Как найти колебательные степени свободы

Степень свободы колеблющейся системы

Колебания
упругих систем принято различать по
числу степеней свободы

.
Для упругой системы с геометрическими
(голономными) связями под числом степеней
свободы понимается число независимых
координат, определяющих положение
системы.

В
случае кинематических (неголономных)
связей число степеней свободы определяется
числом независимых возможных перемещений.

На
рис. 15.34 приведены примеры систем с
сосредоточенными массами, степень
свободы которых определяется по числу
независимых перемещений

,
этих масс. В этих примерах мы пренебрегаем
массой, распределённой в элементах
самой системы.

Реальная
система обладает бесконечным числом
степеней свободы. Рассмотрим, например,
балку на двух опорах (рис. 15.35). Ее можно
разбить на любое число участков (в том
числе и бесконечно малых

).
Массу каждого участка можно сосредоточить
в его середине. В зависимости от числа
полученных сосредоточенных масс и
количества их независимых перемещении
мы можем легко подсчитать степень
свободы системы. В пределе, когда число
участков стремится к бесконечности,
приходим к системе с бесконечным числом
степеней свободы. В изображенном на
рис. 15.35 случае n
= 4.

Рис.
15.34

а)
б)

Рис.
15.35

Таким
образом, число степеней свободы системы
определяется фактически выбором ее
расчетной схемы т.е. степенью приближения,
к реальной системе. Если, например, балка
несет один сосредоточенный груз (рис.
15.34,а),
масса которого значительно превышает
массу самой балки, то в расчетной схеме
системы естественно пренебречь массой
балки и считать

.

Канонические
уравнения колебания упругих систем с
конечным числом степеней свободы

Рассмотрим
упругую систему, несущую несколько
сосредоточенных масс

.
Пусть

—
силы, приложенные к этим грузам в
направлении их смещений (рис. 15.36).

Рис.
15.36

Тогда
перемещения этих грузов в направлении
приложенных сил по закону Гука и принципу
независимости действия сил определяются
по формулам:

(15.65)

или
в сокращённой записи

(15.66)

Здесь

—
коэффициенты влияния, определяемые с
помощью формулы Мора. Представим теперь,
что наша система пришла в движение.
Выясним природу сил

в
этом случае. На сосредоточенную массу
может действовать внешняя сила

,
зависящая от времени и, согласно принципу
Даламбера, — сила инерции

.
Следовательно,

(15.67)

Здесь
точки над

означают
двукратное дифференцирование по времени.
В свою очередь сила

может
состоять из постоянной

(например,
вес груза) и переменной

частей:

(15.68)

Подставляя
(15.67) в (15.66), получим форму записи уравнений
движения упругих систем с конечным
числом степеней свободы:

(15.69)

которые
называются каноническими уравнениями
колебаний упругих систем. При исследовании
колебаний различают собственные
(свободные) и вынужденные колебания.
Под собственными колебаниями системы
понимают такие, которые она совершает
при отсутствии внешнего силового
воздействия, т.е. предоставленная самой
себе. В этом случае

,
и колебания поддерживаются только
упругими силами. Под вынужденными
колебаниями упругой системы понимают
такие, которые происходят под действием
возмущающих сил

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  21.05.2015328.44 Кб231.docx

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Число — колебательная степень — свобода

Cтраница 1

Число колебательных степеней свободы ( нормальных координат) равно 3N — 5 в линейной многоатомной молекуле и 3N — 6 в нелинейной многоатомной молекуле. Даже — для трехатомной молекулы ( N 3) это число больше двух, поэтому следует рассматривать многомерные потенциальные поверхности. Только в том случае, когда в верхнем, и нижнем состояниях колебательное движение является одномерным, как в двухатомной молекуле, в поглощении будет обнаружена простая прогрессия полос.
 [1]

Число колебательных степеней свободы равно числу нормальных колебаний молекулы.
 [2]

Число колебательных степеней свободы /, необходимое для обеспечения наблюдаемых скоростей, меньше 3 т — 6 и поэтому его можно считать правдоподобным.
 [3]

Число колебательных степеней свободы / Кол зависит от числа г атомов в молекуле. Поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится в два раза большая средняя энергия, чем на поступательные или вращательные степени свободы.
 [4]

Число колебательных степеней свободы активированного комплекса легко может быть подсчитано на основании того, что общее число степеней свободы должно быть равно Зя, где п число атомов.
 [6]

Приводится число колебательных степеней свободы ( т — 3 для Н2О), а также колебательный квант v — и статистический вес g; каждой из них. Полоса, для которой отлично от нуля только одно значение б / и оно равно единице, называется основной, и если этот переход не связан с симметричным типом колебаний, то полоса является сильной. Полосы симметричных колебаний, такие, как 1, О, О для СО2, имеют очень малую интенсивность, за исключением, как это уже упоминалось, больших давлений, когда возникает наведенный давлением ( столкновениями) диполь. По этой причине симметричные молекулы двухатомных газов О2, N3, H2 и др. в таблице не представлены. Полосу, для которой единственное ненулевое значение б — 2, называют обертоном; такие полосы часто настолько слабы, что ими можно пренебречь.
 [7]

Так как число колебательных степеней свободы, участвующих в реакции рекомбинации этильных радикалов, больше, чем для метальных, следует ожидать, что для этой реакции второй порядок будет наблюдаться при значительно меньших давлениях, чем для рекомбинации метильных радикалов.
 [8]

Более строго число колебательных степеней свободы равно 3N — 6, так как на перемещение кристалла в пространстве и его вращение как целого приходится 6 степеней свободы.
 [9]

Так как число колебательных степеней свободы для молекулы, состоящей из N атомов, равняется ( 3N — 6), то ясно, что для полного описания всех возможных деформаций или колебаний многоатомных молекул необходимо ввести не менее ( 3N — 6) естественных колебательных координат. Правда, в отдельных случаях можно не учитывать некоторые колебательные движения, и тогда число естественных колебательных координат может быть уменьшено. Так нередко поступают, например, когда производится расчет только высокочастотных колебаний в молекулах, допускающих вращение одних групп атомов относительно других вокруг определенных химических связей.
 [10]

Лг — число колебательных степеней свободы иона; v — частотный фактор; М — статистический множитель, равный числу связей в молекуле, разрыв которых приводит к образованию одного и того же фрагментарного иона.
 [11]

У сложных молекул число колебательных степеней свободы велико ( см. § 6.1), и их инфракрасные спектры представляют собой систему большого числа различных, частично налагающихся друг на друга полос поглощения. Существенно, однако, что для многих химических связей или групп частоты колебаний мало зависят от того, в составе каких молекул они находятся. Поэтому в ПК-спектрах соединений, содержащих такую группу или связь, всегда наблюдается полоса с максимумом в определенной узкой области спектра. Все соединения, содержащие карбонильную группу С О, поглощают в области 1650 — 1850 см-1, причем для каждого класса соединений, содержащих С О-группу, можно выделить свой более узкий диапазон волновых чисел, отвечающих максимуму поглощения.
 [12]

Для иллюстрации определим число колебательных степеней свободы некоторых сложных молекул. На рисунке 3.21 представлены колебания линейной трехатомной молекулы: а — несимметричные колебания, б — симметричные колебания, в — деформационные колебания. Существуют два деформационных колебания одинаковой частоты ( вырожденные колебания), они реализуются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
 [13]

У сложных молекул число колебательных степеней свободы велико ( см. § 6.1), и их инфракрасные спектры представляют собой систему большого числа различных, частично налагающихся друг на друга полос поглощения. Существенно, однако, что для многих химических связей или групп частоты колебаний мало зависят от того, в составе каких молекул они находятся. Поэтому в ИК-спектрах соединений, содержащих такую группу или связь, всегда наблюдается полоса с максимумом в определенной узкой области спектра. Все соединения, содержащие карбонильную группу С О, поглощают в области 1650 — 1850 см 1, причем для каждого класса соединений, содержащих С О-группу, можно выделить свой более узкий диапазон волновых чисел, отвечающих максимуму поглощения.
 [14]

В нем т — число колебательных степеней свободы, по которым может распределяться энергия образования частицы. Нал-бандяну и В. В. Воеводскому i [8] m 2 для реакции ( II /), и поэтому величина kf не меняется с температурой.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Молекулы могут участвовать в разных типах движения: поступательном (любые молекулы), вращательном (двух – и многоатомные), колебательном (двух – и многоатомные).

Для описания положения в пространстве одноатомной молекулы потребуется всего три координаты, что соответствует тому, что она обладает тремя степенями свободы (см. рис. 1).

Принято обозначать число степеней свободы буквой ii. Для рассматриваемого примера i=3.i = 3. Наличие этих трёх координат фактически указывает на способность тела двигаться в трёх направлениях, или, как говорят, обладает тремя поступательными степенями свободы (рис. 1).

Для описания положения в пространстве двухатомной молекулы потребуется учесть способность центра масс этой молекулы двигаться в трёх направлениях (три поступательные степени свободы) и способность вращаться вокруг двух осей, проходящих через центр масс (две вращательные степени свободы). Третья ось, проходящая и через центры атомов двухатомных молекул, не изменяет положения атомов, и потому не рассматривается (на рис. 2 пунктирные оси и фигурные оси).

У трёхатомных или многоатомных молекул их было бы три.

И последнее возможное движение — это колебания атомов относительно центра масс молекулы. Такое движение приводит к изменению расстояния dd. (на рис. 2 показано для одного атома).

Этот тип движения атомов в молекуле «даёт о себе знать» только при температурах выше некоторой характерной температуры (для большинства молекул она составляет примерно `1000` К). При более высокой температуре есть смысл рассматривать эту одну колебательную степень свободы, а при более низкой — считать, что данная степень свободы отсутствует.

Таким образом, для описания положения в пространстве двухатомной молекулы требуется 6 величин:

1) три координаты центра масс (поступательные степени свободы),

2) два угла (вращательные степени свободы) и

3) одно расстояние dd между атомами (колебательная степень свободы).
 

Число степеней свободы, подсчитываемое для расчёта энергии, отличается от выше описанного в части колебательного движения.