Как найти количество целых чисел функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти количество целых чисел в области определения функции?

Определение области определения функции — это множество всех значений, для которых определена функция. Перед тем как начинать поиск количества целых чисел в этой области, необходимо убедиться, что функция определена на всей области.

Для поиска целых чисел в области определения функции можно использовать несколько подходов.

1. График функции

Первым и наиболее очевидным способом определения количества целых чисел в области определения функции является построение ее графика на координатной плоскости. Затем, с помощью визуального анализа графика, можно определить места, где график функции пересекает ось абсцисс. Точки пересечения — это искомые целые числа.

2. Таблица значений функции

Вторым способом является составление таблицы значений функции в области определения. Для этого необходимо выбрать несколько значений аргумента в области определения и вычислить соответствующие значения функции. Затем необходимо проанализировать полученную таблицу и найти целые числа в значениях функции.

3. Решение уравнения

Третий способ включает решение уравнения, полученного путем приравнивания функции к нулю. Если уравнение имеет только целочисленные решения, то эти решения и будут искомыми целыми числами в области определения функции.

4. Применение теории чисел

Четвертым способом является применение теории чисел. В некоторых случаях, для определения количества целых чисел в области определения функции, можно использовать свойства числовых последовательностей и целочисленных рядов.

Вывод

Как видно из вышесказанного, существует несколько способов поиска количества целых чисел в области определения функции. Каждый из них может быть эффективен в зависимости от конкретной функции и области определения. Однако, для некоторых функций поиск целочисленных значений может быть крайне сложным или невозможным.

Источник

Отыщем область значений указанной функции.
Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.

$6 + 2 sin^{2} x - 6sin4x + cos2x + cos 8x = 6 + 1 - cos2x - 6sin4x + cos2x \ + cos 8x = 7 - 6sin4x + cos8x = 7 - 6sin4x + 1 - 2 sin^{2} 4x = -2 sin^{2} 4x \ - 6sin 4x + 8$
Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с помощью формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.

Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена. Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен
$-2 t^{2} - 6t + 8$
, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:
$x_{0} = frac{-b}{2a} = frac{6}{-4} = -1,5$ . Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при . Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. В частности, это происходит и на отрезке [-1,1] . Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t — это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка.

Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее — в левом(в точке -1). То есть,
$y_{min} = -2 * 1 - 6 * 1 + 8 = 0 \ y_{max} = -2 * (-1)^{2} - 6 * (-1) + 8 = 12$ , где $y = -2 sin^{2} 4x - 6sin4x + 8$ .
То есть, .

А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт .
Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.
0, 1, 2, 3 — и всё. Их ровно 4.

Источник

Загрузить PDF

Множество значений (область значений) функции — все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.

1

Запишите функцию. Например: f(x) = 3x² + 6x -2. Подставив x в уравнение, мы сможем найти значение y. Эта квадратичная функция, и ее график — парабола.
2
Найдите вершину параболы. Если вам дана линейная функция или любая другая с переменной в нечетной степени, например, f(x) = 6x³+2x + 7, пропустите этот шаг. Но если вам дана квадратичная функция или любая другая с переменной х в четной степени, нужно найти вершину графика этой функции. Для этого используйте формулу х=-b/2a. В функции 3x² + 6x -2 a = 3, b = 6, c = -2. Вычисляем: х = -6/(2*3)= -1.
- Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1)² + 6*(-1) -2 = 3 — 6 -2 = -5.
- Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.
3
Найдите еще несколько точек на графике. Для этого подставьте в функцию несколько других значений х. Так как член x² положительный, то парабола будет направлена вверх. Для подстраховки подставим в функцию несколько значений x, чтобы узнать, какие значения y они дают.
- f(-2) = 3(-2)² + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
- f(0) = 3(0)² + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
- f(1) = 3(1)² + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).
4

Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.

Реклама

1

Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3. Это значение может становиться все меньше и меньше, вплоть до бесконечности, так что минимум функции не имеет заданной минимальной точки.
2

Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10. Как и в случае с минимумом, максимум функции не имеет заданной максимальной точки.
3
Запишите множество значений. Таким образом, множество значений функции лежит в диапазоне от -3 до +10. Запишите множество значений функции как: -3 ≤ f(x) ≤ 10
- Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
- С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.
Реклама

1

Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.^[1]
2

Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: {-3, 6, -1, 6, 3}.^[2]
3

Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите «6»: {-3, -1, 6, 3}.^[3]
4

Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} будет {-3, -1, 3, 6}.^[4]
5

Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4.^[5]

Реклама

1

Прочитайте задачу. «Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?»
2
Запишите задачу как функцию. В этом случае М — общая вырученная сумма за проданные билеты, а t — количество проданных билетов. Так как один билет стоит 500 рублей, надо умножить количество проданных билетов на 500, чтобы найти вырученную сумму. Таким образом, функция может быть записана в виде M(t) = 500t.
- Например, если она продаст 2 билета, нужно умножить 2 на 500 — в итоге получим 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.
3

Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, — она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.
4
Найдите область значений. Это возможное количество денег, которые Ольга выручит от продажи билетов. Если вы знаете, что область определения функции — любое неотрицательное целое число, а функция имеет вид: М(t) = 5t, то вы можете найти вырученную сумму, подставив в функцию любое неотрицательное целое число (вместо t). Например, если она продаст 5 билетов, то М(5) = 5*500 = 2500 рублей. Если она продаст 100 билетов, то М(100) = 500 х 100 = 50000 рублей. Таким образом, область значений функции — любые неотрицательные целые числа, кратные пятистам.
- Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.
Реклама

Советы

В более сложных случаях лучше сначала чертить график, используя область определения, и только потом находить область значений.
Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, которая повторяется вдоль оси x, будет иметь ту же область значений для всей функции. Например, область значений для f(x) = sin(x) будет составлять от -1 до 1.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 455 114 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

OBRAZOVALKA.COM

OBRAZOVALKA.COM — образовательный портал
Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .

Наша доска вопросов и ответов в первую очередь ориентирована на школьников и студентов из России и стран СНГ, а также носителей русского языка в других странах.

Для посетителей из стран СНГ есть возможно задать вопросы по таким предметам как Украинский язык, Белорусский язык, Казакхский язык, Узбекский язык, Кыргызский язык.

На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.

Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.

Источник

Опубликовано 3 года назад по предмету
Математика
от JackHoster

сколько целых чисел содержит область определения функции

Ответ

Ответ дан
belozerova1955

Подкоренное выражение ≥ 0, знаменатель ≠0. Решаем методом интервалов, ответ х∈[5;10) Целые числа в области определения : 5;6;7;8;9 ( всего пять целых чисел)
(5-x)/(x-10) ≥ 0

ОДЗ: x≠10

(5-x)(x-10)≥0
-(x-5)(x-10)≥0
(x-5)(x-10)≤0
x=5 x=10
+ — +
——— 5 ———— 10 ————
\\\\
x∈[5; 10)
D(f)=[5; 10) — область определения функции.

x={5; 6; 7; 8; 9} — целые числа
Всего 5 целых чисел.

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Источник