Как найти количество экспериментов - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Для
полного факторного плана (ПФП) число
опытов N
определяется по формуле

N
= 2^к
, (2.6)

где
к
– число варьируемых факторов.

В
нашем случае N
= 2²
= 4

2.5. Составление плана эксперимента

Построить
ПФП значит составить матрицу планирования
эксперимента путем перебора всех
возможных сочетаний верхних и нижних
уровней факторов. Матрицы экспериментов
в кодированных и натуральных значениях
факторов представлены в таблицах 2.2 и
2.3

Таблица2.2
Таблица
2.3

№	X₁	X₂
1	+	+	19,67
2	—	+	6,525
3	+	—	16,677
4	—	—	9,127

№	P	τ
1	80	1	19,67
2	40	1	5,525
3	80	0.5	16,677
4	40	0.5	9,127

Значение
выходной величины

заносится в матрицы после проведения
эксперимента и первичной статистической
обработки его результатов.

2.6. Методика проведения эксперимента

В
эксперименте отбирается 4 листа шпона
толщиной 1,5 ± 0,1мм. или 1,15 ± 0,05мм.
Смешивание разных номинальных толщин
в одном эксперименте недопустимо. Шпон
размечается произвольно. Наносим на
каждый из листов по 12 меток, в которых
будем замерять толщину шпона.

Выбор точности
измерительного инструмента. Предельная
допустимая погрешность измерительного
инструмента Δ определяется по формуле

,
(2.4)

где
D
— поле допуска на данный размер.

D=0,2
тогда
=1/6*0,2=0,03.
Исходя из полученных значений,
измерительный инструментом, выбираемым
нами для проведения наших экспериментов,
будет микрометр с Ц_д=0.01мм.

Выбрав
измерительный инструмент, замеряют
толщину шпона в каждой точке, замеры
заносят в таблицу 2.4. Затем первый лист
упрессовываем под давлением 80 кг*с/см²и
продолжительностью прессования 1минуту;
потом меняем давление на 40 кг*с/см²,а
время оставляем тем же и упрессовываем
второй лист; третий лист упрессовываем
под давлением 80кг*с/см²
и продолжительностью 0,5 минуты; четвертый
лист упрессовываем под давлением 40
кг*с/см²,
и продолжительностью прессования 0,5
минуты. Измеряем толщину всех упрессованных
листов в двенадцати точках и записываем
результаты замеров в таблицу 2.5.

Выходная
величина – упрессовка y
определяется
по формуле

y=((hсыр.-
hсух.)/
hсыр.)*100
(2.8)

Значения упрессовки
записываем в таблицу 2.6.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Say I have an algorithm over N qubits and I want to find the expectation value of an operator $O$ composed of a sum of mterms, each of which is the tensor product of some number of single-qubit Pauli operators:

$$
O = sum_{i=1}^m alpha_i prod_{j=1}^N sigma_{beta(i,j)}^{(j)}
$$

where $beta(i,j) in {{0,1,2,3}}$ determines the identity of the j-th Pauli operator in the i-th product in the sum ($sigma_0 equiv I$, $sigma_1 equiv X$, …) and $sigma^{(j)}$ denotes a Pauli operator acting on the j-th qubit. The goal is to determine the following:

What is the minimum number of circuit experiments needed to completely evaluate $langle O rangle$ (a «circuit experiment» means as many measurements as I want for a given configuration of measurement bases over all N qubits)
How do I find the elements of the maximally reduced set of measurement bases that accomplish (1).

Example a:
$$
O = Z_1 + Z_2 + Z_3 + Z_1 Z_2
$$

The minimum number of experiments is 1.
The maximally reduced set of measurement operators is ${Z_1 Z_2 Z_3}$, which corresponds to measuring all three qubits in the Z-basis. From outcomes of these measurement bases, I can separately compute $langle Z_1 rangle $, $langle Z_2 rangle $, $langle Z_3 rangle $, and $langle Z_1 Z_2 rangle $ and then add the results to find $langle O rangle$. In general, I’m allowed to combine terms that have identical Pauli products on their overlapping subspace.

Example b:
$$
O = X_1 Y_2 + Y_1 X_2 + X_1 X_2 + Y_1 Y_2
$$

The minimum number of experiments is 4.
The maximally reduced set is ${ X_1 Y_2 , Y_1 X_2 , X_1 X_2 , Y_1 Y_2}$. Even though in the course of measuring $langle X_1 Y_2 rangle$ and $langle Y_1 X_2rangle$ I measured both qubits in both bases, I cannot reuse the results from those measurements to determine $langle X_1 X_2 rangle$ because I lose any information about classical correlations in the outcomes of $X_1$ and $X_2$ (i.e. entanglement) if I try to combine their outcomes taken in two separate experiments.

So, given an arbitrary $O$ how do I find the minimum number of experiments and the corresponding maximally reduced set of measurements

Источник

Бойко А.Ф., д-р техн. наук, проф., Кудеников Е.Ю., аспирант Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

ТОЧНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НЕОБХОДИМОГО КОЛИЧЕСТВА ПОВТОРНЫХ

ОПЫТОВ

kudenikov@bk.ru

В статье анализируется новый, более точный метод расчёта необходимого количества повторных опытов при проведении экспериментальных исследований в области машиностроения. Предложен, обоснован и табулирован новый („-критерий минимально необходимого числа повторных опытов. Установлено, что новый метод даёт стабильные и более точные результаты, не требует большого количества пробных опытов, универсален, может применяться для любых выборок, при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностей расчётов.

Ключевые слова: точность измерений, серия дублирующих опытов, эксперимент, количество повторных опытов, (- критерий Стьюдента.

Известно, что для обеспечения заданной точности и надежности измерений при проведении совокупности повторных (параллельных) опытов необходимо знать минимальное их количество. При этом во многих работах [1-5] описывается методика, согласно которой для определения количества опытов проводят пробную серию дублирующих опытов, производят статистическую обработку результатов эксперимента и по формуле (1) определяют минимально необходимое количество опытов:

п ■ > «■тт —

(~)2,

V а ■ кТ/

(1)

где а — среднее значение, а о — среднеквадратичное отклонение измерений; кт- требуемая точность измерений в относительных единицах (задаётся в % или десятичной дробью условием задачи); ( критерий Стьюдента, выбираемый по таблице [3] в зависимости от числа проведенных опытов п или числа степеней свободы /=„-1 и заданной доверительной вероятности Рд.

Если требуемая точность измерений задана в абсолютных единицах А (мм, с., Н, МПа и др.), то формула (1) принимает вид:

. 2

Пг

(?)2 •

(2)

Анализируя формулы (1) и (2) несложно заметить их противоречивость. По логике, искомому числу „тп в левой части формул должны строго соответствовать значения ( и а в правой части. Так как птп нам неизвестно, то, очевидно, принятие ( и а по результатам пробного эксперимента с числом опытов ппр является логически неверным, так как в общем случае „щфптт, что и подтверждается многочисленными экспериментами. Была предложена новая методика расчёта минимально необходимого числа повторных опытов. Сущность её заключается в следующем.

Формулы (1) и (2) преобразуем таким образом, чтобы в одной части формул находились только расчётные параметры, в другой — только табличные. Так как табличное значение ( — критерия Стьюдента определяется по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы [6-10] f = п — 1 , то птп можно выразить как

можно привести к виду:

. Тогда формулы (1) и (2)

■ ,-

о- Т/+1

о 77+1

(3)

(4)

Выражение в правой части формул состоит только из табличных взаимосвязанных параметров (и / , взятых из таблицы коэффициента Стьюдента, и является табличным критерием минимального числа повторных опытов. Обозначим его как £пт = ^— . Расчётное значение

пт 77+1

критерия представляет собой левые части формул (3) и (4), то есть:

1пР т

пр сг

(5)

(6)

Таким образом, для обеспечения заданной точности и надёжности измерений должно быть выполнено условие:

. = Кт£ > . =

1 пР о > 1 пт 77+1

_ А _ г

Ьпр = о>Ьпт = 77+1

(7)

(8)

ошибки (резко отличающиеся измерения) и для оставшегося ряда пересчитывают а и о.

4. Определяют расчётное значение £пр -критерия минимального количества повторных опытов по формулам (5) или (6).

5. Для выполнения требований (7) и (8) выбирают ближайшее меньшее или равное относительно расчётного табличное значение £п — критерия по следующей расширенной таблице г -критерия Стьюдента, которая для доверительных вероятностей Рд =0,90; 0,95;0,99 имеет вид:

Таблица 1

Таблица 4- критерия минимального количества повторных опытов

/ Рд=0,90 Рд=0,95 Рд=0,99

г г„ г г„ г г„

1 6,3130 4,4640 12,7060 8,9845 63,6560 45,0116

2 2,9200 1,6859 4,3020 2,4838 9,9240 5,7296

3 2,3534 1,1767 3,1820 1,5910 5,8400 2,9200

4 2,1318 0,9534 2,7760 1,2415 4,6040 2,0590

5 2,0150 0,8226 2,5700 1,0492 4,0321 1,6461

6 1,9430 0,7344 2,4460 0,9245 3,7070 1,4011

7 1,8946 0,6698 2,3646 0,8360 3,4995 1,2373

8 1,8596 0,6199 2,3060 0,7687 3,3554 1,1185

9 1,8331 0,5797 2,2622 0,7154 3,24498 1,0277

10 1,8125 0,5465 2,2281 0,6718 3,1693 0,9556

11 1,7950 0,5182 2,2010 0,6354 3,1050 0,8963

12 1,7823 0,4943 2,1788 0,6043 3,0845 0,8555

13 1,7709 0,4733 2,1604 0,5774 3,0123 0,8051

14 1,7613 0,4548 2,1448 0,5538 2,9760 0,7684

15 1,7530 0,4383 2,1314 0,5329 2,9467 0,7367

16 1,7450 0,4232 2,1190 0,5139 2,9200 0,7082

17 1,7396 0,4100 2,1098 0,4973 2,8982 0,6831

18 1,7341 0,3978 2,1009 0,4820 2,8784 0,6604

19 1,7291 0,3866 2,0930 0,4680 2,8609 0,6397

20 1,7247 0,3764 2,0860 0,4552 2,8453 0,6209

21 1,7200 0,3667 2,0790 0,4432 2,8310 0,6036

22 1,7167 0,3580 2,0739 0,4324 2,8188 0,5878

23 1,7139 0,3498 2,0687 0,4223 2,8073 0,5730

24 1,7109 0,3422 2,0639 0,4128 2,7969 0,5594

25 1,7081 0,3350 2,0595 0,4039 2,7874 0,5467

26 1,7050 0,3281 2,0560 0,3957 2,7780 0,5346

27 1,7033 0,3219 2,0518 0,3878 2,7707 0,5236

28 1,7011 0,3159 2,0484 0,3804 2,7633 0,5131

29 1,6991 0,3102 2,0452 0,3734 2,7564 0,5032

30 1,6973 0,3048 2,0423 0,3668 2,7500 0,4939

32 1,6930 0,2947 2,0360 0,3544 2,7380 0,4766

34 1,6909 0,2858 2,0322 0,3435 2,7284 0,4612

36 1,6883 0,2776 2,0281 0,3334 2,7195 0,4471

38 1,6860 0,2700 2,0244 0,3242 2,7116 0,4342

40 1,6839 0,2630 2,0211 0,3156 2,7045 0,4224

42 1,6820 0,2565 2,0180 0,3077 2,6980 0,4114

44 1,6802 0,2505 2,0154 0,3004 2,6923 0,4013

46 1,6787 0,2449 2,0129 0,2936 2,6870 0,3919

48 1,6772 0,2396 2,0106 0,2872 2,6822 0,3832

50 1,6759 0,2347 2,0086 0,2813 2,6778 0,3750

60 1,6706 0,2139 2,0003 0,2561 2,6603 0,3406

70 1,6689 0,1981 1,9944 0,2367 2,6479 0,3142

80 1,6640 0,1849 1,9900 0,2211 2,6380 0,2931

90 1,6620 0,1742 1,9867 0,2083 2,6316 0,2759

100 1,6602 0,1652 1,9840 0,1974 2,6259 0,2613

Тогда минимальное количество повторных опытов выборки по новой методике определяется в следующей последовательности.

1. Проводят предварительный эксперимент с п количеством повторных опытов (достаточно 3-4 опыта).

2. Вычисляют среднеарифметическое а и среднеквадратичное отклонение о измерений.

3. Известными методами [1-5] из статистического ряда измерений исключают грубые

По изложенной методике таблица может быть расширена.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. По выбранному табличному £п — критерию по этой же таблице определяют соответствующее выбранному критерию число степеней свободы ( и рассчитывают минимально необходимое количество повторных опытов:

птт = / ^ 1

7. Если окажется число предварительных опытов п < пт1П, то эксперимент продолжают до общего числа опытов п = пт1П. После чего делают перерасчёт а и о. Если окажется п > пт1П то считают предварительный эксперимент достаточным, а все предварительные расчёты достоверными.

Пример. В результате экспериментальных исследований стойкости резцов и после исключения грубых ошибок был получен следующий статистический ряд стойкости в мин: 71.00; 66.00; 69.00; 72.00; 68.00; 67.00. При этом среднее значение стойкости составило Т=68,83мин. Определим расчётное значение гп — критерия минимального количества повторных опытов: КтТ 0,15 ■ 68,83

^пр

= 4,45,

а 2,32

где Кт=0,15(15%) — заданная допустимая погрешность измерений.

Выбираем по табл.1 ближайшее меньшее значение гп — критерия относительно расчётного 4,45. При заданной доверительной вероятности Ра=0,95 это значение равно 2,4838, что соответствует числу степеней свободы (=2 (см. отмеченное в табл.1). Тогда минимально необходимое количество повторных опытов птгп=/+1=2+1=3. Так как в данном примере п=6> птт=3, то количество опытов следует считать достаточным, а все результаты статистической обработки измерений — достоверными.

Для сравнения точности двух методик: традиционной методики, базирующейся на неравенствах (1) и (2) и методики, базирующейся на новом гп — критерии (см. неравенства (3) и (4)), было проведено соответственно два комплекса расчётов минимально необходимого количества повторных опытов. В каждом комплексе, используя исходный статистический ряд измерений вышеизложенного примера, было обработано пять вариантов измерений с числом повторных опытов п=6,5,4,3 и 2. При этом, начиная с п=6, каждый последующий вариант статистического ряда получался путём отбрасывания крайнего правого опыта предшествующего варианта. Исходные данные и результаты расчётов приведены в табл.2.

Таблица 2

Результаты расчётов минимального количества повторных опытов по двум методикам

для пяти вариантов экспериментов

Значения параметров статистических рядов измерений для

пяти вариантов экспериментов с числом п повторных опытов

6 5 4 3 2

1 2 3 4 5 6

Стойкость инструментов в эксперименте, мин 71;66;69; 72;68;67 71;66;69; 72;68 71;66;69; 72 71;66;69 71;66

Среднее значение стойкости в эксперименте, мин 68,8 69,2 69,5 68,7 68,5

Среднеквадратичное отклонение измерений, мин 2,32 2,39 2,65 2,52 3,53

Расчётное значение гп-критерия (г^) 4,45 4,34 3,93 4,09 2,91

Ближайшее меньшее табличное (гпт) значение гп-критерия при Рд=0,95 2,48 2,48 2,48 2,48 2,48

Минимально необходимое количество по-

вторных опытов в эксперименте, полученное: -традиционным методом по формулам (1),(2) 1 1 1 2 20

-по гп-критерию 3 3 3 3 3

Для наглядности различий двух метод определения минимального количества птп повторных опытов построим график изменения птп при изменении числа п пробных опытов: пты=/(п), используя для этого результаты расчётов табл.2.

Многочисленными экспериментами, выполненными в БГТУ им. В.Г. Шухова, установ-

лено многообразие возможных зависимостей птп от числа повторных опытов, средних значений и дисперсий измерений, от требований к их точности и доверительной вероятности вычислений. На рис.2 показаны некоторые возможные варианты графиков, полученных в экспериментах при варьировании количеством пробных опытов одной выборки.

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 • *

» 1 1 1

•-V-•—- 1.

, ——

Рис. 1. График изменения минимально необходимого количества повторных опытов пт„ при варьировании количеством п пробных опытов вышеописанного эксперимента: а — традиционный метод определения птЫ;

в — метод 4-критерия

01234567л 01234567П

Рис. 2. Некоторые варианты графиков птп=/(п),полученные в реальных экспериментах

Несмотря на многообразие графиков nmin=f(n) можно сделать следующие обобщающие выводы.

1.Новый метод определения минимально необходимого количества повторных опытов по tn-критерию в отличие от традиционного метода даёт стабильные результаты, не требует большого количества пробных опытов (достаточно 3-4) и дополнительной проверки.

2.Традиционный метод определения nmin при числе пробных опытов n>3 занижает минимально необходимое количество повторных опытов и практически всегда завышает при n=2 (иногда и при n=3).

3.Новый метод, базирующийся на tn-критерий уникален, может применяться для любых выборок при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностей расчётов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Афанасьев А.А., Погонин А.А. Физические основы измерений. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2008. 275 с.

2. Бойко А.Ф., Воронкова М.Н. Теория планирования многофакторного эксперимента. Белгород: Изд-во БГТУ, 2013. 72 с.

3. Юрьев А.Г., Серых И.Р. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2005. 86 с.

4. Лесовик В.С., Чернышева Н.В. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2010. 89 с.

5. Щетинина И.А., Тихомирова Т.И. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2010. 93 с.

6. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. М.: Машиностроение, 1980. 304 с.

7. Розанов Ю.Н. Методы математической статистики в материаловедении. Л.: Машиностроение, 1990. 232 с.

8. Барабашук В.И. Планирование эксперимента в технике. К.: Техшка, 1984. 200 с.

9. Грешников В.А., Волков Б.Н., Кубарев А.И. Статистические методы обработки эмпирических данных. М.: Изд-во стандартов, 1978. 232 с.

10. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1968. 155 с.

Boyko A.F., Kudenikov E.U.

EXACT METHODS CALCULATE THE NECESSARY AMOUNT OF REPEAT EXPERIENCE

The article examines the new, more accurate method for calculating the required number of repeated experiments during the experimental research in the field of mechanical engineering. It proposed, justified and tabulated new tn-criterion the minimum necessary number of repeated experiments. It was found that the new method provides stable and more accurate results, do not require a large number of trial runs, versatile, can be applied to all samples at all the requirements for measurement accuracy and confidence received any probability calculations.

Key words: accuracy, a series of duplicate experiments, the experiment, the number of repeat tests, Student’s t-test.

Бойко Анатолий Федорович, доктор техн. наук, профессор кафедры технологии машиностроения. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, д. 46.

Кудеников Евгений Юрьевич, аспирант кафедры технологии машиностроения. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, д. 46. E-mail: kudenikov@bk.ru

Источник