Как найти коэффициенты тяготения

В современной формулировке закона всемирного тяготения присутствует коэффициент , называющийся гравитационной постоянной и стоящий перед формулой особняком. Интересно, что Ньютон, открывший закон притяжения, не использовал явную форму константы, численно она была определена больше века спустя со дня смерти учёного.

Что такое и чему равна гравитационная постоянная

Формула закона всемирного тяготения, известная по курсу школьной механики:

G – коэффициент пропорциональности или гравитационная постоянная;

m_1, m₂ – массы двух тел, испытывающих взаимное притяжение;

r – расстояние между ними.

Коэффициент пропорциональности G обозначает силу, с которой притягивается пара килограммовых объектов, расположенных друг от друга на метровом расстоянии. Значение константы обычно принимается равным:

Столь маленькое число объясняет, почему несмотря на постоянное действие гравитации люди, находящиеся рядом, не чувствуют силу тяготения – она проявляется на объектах огромных масс, имеющих высокие порядки, например, массе планет, Солнца, других звёзд.

В чём измеряется гравитационная постоянная

Несмотря на то, что гравитационная постоянная численно равна силе, её единицы измерения не ньютоны. Размерность коэффициента может показаться страшной –

, но её возникновение легко объясняется.

Согласно Международной системе единиц (системе интернациональной или СИ), сила измеряется в ньютонах, причём

то есть 1 ньютон – сила, изменяющая скорость килограммового объекта на 1 м/с за одну секунду.

После открытия закона тяготения определено: пара килограммовых тел притягивается друг к другу силой со значением, зависящим обратно пропорционально от квадрата расстояния между объектами.

То есть единица измерения гравитационной силы –

и размерность не совпадает с привычной . Требуется коэффициент, который должен уравнять единицы измерения привычной силы и силы гравитационного взаимодействия.

Проведём математические вычисления самостоятельно.

Нужно уравнять

и .

Для этого нужно разделить на 1с² и 1кг, а также умножить на м³, получим:

Получилась требуемая размерность.

Следовательно, постоянная имеет размерность .

Как найти гравитационную постоянную – история открытия

Коэффициент G – универсальная константа, измерение которой осуществляется экспериментальным путём. Доподлинно неизвестно, кто открыл значение гравитационной постоянной, первое употребление в «Трактате по механике» Пуассона датируется 1811 годом.

Работы Ньютона

При публикации закона тяготения в трактате Ньютона отсутствовало явное обозначение константы, характеризующее гравитацию и её действие. Коэффициент не появлялся в работах по физике вплоть до конца восемнадцатого века, его точное значение не было вычислено.

Вместо известной сегодня постоянной присутствовал гравитационный параметр:

M – масса объекта, причём, масса планеты или звезды, так как гравитационный параметр нашёл широкое распространение в астрофизике.

Сегодня для объектов Солнечной системы значение параметра рассчитано точнее, чем гравитационная постоянная G и масса по отдельности, так как она не требует серьёзных экспериментов, вычисляется на основании астрономических наблюдений.

Например:

Подробнее о использовании закона всемирного тяготения в астрономии вы можете прочитать в нашей статье.

Как была экспериментально определена гравитационная постоянная – эксперимент Кавендиша

Естествоиспытатель Джон Митчел придумал эксперимент для определения массы Земли при помощи крутильных весов, однако не реализовал его. После его смерти идея опыта и аппаратура перешли к английскому физику и химику Генри Кавендишу, который, усовершенствовав прибор, провёл ряд экспериментов и осуществил задумку своего предшественника.

Главенствующая роль в опытах отводилась установке. На метровой нити из меди подвешивалось коромысло длиной 1,8 метра, на его концах устанавливалась пара свинцовых шариков диаметром 5 сантиметров, массой 775 грамм. Чуть выше крепилась поворотная ферма, причём тщательно соблюдалось требование совпадения оси вращения фермы с медной нитью. На концах поворотной штанги находилось по одному большому свинцовому шару диаметром 20 сантиметров, массой 49,5 килограмм. Чтобы избежать влияния конвекционных воздушных потоков, вся установка накрывалась плотным деревянным кожухом. Вследствие взаимодействия лёгкие шарики притягивались к тяжёлым, закручивая нить и отклоняя коромысло. Угол отклонения фиксировался двумя телескопами, а сила упругости нити приравнивалась гравитационному взаимодействию шаров.

Величина определённой силы притяжения составляла 0,17 микроньютона. Если сравнивать это значение с весом маленького шара, то оно меньше последнего примерно в 45 миллионов раз.

В результате своего эксперимента Генри Кавендиш рассчитал среднюю плотность Земли, причём его эксперимент был точным – погрешность измеренного значения в сравнении с современным значением составляет всего 0,7%. Именно Кавендишу приписывают открытие значения гравитационной постоянной, однако он никогда не задавался подобной целью при проведении своих опытов. Очевидно, величина константы определена на основании результатов его эксперимента, но кто сделал это первым, неизвестно.

Измерение гравитационной постоянной

Значение константы, полученное по измеренной Кавендишем плотности, по разным источникам разнится. Британская энциклопедия называет число, равное , с каковым некоторые современные физики. Леон Нил Купер утверждает, что экспериментально полученное число равно , а Олег Павлович Спиридонов в сборнике  постоянных приводит значение .

Коэффициент пропорциональности определяли после Генри Кавендиша, причём зачастую его установку модернизировали новыми материалами. Например, в 1872 году Корню и Байль для измерения гравитационной постоянной использовали платиновые маленькие шарики и стеклянные, наполненные ртутью, большие. Результаты опыта показали значение

с относительной погрешностью 5*10^-3.

Современная история изменений гравитационной постоянной

Гравитационная постоянная – десятичная дробь, её значение постоянно уточняется, причём измерение коэффициента G происходит путём усовершенствования прибора Митчела и улучшения методов наблюдения. Например, в 2018 году учёные из России и Китая проводили опыты на установках разной конструкции. В первой группе применялся метод «time of swing» (TOS), где коэффициент пропорциональности зависит от колебательной частоты весов. Во второй – метод «angular acceleration feedback» (AAF), где угловое ускорение независимо вращающихся коромысел шаров измеряется системой управления с обратной связью, при этом нить поддерживается незакрученной.

По результатам команды первый метод продемонстрировал значение гравитационной постоянной , второй метод – . Относительная погрешность составила 11,6*10^-6

Комитет по данным для науки и техники (CODATA) рекомендовал на 2020 год значение коэффициента пропорциональности, равное:

Таким образом, гравитационная постоянная всё время уточняется, требуя новые, более точные способы измерения и вычисления.

Характер и особенности расчета силы притяжения известны еще с древних времен. На основании имеющихся знаний, переданных современному научному сообществу великими исследователями, человек познает не только его окружающий мир, но и Вселенную.

Формула силы притяжения

Со времен Древней Греции философов интересовали явления притяжения тел к земле и свободного падения. К примеру, по утверждениям Аристотеля, из двух камней, брошенных с одинаковой высоты, быстрее достигнет земной поверхности тот, чья масса больше. В IV веке до нашей эры единственными методами научных изысканий служили наблюдения и анализ. К проверке гипотез опытным путем великие мыслители не прибегали. По истечению столетий физик из Италии Галилео Галилей проверил утверждения Аристотеля, используя практические методы исследований.

Итоги проведенных Галилеем опытов были опубликованы в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук». Ученый использовал псевдоним Сагредо: «пушечное ядро не опередит мушкетной пули при падении с высоты двухсот локтей». Формулировка закона всемирного тяготения была представлена в 1666 году Исааком Ньютоном. В ней фиксировались основные тезисы теоремы Галилея.

Смысл заключался в том, что тела, которые обладают разными массами, падают на землю с одинаковыми ускорениями.  Одно тело притягивает другое и, наоборот, с силой, которая прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна отрезку пути между ними. Согласно определению гравитации от Ньютона, тела, характеризующиеся массой, обладают свойством, благодаря которому притягиваются друг к другу.

Понятие и определение

Силы взаимного притяжения – это силы, которые притягивают любые тела, обладающие массами.

Корректность выводов Ньютона неоднократно подтверждалась путем практических испытаний. Но в начале ХХ века перед учеными-физиками остро стоял вопрос о природе и характере взаимодействия крупных астрономических тел, включая разные виды планетарных систем и галактик в вакууме. Ньютоновского закона уже было недостаточно, чтобы решить эти задачи. Исключить недочеты позволила новая теория, разработанная Альбертом Эйнштейном в начале ХХ столетия. Общая теория относительности объясняет гравитацию не в качестве силы, а представляет ее в виде искривления пространства и времени в четырех измерениях, которое зависит от массы тел, создающих его.

Гравитация представляет собой свойство тел, которые характеризуются массой, притягивать друг друга. Данное физическое явление можно объяснить, как поле, оказывающее дистанционное воздействие на предметы, не связанные между собой никаким другим способом.

Достижение Эйнштейна не противоречит теоретическому объяснению гравитации от Ньютона. Общая теория относительности рассматривает закон всемирного тяготения, как частный случай, применимый для сравнительно небольших расстояний. Данная закономерность в настоящее время также активно используется для поиска решений задач на практике.

Единицы измерения силы притяжения

В разных системах измерений можно встретить несколько отличающиеся обозначения. Единицы измерения силы притяжения следующие:

• система СИ: ([F]=H);
• система СГС: ([F]=дин).

Формула силы притяжения между телами в космосе

Закономерность гравитации, которую обнаружил Ньютон, можно представить в виде математической формулы. Вычисления выглядят следующим образом:

(F=(Gtimes m1times m2times r)/2),

где (m1,m2) — массы объектов, которые притягиваются друг к другу под действием силы (F),

(r) – расстояние, на которое удалены тела,

(G) — т.н. гравитационная постоянная величина, константа, равная 6,67.

Гравитационное взаимодействие объектов будет слабеть, если тела удаляются друг относительно друга. Сила гравитации пропорциональна величине расстояния в квадрате. При этом для нахождения искомой величины расстояние измеряется от центров тяжести тел, а не от поверхностей.

Гравитация в определенных моментах напоминает другие физические явления. Исходя из зависимости интенсивности силы от расстояния в квадрате, гравитацию можно сравнить с электромагнитным взаимодействием сильного и слабого характера.

Формула силы гравитационного притяжения между двумя телами

Квадратичная связь силы, с которой тела притягиваются друг к другу, с расстоянием между ними объясняет тот факт, что люди, находящиеся на поверхности планеты Земля не притягиваются к Солнцу, хотя масса его велика и превышает земную в миллион раз. Земля и центр Солнечной системы удалены примерно на 150 миллионов километров. Дистанция достаточно велика, чтобы ощущаться человеком. Однако эту силу можно зарегистрировать, используя высокоточные приборы. В рамках планеты Земля сила, с которой тела к ней притягиваются, то есть их вес, измеряется следующим образом:

(P=mtimes g),

где (m) – масса тела, на которое воздействует сила притяжение,

(g) – ускорение свободного падения около Земли (если рассматривать систему в условиях любой другой планеты, данная величина будет отличаться).

На разных географических широтах величина ускорения свободного падения может незначительно отличаться. Производя расчеты, данный показатель принимается за 9,81 метров в секунду в квадрате.

В физике понятия массы и веса тел отличаются. Весом называется сила, определяющее притяжение объекта к планете. Масса представляет собой меру инертности вещества. На нее не влияют другие тела, расположенные рядом.

Формула для силы притяжения тел произвольной формы

Расчеты определяются некоторыми условиями. К ним относятся характеристики исследуемых объектов.

Если сила притяжения измеряется между телами, которые обладают произвольной формой, их считают материальными точками:

(dtimes m1=rho1times dV1)

(dtimes m2=rho2times dV2)

где (rho1, rho2) – обозначают плотность веществ материальных точек, характерных для первого и второго объектов,

(dV1 ,dV2) — элементарные объемы выделенных материальных точек.

Исходя из этого, сила притяжения (doverline F), с которой взаимодействуют объекты, равна:

  (doverline F=-Gtimes frac{rho _{1}timesrho _{2}times dtimes V_{1}times dtimes V_{2}}{r_{12}^{3}} bar{r_{12}})

Таким образом, сила притяжения первого тела вторым рассчитывается следующим образом:

(bar{F}_{12}=-Gtimesint_{V_{1}}^{rho _{1}times dtimes V_{1}}int_{V_{2}}^{frac{rho _{2}}{r_{12}^{3}}times bar{r}_{12}times dtimes V_{2}})

где интегрирование выполняется по всему объему первого ((V1)) и второго ((V2)) тел. Если тела обладают однородностью, то формула корректируется, таким образом:

(bar{F}_{12}=-Gtimesrho1timesrho2timesint_{V_{1}}^{dtimes V_{1}}int_{V_{2}}^{frac{bar{r}_{12}}{r_{12}^{3}}times dtimes V_{2}})

Формула для силы притяжения твердых тел шарообразной формы

В условиях, когда сила притяжения измеряется между телами, представленных в форме шара или близкой к нему, с плотностью, зависящей лишь от удаленности их центров тяжести, применяется следующая формула:

(bar{F}_{12}=-Gtimes(m1times m2)/R^3times R12)

где (m1,m2) – массы шаров,  (R )– радиус – вектор, соединяющий центры шаров.

Пример применения формулы для расчета

Задача. Необходимо рассчитать силу притяжения между двумя идентичными однородными шарами, масса которых составляет по 1 килограмму. При этом их центры тяжести удалены на 1 метр друг от друга.

Решение будет выглядеть следующим образом:

Используя формулу для подсчета силы притяжения между двумя объектами шарообразной формы, получается:

(F_g=6.67times 10^{-11}times frac{1times 1}{1^{2}})

Ответ: (F_g=6.67times 10^{-11})

Выполнить расчет силы притяжения достаточно просто, если правильно выбрать формулу, подходящую под конкретные условия, в которых находятся тела. Если в процессе решения задач по физике или другим дисциплинам возникают проблемы, всегда можно обратиться за помощью к компетентным специалистам портала Феникс.Хелп.

Одна из важнейших в природе сил — сила гравитации, или сила тяготения. Она действует на все тела во Вселенной.

Существует миф о том, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения после того, как ему на голову упало яблоко. Так это или нет доподлинно неизвестно, но именно Ньютон изучал движение планет вокруг Солнца и открыл математическую формулу для расчета взаимодействия тел определенной массы. Эту формулу мы называем законом всемирного тяготения.

Сила взаимодействия двух тел прямо пропорциональна массе каждого из этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами этих тел:  

Рис. (1). Случаи применения закона всемирного тяготения

Третий закон Ньютона мы используем для расчёта силы тяжести на поверхности Земли или вблизи неё. Поэтому за расстояние между телами берём радиус Земли: (R=6370) км.

Рис. (2). Взаимодействие Земли и яблока

Сила притяжения яблока к Земле равна силе притяжения Земли к яблоку по модулю: (|vec{F_я}|=|vec{F_З}|).

Значение ускорения Земли, обусловленное притяжением со стороны яблока настолько мало, что при расчёте задач его не учитывают.

Содержание:

Сила тяжести:

Почему все подброшенные вверх тела падают на Землю ? Почему на санках легко съезжать с горки, а вверх их нужно тянуть?

Подбросьте вверх мяч. Поднявшись на некоторую высоту, он начнёт двигаться вниз и упадёт на Землю. Парашютист, выпрыгнувший из самолёта, падает вниз и после раскрытия парашюта. С появлением дождевой тучи на Землю падает густой дождь. Как бы высоко мы не прыгали вверх, всегда опускаемся на Землю.

Все тела, находящиеся на Земле или вблизи неё, взаимодействуют с ней: Земля притягивает тела, а они притягивают Землю.

Поскольку масса у Земли очень большая, то в результате взаимодействия с нею заметно изменяют свои скорости и положения именно тела, а Земля практически остаётся на месте.

Силу, с которой Земля притягивает к себе любое тело, называют силой тяжести.

От чего зависит сила тяжести

Из опыта с яблоками, выполненного ранее, можем сделать вывод, что на два яблока, подвешенных на пружине, действует сила тяжести больше, чем на одно, так как масса двух яблок больше массы одного. Силу тяжести обозначают

Единицей силы тяжести, как и любой другой, в СИ является один ньютон (1Н). Эта единица названа в честь английского учёного Исаака Ньютона, впервые сформулировавшего основные законы движения тел и законы тяготения. 1 ньютон (1 Н) равен силе тяжести, которая действует на тело массой приблизительно 102 г.

Тогда на тело массой 1кг действует сила тяжести 9,81 Н, т. е.

Как, пользуясь единицей силы 1 Н, определить силу тяжести, которая действует на тело любой массы?

Поскольку на тело массой 1 кг действует сила тяжести 9,81 Н, то на тело массой т будет действовать сила тяжести, в т раз большая.

Чтобы определить силу тяжести , действующую на тело, нужно постоянную для данной местности величину = 9,81  умножить на массу тела , выраженную в килограммах: 

Но притяжение существует не только между Землёй и телами на ней или вблизи неё. Все тела притягиваются друг к другу. Например, притягиваются между собой Земля и Луна, Солнце и Земля или другие планеты, корабли в море, предметы в комнате. Вследствие притяжения Земли к Луне на Земле возникают приливы и отливы (рис. 69).

Вода в океанах поднимается дважды в сутки на несколько метров.

Благодаря силе тяжести атмосфера удерживается возле Земли, реки текут сверху вниз, Луна удерживается возле Земли, планеты двигаются по орбитам вокруг Солнца.

Явление притяжения всех тел Вселенной друг к другу называют всемирным тяготением.

Исаак Ньютон доказал, что сила притяжения между телами тем больше, чем больше массы этих тел и чем меньше расстояние между телами. Если бы сила тяжести на Земле вдруг исчезла, то все незакреплённые на ее поверхности тела от любого небольшого толчка разлетелись бы во все стороны в космическом пространстве.

Каково направление силы тяжести

Опыт. Если взять отвес или привязанный к нити какой-либо предмет (рис. 70), то увидим, что нить с грузиком вследствие действия на него силы тяжести всегда направлена к Земли вдоль прямой, которую называют вертикалью.

Выполнив этот опыт во всех точках Земли, учёные убедились, что сила тяжести всегда направлена к центру Земли.

Силу тяжести изображают в виде вертикальной стрелки, направленной вниз и приложенной к определённой точке тела (рис. 71 а, б).

Кстати:

Кроме планет с их спутниками вокруг Солнца двигаются малые планеты, которые еще называют астероидами. Наибольшая из них — Церера — имеет статус карликовой планеты и радиусом почти в 20 раз, а по массе в 7500 раз меньше Земли. Сила тяжести на ней настолько мала, что человек, оттолкнувшись от поверхности планеты, мог бы улететь с нее.

Вот как описывает основатель теории космонавтики К,Э. Циолковский в рассказе «Путь к звездам» условия пребывания человека на этом астероиде: «На Земле я могу свободно нести еще одного человека такого же веса, как я. На Весте так же легко могу нести в 30 раз больше. На Земле я могу подпрыгнуть на 50см. На Весте такое же усилие дает прыжок в 30м. Это высота десятиэтажного дома или огромной сосны. Там легко перепрыгивать через рвы и ямы шириной с крупную реку. Можно перепрыгнуть через 15-метровые деревья и дома. И это без разгона».

Сила тяготения

Все тела возле Земли падают на ее поверхность, если их ничто не удерживает. В чем причина этого явления?

Как тела падают на Землю

Рассмотрим фотографию падения шарика, на которой положение шарика фиксировалось на пленке через равные интервалы времени (рис. 45). Если линейкой отмерить расстояние между изображениями шарика в различные моменты времени, то можно заметить, что эти расстояния постепенно увеличиваются. Это свидетельствует о том, что скорость шарика при падении постепенно увеличивается.

Как увеличивается скорость падающего тела

Если вспомнить определение силы, по которому сила изменяет скорость тела, то можно сделать вывод, что на шарик действует сила, направленная к Земле.

Силу, действующую на каждое тело со стороны Земли, называют силой тяготения.

Измерения показывают, что скорость тела, падающего на поверхность Земли при отсутствии сопротивления воздуха, каждую секунду увеличивается на 9,8 .

Как рассчитать силу тяготения

Если знать массу тела, то можно рассчитать силу тяготения. Способ таких расчетов подсказывают результаты опытов.

Возьмем динамометр и подвесим к нему гирьку массой 102 г, стрелка динамометра остановится на отметке 1 Н. Если подвесить два таких груза, то динамометр покажет силу 2 Н и т. д. С этого опыта можно сделать вывод, что сила тяжести пропорциональна массе тела.

Сила тяготения пропорциональна массе тела:

Коэффициент пропорциональности равен приблизительно

Для расчетов при решении задач иногда принимают, что

Если знать такую зависимость силы тяготения от массы, то можно заранее рассчитать ее значение.

Например, необходимо определить, что покажет динамометр, если на его крючок повесить гирю массой 500 г.

Дано:

Решение

Ответ. Стрелка динамометра покажет 4,9 Н.

Какая природа силы тяготения

Сила тяготения является проявлением общего закона природы, действующего во всей Вселенной закона всемирного тяготения. Открытый и сформулированный в XVII в. английским физиком Ньютоном, он утверждает, что сила гравитационного притяжения во Вселенной пропорциональна массам взаимодействующих тел и зависит от расстояния между ними.

где R — расстояние между телами, m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел,  — гравитационная постоянная.

Сила тяготения, как проявление гравитационного взаимодействия Земли, является следствием взаимодействия всех тел с Землей. Поэтому в расчетах силы тяготения пользуются только массой данного тела. Характеристики Земли отображены в обобщенной форме в коэффициенте

Работа силы тяжести

Каждая сила, действующая на движущееся тело, совершает работу. Проанализируем более подробно работу, совершаемую силой тяжести. При небольших расстояниях от поверхности Земли сила тяжести постоянна и по модулю равна mg. Пусть тело массой m падает с высоты h₁ до высоты h₂ (рис. 132). Модуль перемещения  равен при этом h₁ —h₂ . Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна:
    (1)

Рис. 132

Высоты h₁ и h₂  можно отсчитывать от любого уровня. Это может быть уровень поверхности Земли, пола класса или поверхности стола и т. д. Высоту выбранного уровня принимают равной пулю. Поэтому этот уровень называют нулевым.

Если тело падает с высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести:

   (2)

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести, если тело движется не по вертикали. Для этого рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. Пусть тело массой m совершило перемещение , равное по модулю длине наклонной плоскости (рис. 133). Работа силы тяжести в этом случае равна: , где — угол между вектором перемещения и вектором силы тяжести. Из рисунка видно, что . Поэтому

Рис. 133

Мы получили для работы силы тяжести такое же выражение, как и в случае движения тела по вертикали (см. формулу (2)). Отсюда следует, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости. Работа силы тяжести определяется только изменением высоты относительно некоторого уровня.

Теперь докажем, что работа силы тяжести определяется формулой (2) при движении по любой траектории. Например, некоторое тело бросили горизонтально с высоты h (рис. 134). Как известно, траекторией такого движения является парабола. Мысленно разобьем траекторию на маленькие участки , такие, что их можно считать прямыми линиями. Каждый из них можно считать маленькой наклонной плоскостью, а движение по траектории AB рассматривать как движение по множеству наклонных плоскостей. Работа силы тяжести на каждой из них равна произведению силы тяжести на изменение высоты. Например, на участке А₂А₃ работа равна mg(h₂-h₃). Полную же работу силы тяжести на всем пути найдем, сложив работу на каждом участке:

Рис. 134

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях тела, т. е. вычисляется но формуле (1). Отсюда следует, что если тело движется по замкнутой траектории, где начальное и конечное положения тела совпадают, то работа силы тяжести равна нулю. Такие силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве, называются потенциальными или консервативными. Другое определение потенциальных сил: это такие силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю.

Для потенциальных сил можно ввести понятие потенциальной энергии. Действительно, формула (I) может быть переписана следующим образом:

A = mg(h_l — h₂)= -(mgh₂— mgh₁).    (3)

Правая часть этого равенства представляет собой изменение величины mgh, взятое с противоположным знаком.

Понятие кинетической энергии, изменение которой равно работе сил, действующих на тело. Теперь мы встретились еще с одной величиной, изменение которой (но с противоположным знаком) тоже равно работе силы — в данном случае работе силы тяжести. Величину, равную mgh, называют потенциальной энергией П тела в гравитационном поле. Тогда формулу (3) можно записать в виде:
    (4)

Говорят, что работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли.
Если тело падает с высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести равна его начальной потенциальной энергии:

Следовательно, потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, равна работе силы тяжести при падении тела с этой высоты. Например, этим пользуются при забивании свай на строительных площадках (рис. 135). Чтобы поднять тело с нулевого уровня на эту же высоту, должна быть совершена работа другой силой, направленной против силы тяжести.

Рис. 135

Потенциальная энергия зависит от положения тела относительно нулевого уровня и, следовательно, от координат тела. Так как пулевой уровень может быть выбран произвольно, то и потенциальная энергия определяется неоднозначно. Однако физический смысл имеет разность потенциальных энергий тела ΔП, а эта разность не зависит от выбора нулевого уровня.

Сила тяжести является силой, с которой Земля притягивает тело. Тело обладает потенциальной энергией, потому что оно взаимодействует с Землей. Не было бы Земли, не было бы и силы притяжения, а следовательно, и потенциальной энергии тела. Поэтому потенциальная энергия — это энергия взаимодействия, в данном случае тела и Земли.

Главные выводы:

1. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положениями тела.
2. Работа силы тяжести равна нулю, если тело возвращается в исходное положение.
3. Сила тяжести является потенциальной силой.
4. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, равна работе силы тяжести при падении тела с этой высоты.
5. Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия тел.

Сила тяжести и напряженность гравитационного поля

Как вы знаете, по современным научным представлениям взаимное притяжение между телами осуществляется посредством особого вида материи — гравитационного поля. Каждое тело вокруг себя создает гравитационное поле. Как и другие физические поля, гравитационное поле имеет свою силовую характеристику — напряженность гравитационного поля.

Напряженность гравитационного поля — это векторная физическая величина, равная отношению силы притяжения, действующей на материальную точку (тело) в гравитационном поле, к его массе:

Где  — напряженность гравитационного поля,  — масса материальной точки (тела),  — сила притяжения, действующая на материальную точку в гравитационном поле.

От чего зависит модуль напряженности гравитационного поля

Чтобы ответить на этот вопрос, определим модуль напряженности гравитационного поля для произвольной точки на поверхности Земли и на высоте от поверхности Земли:

Здесь и  — силы притяжения на поверхности Земли и на высоте h соответственно,  — масса Земли,  — радиус Земли.

• Заказать решение задач по физике

Модуль напряженности гравитационного поля в некоторой точке прямо пропорционален массе источника данного поля и обратно пропорционален

квадрату расстояния до этой точки. Модуль напряженности гравитационного поля не зависит от массы тела, помещенного в это поле. Вектор напряженности гравитационного поля в произвольной точке поля направлен вдоль радиуса к центру источника поля (b). В данной точке гравитационного поля модуль и направление напряженности гравитационного поля совпадают с модулем и направлением ускорения свободного падения.

Являются ли напряженность гравитационного поля и ускорение свободного падения одной и той же величиной

На помещенное в гравитационное поле произвольное тело действует сила притяжения со стороны источника поля. В результате тело получает ускорение (ускорение свободного падения), направленное к центру источника поля (например, центру Земли). Это ускорение сообщается телу действующей на него силой тяжести гравитационного поля.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля (планета) притягивает тела. Сила тяжести равна произведению массы тела, помещенного в гравитационное поле Земли (планеты), на ускорение свободного падения:

Сила тяжести всегда приложена к центру массы тела и направлена вертикально вниз (перпендикулярно к горизонтальной поверхности) к центру Земли (планеты) (с).

Из вышесказанного ясно, что понятия «напряженность гравитационного поля» и «ускорение свободного падения» имеют разный физический смысл. Так, напряженность гравитационного поля появляется в случае возникновения поля, а ускорение свободного падения возникает в результате действия силы тяжести при помещении в это поле произвольного тела (пробное тело).

Сила тяжести и вес тела

Если выпустить из рук карандаш, он обязательно упадет. Если поставить рюкзак на скамейку, она (хоть и незаметно для глаз) прогнется. Если подвесить к резиновому шнуру какое-нибудь тело, шнур растянется. Все это — следствия притяжения Земли. При этом репортажи с космических станций демонстрируют нам вроде бы «исчезновение» земного притяжения — космонавты и все вещи на борту находятся в состоянии невесомости.

Гравитационное взаимодействие:

Почему любой предмет, например выпущенный из руки карандаш, капля дождя, лист дерева и т. д., падает вниз? Почему стрела, выпущенная из лука, не летит все время прямо, а в конце концов падает на землю? Почему Луна движется вокруг Земли? Причина всех этих явлений в том, что Земля притягивает к себе все тела (рис. 20.1).

При этом все тела притягивают к себе Землю. Например, притяжение к Луне вызывает на Земле приливы и отливы (рис. 20.2). В результате притяжения к Солнцу наша планета и все другие планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца по определенным орбитам. В 1687 г. Исаак Ньютон сформулировал закон, согласно которому между всеми телами Вселенной существует взаимное притяжение. Такое взаимное притяжение объектов называют гравитационным взаимодействием или всемирным тяготением. Опираясь на опыты и математические расчеты, Ньютон доказал, что интенсивность гравитационного взаимодействия увеличивается с увеличением масс взаимодействующих тел. Именно поэтому легко убедиться в том, что всех нас притягивает Земля, и при этом мы совсем не ощущаем притяжение соседа по парте.

В физике силу гравитационного притяжения Земли, действующую на тела вблизи ее поверхности*, называют силой тяжести.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля притягивает к себе тела, находящиеся на ее поверхности или вблизи нее.

Сила тяжести приложена к телу, которое притягивается Землей, и направлена вертикально вниз, к центру Земли (рис. 20.3).

Многочисленными опытами доказано, что сила тяжести, действующая на тело, прямо пропорциональна массе этого тела: где — значение силы тяжести; m — масса тела; g — коэффициент пропорциональности, который называют ускорением свободного падения.

Будем считать, что, когда говорят «вблизи поверхности Земли», имеют в виду расстояние, не превышающее нескольких десятков километров.

Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно приблизительно 9,8 ньютона на килограмм: Значение ускорения свободного падения несущественно изменяется на экваторе и полюсах Земли (рис. 20.4), при подъеме над поверхностью Земли и при спуске в шахту. Используя рис. 20.4, определите, на сколько сила тяжести, действующая на вас, на экваторе меньше, чем на полюсе.

Что физики называют весом тела

Из-за притяжения к Земле все тела сжимают или прогибают опору либо растягивают подвес. Сила, которая характеризует такое действие тел, называется весом тела (рис. 20.5).

Вес тела — это сила, с которой вследствие притяжения к Земле тело давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Единица веса в СИ, как и любой другой силы,— ньютон Если тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, то его вес совпадает по направлению с силой тяжести и равен ей по значению: P=mg. Однако в отличие от силы тяжести, которая приложена к телу, вес приложен к опоре или подвесу (рис. 20.6).

Для упрощения расчетов в случаях, когда большая точность не существенна, можно считать, что g= 10 Н/кг.

Состояние невесомости

Вы наверняка хорошо знаете термин «невесомость», но его значение многие понимают неправильно. Например, считают, что невесомость — это состояние, которое наблюдается только в космосе, где нет воздуха, или там, где отсутствует гравитация. Но это не так! Отсутствие воздуха само по себе не вызывает невесомости, а от гравитации вообще не спрячешься — во Вселенной нет ни одного уголка, где бы не действовали силы всемирного тяготения*. На самом деле невесомость — это отсутствие веса. Уберите у тела опору или подвес — и оно окажется в состоянии невесомости. (Обратите внимание: сопротивление воздуха тоже является своего рода опорой!)

Невесомость — это такое состояние тела, при котором тело не действует на опору или подвес. Тело вблизи поверхности Земли находится в состоянии невесомости, если на него действует только одна сила — сила тяжести. На короткое время невесомость легко создать и дома. Можно, например, подпрыгнуть — и вы на мгновение окажетесь в состоянии невесомости: в данном случае, пока выдвигаетесь вниз, сопротивление воздуха пренебрежимо мало и можно считать, что на вас действует только сила тяжести. Постоянно в состоянии невесомости находятся космические орбитальные станции и все, что на них находится (рис. 20.7). Это связано с тем, что космические корабли «постоянно падают» на Землю из-за ее притяжения и в то же время остаются на орбите благодаря своей огромной скорости. У нетренированного человека длительное пребывание в состоянии невесомости, как правило, сопровождается тошнотой, нарушением работы мышц, вестибулярного аппарата**, нервными расстройствами, именно поэтому космонавты проходят серьезную физическую подготовку (рис. 20.8).

Плотность материи в нашей Вселенной очень мала (2-3 атома Гидрогена на 1 м³), потому во Вселенной в среднем очень мала и гравитация. Ее называют микрогравитацией. Вестибулярный аппарат — орган чувств у людей и позвоночных животных, воспринимающий изменение положения тела в пространстве и направление движения. Этот орган отвечает, например, за способность человека различать в темноте, где верх, а где низ.

Итоги:

Во Вселенной все тела притягиваются друг к другу. Такое взаимное притяжение тел называют всемирным тяготением. Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает к себе тела, находящиеся на ее поверхности или вблизи нее. Сила тяжести вычисляется по формуле и направлена вертикально вниз, к центру Земли. Вес тела — это сила, с которой вследствие притяжения к Земле тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес. Следует различать силу тяжести и вес тела: сила тяжести приложена к самому телу, а вес — к опоре или подвесу; вес тела равен по значению силе тяжести (P=mg) только в состоянии покоя тела или его равномерного прямолинейного движения. Когда тело движется под действием только силы тяжести, то оно находится в состоянии невесомости (его вес равен нулю).