Как найти количество квадратов в фигуре

Перед вами еще одна задачка, в которой нужно посчитать квадраты на рисунке.

Итак, сколько на этой картинке изображено квадратов, посчитайте:

Не торопитесь, отвечать, присмотритесь внимательнее.

Правильный ответ не сложный, хоть и не такой очевидный как может показаться на первый взгляд.

Если у вас получилось 16 квадратов, подумайте еще раз, на этой картинке больше квадратов.

Ну что, все посчитали?

Внимание!

Ниже приведен правильный ответ!

Правильный ответ:

Итак, на самом деле на этом изображении всего 30 квадратов. Кроме маленьких квадратов 1х1, есть квадраты побольше 2х2, 3х3 и 4х4 и если посчитать их все, получится именно 30 квадратов.

Сколько всего квадратов изображено на этом рисунке?

Предлагаем вам популярную графическую задачу, где нужно сосчитать квадраты на картинке

Итак, посмотрите внимательно на изображение и посчитайте, сколько здесь изображено квадратов.

Ну как, получилось найти все квадраты?

Внимание!

Ниже приведен правильный ответ!

Правильный ответ:

На этом изображении 40 квадратов.

Предлагаем вам решить еще несколько похожих задач, где нужно посчитать квадраты на картинке:

В данном задании было необходимо определить сколько квадратов содержит предлагаемая фигура. Для удобства предложено цветовое выделение прямоугольников.

При решении задачи необходимо иметь ввиду, что квадрат отличается от прямоугольника, так:

Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника. Длины всех сторон равны. Все углы квадрата прямые.

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников не существует.

А теперь посмотрим правильный ответ с пояснениями

Ответ на задачу с квадратами

Таким образом, квадраты формируются:

Второй квадрат: Д+Е

Третий квадрат: Сама фигура в целом А+Б+В+Г+Д+Е+Ж+З+И

Всего получается что в данной фигуре 3 квадрата

 Видел недавно в ЖЖ такую задачку.
Посчитать все квадраты, которые образует сетка квадратов 4х4.

Понятно, что в сетке 4х4 квадраты могут быть со стороной 1, 2, 3 и 4.
С единичной стороной их 16 = 4х4,  со стороной 2 их 3х3=9,  со стороной 3 их 2х2=4, со стороной 4 — один квадрат.
Получается ряд  1² +2² +3² +4²=30

Рассмотрим более общий случай — сетка квадратов NxN.
Пусть размещаемый на сетке квадрат имеет размеры КхК.  В «строке» таких квадратов —  (

N-К+1). Самих «строк» — столько же. Просуммировав по всем возможным размерам квадратов (от К=1 до К=N) получим ряд:
  1² +2² +3² +…+(N-2)²+(N-1)²+N²
Как посчитать такую сумму (назовём её Sn²) ?  Ну, например так. Воспользуемся биномом Ньютона для кубической степени.
(n+1)³ =    n³       +     3n²       +    3n          + 1
n³      =    (n-1)³ +     3(n-1)² +     3(n-1)    +  1
(n-1)³ =    (n-2)³ +     3(n-2)² +     3(n-2)    +  1

………………………………………………………………
2³       =    1³       +    3*1²     +      3*1        + 1

Просуммируем левые и правые части.  сумму кубов от 1 до

n назовём для удобства Sn³ . Сумму членов ряда 1+2+3+…+n (арифметической прогрессии) назовём  Sn.

Sn³ -1 +(n+1)³   =  Sn³  + 3*Sn² + 3*Sn + n
Sn³ — есть в левой и правой части. Убираем и получаем:

3*Sn²  = (n+1)³ — 3*Sn — (n +1)  Подставляя выраженние для суммы арифметической прогрессии. получаем:
   
3*Sn² = (n+1)³ — 3n (n +1)/2 — (n +1);    6*Sn² = 2(n+1)³ — 3n (n +1) — 2(n +1) = (n +1)(2(n+1)²-3n— 2) ;  
6*Sn² = (n +1)(2n²+4n +2—3n— 2) = (n +1)*n*(2n+1) 
Sn² = (n +1)*n*(2n+1)/6

Красиво тут ещё и то, что зная бином Ньютона и сумму для степеней к натурального ряда, можно получить таким же образом сумму для степеней к+1 натурального ряда. Мелочь, а приятно.