Арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой каждое новое число получается путем добавления определенного числа к предыдущему. Число n — это число членов арифметической прогрессии. Существуют формулы, связывающие параметры арифметической прогрессии, из которых можно выразить n.
Вам понадобится
- Арифметическая прогрессия
Инструкция
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел вида a1, a1+d, a1+2d…, a1+(n-1)d. Число d называется шагом прогрессии.Очевидно, что общая формула произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии, первый член прогрессии и шаг прогрессии, можно определить, то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.
Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и какой-то другой член прогрессии — n-ый, но n неизвестно, как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.
Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии, а также ее первый и последний элемент, то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) — число чденов прогрессии. Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой формулы можно выразить n, решая квадратное уравнение.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
michel писал(а):
Binar писал(а):
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста. Дано число `abcd`(четырехзначное). Известно, что `a+b+c+d=22`.Определить количество всевозможных вариантов.
Методом перебора начал пробывать, но там количество будет большое. Существует ли какая то формула или методы?
Если допустить случай `a=0`, то общее число вариантов равно коэффициенту при `x^22` в разложении производящей функции `(1+x+…+x^9)^4`, соответствующий коэффициент равен `540`. Если требуется исключить случай `a=0`, то из `540` надо вычесть число комбинаций `bcd`, сумма цифр которых равна `22`, которое тоже можно подсчитать с помощью подобной производящей функции `(1+x+…+x^9)^3`, коэффициент при `x^22` будет равен `21` (можно было получить прямым перебором).
Именно это я и имел ввиду, говоря про производящие функции. Вот только маленький нюанс — получить коэффициент прямым раскрытием скобок — не менее трудоемко, чем тупо перебрать варианты. Можно его получить через ТФКП — посчитав численно соответствующий вычет с небольшой точностью (все равно же число целое) — вот только это удобнее всего на компьютере делать, а, при наличии компьютера — не проблема решить задачу полным перебором.
А 21 — его легко впрямую получить — это просто це из (5+2) по 2, так как коэффициент второго многочлена при 22-й степени совпадает с коэффициентом при 27-22=5-й степени и находится по указанной в самом начале формуле.
Еще можно получить ответ, сложив коэффициенты второго многочлена при степенях с 13-й по 21-ю.
Но, в любом случае, все это не совсем решения — скорее удобные для дальнейшей реализации на компьютере переформулировки исходной задачи. Решением, в его «естественном» смысле, была бы «замкнутая формула» — некое явное выражение, оперирующее арифметическими действиями и биномиальными коэффициентами.
Кстати, интересно узнать, как Вы нашли 540 — вручную или на компьютере?
Арифметическая прогрессия — коротко о главном
Определение арифметической прогрессии:
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна ( displaystyle d).
Например:
- ( {{a}_{1}}=3)
- ( displaystyle {{a}_{2}}=3+d=7~Rightarrow d=7-3=4)
- ( displaystyle {{a}_{3}}=7+4=11) и т.д.
Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (( displaystyle d>0)) и убывающей (( displaystyle d<0)).
Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:
( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) , где ( displaystyle n)– количество чисел в прогрессии.
Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:
( {{text{a}}_{text{n}}}=frac{{{text{a}}_{text{n}+1}}+{{text{a}}_{text{n}-1}}}{2}) — где ( displaystyle n) – количество чисел в прогрессии.
Сумма членов арифметической прогрессии:
1-й способ: ( {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.
2-й способ: ( displaystyle {{s}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.
Числовая последовательность
Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.
Это и есть пример числовой последовательности.
Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.
Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ным членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).
Арифметическая прогрессия — определения
Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.
Например:
( begin{array}{l}{{a}_{1}}=3\{{a}_{2}}=3+d=7~~~Rightarrow ~d=7-3=4\{{a}_{3}}=7+4=11end{array})
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.
Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.
Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:
- ( displaystyle 3;text{ }6;text{ }9;text{ }12;text{ }15;text{ }17ldots )
- ( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
- ( displaystyle -5;text{ }-1;text{ }3;text{ }7;text{ }11;text{ }15ldots )
- ( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots )
Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией – 2, 3.
Не является арифметической прогрессией – 1, 4.
Вернемся к заданной прогрессии (( displaystyle 3;text{ }7;text{ }11;text{ }15;text{ }19ldots )) и попробуем найти значение ее 6-го члена.
Существует два способа его нахождения.
Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии
Способ I
Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии ( d=4) , пока не дойдем до ( displaystyle 6)-го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:
( begin{array}{l}{{a}_{4}}=11+4=15\{{a}_{5}}=15+4=19\{{a}_{6}}=19+4=23end{array})
Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.
Способ II
А что если нам нужно было бы найти значение ( displaystyle 140)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.
Это и есть математика!
Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.
Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.
Что мы знаем?
- У нас есть арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19 и т.д.
- У нас есть номера прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, и т.д.
- Мы все время прибавляем 4, значит разница прогрессии d = 4.
Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.
7=3+4 или 7=3+d
Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?
11=3+4+4 или 11=3+d+d
Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.
Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?
15=3+4+4+4 или 15=3+d+d+d
Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!
Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.
А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.
Например, посмотрим, из чего складывается значение ( displaystyle 4)-го члена данной арифметической прогрессии:
( begin{array}{l}{{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right)\{{a}_{4}}=3+4left( 4-1 right)=15end{array})
Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена ( displaystyle n=6) данной арифметической прогрессии.
Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:
( begin{array}{l}{{a}_{6}}={{a}_{1}}+dleft( 6-1 right)\{{a}_{6}}=3+4left( 6-1 right)=3+4cdot 5=3+20=23end{array})
Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли ( displaystyle d) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:
( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) – уравнение арифметической прогрессии.
Кстати, таким образом мы можем посчитать и ( displaystyle 140)-ой член данной арифметической прогрессии (да и ( displaystyle 169)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).
Попробуй посчитать значения ( displaystyle 140)-го и ( displaystyle 169)-го членов, применив полученную формулу.
( begin{array}{l}…\{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=3+4left( 140-1 right)=3+4cdot 139=3+556=559\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=3+4left( 169-1 right)=3+4cdot 168=3+672=675end{array})
Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии
Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:
( displaystyle begin{array}{l}4;text{ }6;text{ }8;text{ }10;text{ }12\-2;text{ }4;text{ }10;text{ }16;text{ }20end{array})
Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:
( displaystyle begin{array}{l}12;text{ }10;text{ }8;text{ }6;text{ }4\4;text{ }0;text{ }-4;text{ }-8;text{ }-12.end{array})
Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: ( displaystyle 13;text{ }8;text{ }4;text{ }0;text{ }-4.)
Проверим, какое получится ( displaystyle 4)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:
( {{text{a}}_{text{n}}}={{text{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right))
Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение ( displaystyle d) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.
( displaystyle d=8-13=-5)
( {{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right))
Так как ( displaystyle d=-5), то:
( {{a}_{4}}=13-5left( 4-1 right)=13-15=-2)
Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти ( displaystyle 140)-ой и ( displaystyle 169)-ый члены этой арифметической прогрессии.
Сравним полученные результаты:
( begin{array}{l}{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=13-5left( 140-1 right)=13-5cdot 139=13-695=-682\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=13-5left( 169-1 right)=13-5cdot 168=13-840=-827end{array})
Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)
Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
( displaystyle 4;text{ }x;text{ }12ldots ) — арифметическая прогрессия, найти значение ( displaystyle x).
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:
( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))
Пусть ( displaystyle {{a}_{1}}=4), а ( displaystyle {{a}_{3}}=12), тогда:
( displaystyle begin{array}{l}{{a}_{3}}={{a}_{1}}+dleft( 3-1 right)\12=4+2d~~Rightarrow ~d=frac{12-4}{2}=4\{{a}_{2}}=x={{a}_{1}}+d\{{a}_{2}}=x=4+4=8end{array})
Абсолютно верно.
Получается, мы сначала находим ( displaystyle d), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое ( displaystyle x).
Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа ( displaystyle 4024;~x;6072)?
Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?
Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.
Обозначим искомый член арифметической прогрессии как ( {{text{a}}_{text{n}}}), формула его нахождения нам известна – это та самая формула, выведенная нами в начале:
( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)), тогда:
- предыдущий член прогрессии это ( {{a}_{n}}-d): ( {{a}_{n-1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d)
- последующий член прогрессии это ( {{a}_{n}}+d): ( {{a}_{n+1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)+d)
Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:
( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d+{{{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right)+text{d}=2left( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right) right)text{ }!!~!!text{ })
Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.
Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на ( 2).
( {{a}_{n}}=frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}) – свойство членов арифметической прогрессии.
Попробуем посчитать значение ( x), используя выведенную формулу:
( x=frac{4+12}{2}=8)
Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.
Посчитай значение ( x) для прогрессии ( displaystyle 4024;~x;6072) самостоятельно, ведь это совсем несложно.
( x=frac{4024+6072}{2}=5048)
Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!
Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:
«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 40) (по другим источникам до ( displaystyle 100)) включительно».
Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…
Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из ( displaystyle 6)-ти членов: ( displaystyle 6;text{ }8;text{ }10;text{ }12;text{ }14;text{ }16…)
Нам необходимо найти сумму данных ( displaystyle 6) членов арифметической прогрессии.
Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ( displaystyle 100) ее членов, как это искал Гаусс?
Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.
Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны
А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?
Конечно, ровно половина всех чисел, то есть ( frac{6}{2}=3).
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна ( 22), а подобных равных пар ( 3), мы получаем, что общая сумма равна:
( displaystyle Stext{ }=text{ }22cdot 3text{ }=text{ }66).
Таким образом, формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:
( displaystyle {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.
В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу ( displaystyle n)-го члена. ( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))
Что у тебя получилось?
( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.
Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма ( displaystyle 40) чисел, начиная от ( displaystyle 1)-го, и сумма ( displaystyle 100) чисел начиная от ( displaystyle 1)-го.
Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма ( displaystyle 100 ) членов равна ( displaystyle 5050), а сумма ( displaystyle 40 ) членов ( displaystyle 820).
Так ли ты решал?
- ( {{S}_{40}}=frac{left( 1+40 right)cdot 40}{2}=frac{41cdot 40}{2}=frac{1640}{2}=820)
- ( {{S}_{100}}=frac{left( 1+100 right)cdot 100}{2}=frac{101cdot 100}{2}=5050)
На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.
Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.
Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется ( displaystyle 6) блочных кирпичей.
Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?
В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:
( displaystyle 6;text{ }5;text{ }4;text{ }3;text{ }2; 1).
Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).
Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).
Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).
Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).
Способ 1.
( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\~~{{S}_{6}}=frac{left( 6+1 right)cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=21\~end{array})
Способ 2.
( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n)
( {{S}_{n}}=frac{2cdot 6+1left( 6-1 right)}{2}cdot 6=frac{12+5cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=frac{42}{2}=21)
А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.
Сошлось?
Молодец, ты освоил сумму ( displaystyle n)-ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из ( displaystyle 6) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из ( displaystyle 60)?
Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ – ( displaystyle 1830) блоков:
( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\{{S}_{60}}=frac{left( 60+1 right)cdot 60}{2}=frac{61cdot 60}{2}=61cdot 30=1830.end{array})
Цена. Количество. Стоимость
В этом разделе научимся решать задачи и составлять таблицы по теме «Цена. Количество. Стоимость» и научимся находись зависимость между этими величинами.
Цена. Количество. Стоимость.
Стоимость – это то, что мы заплатили за всю покупку.
Задача 1: Наташа купила 5 открыток по 3 р. за каждую. Сколько стоила вся покупка?
| Количество | Цена | Стоимость |
| 5 шт. | 3 р. | ? |
Чтобы узнать стоимость, нужно цену умножить на количество.
Цена. Количество. Стоимость.
Цена показывает сколько стоит один предмет.
Задача 2: Наташа купила 5 открыток и заплатила за них 15 р. Сколько стоила одна открытка?
| Количество | Цена | Стоимость |
| 5 шт. | ? | 15 р. |
Чтобы найти цену, нужно стоимость разделить на количество.
Цена. Количество. Стоимость.
Количество показывает сколько предметов мы купили.
Задача 3: Наташа купила несколько открыток по 3 р. за каждую и отдала за покупку 15 р. Сколько открыток купила Наташа?
| Количество | Цена | Стоимость |
| ? | 3 р. | 15 р. |
Чтобы найти количество, нужно стоимость разделить на цену.
Цена, количество и стоимость
Определение стоимости товара является одной из основных задач, для решения которых используется математика. Сегодня и мы научимся вычислять стоимость. А так же узнаем о взаимосвязи таких величин как цена, количество и стоимость.
Понятие цены, количества и стоимости
Цена – это величина, которая показывает, сколько стоит один предмет (один килограмм продукта, одна коробка чая и т.д.). Будем обозначать цену буквой Ц.
Количество — это число, которое показывает, сколько предметов мы купили (сколько коробок мы купили или сколько килограмм и т.д.). Будем обозначать количество буквой К.
Стоимость — это величина, которая показывает, сколько будут стоить все те предметы, которые мы купили. Будем обозначать стоимость буквой С.
Все эти три величины (цена, количество, стоимость) связаны между собой. Если у нас имеются любые две из них, то мы можем найти и третью неизвестную величину.
Формула стоимости
Равенство, записанное ниже, называется формулой стоимости:
С = К * Ц.
Данная формула, обозначает, что стоимость (С) равна цене одной единицы товара (Ц) умноженной на количество товара (К). Из этой формулы можно вывести формулы для других входящих в неё величин.
1. Цена одной единицы товара равняется стоимости товара, поделенной на количество товара.
Ц = С / К.
2. Количество товара равняется стоимости товара, поделенной на цену за одну единицу товара.
К = С / Ц.
Решим задачу
Одна ручка, стоит 15 рублей. Сколько будет нужно заплатить за 4 таких ручки? Запишем кратко данные условия задачи:
Цена ручки 15 рублей, то есть Ц = 15. Стоимость неизвестна, её необходимо найти. Количество ручек 4, то есть К = 4. Воспользуемся формулой стоимости:
Стоимость равна 60 рублей. Это означает, что за покупку четырех ручек нам нужно заплатить 60 рублей.
При решении подобных задач, удобно использовать следующую табличку.
| Цена | Количество | Стоимость |
| Ц | К | С = Ц * К |
В табличку записывают известные данные задачи и сразу становится видно, что необходимо найти. Далее вычисляют необходимые значения уже по известным нам формулам и записывают ответ. Если в задаче идет речь о нескольких разных предметах, то для каждого предмета выделяется отдельная строчка таблицы, и данные записываются в соответствии с предметом.
Как найти количество товара
Цена (Ц) – это количество денег, которое нужно заплатить за единицу товара.
Количество (К) – это число, которое показывает, сколько куплено единиц товара.
Стоимость (С) – это количество денег, затраченных на всю покупку.
Чтобы найти стоимость, нужно цену умножить на количество: С = Ц • К
Чтобы найти количество, нужно стоимость разделить на цену: К = С : Ц
Чтобы найти цену, нужно стоимость разделить на количество: Ц = С : К
Пример 1. Задача на нахождение стоимости.
Килограмм груш стоит 20 рублей. Сколько стоит 3 килограмма груш?
Ответ: 60 рублей.
Пример 2. Задача на нахождение цены.
За 3 килограмма груш заплатили 60 рублей. Сколько стоит 1 кг груш?
Ответ: 20 рублей.
Пример 3. Задача на нахождение количества.
Килограмм груш стоит 20 рублей. Сколько килограммов груш купили, если за покупку заплатили 60 рублей?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Из этой статьи вы узнаете, как найти число членов арифметической прогрессии. Это не так сложно, как кажется.
-
1
Выясните разность прогрессии. Скорее всего, она будет дана; если нет, будут даны два последовательных члена прогрессии. Обозначим разность как d.[1]
-
2
Запишите первый и последний член прогрессии. Эти члены понадобятся, чтобы найти общее число членов прогрессии. Например, первый член обозначим как A, а последний как L.[2]
-
3
Найдите число членов прогрессии. Если число членов обозначить как n, формула запишется так:
n = (L-A)/d + 1
. То есть разделите разность между последним (L) и первым (А) членами на разность прогрессии (d), а затем к результату прибавьте 1.[3]
Реклама
Советы
- Разность между последним и первым членами прогрессии всегда делится на разность прогрессии.
Реклама
Предупреждения
- Не перепутайте разность между последним и первым членами прогрессии с разностью прогрессии.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 26 223 раза.