Для
исследования процессов в реальных
системах пользуются идеализированными
схемами, которые точно описываются
математически и приближенно характеризуют
реальные звенья систем в заданном
диапазоне частот сигналов [1].
В общем случае
передаточная функция системы может
быть представлена в виде:
Звеном называют
математическую модель элемента,
соединения элементов или любой части
системы.
Обычно система
управления состоит из отдельных блоков,
каждый из которых, чаще всего, описывается
обыкновенными линейными дифференциальными
уравнениями не выше второго порядка.
Рассматривая
характеристики звеньев независимо от
их назначения, физического принципа
действия, мощности и скорости передаваемых
сигналов, выделяют ряд типовых элементарных
звеньев.
Усилительное
(пропорциональное) звено
Уравнение звена:
где: x(t)
— выход звена; u(t)
— входное
воздействие; K
— коэффициент
усиления (статический коэффициент
передачи) звена.
С помощью
усилительного звена передача сигнала
от входа u(t)
к выходу x(t)происходит
мгновенно без какой-либо инерции. Поэтому
усилительное звено называют еще
пропорциональным, или безынерционным
[1].
Передаточная
функция усилительного звена:
Производя замену
комплексной переменной s
на jω,
получим частотную характеристику
усилительного звена:
Модуль выражения
для W(jω)
дает амплитудно-частотную характеристику
(АЧХ) усилительного звена:
Поскольку мнимая
часть в выражении для W(jω)
равна нулю, то фазовая частотная
характеристика (ФЧХ) будет равна нулю
при всех частотах входного сигнала:
Логарифмическая
амплитудно-частотная характеристика
(ЛАЧХ) усилительного звена равна:
Интегрирующие
звенья
Идеальное
интегрирующее звено
Звено описывается
дифференциальным уравнением первого
порядка следующего вида:
где: k
— коэффициент
пропорциональности (усиления) звена.
Коэффициент k
численно
равен скорости изменения выходной
величины при единичном значении входной
величины.
Решая представленное
выше дифференциальное уравнение получим:
Если
начальные условия равны нулю, то, переходя
к преобразованию Лапласа, получим
передаточную функцию идеального
интегрирующего звена:
Частотная
характеристика интегрирующего звена
равна:
АЧХ интегрирующего
звена — это модуль частотной передаточной
функции W(jω),
т.е.:
ЛАЧХ интегрирующего
звена:
При изменении
частоты на одну декаду значение ЛАЧХ
изменится на -20дБ. График ЛАЧХ представляет
собой прямую линию с отрицательным
наклоном.
ФЧХ интегрирующего
звена равна:
Интегрирующее
звено с замедлением
Звено описывается
следующим дифференциальным уравнением
[1]:
где: Т,
k
— постоянные
параметры звена.
Передаточная
функция звена равна:
Частотная
характеристика звена равна:
АЧХ звена
определяется выражением:
ЛАЧХ звена строится
по выражению:
ФЧХ звена равна:
Изодромное
звено
Дифференциальное
уравнение изодромного звена имеет
следующий вид [2]:
где: Т,
k
— постоянные
параметры звена.
Передаточная
функция звена равна:
Частотная
характеристика звена равна:
АЧХ звена равна:
ЛАЧХ изодромного
звена равна:
ФЧХ звена
определяется как:
Дифференцирующие
звенья
Идеальное
дифференцирующее звено
Звено описывается
следующим дифференциальным уравнением:
где: k
— коэффициент
пропорциональности (усиления) звена.
Выходная величина
x(t)
дифференцирующего звена пропорциональна
скорости изменения входной величины
u(t).
Передаточная
функция идеального дифференцирующего
звена:
Частотная
характеристика звена равна:
Амплитудно-частотная
характеристика звена:
ЛАЧХ дифференцирующего
звена:
При изменении
частоты на одну декаду значение ЛАЧХ
изменится на +20дБ. График ЛАЧХ представляет
собой прямую линию с положительным
наклоном.
ФЧХ получается
из условия, что действительная часть
частотной передаточной функции равна
нулю:
Идеальное
дифференцирующее звено относится к
физически нереализуемым звеньям. В
технике не могут использоваться физически
не реализуемые звенья, поэтому для
дифференцирования сигналов (ускорения
реакции системы) используется
инерционно-дифференцирующее звено
(дифференцирующее звено с замедлением).
Дифференцирующее
звено с замедлением (инерционно-дифференцирующее
звено)
Фактически это
звено представляет последовательное
соединение двух звеньев: идеально
дифференцирующего и апериодического
звена первого порядка.
Звено описывается
дифференциальным уравнением вида:
где: Т,
k
— постоянные
параметры звена.
Передаточная
функция звена равна:
Частотная
характеристика звена равна:
АЧХ звена равна:
ЛАЧХ определяется
как:
ФЧХ звена
определяется как:
Фазовые
сдвиги, вносимые звеном, являются
наибольшими при низких частотах. На
высоких частотах фазовый сдвиг постепенно
уменьшается, стремясь в пределе к нулю
при ω ∞.
Апериодическое
звено первого порядка
Звено описывается
дифференциальным уравнением первого
порядка с постоянными коэффициентами:
где: Т,
k
— постоянная
времени и статический коэффициент
передачи звена.
Постоянная времени
звена характеризует его инерционные
свойства, а статический коэффициент
передачи (коэффициент усиления)
представляет собой отношение выходного
сигнала к входному в установившемся
режиме (после завершения переходного
процесса). Апериодическое звено первого
порядка называют также инерционным
звеном.
Передаточная
функция звена равна:
Производя замену
комплексной переменной s
на jω,
получим частотную характеристику
инерционного звена:
АЧХ звена равна:
Из выражения для
АЧХ следует, что чем меньше постоянная
времени Т, тем меньше инерционность
звена и более вытянута амплитудная
характеристика вдоль оси частот, или,
как считается, тем шире полоса пропускания
частот у данного звена [1].
ЛАЧХ апериодического
звена первого порядка:
ФЧХ звена
определяется как:
Апериодическое
звено второго порядка
Дифференциальное
уравнение звена имеет следующий вид
[1]:
где: Т1
≥ 2Т2;
Т1,
Т2
— постоянные времени звена, k
— коэффициент усиления звена.
Передаточная
функция звена равна:
где
Производя замену
комплексной переменной s
на jω,
получим частотную характеристику
апериодического звена второго порядка:
АЧХ звена равна:
ЛАЧХ апериодического
звена второго порядка:
ФЧХ звена
определяется как:
Колебательное
звено
Звено описывается
дифференциальным уравнением второго
порядка в двух формах:
где: Т1
< 2Т2,
Т1,
Т2
— постоянные времени звена, k
— коэффициент усиления звена.
где: Т=Т2
— постоянная времени колебательного
звена,
0 < ξ < 1 —
относительный коэффициент затухания
(коэффициент демпфирования), ξ = Т1
/ 2Т2.
Передаточная
функция колебательного звена:
Производя замену
комплексной переменной s
на jω,
получим частотную характеристику
колебательного звена:
АЧХ звена равна:
ЛАЧХ колебательного
звена:
Уравнение
асимптотической ЛАЧХ имеет вид:
при
ω < 1 / T
при ω ≥ 1 /T
Частота ω
= 1 / Т называется сопрягающей.
Фазовую частотную
характеристику колебательного звена
представляют в следующем виде [4]:
при
ω ≤ 1 / T
при ω > 1 /T
Консервативное
звено
Консервативное
звено является частным случаем
колебательного звена при относительном
коэффициенте затухания ξ=0. В консервативном
звене не происходит рассеяния энергии.
Уравнение
консервативного звена:
Передаточная
функция консервативного звена:
Частотная
характеристика звена равна:
АЧХ звена равна:
ЛАЧХ консервативного
звена:
Фазовая частотная
характеристика консервативного звена
определяется:
при
ω < 1 / T
при ω > 1 /T
Запаздывающее
звено
Выходная величина
в запаздывающем звене точно повторяет
входную величину, но с некоторым
запаздыванием по времени τ:
.
Найдем передаточную
функцию запаздывающего звена, применив
к приведенному уравнению прямое
преобразование Лапласа, получим:
Введем новую
переменную: z
= t
— τ:
Поскольку
преобразование Лапласа определяется
в пределах от нуля до бесконечности, то
полученное выражение следует интегрировать
в пределах от нуля до бесконечности,
т.е.:
В полученном
выражении интеграл — это преобразование
Лапласа от входной величины, поэтому:
Теперь найдем
передаточную функцию, взяв отношение
изображения по Лапласу выходной величины
к изображению входной:
Частотная
характеристика запаздывающего звена
с учетом формулы Эйлера равна:
Амплитудно-частотная
характеристика:
ЛАЧХ запаздывающего
звена:
ФЧХ звена равна:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Коэффициент — усиление — звено
Cтраница 1
Коэффициент усиления звена при отрицательной обратной связи уменьшается, а при положительной — увеличивается.
[1]
Если коэффициент усиления звена характеризует его статические свойства, то передаточная функция — динамические свойства и может быть названа динамическим коэффициентом усиления. Поэтому при различных способах соединения звеньев передаточная функция системы может быть найдена так же, как и коэффициент усиления.
[3]
К — коэффициент усиления звена; М — порог ограничения; Е — мертвая зона, люфт, зазор; F — величина кванта по уровню в функции Матье.
[4]
К RotRi — коэффициент усиления звена; Т C0R0 — постоянная времени инерционного звена.
[6]
Здесь К — коэффициент усиления звена; Т — постоянная времени звена.
[7]
Здесь k — коэффициент усиления звена ( системы), показывающий, во сколько раз изменение выходной величины больше или меньше изменения входной.
[9]
Здесь k — коэффициент усиления звена по производной, равный отношению выходной величины к скорости изменения величины на входе.
[10]
Здесь К — коэффициент усиления звена; Т — постоянная времени звена.
[11]
Здесь k — коэффициент усиления звена, показывающий, во сколько раз изменение выходной величины больше или меньше изменения входной.
[12]
Постоянная времени и коэффициент усиления звена являются важнейшими его характеристиками.
[13]
Как уже говорилось, коэффициент усиления звена устанавливает зависимость между входным и выходным параметрами звена в установившихся режимах; связь между этими параметрами в более общих случаях, в том числе в неустановившихся режимах, устанавливает так называемая передаточная функция звена.
[14]
Судя по характеристике, коэффициент усиления звена воздуходувка изменяется весьма значительно. Динамические свойства воздуходувок по каналу угол поворота заслонки на всасывании — производительность воздуходувки достаточно хорошо описываются передаточной функцией колебательного типа. Однако постоянные времени таковы, что с достаточной для практики точностью динамические свойства воздуходувок можно описать усилительным звеном.
[15]
Страницы:
1
2
3
4
5
Глава 5. Типовые звенья САР
С целью упрощения анализа и моделирования САР сложные передаточные функции представляют в виде комбинаций простых — элементарных — передаточных функций. Эту операцию называют декомпозицией передаточной функции.
Объкты, описываемые элементарными передаточными функциями, называют элементарными звеньями. Всего существует 6 типов линейных элементарных звеньев:
— пропорциональное;
— инерционное;
— интегрирующее;
— дифференцирующее;
— колебательное;
— звено запаздывания.
Структурную схему линейной системы любой сложности можно представить в виде соединений (последовательных, параллельных, обратных связей) этих шести элементарных звеньев. Данные звенья всегда используются при описании САР, поэтому их называют типовыми. Также к типовым относят и некоторые наиболее распространенные комбинации элементарных звеньев, такие типовые неэлементарные звенья мы рассмотрим в конце данной главы.
5.1. Пропорциональное звено
Пропорциональное (также усилительное или безынерционное) звено. Связь между выходной и входной величинами определяется алгебраическим уравнением:
где K – коэффициент усиления звена.
Примером усилительного звена может служить рычажная передача (рис. 28):
Рис. 28. Пример усилительного звена
Передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена (рис. 29):
5.2. Инерционное звено
Апериодическое (инерционное) звено. Зависимость между входом и выходом апериодического звена описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
где Т – постоянная времени звена; K – коэффициент усиления звена.
Передаточная функция:
Рис. 30. Характеристики апериодического звена:
а – временнáя характеристика; б – АФХ
Решение исходного уравнения (44) дает:
При единичном воздействии
кривая разгона апериодического звена (рис. 31):
Рис. 31. Кривая разгона апериодического звена при Хвх = 1
Постоянная времени T апериодического звена определяется по тангенсу угла наклона касательной a к кривой разгона при t = 0:
Постоянная времени T – время, за которое выходная величина достигла бы своего установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости в начальный момент.
Примером апериодического звена может служить аппарат со свободным сливом жидкости (рис. 33,б).
5.3. Интегрирующее звено
Зависимость между входом и выходом интегрирующего звена описывается уравнением:
где K – коэффициент усиления звена.
Амплитудно-фазовая характеристика (рис. 32,б):
Примером интегрирующего звена может служить емкость, из которой жидкость откачивается насосом (рис. 33,а), а примером апериодического звена – емкость, из которой жидкость вытекает под действием силы тяжести (рис. 33,б). В случае нарушения равенства Fпр ≠ Fст (рис. 33,а) уровень начнет меняться либо до полного опорожнения сборника, либо до перелива сборника. Это объект без самовыравнивания (интегрирующее звено).
Если жидкость вытекает из отверстия под действием силы тяжести, то такой объект обладает свойством самовыравнивания (рис. 33,б). При небольшом изменении уровня можно принимать, что изменение уровня описывается уравнением апериодического звена (44).
Рис. 33. Примеры объектов:
а – без самовыравнивания; б – с самовыравниванием
5.4. Дифференцирующее звено
Связь между входной и выходной величинами идеального дифференцирующего звена имеет вид:
где K – коэффициент усиления звена.
Передаточная функция:
Амплитудно-фазовая характеристика (рис. 34):
Рис. 34. АФХ идеального дифференцирующего звена
Следует обратить внимание, что фазочастотная характеристика ф=П/2
всегда положительна, т. е. идеальное дифференцирующее звено на выходе создает опережение входного сигнала при всех частотах w. В математическом аспекте это возможно, но совершенно невозможно с точки зрения материального и теплового балансов. Поэтому идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно и практически применяют звенья, обеспечивающие приближенно дифференцирующее действие (см. раздел «Неэлементарные звенья»).
5.5. Колебательное звено
Связь между входной и выходной величинами определяется уравнением второго порядка:
Соотношение Т2/Т1 определяет, какие корни имеет знаменатель передаточной функции W(p):
Корни этого квадратного уравнения находятся по формуле:
Переходный процесс будет колебательным, если корни уравнения комплексные. Это будет при
корни уравнения будут действительными, т. е. переходный процесс не колебательный. Звено, описываемое таким уравнением, не является колебательным и может быть представлено как два последовательно включенных апериодических звена (см. раздел «Неэлементарные звенья»).
Рис. 36. Кривые разгона (а) и АФХ (б) колебательного звена
Заменив T1 на единственную постоянную времени колебательного звена T, получим следующее выражение для передаточной функции колебательного звена (58):
Параметр ξ называют декрементом затухания. Звено будет обладать колебательными свойствами только при выполнении условия
Если декремент затухания равен нулю, получим частный случай колебательного звена, который носит отдельное название – консервативное звено. Его передаточная функция равна
5.6. Звено запаздывания
Выходная величина равна входной, но отстоит от нее на время t:
Примерами звеньев чистого запаздывания служат транспортеры, трубопроводы и т. д.
5.7. Неэлементарные звенья
5.7.1. Апериодическое звено 2-го порядка
Апериодическое звено 2-го порядка получается при последовательном соединении двух инерционных (апериодических) элементарных звеньев. Дифференциальное уравнение звена:
при отношении постоянных времени:
При Т2/Т1<2 корни уравнения будут комплексными, и звено превращается в колебательное.
5.7.2. Реальное дифференцирующее звено
Поэтому идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно и практически применяют звенья, обеспечивающие приближенно дифференцирующее действие.
Рис. 35. Характеристики реального дифференцирующего звена
а – временнáя характеристика; б – АФХ
Уравнение реального дифференцирующего звена представляет собой комбинацию из апериодического и дифференцирующего звеньев и имеет вид:
