Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).
Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.
Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.
Ответ: (11.)
Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
2
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
3
Задания Д2 № 6423 
На рисунке изображен график функции определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в которых производная функции 
отрицательна.
4
Задания Д2 № 6871
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
5
Задания Д2 № 6873
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
6
Задания Д2 № 6875
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
7
Задания Д2 № 6881
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
8
Задания Д2 № 6897
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
9
Задания Д2 № 6899
На рисунке изображен график функции определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
10
Задания Д2 № 6903
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
11
Задания Д2 № 6907
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
12
Задания Д2 № 6909
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
13
Задания Д2 № 6919
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
14
Задания Д2 № 6927
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
15
Задания Д2 № 6931
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
16
Задания Д2 № 6933
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
17
Задания Д2 № 6937
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
18
Задания Д2 № 6939
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
19
Задания Д2 № 6943
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
20
Задания Д2 № 6949
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
21
Задания Д2 № 6955
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
22
Задания Д2 № 6957
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
23
Задания Д2 № 6959
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
24
Задания Д2 № 6963
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
25
Задания Д2 № 6967
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
26
Задания Д2 № 6969
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
27
Задания Д2 № 6973
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
28
Задания Д2 № 6977
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
29
Задания Д2 № 6983
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
30
Задания Д2 № 6989
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
31
Задания Д2 № 6991
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
32
Задания Д2 № 6993
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
33
Задания Д2 № 6995
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
34
Задания Д2 № 7003
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
35
Задания Д2 № 7005
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
36
Задания Д2 № 7011
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
37
Задания Д2 № 7017
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
38
Задания Д2 № 7019
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
39
Задания Д2 № 7021
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
40
Задания Д2 № 7025
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
41
Задания Д2 № 7029
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
42
Задания Д2 № 7031
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
43
Задания Д2 № 7037
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
44
Задания Д2 № 7039
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
45
Задания Д2 № 7041
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
46
Задания Д2 № 7043
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
47
Задания Д2 № 7047
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
48
Задания Д2 № 7049
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
49
Задания Д2 № 7059
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале 
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
50
Задания Д2 № 7061
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
51
Задания Д2 № 7063
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
52
Задания Д2 № 7067
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
53
Задания Д2 № 7073
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
Определите количество целых точек
Дата: 2015-07-27
5374
Категория: Производная
Метка: ЕГЭ-№7
27488. На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (–5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x)отрицательна.
Из свойств производной функции известно, что она отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (−4,2; 1,4) и (2,5; 4,2). В них содержатся целые точки −4, −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Всего их 8 штук.
Ответ: 8
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Ok
Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.
Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить статью на блоге, а также посмотреть справочник (но в нём краткое изложение).
Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;
2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;
3. Количество точек, в которых производная равна нулю;
1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки −5, −4, 1, 2, 3, 4, и 7. Получили 7 точек.
2. Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре: –3; 0; 4,2; 6,9
3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.
Решите самостоятельно:
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Посмотреть решение.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;
2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;
3. Количество точек, в которых производная равна нулю;
1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только одна целая точка х = 2.
2. Прямая y = 3 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 3 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот).
Таких точек четыре: –4,3; 1,4; 2,5; 4,4
3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.
Решите самостоятельно:
Определите количество целых точек, в которых производная функции f (x) отрицательна.
Посмотреть решение.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−2; 12). Найдите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;
2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;
3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;
4. Количество точек, в которых производная равна нулю.
1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки: –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.
2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки 5 и 6. Получили 2 точки.
3. Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.
Решите самостоятельно:
Найдите сумму точек экстремумов функции f (x). Посмотреть решение.
Как видите, ничего сложного нет. Желаю вам успехов!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Тема 7.
Взаимосвязь функции и ее производной
7
.
05
Производная и возрастание/убывание функции
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Подтемы раздела
взаимосвязь функции и ее производной
Решаем задачи
На рисунке изображен график функции 
, определенной на интервале 
. Определите количество целых точек,
в которых производная функции положительна.
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать ответ и решение
Производная функции положительна на тех промежутках, где функция возрастает. Тогда в точках 
производная
функции 
больше 0.
На рисунке изображен график производной функции 
При каком значении 
эта функция принимает свое
наибольшее значение на отрезке ![[−5;−2]?](https://2.shkolkovo.online/api/latex-service/v1/GetSession/44950/index-5ee3e20e0c4e61cc21dc5e6a7b3f9fb7.svg)
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
В какой точке
отрезка ![[2;6]](https://2.shkolkovo.online/api/latex-service/v1/GetSession/4015/index-1c0a42efcb00b58444c5eec5d24cd210.svg)
функция 
принимает наибольшее значение?
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
В какой точке
отрезка ![[2;5]](https://2.shkolkovo.online/api/latex-service/v1/GetSession/4423/index-efb9e0313b9adcb05ff8a49306d715ff.svg)
функция 
принимает наибольшее значение?
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите
промежутки убывания функции 
В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.
Показать ответ и решение
Для функции 
у которой существует производная в точке 
утверждение о том, что 
убывает в точке 
равносильно тому, что 
На интервале 
целыми являются точки 
0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек 
отрицательна только в точках
0, 1 и 2.
Таким образом, количество целых точек, в которых функция убывает, равно 4.
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в
которых производная функции положительна.
На рисунке изображен график 
— производной функции 
, определенной на интервале 
. В
какой точке отрезка ![[− 1;6]](https://2.shkolkovo.online/api/latex-service/v1/GetSession/163/index-4d0b2772195adde828711e9ae0092133.svg)
функция 
принимает наибольшее значение?
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания
функции 
В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите
промежутки убывания функции 
. В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите
промежутки возрастания функци 
. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Показать ответ и решение
Для функции 
у которой производная в точке 
имеет смысл, утверждение о том, что 
возрастает в 
равносильно
тому, что 
На интервале 
целыми являются точки 
0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек 
положительна только в 
0 и 1.
Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна
На рисунке изображен график 
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите
промежутки возрастания функции 
В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в
которых производная функции отрицательна.
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале 
Определите количество целых точек, то
есть тех, у которых абсцисса — целое число, в которых производная функции отрицательна.
На рисунке изображен график производной функции 
на интервале 
. Найдите промежутки убывания функции 
. В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображён график функции 
определённой на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции
отрицательна.
Показать ответ и решение
Производная отрицательная, когда функция убывает. По графику видно, что
функция убывает при следующих целых значениях 
: 
Получаем
4 точки.
На рисунке изображён график 
— производной функции 
,
определённой на интервале 
. Найдите промежутки убывания функции
. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать ответ и решение
Функция убывает, когда 
, то есть это происходит тогда, когда график
производной лежит ниже оси 
. Наибольшую длину имеет промежуток от 10
до 16.