый корень) x₁ = 1
• (Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1

Найдем
«x₂»

x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x₁ = −1

Найдем «x₂»

x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
                 −x₂ = 3         | ·(−1)
x₂ = −3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4)     и    
(x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

---

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.

Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

Метод подбора помогает найти корни: −1 и

Теорема Виета и её применение

Разделы: Математика

Цель:

• Обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0; продолжить развивать навыки устного решения таких уравнений.
• Способствовать выработке у школьников желания и потребности обощения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.
• Обеспечить закрепление теоремы на интересных примерах.

Оборудование:

• Кодоскоп
• Карточки тесты
• Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся
• Сигнальные карточки.

Ход урока

I Повторение пройденного материала

1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет – красная. Согласен с ответом – зеленая, не согласен – красная.

А) 5х 2 – 7х + 2 = 0	[т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = ]
Б) х 2 – 12х + 35 = 0	[по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5]
В) 313х 2 + 326х + 13 = 0	[а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = –]
Г) 4х 2 + 12х + 5 = 0	[метод переброски х1 = –, х2 = –]
Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:
х1 = 5, х2 = –6	[ х 2 + х –30 = 0]
х1 = 2, х2 =	[ х 2 – (2 – ) х + 2 = 0]

Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.

Теорема Виета.

Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену деленному на коэффициент при х 2 .

х₁ + х₂ = –

х₁х₂ = .

Т.к. квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет корни х₁ и х₂, то справедливо тождество ах 2 + вх + с = а(х – х₁)(х – х₂).

Раскроем скобки в правой части этого тождества:

х 2 + х – х₂х + х₁х₂,

отсюда следует, что х₁ + х₂ = – и х₁* х₂ = . Что и требовалось доказать.

Обратная теорема Виета.

Если выполняются равенства х₁ + х₂ = – и х₁х₂ = , то числа х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах 2 + вх + с = 0.

Свойства коэффициентов 1.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а0. Если а + в + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = .

ах 2 + вх + с = 0, а0

Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение х 2 + .

Согласно теореме Виета		х1 + х2 = –
х1

По условию а + в + с = 0, откуда в = – а – с. Значит		х1 + х2 = – = 1 +
х1* х2 = 1 *

Получим х₁ = 1, х₂ = .

Свойство коэффициентов 2.

Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 а – в + с = 0, то х₁ = – 1, х₂ = – .

В итоге на доске открывается таблица:

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Уравнение	Условие	Заключение	Пример
ах 2 + вх + с = 0	х1 и х2	х1 + х2 = – , х1 * х2 =	х1 = 7 + ; х2 = 2 –

х₁ + х₂ = 9; х₁х₂ = 11 – 5

ах 2 + вх + с = 0
х₁ + х₂ = – , х₁ * х₂ =
х₁ и х₂ корни
х 2 + 5х + 6 = 0

х₁ = – 2, х₂ = – 3

ах 2 + вх + с = 0
а + в + с = 0
х₁ = 1, х₁ =
1998х 2 – 907х – 1091 = 0

х₁ = 1, х₂ =

ах 2 + вх + с = 0
а – в + с = 0
х₁ = – 1, х₁ = –
127х 2 + 250х + 123 = 0

х₁ = – 1, х₁ = –

ах 2 + вх + с = 0
а 2 х 2 + авх + ас = 0

у₁, у₂
х₁ =

х₂ =
4х 2 + 12х + 5 = 0

у 2 + 12у + 20 = 0

х₁ = – , х₂ = – ;

у₁ = – 2, у₂ = – 10.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.

II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.

1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х 2 – 3e х? + 1 = 0.

	х 2 + 3х + 1 = 0;	х1 + х2 = – 3;	х1 * х2 = 1;
х 2 – 3х + 1 = 0;	х3 + х4 = 3;	х1 * х2 = 1;

х + х + х + х = (х₁ + х₂) 2 – 2х₁х₂ + (х₃х₄) 2 – 2х₃х₄ = 9 – 2 + 9 – 2 = 14.

2. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х 2 – 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета, для этого необходимо найти их сумму и произведение:

+ = = = = 150,5

– = = = 2.

Искомое уравнение имеет вид

х 2 + 150,5 + 2 = 0 или 2х 2 – 301х + 4 = 0.

3. Корни уравнения х 2 – вх – в = 0 таковы, что х + х + хх = 7,5.

х + х = (х)(( х) – 3х) + х = b(b + 3b) – b 3 = b 3 + 3b 2 – b 3 = 3b 2 = 75.

4. Пусть х₁и х₂ корни уравнения 3х 2 + 14х – 4 = 0.

Установите, больше или меньше единицы значение дроби

.

х₁ + х₂ = – ;

х₁ * х₂ = – ;

5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?

х₁ + х₂ = = > 1 + х₁ + х₂ =

х₁ * х₂ = = > 2х₂ + 1 = = > х₂ = .

х₁ = 1 +

х₁ =

= ;

(а + 3)(а – 1) = 8а + 24

а 2 + 3а – а – 3 – 8а – 24 = 0

III. Тест – самостоятельная по карточкам.

Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).

х 2 + (

А) 2; ;

Б) —;

В); ;

Г) нет правильных ответов.

Не решая квадратного уравнения 3х 2 -х-11 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

А) х 2 —

Б) х 2 —

В) х 2 +

Г) х 2 +

Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).

1) Решите уравнение:

х 2 -(

А) 5; ;

Б) —;

В) -; ;

Г) ; .

Не решая квадратного уравнения 2х 2 -5х-4 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

А) х 2 —

Б) х 2 —

В) х 2 +

Г) х 2 +

Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.

IV. Домашнее задание

Поменяться карточками с творческими заданиями.

Теорема Виета

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с . Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 , а его корнями являются числа x₁ и x₂ , то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 .

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x 2 + 4x + 3 = 0 . Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4 , взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4 . Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3 . Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4 , и равно ли произведение 3 . Для этого найдём корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 . А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3 . По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 является 4 . Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x₁ + x₂ к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , то есть числу 3 . Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 8x + 15 = 0 . По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8 . Если взять его с противоположным знаком, то получим 8 . Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x 2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15 . Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8 , и равно ли произведение 15 . Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3 . Их сумма равна 8 . То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 , взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15 . То есть равно свободному члену уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 .

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 . Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4 . Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x₁ × x₂ = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x₁ и x₂ положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x₁ + x₂ = 5 , поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x₁ и x₂ должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 5 , так и равенству x₁ × x₂ = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x₁ + x₂ = 5 так и равенству x₁ × x₂ = 6 . Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 . Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x₁ и x₂ . Для этого подставим в выражение x₁ + x₂ вместо x₁ и x₂ соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2 , тогда получим −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x₁ × x₂ равно свободному члену c .

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b) 2 станет равно b 2 , а выражение станет равно просто D

Но D равно b 2 − 4ac . Подстáвим это выражение вместо D , не забывая что a = 1 . То есть вместо b 2 − 4ac надо подставить b 2 − 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком ( x₁ + x₂ = −b ), а произведение корней равно свободному члену ( x₁ × x₂ = c ). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x₁ и x₂ равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x₁ и x₂ равна −b , а произведение x₁ и x₂ равно c . В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x 2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2 . По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 , взятому с противоположным знаком (числу 5 ), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6 ). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 .

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1 . Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6 , поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6 . А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 6 , так и равенству x₁ × x₂ = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x₁ × x₂ = 8 нужно найти такие x₁ и x₂ , произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x₁ × x₂ = 8 , но и равенству x₁ + x₂ = 6 .

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x₁ × x₂ = 8 , но не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6 .

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x₁ × x₂ = 8 , так и равенству x₁ + x₂ = 6 , поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2 .

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x₁ и x₂ обозначим как m и n . Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b , а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 , нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x , затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b . Выразим его из равенства m + n = −b . Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x 2 + bx + c = 0 вместо x , а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 . Подставим вместо x букву n , а вместо c подставим mn , поскольку c = mn .

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x 2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x₁ и x₂ и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x₁ и x₂ и приравняем его к свободному члену :

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2 . Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x₁ совпадает с x₂ . Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x₁ и x₂ совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x 2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x₁ и x₂ . Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2 . Число 2 можно получить перемножив 1 и 2 . Но сумма корней x₁ + x₂ равна отрицательному числу −3 . Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x₁ × x₂ = 2 .

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x₁ × x₂ = 2 , но не будет выполняться равенство x₁ + x₂ = −3 .

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2 .

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Пример 3. Решить уравнение x 2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5) . В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16 , а их произведение равно 15 . Значит корнями уравнения x 2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Пример 4. Решить уравнение x 2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3 . Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13 , поскольку при перемножении этих чисел получается −39 , а при сложении 10

Значит корнями уравнения x 2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Пример 5. Первый корень уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 15 . Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b .

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15 .

Тогда второй корень будет равен 3 , потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x₂ = 45 переменную x₂

Теперь определим значение коэффициента b . Для этого напишем сумму корней уравнения:

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15 , а свободный член уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x₂ и b . Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x₂ равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b , а не −b . Следует помнить, что −b это −1b . Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1 . Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x 2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x . Получим −18x

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8 .

В этом задании корни уже известны. То есть x₁ = 2 , x₂ = 8 . По ним надо составить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 .

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10 , то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10 .

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16 .

Значит b = −10 , c = 16 . Отсюда:

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Если к примеру в квадратном уравнении a x 2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x 2 + 5x + 1 = 0 . Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x 2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x 2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x 2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2 . Сделать это можно в уме. Если 2x 2 разделить на 2 , то полýчится x 2

Далее если −3x разделить на 2 , то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2 , то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Определение

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b²–4ac

• Если D>0, то уравнение имеет два различных корня. Их находят по формуле:

• Если D<0, то уравнение не имеет корней.
• Если D=0, то уравнение имеет два равных корня, их записывают и находят как один:

Рассмотрим решение квадратных уравнений на примерах.

Пример №1. Решить уравнение х²–2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b²–4ac=(–2)²–41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х²+2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b²–4ac=2²–4=4–20=–16, D<0, уравнение не имеет корней.

Пример №3. Решить уравнение х²–6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b²–4ac=(–6)²–4=36–36=0, D=0, 1 корень

Теорема Виета

Приведенные квадратные уравнения

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

х₁+х₂= –b

х₁•х₂= с

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х²–10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

х₁+х₂=–(–10)=10

х₁х₂=21

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х²+5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

х₁+х₂=–5

х₁х₂=4

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

–1+(–4)=–5

(–1)(–4)=4

Ответ: –1 и –4

Алла Василевская | Просмотров: 13.1k

Теорема Виета

7 ноября 2011

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x² равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

1. x² + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
2. x² − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
3. 2x² − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x² равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

1. 3x² − 12x + 18 = 0;
2. −4x² + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x² + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x² + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x². Получим:

1. 3x² − 12x + 18 = 0 ⇒ x² − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
2. −4x² + 32x + 16 = 0 ⇒ x² − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
3. 1,5x² + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x² + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
4. 2x² + 7x − 11 = 0 ⇒ x² + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x₁ и x₂. В этом случае верны следующие утверждения:

1. x₁ + x₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
2. x₁ · x₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

1. x² − 9x + 20 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = − (−9) = 9; x₁ · x₂ = 20; корни: x₁ = 4; x₂ = 5;
2. x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −2; x₁ · x₂ = −15; корни: x₁ = 3; x₂ = −5;
3. x² + 5x + 4 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = 4; корни: x₁ = −1; x₂ = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

1. x² − 9x + 14 = 0;
2. x² − 12x + 27 = 0;
3. 3x² + 33x + 30 = 0;
4. −7x² + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

1. x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
   По теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −(−9) = 9; x₁ · x₂ = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
2. x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−12) = 12; x₁ · x₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3. 3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x² + 11x + 10 = 0.
   Решаем по теореме Виета: x₁ + x₂ = −11; x₁ · x₂ = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
4. −7x² + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x² − 11x + 30 = 0.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−11) = 11; x₁ · x₂ = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

1. Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x² равен 1;
2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x² отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x² − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x₁ + x₂ = −(−7) = 7; x₁ · x₂ = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x² + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x² + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x² − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x² + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8² − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x₁ = 1,2; x₂ = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x² + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x² + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5² − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35². Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5² · 7² = 35².

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x₁ = 15; x₂ = −20.

Смотрите также:

1. Следствия из теоремы Виета
2. Как решать квадратные уравнения
3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариант

Содержание:

• Теорема Виета для квадратного трехчлена
• Обратная теорема Виета
• Общая формулировка теоремы Виета

Теорема Виета для квадратного трехчлена

В случае неприведенного квадратного уравнения $a x^{2}+b x+c=0$ формулы
Виета имеют вид:

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и
произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных
 $x_{1}+x_{2}$  и
 $x_{1} x_{2}$  . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни
квадратного трехчлена.

Обратная теорема Виета

Общая формулировка теоремы Виета

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603).

Если старший коэффициент многочлена $a_{0} neq 1$, то есть многочлен
не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена).
В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует,
что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для
составления многочлена по заданным корням.