Как найти коэффициенты подобные слагаемые

Этот материал содержит только часть урока –
объяснение новой темы.  Это объяснение представлено в виде текста и в виде
видеоролика.

Коэффициент. Подобные слагаемые

• Упростить выражения

1. 2с ∙  b;
2. 7n ∙ 0,2k;
3. -0,125ac ∙ (-8b); 

ü 
Решение

1. 2с ∙  b ∙  (-9) = -18bc
2. 7n ∙ 0,2k= 1,4kn
3. -0,125ac ∙ (-8b) = 1abc
   = abc

В полученных произведениях есть только один
числовой множитель.

В последнем случае числовым множителем
считается 1.

1. 2с ∙  b ∙  (-9) =
   -18bc                           k = -18
2. 7n ∙ 0,2k=
   1,4nk                                   k = 1,4
3. -0,125ac ∙ (-0,8b) = 1abc = abc             k = 1

• Найти коэффициент в выражении:

ü 
— abc  = (-1)авс      k
= -1

• Назовем коэффициент в каждом слагаемом суммы

ü 
5х – 1.75ху – у

Сумма состоит из 3х слагаемых

K1 = 5

K2 = -1,75

K3 = -1

В этом случае все выражение представляет из
себя сумму, а не произведение, поэтому нельзя найти коэффициент всего выражения
в целом.  Можно лишь назвать его в каждом слагаемом.

• Упростить  выражения

1. 2m-7m+3m;
2. 2а+13а-3+4а;
3. 5х-3а+6х-4а.

ü 
Решение

1.      
2m — 7m+3m = m(2-7+3) = -2m

2.      
2а+13а-3+4а = 2а + 13а +  4а – 3 = а(2 + 13 + 4) –
3 = 19а – 3

3.      
5х-3а+6х-4а = 5х + 6х – 3а – 4а = (5х + 6х) – (3а +
4а) = х(5+6) – а(3+4) = 11х – 7а.

В каждом слагаемом коэффициент запишем вперед.

Итак, мы упростили выражения,  объединив
слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Такие слагаемые могут
отличаться только коэффициентами.  Если у слагаемых одинаковы и буквенная часть
и коэффициент, такие слагаемые тоже подобны.

Привести подобные  означает  выполнить
сложение подобных слагаемых 

Запомним правило:

• Приведем подобные слагаемые:

1. -3х +8х – х
2. -2а + 7ав – 4а – 4в 

ü 
Решение

1.            -3х +8х – х  = 4х

2.            -2а + 7ав – 4а – 4в = -2а – 4а +
7ав – 4в  =-6а  +7ав – 4в

6.4.2. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых

1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака.

Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений.

Примеры. Раскрыть скобки.

1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k.

2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-».

Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

Примеры. Раскрыть скобки.

2б) — (-2a+c) — (b-3d) = 2a-c-b+3d;

2в) — (4k-m) — (-a+2b) = -4k+m+a-2b.

3. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Примеры подобных слагаемых: 5а и -а; 2с и -12с.

Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1).

Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

Примеры. Привести подобные слагаемые.

3а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а;

3б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m;

3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.

4. В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями.

Примеры. Привести подобные слагаемые.

4а) -4а +5с-11с -20а = (-4-20)а+(5-11)с = -24а-6с;

4б) 3,2х +5,6у -8х -3у = (3,2-8)х+(5,6-3)у = -4,8х+2,6у;

4в) 8 m -3k +7 m -2k+12k +13 m = (8+7+13) m+(-3-2+12) k = 28m+7k.

5. Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.

Примеры. Раскрыть скобки.

5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙ 4х+2 ∙ (-5) = 8х-10у;

5б) -3 (4а+7с) = -3 ∙ 4а-3 ∙ 7с = -12а-21с;

5в) -6 (-а+4с) = -6 ∙ (-а) -6 ∙ 4с = 6а-24с.

6. Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые.

Примеры. Упростить выражение.

6а) (3х+у) -2 (5х-у) = 3х +у -10х +2у = -7х+3у;

6б) 3х(а+1,5) -4ах = 3ах +4,5х -4ах = 4,5х-ах;

6в) -6 (х+у)+3 (2х-у) = -6х -6у +6х -3у = -9у.

7. Примеры для самостоятельного решения. Упростить:

Подобные слагаемые, их приведение, примеры

Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.

Определение и примеры подобных слагаемых

В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.

Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.

Рассмотрим сумму двух слагаемых 3 · a + 2 · a . В этой сумме слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть, которая представлена буквой a . Согласно определению, эти два слагаемых являются подобными. Числа 2 и 3 в данном случае являются числовыми коэффициентами.

Рассмотрим сумму 5 · x · y 3 · z + 12 · x · y 3 · z + 1 . Здесь подобными являются слагаемые 5 · x · y 3 · z и 12 · x · y 3 · z , которые имеют одинаковую буквенную часть x · y 3 · z . Следует обратить внимание на то, что в буквенной части присутствует степень y 3 . Наличие степени не нарушает данное выше определение буквенной части в связи с тем, что y 3 по сути является произведением y · y · y .

Числовые коэффициенты 1 и − 1 в случае подобных слагаемых часто не записываются, но подразумеваются. К примеру, сумма 3 · z 5 + z 5 − z 5 состоит из трех слагаемых 3 · z 5 , z 5 и − z 5 , которые являются подобными. Здесь z 5 – это одинаковая буквенная часть, 3 , 1 и — 1 – коэффициенты.

Если слагаемые в буквенном выражении не имеют буквенной части, то они также являются подобными. Например, сумма 5 + 7 · x − 4 + 2 · x + y представлена 4 подобными слагаемыми, два из которых ( 5 и — 4 ) не имеют буквенной части.

Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:

3 · 5 · a — 2 · 5 · a + 12 · 5 · a .

Здесь общей буквенной частью подобных слагаемых является выражение 5 · a .

По аналогии можно выделить подобные слагаемые в выражении 4 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 0 , 5 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 1 . Это будут слагаемые с одинаковой буквенной частью ( x 2 + x − 1 / x ) .

Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.

Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.

Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.

Возьмем для примера выражение 2 · x · y + 3 · y · x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2 · x · y и 3 · y · x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x · y и y · x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.

Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение 2 · x · y + 3 · y · x можно переписать в виде 2 · x · y + 3 · x · y . Тогда слагаемые будут подобны.

К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.

Приведение подобных слагаемых, правило, примеры

Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:

• перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
• вынесение за скобки буквенной части;
• вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.

Приведем пример таких вычислений.

Возьмем выражение 3 · x · y + 1 + 5 · x · y . Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 3 · x · y + 5 · x · y + 1 .

Теперь вынесем за скобки буквенную часть: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 .

Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 = x · y · 8 + 1 .

Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью: x · y · 8 + 1 = 8 · x · y + 1 .

Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.

Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3 · x · y + 1 + 5 · x · y коэффициентами подобных слагаемых 3 · x · y и 5 · x · y являются числа 3 и 5 . Сумма коэффициентов равна 8 . Умножим ее на буквенную часть и получим: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 8 · x · y + 1 .

Приведите подобные слагаемые: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 .

Решение

Начнем с приведения подобных слагаемых 0 , 5 · x и 3 , 5 · x . Используя правило, сложим их коэффициенты 0 , 5 + 3 , 5 = 4 . Умножим буквенную часть на полученный результат 4 · x .

Теперь займемся приведением подобных слагаемых без буквенной части: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4 . Вспомним правило сложения чисел с разными знаками и выполним вычитание обыкновенных дробей. Получим: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4

Итог: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .

Приведем краткую запись решения: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = ( 0 , 5 · x + 3 , 5 · x ) + ( 1 2 − 1 4 ) = 4 · x + 1 4 .

Ответ: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .

Особо хочется отметить тот факт, что приведение подобных слагаемых базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое можно выразить равенством a · ( b + c ) = a · b + a · c . Когда мы выполняем приведение подобных слагаемых, мы используем это равенство справа налево, т.е. в виде a · b + a · c = a · ( b + c ) .

Подобные слагаемые

Свойства сложения и умножения

В буквенных выражениях числа могут быть обозначены буквами. Поэтому для всех буквенных выражений верны следующие равенства, выражающие свойства сложения и свойства умножения:

Свойства сложения	Свойства умножения
a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + (-a) = 0 a — b = a + (-b)	ab = ba (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac a = 1 · a —a = -1 · a a · 0 = 0

С помощью этих свойств можно упрощать буквенные выражения. Например:

Слагаемые 5a, 12a и -7a отличаются только числовыми множителями, такие слагаемые называются подобными.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, отличающиеся только числовыми множителями и имеющие одинаковую буквенную часть. Пользуясь свойствами сложения и умножения, можно упрощать выражения, содержащие подобные слагаемые. Например, упростим выражение:

Такое упрощение выражения называется приведением подобных слагаемых. В простых примерах промежуточные вычисления можно опустить:

Приведение подобных слагаемых

Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения, содержащего подобные слагаемые, путём их сложения.

Пример 1. Приведите подобные слагаемые:

Решение: Сначала надо найти в выражении подобные слагаемые:

4x

—

3y

+

y

—

2x

,

теперь можно их сгруппировать, вынести общий множитель за скобки и привести подобные слагаемые:

Пример 2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

Математика

Тема 14: Решение уравнений. Профильный уровень

Урок 4: Приведение подобных слагаемых (Вольфсон Г.И.)

Сегодня на уроке мы узнаем, какие слагаемые
называют подобными, а также научимся приводить подобные слагаемые или, проще
говоря, упрощать выражения.

Для изучения нового материала нам понадобятся
понятие «коэффициента» и знание распределительного свойства умножения.
Вспомним их.

Коэффициентом называют числовой
множитель, который записан перед буквенным (одним или несколькими) множителем.

Распределительное свойство умножения
справедливо для любых чисел a,
b и c.

Оно позволяет, как раскрывать скобки, так и
выносить общий множитель за скобки.

Часто при работе с выражениями сначала их
обычно упрощают, т.е. преобразуют в более компактную и удобную для вычислений
форму.

Например

Найти значение выражения 5х + 2х – 3х + 7х при х = 3.

Конечно, можно просто подставить вместо х указанное
значение и посчитать сумму полученных произведений.

Но такой процесс вычислений займёт немало
времени. Вычисления значительно упростятся, если обратить внимание, на то, что
все слагаемые имеют один и тот же буквенный множитель х. И вот тут к нам на помощь приходит распределительное
свойство умножения. Мы знаем, что на основании распределительного
свойства можно выносить общий множитель за скобки. Вынесем в нашем
выражении общий буквенный множитель х за скобки.

Смотрите, как мы себе упростили вычисления.
Такие преобразования можно выполнять только в тех случаях, когда слагаемые
имеют одинаковую буквенную часть.

Такие слагаемые называют подобными,
а сами преобразования называют приведением подобных слагаемых.

Определение

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть,
называют подобными слагаемыми.

Замену суммы подобных слагаемых одним
слагаемым называют приведением подобных слагаемых.

Подобные слагаемые могут отличаться только
коэффициентами. Кроме того, подобными считают и равные слагаемые, а также
числа.

Заметим, что слагаемые, у которых равны
коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются,
хотя и к ним иногда полезно применять распределительное свойство умножения.

Например

Ответим на вопрос: зачем же нужно
приводить подобные слагаемые?

Ответ на этот вопрос прост. Приводят
подобные слагаемые для того, чтобы сделать суммы более короткими, т.е. преобразовывают
их в суммы с меньшим числом слагаемых.

Посмотрите, в нашей начальной сумме было 4 слагаемых, а мы её преобразовали в выражение,
состоящее из двух множителей. С более короткими суммами легче выполнять
вычисления.

Запишем правило, по которому приводят
подобные слагаемые:

Для того чтобы привести подобные
слагаемые, надо:

1) сложить коэффициенты подобных
слагаемых;

2) результат умножить на общую буквенную
часть.

Задание

Упростите выражения.

Итоги

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть,
называют подобными слагаемыми.

Замену суммы подобных слагаемых одним
слагаемым называют приведением подобных слагаемых.

Для того чтобы привести подобные слагаемые,
надо:

1) сложить коэффициенты подобных слагаемых;

2) результат умножить на общую буквенную
часть.