Как найти количество циклов тепловой машины

Пример
5.6.1. Определить
параметры состояния (Р,
υ,
t,
u,
i,
s)
в крайних точках цикла газотурбинной
установки простейшей схемы, работающей
при следующих исходных данных (рис.
5.6.1.):

начальное
давление сжатия Р₁
= 0,1 МПа,

конечное
давление сжатия Р₂
= 0,5 МПа,

начальная
температура сжатия t₁
= + 15 °С,

начальная
температура процесса расширения t₃
= 750 °С.

Рис.5.6.1.
Схема простейшей газотурбинной установки

1 – осевой компрессор;
2 – камера сгорания; 3 – турбина; 4 –
нагрузка

Рис.5.6.2.
Цикл газотурбинной установки в координатах
Р-υ
и Т-S

Внутреннюю
энергию u,
энтальпию i
определить от­носительно Т₀
= 0 К, а энтропию s
определить относи­тельно состояния
при Т₀
= 273,2 К, Р₀=0,101
МПа.

Для
каждого процесса цикла определить
работу, ко­личество подведенного или
отведенного тепла, измене­ние внутренней
энергии, энтальпию и энтропию.

Определить
работу цикла, количество подведенного
и отведенного тепла, термический КПД
цикла, сравнить его с КПД цикла Карно,
имеющего одинаковые с рас­четным
циклом максимальную и минимальную
темпера­туры.

Построить
цикл в координатах Р-υ
и Т-S.
Рабочее тело — 1 кг воздуха (R=0,287
кДж/кг∙К, С_P=1,006
кДж/кг∙К; С_V=С_P
– R=0,719
кДж/кг∙К).

Для
воздуха применимо уравнение состояния
идеаль­ного газа Pυ
= RT.

Решение

1. Определение
параметров состояния в крайних точках
цикла.

Точка 1.

P₁=0,1
МПа; t₁=+
15°С; Т₁=t₁
+ 273,2=288,2 К;

м³/кг;

кг/м³;

i₁=С_P
T₁=1,006∙288,2
= 289,9 кДж/кг;

u_l
= C_V
T₁=0,719∙288,2
= 207,2 кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Следует
заметить, что если определение энтропии
в точке идет при совпадающем значении
давления P₁=Р₀,
то уравнение упрощается и принимает
вид

Точка 2.

К;

;

t₂=T₂
—
273,2 = 183,5 °С;

м³/кг;

кг/м³;

i₂=C_P∙T₂=1,006∙456,7=459,4
кДж/кг;

и₂=C_V∙T₂=0,719∙456,7=328,4
кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Точка 3.

Р₃=Р₂=0,5
МПа; Т₃=t₃
+ 273,2 = 1023,2 °К;

м³/кг;

кг/м³;

i₃=C_P∙T₃=1,006∙1023,2=1029,3
кДж/кг;

и₃=C_V∙T₃=0,719∙1023,2=735,7
кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Точка 4.

Р₄=Р₁=0,1
МПа;

К;

t₄=T₄
—
273,2 = 376,6 °С;

м³/кг;

кг/м³;

i₄=C_P∙T₄=1,006∙645,8=649,7
кДж/кг;

и₄=C_V∙T₄=0,719∙645,8=470,8
кДж/кг;

кДж/кг∙К.

2.
Построение цикла в координатах Р-υ
и Т-s.

Процессы,
изображаемые в Р-υ
и Т-s
координатах, необходимо строить не
менее чем по трем точкам.

Для
нахождения параметров промежуточных
точек вначале надо принять произвольно
значение одного ка­кого-либо параметра
таким образом, чтобы это значе­ние
находилось между его численными
значениями в крайних точках процесса.
Последующий параметр опре­деляется
из уравнения, характеризующего данный
про­цесс, составленного для одной
(любой) из крайних точек процесса и для
промежуточной точки.

Процесс
1-2. Точка
«а».
Принимаем Р_а=0,3
МПа. По уравнению адиабаты идеального
газа Pυ^k
=C
для точек «а»
и 1 имеем Р_а∙υ^k_а
= Р₁∙υ^k₁
или

м³/кг;

К;

t_a=120,9
^oC;

i_a=C_P∙T_a=1,006∙394,1=396,5
кДж/кг;

и_a=C_V∙T_a=0,719∙394,1=283,4
кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Аналогично
определяются параметры на всех других
процессах рассматриваемого цикла. По
найденным значе­ниям строится цикл
в координатах Р-υ
и Т-s.
Масштаб выбирается произвольно исходя
из численных значений параметров.

3.
Определение работы, количества
подведенного или отведенного тепла,
изменение внутренней энергии, эн­тальпии
и энтропии для каждого процесса цикла.

Процесс
1-2
(адиабатический, δq
= 0)

q_1,2
= Δu
+ l_1,2
= Δi
+ w_1,2
= 0

Потенциальная
работа

w_1,2
= i₁
– i₂
= C_P(T₁
– T₂)
= 1,006(288,2 – 456,7) = —
169,5 кДж/кг –

работа затрачивается.

Термодинамическая
работа

l_1,2
= u₁
– u₂
= C_V(T₁
– T₂)
=0,719(288,2 —
456,7) = —
121,2 кДж/кг;

Δi
=
i₂
–
i₁
= 169,5 кДж/кг;

Δu
=
u₂
–
u₁
= 121,2 кДж/кг,

Δs_1,2
= 0, так как
q_1,2
= 0.

Процесс
2-3 (изобарический,
Р
= idem)

l_2,3
= P₂(υ₃
– υ₂)
= 0,5∙10⁵(0,587
– 0,262) = 0,162∙10⁵
кДж/кг;

w_2,3
= 0;

q_2,3
= i₃
– i₂
= C_P(T₃
– T₂)
= 1,006(1023,2 — 456,7) = 569 кДж/кг,
—

тепло подводится

Δu_2,3
= C_V(T₃
– T₂)
= 0,719(1023,2 —
456,7) = 407,3 кДж/кг;

l_2,3
= q_2,3
+ Δu_2,3
= 569,7 —
407,3 = 162 кДж/кг,

кДж/кг∙К,

кДж/кг∙К.

Процесс
3-4
(адиабатический, δq
= 0)

q_3,4
= Δu_3,4
+ l_3,4
= Δi_3,4
+ w_3,4
= 0;

w_3,4
= i₃
– i₄
= C_P(T₃
– T₄)
= 1,006(1023,2 – 645,8) = 379,7 кДж/кг;

l_3,4
= u₃
–
u₄
= C_V(T₃
– T₄)
=271,4 кДж/кг;

Δs_3,4
= 0, так как
q_3,4
= 0.

Процесс
4-1
(изобарический, Р
= idem)

w_4,1
= 0;

q_4,1
= Δi_4,1
+ w_4,1
= C_P(T₁
– T₄)
==1,006(288,2 —
645,8)= —
359,7 кДж/кг –

тепло отводится.

Δu_4,1
= C_V(T₁
– T₄)
= 0,719(288,2 —
645,8) = — 257,1
кДж/кг;

l_4,1
= P
(υ₁
– υ₄)
= 0,5∙10⁵(0,827
—
1,85) = —
0,102∙10⁵
кДж/кг;

из
первого начала термодинамики q_4,1
=
Δu_4,1
+ l_4,1
имеем:

l_4,1
= q_4,1
– Δu_4,1
= —
359,7 —
(—257,1)
= —
102,6 кДж/кг – работа подводится

кДж/кг∙К,

или

кДж/кг∙К.

Данные
вычислений сводятся в табл. 5.6.1. и 5.6.2.

Таблица
5.6.1.

Результаты
вычислений по точкам

Точки	Параметры
Р, МПа	υ, м3/кг	t, °С	Т, К	l, кДж/кг	и, кДж/кг	s, кДж/кг∙К
1	0,1	0,827	15	288,2	289,9	207,2	0,057
2	0,5	0,262	183,5	456,7	459,4	328,4	0,057
3	0,5	0,587	750	1023,2	1029,3	735,7	0,869
4	0,1	1,85	372,6	645,8	649,7	470,8	0,869

Таблица
5.6.2.

Результаты
вычислений по процессам

Процессы	l, кДж/кг	w, кДж/кг	Δi, кДж/кг	Δи, кДж/кг	q, кДж/кг	Δs, кДж/кг∙К
1-2	-121,2	-169,5	169,5	121,2	0	0
2-3	162	0	567,7	407,3	569,7	0,812
3-4	274,4	379,7	-379,4	271,4	0	0
4-1	-109,6	0	-359,7	-257,1	-359,7	-0,812

Работа цикла

Термодинамическая
работа

l_ц
= l_1,2
+ l_2,3
+ l_3,4
+ l_4,1
= —
121,2 + 162 + 271,4 —
102,6 ≈ 210 кДж/кг.

Потенциальная
работа

w_ц
= w_1,2
+ w_2,3
+ w_3,4
+ w_4,1
= —
169,5 + 379,7 = 210 кДж/кг.

В
круговых процессах l_ц
= w_ц.

Количество полезно
использованного тепла в цикле

q_пол
= q_2,3
– q_4,1
= 210
кДж/кг.

В круговом
термодинамическом процессе количество
подведенного тепла численно равно
работе:

q
= l_ц
= w_ц
= 210 кДж/кг.

Термический КПД
цикла

.

КПД
цикла Карно, имеющего одинаковые с
расчетным циклом максимальную и
минимальную температуры

.

>
η_t.

Пример
5.6.2. Провести
термодинамический расчет цикла
паросиловой установки (цикл Ренкина),
работающей при следующих исходных
данных.

Начальное
давление пара, то есть давление перед
турбиной Р₁
= 5 МПа = 50 Бар. Начальная темпера­тура
пара, то есть тем­пература пара перед
тур­биной t₁
= 500 °С; T₁
= t₁
+ 273,2 = 773,2 К. Конечное давление отработанного
пара, т.е. дав­ление пара за турбиной,
в конденсаторе Р₂
= 0,01 МПа = 0,1 бар.

Требуется
опреде­лить:

1)
параметры пара в крайних точках цикла
и представить цикл в координатах Р-υ
и T—s
и i—s;

2) внутренний
абсолютный КПД цикла;

3) удельный часовой
расход пара;

4) удельный часовой
расход тепла;

5)
количество охлаждающей воды, необходимой
для конденсации пара в течение 1 часа,
если вода нагревается при этом на 10°C.

Мощность
паросиловой установки принимается
рав­ной N
= 2500 кВт.

Решение

Паросиловая
установка по циклу Ренкина работает
следующим образом (рис 5.6.3.). Вода насосом
V
подается в паровой котел I,
при этом давление ее повышается с
величины Р₂
до Р₁.
Так как вода практически не сжи­мается
(υ=const),
то в координатах Р-υ
(рис.5.6.4.) этому процес­су соответствует
процесс 3-4 (υ=idem),
а в координатах Т-s
и i—s
этот процесс из-за малости масштаба
прак­тически выглядит как совмещенная
точка 3-4 (Слиш­ком близко друг от друга
здесь расположены изобары P₁
и Р₂).

Рис.
5.6.3. Принципиальная схема па­росиловой
установки

В
паровом котле вода подогревается вначале
от тем­пературы точки 4 до температуры
точки 5, где она до­стигает величины
температуры кипения. Эта температу­ра
будет больше или меньше в зависимости
от давления P₁.
Так при давлении P₁
= 0,1 МПа температура в точке 5 будет равна
≈ 100°С; а при Р
= 0,2 МПа кипе­ние, воды будет начинаться
уже при температуре ≈ 120°С и т.д. Таким
образом, отрезок изобары 4-5 в коор­динатах
Р-υ
-соответствует процессу нагревания
воды при постоянном давлении до
температуры кипения. Тем­пературу
кипения, при которой вода превращается
в пар, называют температурой насыщения,
а пар, образую­щийся при этом, — влажным
насыщенным паром.

Рис.
5.6.4. Цикл паросиловой установки в
координатах Р-υ
и T—s
и i—s

При
дальнейшем подводе тепла в паровом
котле 1 количество жидкой фазы постепенно
уменьшается, а ко­личество пара
увеличивается. Температура смеси
остает­ся постоянной (рис. 5.6.4.), так
как все подводимое тепло идет на испарение
жидкой фазы. Этот процесс на рис. 5.6.4.
изображается отрезком 5-6, который
одновременно яв­ляется изобарой и
изотермой. То есть процесс парооб­разования
5-6 является изобарно-изотермическим.

В
точке 6 последняя капля воды превращается
в пар и пар теперь называется сухим
насыщенным паром. При дальнейшем подводе
тепла в пароперегревателе II
(q’’₁)
при том же давлении P₁
происходит увеличение тем­пературы
пара, пар перегревается. Точка 1 на рис.
5.6.4 соответствует, состоянию перегретого
пара и, в зависи­мости от температуры
T₁,
может лежать дальше или ближе от точки
6.

Далее
пар с параметрами P₁,
T₁,
поступает в паровую турбину, где
расширяется адиабатически до давления
Р₂.
После расширения пара в паровой турбине
и полу­чения полезной работы от турбины
отработанный пар поступает в
холодильник-конденсатор IV,
где за счет внешнего охлаждения полностью
конденсируется. Вода вновь поступает
на вход насоса V
и цикл повторяется.

Для
цикла Ренкина характерно, прежде всего,
то, что в нем не учитываются какие-либо
потери в различных стадиях цикла,
присутствует одно и то же количество
вещества и, главное, происходит полная
конденсация водяных паров в
холодильнике-конденсаторе на линии
2-3. При этом отводится тепло в количестве
q₂.

Соседние файлы в папке Теория

• #
• #
• #
• #
• #

Тепловые машины

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: принципы действия тепловых машин, КПД тепловой машины, тепловые двигатели и охрана окружающей среды.

Коротко говоря, тепловые машины преобразуют теплоту в работу или, наоборот, работу в теплоту.
Тепловые машины бывают двух видов — в зависимости от направления протекающих в них процессов.

1. Тепловые двигатели преобразуют теплоту, поступающую от внешнего источника, в механическую работу.

2. Холодильные машины передают тепло от менее нагретого тела к более нагретому за счёт механической работы внешнего источника.

Рассмотрим эти виды тепловых машин более подробно.

к оглавлению ▴

Тепловые двигатели

Мы знаем, что совершение над телом работы есть один из способов изменения его внутренней энергии: совершённая работа как бы растворяется в теле, переходя в энергию беспорядочного движения и взаимодействия его частиц.

Рис. 1. Тепловой двигатель

Тепловой двигатель — это устройство, которое, наоборот, извлекает полезную работу из «хаотической» внутренней энергии тела. Изобретение теплового двигателя радикально изменило облик человеческой цивилизации.

Принципиальную схему теплового двигателя можно изобразить следующим образом (рис. 1). Давайте разбираться, что означают элементы данной схемы.

Рабочее тело двигателя — это газ. Он расширяется, двигает поршень и совершает тем самым полезную механическую работу.

Но чтобы заставить газ расширяться, преодолевая внешние силы, нужно нагреть его до температуры, которая существенно выше температуры окружающей среды. Для этого газ приводится в контакт с нагревателем — сгорающим топливом.

В процессе сгорания топлива выделяется значительная энергия, часть которой идёт на нагревание газа. Газ получает от нагревателя количество теплоты . Именно за счёт этого тепла двигатель совершает полезную работу .

Это всё понятно. Что такое холодильник и зачем он нужен?

При однократном расширении газа мы можем использовать поступающее тепло максимально эффективно и целиком превратить его в работу. Для этого надо расширять газ изотермически: первый закон термодинамики, как мы знаем, даёт нам в этом случае .

Но однократное расширение никому не нужно. Двигатель должен работать циклически, обеспечивая периодическую повторяемость движений поршня. Следовательно, по окончании расширения газ нужно сжимать, возвращая его в исходное состояние.

В процессе расширения газ совершает некоторую положительную работу . В процессе сжатия над газом совершается положительная работа (а сам газ совершает отрицательную работу ). В итоге полезная работа газа за цикл: .

Разумеется, должно быть , или (иначе никакого смысла в двигателе нет).

Сжимая газ, мы должны совершить меньшую работу, чем совершил газ при расширении.

Как этого достичь? Ответ: сжимать газ под меньшими давлениями, чем были в ходе расширения. Иными словами, на -диаграмме процесс сжатия должен идти ниже процесса расширения, т. е. цикл должен проходиться по часовой стрелке (рис. 2).

Рис. 2. Цикл теплового двигателя

Например, в цикле на рисунке работа газа при расширении равна площади криволинейной трапеции . Аналогично, работа газа при сжатии равна площади криволинейной трапеции со знаком минус. В результате работа газа за цикл оказывается положительной и равной площади цикла .

Хорошо, но как заставить газ возвращаться в исходное состояние по более низкой кривой, т. е. через состояния с меньшими давлениями? Вспомним, что при данном объёме давление газа тем меньше, чем ниже температура. Стало быть, при сжатии газ должен проходить состояния с меньшими температурами.

Вот именно для этого и нужен холодильник: чтобы охлаждать газ в процессе сжатия.

Холодильником может служить атмосфера (для двигателей внутреннего сгорания) или охлаждающая проточная вода (для паровых турбин). При охлаждении газ отдаёт холодильнику некоторое количество теплоты .

Суммарное количество теплоты, полученное газом за цикл, оказывается равным . Согласно первому закону термодинамики:

где — изменение внутренней энергии газа за цикл. Оно равно нулю: , так как газ вернулся в исходное состояние (а внутренняя энергия, как мы помним, является функцией состояния). В итоге работа газа за цикл получается равна:

(1)

Как видите, : не удаётся полностью превратить в работу поступающее от нагревателя тепло. Часть теплоты приходится отдавать холодильнику — для обеспечения цикличности процесса.

Показателем эффективности превращения энергии сгорающего топлива в механическую работу служит коэффициент полезного действия теплового двигателя.

КПД теплового двигателя — это отношение механической работы к количеству теплоты , поступившему от нагревателя:

С учётом соотношения (1) имеем также

(2)

КПД теплового двигателя, как видим, всегда меньше единицы. Например, КПД паровых турбин приблизительно , а КПД двигателей внутреннего сгорания около .

к оглавлению ▴

Холодильные машины

Житейский опыт и физические эксперименты говорят нам о том, что в процессе теплообмена теплота передаётся от более нагретого тела к менее нагретому, но не наоборот. Никогда не наблюдаются процессы, в которых за счёт теплообмена энергия самопроизвольно переходит от холодного тела к горячему, в результате чего холодное тело ещё больше остывало бы, а горячее тело — ещё больше нагревалось.

Рис. 3. Холодильная машина

Ключевое слово здесь — «самопроизвольно». Если использовать внешний источник энергии, то осуществить процесс передачи тепла от холодного тела к горячему оказывается вполне возможным. Это и делают холодильные
машины.

По сравнению с тепловым двигателем процессы в холодильной машине имеют противоположное направление (рис. 3).

Рабочее тело холодильной машины называют также хладагентом. Мы для простоты будем считать его газом, который поглощает теплоту при расширении и отдаёт при сжатии (в реальных холодильных установках хладагент — это летучий раствор с низкой температурой кипения, который забирает теплоту в процессе испарения и отдаёт при конденсации).

Холодильник в холодильной машине — это тело, от которого отводится теплота. Холодильник передаёт рабочему телу (газу) количество теплоты , в результате чего газ расширяется.

В ходе сжатия газ отдаёт теплоту более нагретому телу — нагревателю. Чтобы такая теплопередача осуществлялась, надо сжимать газ при более высоких температурах, чем были при расширении. Это возможно лишь за счёт работы , совершаемой внешним источником (например, электродвигателем (в реальных холодильных агрегатах электродвигатель создаёт в испарителе низкое давление, в результате чего хладагент вскипает и забирает тепло; наоборот, в конденсаторе электродвигатель создаёт высокое давление, под которым хладагент конденсируется и отдаёт тепло)). Поэтому количество теплоты, передаваемое нагревателю, оказывается больше количества теплоты, забираемого от холодильника, как раз на величину :

Таким образом, на -диаграмме рабочий цикл холодильной машины идёт против часовой стрелки. Площадь цикла — это работа , совершаемая внешним источником (рис. 4).

Рис. 4. Цикл холодильной машины

Основное назначение холодильной машины — охлаждение некоторого резервуара (например, морозильной камеры). В таком случае данный резервуар играет роль холодильника, а нагревателем служит окружающая среда — в неё рассеивается отводимое от резервуара тепло.

Показателем эффективности работы холодильной машины является холодильный коэффициент, равный отношению отведённого от холодильника тепла к работе внешнего источника:

Холодильный коэффициент может быть и больше единицы. В реальных холодильниках он принимает значения приблизительно от 1 до 3.

Имеется ещё одно интересное применение: холодильная машина может работать как тепловой насос. Тогда её назначение — нагревание некоторого резервуара (например, обогрев помещения) за счёт тепла, отводимого от окружающей среды. В данном случае этот резервуар будет нагревателем, а окружающая среда — холодильником.

Показателем эффективности работы теплового насоса служит отопительный коэффициент, равный отношению количества теплоты, переданного обогреваемому резервуару, к работе внешнего источника:

Значения отопительного коэффициента реальных тепловых насосов находятся обычно в диапазоне от 3 до 5.

к оглавлению ▴

Тепловая машина Карно

Важными характеристиками тепловой машины являются наибольшее и наименьшее значения температуры рабочего тела в ходе цикла. Эти значения называются соответственно температурой нагревателя и температурой холодильника.

Мы видели, что КПД теплового двигателя строго меньше единицы. Возникает естественный вопрос: каков наибольший возможный КПД теплового двигателя с фиксированными значениями температуры нагревателя и температуры холодильника ?

Пусть, например, максимальная температура рабочего тела двигателя равна , а минимальная — . Каков теоретический предел КПД такого двигателя?

Ответ на поставленный вопрос дал французский физик и инженер Сади Карно в 1824 году.

Он придумал и исследовал замечательную тепловую машину с идеальным газом в качестве рабочего тела. Эта машина работает по циклу Карно, состоящему из двух изотерм и двух адиабат.

Рассмотрим прямой цикл машины Карно, идущий по часовой стрелке (рис. 5). В этом случае машина функционирует как тепловой двигатель.

Рис. 5. Цикл Карно

Изотерма . На участке газ приводится в тепловой контакт с нагревателем температуры и расширяется изотермически. От нагревателя поступает количество теплоты и целиком превращается в работу на этом участке: .

Адиабата . В целях последующего сжатия нужно перевести газ в зону более низких температур. Для этого газ теплоизолируется, а затем расширяется адиабатно на учатке .

При расширении газ совершает положительную работу , и за счёт этого уменьшается его внутренняя энергия: .

Изотерма . Теплоизоляция снимается, газ приводится в тепловой контакт с холодильником температуры . Происходит изотермическое сжатие. Газ отдаёт холодильнику количество теплоты и совершает отрицательную работу .

Адиабата . Этот участок необходим для возврата газа в исходное состояние. В ходе адиабатного сжатия газ совершает отрицательную работу , а изменение внутренней энергии положительно: . Газ нагревается до исходной температуры .

Карно нашёл КПД этого цикла (вычисления, к сожалению, выходят за рамки школьной программы):

(3)

Кроме того, он доказал, что КПД цикла Карно является максимально возможным для всех тепловых двигателей с температурой нагревателя и температурой холодильника .

Так, в приведённом выше примере имеем:

В чём смысл использования именно изотерм и адиабат, а не каких-то других процессов?

Оказывается, изотермические и адиабатные процессы делают машину Карно обратимой. Её можно запустить по обратному циклу (против часовой стрелки) между теми же нагревателем и холодильником, не привлекая другие устройства. В таком случае машина Карно будет функционировать как холодильная машина.

Возможность запуска машины Карно в обоих направлениях играет очень большую роль в термодинамике. Например, данный факт служит звеном доказательства максимальности КПД цикла Карно. Мы ещё вернёмся к этому в следующей статье, посвящённой второму закону термодинамики.

к оглавлению ▴

Тепловые двигатели и охрана окружающей среды

Тепловые двигатели наносят серьёзный ущерб окружающей среде. Их повсеместное использование приводит к целому ряду негативных эффектов.

• Рассеяние в атмосферу огромного количества тепловой энергии приводит к повышению температуры на планете. Потепление климата грозит обернуться таянием ледников и катастрофическими бедствиями.
• К потеплению климата ведёт также накопление в атмосфере углекислого газа, который замедляет уход теплового излучения Земли в космос (парниковый эффект).
• Из-за высокой концентрации продуктов сгорания топлива ухудшается экологическая ситуация.

Это — проблемы в масштабе всей цивилизации. Для борьбы с вредными последствиями работы тепловых двигателей следует повышать их КПД, снижать выбросы токсичных веществ, разрабатывать новые виды топлива и экономно расходовать энергию.

На этой странице вы узнаете

• В чем прелесть фазовых переходов?
• Что лучше выбрать: Mercedes или BMW?

Люди научились летать в космос, покорять недра Земли и погружаться в глубины океана. Эти и другие достижения возможны благодаря способности извлекать максимум пользы из имеющихся ресурсов,а именно получать тепловую энергию различными доступными способами. Сегодня мы разберем задачи, которые заставят тепловые процессы играть на нашей стороне. 

Тепловые машины и их КПД

Рекомендация: перед тем как приступить к выполнению задач неплохо было бы повторить тему «Уравнение состояния идеального газа» . Но ключевую теорию, на которой основано решение задач, сейчас разберем вместе.

Мы не почувствуем, как испарится капелька у нас на руке, потому что это не требует много тепла от нашего тела. Но мы можем наблюдать, как горят дрова в мангале, когда мы жарим шашлык, потому что выделяется огромное количество теплоты. А зачем мы вообще рассматриваем эти фазовые переходы? Все дело в том, что именно фазовые переходы являются ключевым звеном во всех процессах, где нас просят посчитать КПД, от них нашему рабочему телу и подводится теплота нагревателя.

Человечество придумало такие устройства, которые могут переработать тепловую энергию в механическую.

Тепловые двигатели, или тепловые машины, — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 

Их устройство довольно просто: они на входе получают какую-то энергию (в основном — энергию сгорания топлива), а затем часть этой теплоты расходуется на совершение работы механизмом. Например, в автомобилях часть энергии от сгоревшего бензина идет на движение. Схематично можно изобразить так:

Рабочее тело — то, что совершает работу — принимает от нагревателя количество теплоты Q₁, из которой A уходит на работу механизма. Остаток теплоты Q₂ рабочее тело отдает холодильнику, по сути — это потеря энергии.

Физика не была бы такой загадочной, если б все в ней было идеально. Как и в любом процессе или преобразовании, здесь возможны потери, зачастую очень большие. Поэтому «индикатором качества» машины является КПД, с которым мы уже сталкивались в механике:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.

Мы должны понимать, что КПД на практике никогда не получится больше 1, поскольку всегда будут тепловые потери. 

Полезную работу можно расписать как Q₁ — Q₂ (по закону сохранения энергии). Тогда формула примет вид:

(eta = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — frac{Q_2}{Q_1})

Цикл Карно

Мы знаем, что потери — это плохо, поэтому должны предотвращать их. Как это сделать? Нам ничего делать не нужно, за нас уже все сделал Сади Карно, французский физик, разработавший цикл, в котором машины достигают наивысшего КПД. Этот цикл носит его имя и состоит из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим, как этот цикл выглядит в координатах p(V).

• Температура верхней изотермы 1-2 — температура нагревателя (так как теплота в данном процессе подводится).
• Температура нижней изотермы 3-4 — температура холодильника (так как теплота в данном процессе отводится).
• 2-3 и 4-1 — это адиабатические расширение и сжатие соответственно, в них газ не обменивается теплом с окружающей средой.

Цикл Карно — цикл идеальной тепловой машины, которая достигает наивысшего КПД. 

Формула, по которой можно рассчитать ее КПД выражается через температуры:

Приступим к задачам

Задачи на данную тему достаточно часто встречаются в задании 27 из КИМа ЕГЭ. Давайте разберем некоторые примеры.

Задание 1. Одноатомный газ совершает циклический процесс, как показано на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A₁₂ = 1520 Дж. Участок 3–1 представляет собой адиабатный процесс. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Q_хол| = 4780 Дж. Найдите работу газа |A₁₃| на адиабате, если количество вещества постоянно.

Решение:

Шаг 1. Первое, с чего лучше начинать задачи по термодинамике — исследование процессов. 

Посмотрим на участок 1-2 графика: продолжение прямой проходит через начало координат, поэтому график функционально можно записать, как p = aV, где a — какое-то число, константа. Графиком является не изотерма, поскольку график изотермы в координатах p-V — гипербола. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует: (frac{pV}{T} = const). Отсюда можно сделать вывод, что возрастает температура, так как растут давление и объем.  Температура и объем растут, значит, увеличивается и внутренняя энергия и объем соответственно.

Участок 2-3: процесс изохорный, поскольку объем постоянен, следовательно, работа газом не совершается. Рассмотрим закон Шарля: (frac{p}{T} = const). Давление в этом процессе растет, тогда растет и температура, поскольку дробь не должна менять свое значение. Делаем вывод, что внутренняя энергия тоже увеличивается.

Участок 3-1: адиабата по условию, то есть количество теплоты в этом переходе равна нулю из определения адиабатного процесса. Работа газа отрицательна, так как газ уменьшает объем. 

Оформим все данные в таблицу. 

Определим знаки Q, используя первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Из этих данных сразу видно, что количество теплоты, отданное холодильнику — это количество теплоты в процессе 2-3.

Шаг 2. Первый закон термодинамики для процесса 1-2 запишется в виде: 

Q₁₂ = ΔU₁₂ + A₁₂. 

Работа A12 — площадь фигуры под графиком процесса, то есть площадь трапеции: 

(A_{12} = frac{p_0 + 2p_0}{2} * V0 =frac{3p_0V_0}{2}). 

Запишем изменение внутренней энергии для этого процесса через давление и объем. Мы выводили эту формулу в статье «Первое начало термодинамики»:

(Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_0 * 2V_0 — p_0V_0) = frac{9p_0V_0}{2}). 

Заметим, что это в 3 раза больше работы газа на этом участке: 

(Delta U_{12} = 3A_{12} rightarrow Q_{12} = 4A_{12}).

Шаг 3. Работа цикла — площадь фигуры, которую замыкает график, тогда . A = A₁₂ — |A₃₁|. С другой стороны, работа цикла вычисляется как разность между энергиями нагревателя и холодильника: A = Q₁₂ — |Q₃₁|.

 Сравним эти формулы:

Q₁₂ -|Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁|,

подставим выражения из предыдущего пункта:

4A₁₂ — |Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁| (rightarrow) |A₃₁| = -3A₁₂ + |Q₃₁| = -31520 + 4780 = 220 Дж.

Ответ: 220 Дж

Задание 2. Найти КПД цикла для идеального одноатомного газа.

Решение:

Шаг 1. КПД цикла определим по формуле: (eta = frac{A}{Q}), где Q — количество теплоты от нагревателя, а А — работа газа за цикл. Найдем А как площадь замкнутой фигуры: A = (2p₁ — p₁)(3V₁ — V₁) = 2p₁V₁.

Шаг 2. Найдем процесс, который соответствует получению тепла от нагревателя. Воспользуемся теми же приемами, что и в прошлой задаче:

Посмотрим на участок 1-2 графика: давление растет, объем не меняется. По закону Шарля (frac{p}{T} = const) температура тоже растет. Работа газа равна 0 при изохорном процессе, а изменение внутренней энергии положительное.

2-3: давление не меняется, растет объем, а значит, работа газа положительна. По закону Гей-Люссака (frac{V}{T} = const) температура тоже растет, растет и внутренняя энергия.

3-4: давление уменьшается, следовательно, и температура уменьшается. При этом процесс изохорный и работа газа равна 0.

4-1: давление не меняется, объем и температура уменьшаются — работа газа отрицательна и внутренняя энергия уменьшается.

Оформим данные в таблицу: 

Отметим, что  необходимое Q = Q₁₂ + Q₂₃.

Шаг 3. Запишем первый закон термодинамики для процессов 1-2 и 2-3:

(Q_{12} = U_{12} + A_{12} = Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_1V_1 -p_1V_1) = frac{3}{2}p_1V_1).
(Q_{23} = Delta U_{23} + A_{23}), работу газа найдем как площадь под графиком: A₂₃ = 2p₁(3V₁ — V₁) = 4p₁V₁.
(Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_1 * 3V_1 — 2p_1V_1) = 6p_1V_1).
(Q_{23} = Delta U_{23} + A_{23} = 10p_1V_1).

Шаг 4. Мы готовы считать КПД: (eta = frac{A}{Q} = frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = frac{2p_1V_1}{frac{3}{2}p_1V_1 + 10p_1V_1} = frac{4}{23} approx 0,17).

Ответ: 17%

Теперь вас не должно настораживать наличие графиков в условиях задач на расчет КПД тепловых машин. Продолжить обучение решению задач экзамена вы можете в статьях «Применение законов Ньютона» и «Движение точки по окружности».

Фактчек

• Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 
• Тепловая машина принимает тепло от нагревателя, отдает холодильнику, а рабочим телом совершает работу.
• Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
  (eta = frac{A}{Q_1} = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — frac{Q_2}{Q_1})  
• Цикл Карно — цикл с максимально возможным КПД: (eta = frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — frac{T_2}{T_1})
• Не забываем, что работа считается, как площадь фигуры под графиком.

Проверь себя

Задание 1. 
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано графике. Начальная температура газа равна T₀ = 350 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 3, а n = 2.

1. 5672 Дж
2. 4731 Дж
3. 5817 Дж
4. 6393 Дж

Задание 2. 
1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл, который изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе ΔT₁₂ к изменению его температуры ΔT₃₄ при изохорном процессе равен 1,5. Определите КПД цикла.

1. 0,6
2. 0,5
3. 0,8
4. 1

Задание 3.
В топке паровой машины сгорело 50 кг каменного угля, удельная теплота сгорания которого равна 30 МДж/кг. При этом машиной была совершена полезная механическая работа 135 МДж. Чему равен КПД этой тепловой машины? Ответ дайте в процентах.

1. 6%
2. 100%
3. 22%
4. 9%

Задание 4.
С двумя молями одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1–2–3–1 (см. рис.). Чему равна работа, совершаемая газом на участке 1–2 в этом циклическом процессе?

1. 4444 Дж
2. 2891 Дж
3. 4986 Дж
4. 9355 Дж

Ответы:1 — 3; 2 — 1; 3 — 4; 4 — 3.

Определение

Тепловые машины — устройства, в которых за счет внутренней энергии топлива совершается механическая работа. Чтобы тепловая машина работала циклически, необходимо, чтобы часть энергии, полученной от нагревателя, она отдавала холодильнику.

Второе начало термодинамики

В циклически действующем тепловом двигателе невозможно преобразовать все количество теплоты, полученное от нагревателя, в механическую работу.

В тепловых машинах тепловые процессы замыкаются в цикле Карно. Так называют цикл, или идеальный круговой процесс, состоящий из двух адиабатных и двух изотермических процессов. В цикле Карно термодинамическая система выполняет механическую работу за счет обмена теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры.

На графике цикл Карно представляется как две адиабаты и две изотермы:

• 1–2 — изотермическое расширение;
• 2–3 — адиабатное расширение;
• 3–4 — изотермическое сжатие;
• 4–1 — адиабатное сжатие.

КПД тепловой машины

Максимальный КПД соответствует циклу Карно.

Второе начало термодинамики

η=Qн−QхQн100%=Qн−PхtQн100%

Преобразовывая формулу, получим:

η=A‘Qн100%

η=NtQн100%

η=A‘A‘+Qх100%

η=Tн−TхTн100%

1. Q_н (Дж) — количество теплоты, полученное от нагревателя (полученное количество теплоты);
2. Q_х (Дж) — количество теплоты, отданное холодильнику (отданное количество теплоты);
3. A’ (Дж) — работа, совершенная газом;
4. N (Вт) — полезная мощность;
5. t (с) — время;
6. T_н (К) — температура нагревателя;
7. T_х (К) — температура холодильника.

Важно! Температуру следует выражать только в кельвинах (К) и КПД не бывает больше 100%.

Алгоритм решения задач на определение КПД теплового процесса

Рассмотрим решение на примере конкретной задачи:

На p-V-диаграмме изображен цикл, проводимый с одноатомным идеальным газом. Определите КПД этого цикла.

• Определить работу газа.

Если тепловой процесс представлен в осях (p, V), то можно определить работу, вычислив площадь фигуры, ограниченной замкнутым циклом:

A‘=p0V0

Если тепловой процесс представлен в других осях координат, то сначала следует его перестроить в осях (p, V) и только потом определять работу.

• Выяснить, на каких этапах повышается температура газа. Именно здесь газ получает энергию:

1–2: V = const, давление увеличивается, температура увеличивается.

2–3: p = const, объем увеличивается, температура увеличивается.

3–4: V = const, давление понижается, температура понижается.

4–1: p = const, объем уменьшается, температура уменьшается.

Отсюда следует, что газ получает энергию только на первом и втором этапах.

• Определить с помощью первого начала термодинамики количество теплоты, полученное газом:

1–2: V = const, A₁₂’ = 0,

Q12=ΔU12=32ΔpV=32Δp0V0=1,5p0V0

1–2: p = const,

ΔU23=Q23−A23; 

ΔU23=32ΔpV=322Δp0V0=3p0V0

A23=pΔV=2p0V0

Q23=3p0V0+2p0V0=5p0V0

Общее количество теплоты:

Qполуч=Q12+Q23=6,5p0V0

• Вычислить КПД, используя основную формулу:

η=A‘Qполуч100%

η=p0V06,5p0V0100%=15,4%

Задание EF17648

За цикл, показанный на рисунке, газ получает от нагревателя количество теплоты Q_нагр = 5,1кДж. КПД цикла равен 4/17. Масса газа постоянна. На участке 1–2 газ совершает работу

Ответ:

а) 1,2 кДж

б) 1,8 кДж

в) 2,6 кДж

г) 3,9 кДж

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Определить работу газа на заданном участке.

3.Выполнить решение в общем виде.

4.Выполнить вычисления, подставив известные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

• Количество теплоты, переданное газу от нагревателя: Q_нагр = 5,1 кДж.

• Масса постоянна: m = const.

5,1 кДж = 5,1∙10³ Дж

Согласно графику, на участке 1–2 газ совершает работу, равную:

A=3p0(4V0−V0)=9p0V0

Полезная работа ограничивается площадью фигуры внутри циклического графика. Она равна:

Aползн=9p0V0−p0(4V0−V0)=6p0V0

Отсюда:

A=9Aползн6

КПД тепловой машины есть отношение полезной работы к количеству теплоты, полученному от нагревателя:

η=AползнQ

Отсюда:

Aползн=ηQ

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18295

Температура нагревателя идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, равна T₁, а температура холодильника равна T₂. За цикл двигатель получает от нагревателя количество теплоты Q₁. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

---

Алгоритм решения

1.Определить, от чего зависит КПД двигателя. Выбрать верную формулу.

2.Определить, как вычисляется работа, совершаемая за цикл. Выбрать верную формулу.

Решение

КПД двигателя определяется отношением разности температур нагревателя и холодильника к температуре нагревателя:

η=T1−T2T1=1−T2T1

Верный ответ для «А» — 1.

Работа, совершаемая за цикл, определяется произведением КПД на количество теплоты, полученного от нагревателя:

A=Qη=Q(T1−T2T1)

Верный ответ для «Б» — 2.

Ответ: 12

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18994

Рабочее тело идеальной тепловой машины с КПД, равным 0,25, за цикл своей работы получает от нагревателя количество теплоты, равное 8 Дж. Какова работа, совершаемая за цикл этой машиной?

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать формулу КПД тепловой машины.

3.Записать решение в общем виде.

4.Выполнить вычисление искомой величины.

Решение

Запишем исходные данные:

• КПД тепловой машины: η = 0,25.

• Количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл: Q = 8 Дж.

Формула КПД тепловой машины:

η=AQ

Отсюда:

Ответ: 2

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 4.6k