Как найти количество диагоналей в правильном многоугольнике

Была ли эта статья полезной?

Определение правильного многоугольника

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и углы.

Признаки правильного n-угольника

• a1 = a2 = a3 = … an-1 = an
• α1 = α2 = α3 = … αn-1 = αn

Примечание: n – количество сторон/углов фигуры.

Элементы правильного многоугольника

Для рисунка выше:

• a – сторона/ребро;
• α – угол между смежными сторонами;
• O – центр фигуры/масс (совпадает с центрами описанной и вписанной окружностей);
• β – центральный угол описанной окружности, опирающийся на сторону многоугольника.

Диагонали n — угольника

Фигура	Рисунок	Описание
Диагональ многоугольника		Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины		Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника		Число диагоналейn – угольника равно

Диагональ многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Рис.1

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Рис.2

Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольники выпуклые многоугольники .

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Виды правильных многоугольников

1. Правильный (равносторонний) треугольник
2. Правильный четырехугольник (квадрат)
3. Правильный пяти-, шести-, n-угольник

Основные свойства правильного многоугольника

• Все стороны равны:
  a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an2. Все углы равны:
  α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

• Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

• Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

• В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

• Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Свойство 1

Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:

где n – число сторон фигуры.

Свойство 2

Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).

Свойство 3

Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:

Свойство 4

В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.

В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.

Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:

Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:

Свойство 5

Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:

• Площадь (S):

• Периметр (P):
• Радиус описанной окружности (R):

• Радиус вписанной окружности (r):

Свойство 6

Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Рис.3

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Рис.4

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3. Сумма углов  – угольникаn равна

Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Рис.5

Получим n треугольников:

OA1A2,  OA2A3,  …  OAnA1

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Сумма внешних углов  – угольникаn , взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Теорема доказана.

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

• Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

• Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

• Формула площади n-угольника через длину стороны:

• Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

• Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Рис.3

Формулы правильного треугольника:

• Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

• Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

• Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

• Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

• Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

• Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

• Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

• Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Рис.4

Формулы правильного четырехугольника:

• Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

• Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

• Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

• Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

• Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

• Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

• Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

• Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Формулы правильного шестиугольника:

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Формулы правильного восьмиугольника:

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 — 1)

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 — √2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности

Сторону правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности можно найти по формуле

Где:

a – длина его стороны;

R – радиус описанной окружности;

n – число сторон многоугольника.

Формула стороны правильного многоугольника

Шаг 1

Рассмотрим правильный многоугольник А1А2А3…Аn.

Пусть его сторона будет равна a.

Опишем вокруг этого многоугольника окружность с центром в точке О и радиусом R.

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Шаг 2

Соединим точку О с его вершинами. А1А2А3…Аn.

Рассмотрим треугольник ОА1А2.

Рассматриваемый треугольник будет равнобедренным, так как его стороны А1О и А2О – радиусы описанной окружности.

Проведем в треугольнике А1ОА2 высоту ОК.

Так как треугольник А1ОА2 равнобедренный, то высота будет медианой:

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Шаг 3

Рассмотрим треугольник А1КО.

Этот треугольник прямоугольный, так как ОК – высота по построению.

Так как точка О – центр правильного многоугольника, то отрезки АnO являются биссектрисами углов этого многоугольника.

Таким образом, если углы многоугольника обозначим буквой α, то угол ОА1К будет равен:

По свойству углов правильного многоугольника, каждый угол равен:

Тогда угол ОА1К будет равен:

Из определения косинуса угла получим:

Отсюда:

Подставим в формулу значения, полученные выше и на шаге 2:

Умножим обе части уравнения на 2:

Воспользуемся формулами приведения

Так как А1О является радиусом описанной окружности, то сторона правильного многоугольника может быть найдена по формуле:

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника. Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.

Introduction: An Alternative Approach for Finding the Number of Diagonals That Can Be Drawn in a Regular Polygon

The general expression for the number of diagonals that can be drawn in a regular m-sided polygon is:

m (m – 3)/2.

The usual explanation for this expression is based on two facts:

1. from each of the m vertices of the polygon one can draw (m – 3) diagonals resulting in a total of m (m – 3) diagonals;
2. the diagonal joining the iᵗʰ vertex to the jᵗʰ vertex is identical to the diagonal joining the jᵗʰ vertex to the iᵗʰ vertex so that the total m (m – 3) diagonals is counted twice and thus this total number has to be divided by 2 to give a corrected total of m (m – 3)/2.

Another explanation for this expression using combinations is also based on two facts:

1. the number of combinations of pairs of vertices chosen from a set of m vertices is ᵐC₂ (these pairs of vertices are either diagonals or edges);
2. since there are m edges, subtracting m from ᵐC₂ gives the number of diagonals as:

ᵐC₂ — m = m! / [(m -2)! 2!] — m = [m (m – 1)/2 —m] = m (m – 3)/2.

In this Instructables we present a different approach for calculating the number of diagonals present in a regular polygon. Although it involves more steps than the approaches presented above, it provides more insight into the nature of the diagonals. In particular, the approach presented here points out the obvious difference between maximum length diagonals (diagonals that have a length greater than that of all the remaining diagonals) when considering polygons with an even number of sides versus those with an odd number of sides.

.

Step 1: Comparison of the Approach Presented Here With That Usually Used for Calculating the Number of Diagonals That Can Be Drawn in a Regular Polygon

The usual approach considers the number of diagonals that can be drawn from each vertex to all the other vertices of the polygon as shown for vertex 1 of the nonagon on the left side of the above diagram.

The present approach considers each of the different types of diagonals that have a certain length and counts the number of diagonals that possess each particular length. The right hand side of the above diagram shows all of the shortest diagonals that can be drawn for a nonagon. Each of these diagonals joins two vertices that have one vertex between what we can consider their starting and end points.

Step 2: Notation

In order to make any headway with describing the different types of diagonals in a polygon, we require a more formal terminology to describe them, rather than using terms like the shortest diagonal, the second shortest diagonal, etc.

We label the different types of diagonals based on the number of vertices of the polygon between the vertices at the ends of the diagonal. Thus a diagonal that has:

• one vertex between the vertices defining its two ends is notated as a D₁ type of diagonal;
• two vertices between the vertices defining its two ends is notated as a D₂ type of diagonal;
• three vertices between the vertices defining its two ends is notated as a D₃ type of diagonal;

etc.

However, this notation is not a unique description of a diagonal as it depends on whether to start counting vertices in a clockwise or anticlockwise direction from the vertex at one end of the diagonal to the vertex at the other end of the diagonal. For example, in the octagon and nonagon in the above diagram, the diagonal line could be classified as a D₂ type if one counts the number of vertices between the vertices labelled 1 and 4 in a clockwise direction, starting at the vertex labelled 1, but can also be classified as a D₄ type for the octagon and a D₅ type for the nonagon, if one counts the number of vertices starting at vertex 1 in an anticlockwise direction.

So one must remember to group the D₂ and D₄ diagonals as one type of diagonal (D₂/D₄) for the octagon and the D₂ and D₅ diagonals as a single type of diagonal (D₂/D₅) for the nonagon.This avoids having to overcount the number of diagonals that posses a certain length.

Step 3: Types of Polygons and Number of Diagonals That Possess a Maximum Length

We consider two classes of polygons:

1. those with 2n sides having an even number of sides and vertices (as shown for the octagon in the diagram in the previous step);
2. those with (2n + 1) sides having an odd number of sides and vertices (as shown for the nonagon in the diagram in the previous step).

The reason for this distinction becomes obvious when we consider the diagonals with the longest length.

When a polygon has an even number of sides (2n sides) there are n diagonals whose length is greater than all the other diagonals. These diagonals have end vertices that are directly opposite one another with (n — 1) vertices between their end vertices. (They are also diagonals of the circumscribed circle that passes through all the vertices of the polygon.) They are defined as D₍ₙ₋₁₎ type diagonals whether one counts the number of vertices in a clockwise or in an anticlockwise direction from one end of the diagonal to its other end.

When a polygon has an odd number of sides [(2n + 1) sides], choosing one vertex from which to draw a diagonal that has a maximum length results in two possibilities. There are two distant vertices opposite the chosen vertex that have a maximum length from the chosen vertex. (They are not diagonals of the circumscribed circle that passes through all the vertices of the polygon, but rather they are the chords of the circle.) Since there are two such diagonals from each vertex there are thus (4n +2) diagonals having a maximum length. Between the ends of each of these two diagonals there are either (n – 1) vertices or (n + 1) vertices depending on the direction (clockwise or anticlockwise) chosen to count the number of vertices between the vertices describing the origin and end of the diagonal.

When counting the number of diagonals that possess a maximum length for a polygon that has an odd number of sides, these diagonals are classified under the one heading as D₍ₙ₋₁₎/D₍ₙ₊₁₎ type of diagonals.

Step 4: Total Number of Diagonals Each Having a Different Length for an Octagon and a Nonagon

The above Table lists all the pairs of vertices that can give rise to diagonals of different lengths for the octagon (Columns 1 to 3) and the nonagon (Columns 4 to 6).

For the octagon, the third column in the Table lists the pairs of vertices that give rise to those diagonals having a maximum length as described in the previous step. For the nonagon, the last column in the Table lists the pairs of vertices that give rise to those diagonals having a maximum length.

Except for the number of diagonals possessing a maximum length, both the octagon and the nonagon contain the same number of types of diagonals. The octagon has eight D₁ and D₂ types of diagonals, whereas, the nonagon has nine of these same types of diagonals. As regards the diagonals having a maximum length, the octagon has half the number of diagonals possessing a maximum length compared to its D₁ and D₂ types of diagonals, whereas the nonagon has the same number of diagonals having a maximum length as its D₁ and D₂ types of diagonals.

If one tallies the total numbers of diagonals for the octagon and nonagon, the results obtained agree with that found using the expression given in the first sentence of the Introduction to this Instructables (20 diagonals for the octagon and 27 for the nonagon).

Step 5: Total Number of Diagonals for Polygons With Even and Odd Sides

The observations noted in the Table in the previous step hold for all polygons when one compares a polygon with an even number of sides with a polygon that has one additional side. This allows us to write expressions that hold in general for any polygon that has an even number of sides and for any polygon that has an odd number of sides.

For polygons with an even number of sides: there are (n-1) different types of diagonals D₁, D₂,…D₍ₙ₋₂₎ each possessing 2n pairs of vertices except for the diagonals that have a maximum length (D₍ₙ₋₁₎). For these latter type of diagonals, there are n such pairs. The total number of diagonals is thus 2n (n — 2) + n = n( 2n — 3). If we let m = 2n, the total number of diagonals is m (m — 3)/2

For polygons with an odd number of sides: there are (n-1) different types of diagonals D₁, D₂,…D₍ₙ₋₁₎ each possessing (2n + 1) pairs of vertices The total number of diagonals is thus (2n + 1) (n — 1). If we let m = (2n + 1) so that n = (m — 1)/ 2, the total number of diagonals is m (m — 3)/2.