Sum of squares refers to the sum of the squares of the given numbers, i.e., it is the addition of squared numbers. The squared terms could be two terms, three terms, or “n” number of terms, the first “n” odd or even terms, a series of natural numbers or consecutive numbers, etc. In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. For this, we need to first find the mean of the given data, then the variation of each data point from the mean, square them, and finally, add them. In algebra, we use the (a + b)2 identity to determine the sum of the squares of two numbers. The formula that determines the sum of the squares of the first “n” natural numbers is derived with the help of the sum of the squares of the first “n” natural numbers. We perform these fundamental arithmetic operations, which are necessary for both algebra and statistics. There are various methods to determine the sum of squares of given numbers.
Sum of Squares Formula
The sum of the square formula is appliable for two, three, and up to n terms which are explained below:
Sum of squares for two numbers
Let a and b be two real numbers, then the formula for the addition of squares of the two numbers is given as follows:
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
Proof:
From the algebraic identities, we have,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Now, subtract 2ab on both sides.
(a + b)2 − 2ab = a2 + 2ab + b2 − 2ab
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
Hence, proved.
Sum of squares for three numbers
Let a, b, and c be three real numbers, then the formula for the addition of squares of the three numbers is given as follows:
a2 + b2 + c2 = (a +b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca
Proof:
From the algebraic identities, we have,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
By subtracting 2ab, 2bc, and 2ca on both sides, we get,
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca
Hence, proved
Sum of squares for “n” Natural Numbers
Natural numbers are also known as positive integers and include all the counting numbers, starting from 1 to infinity. If 1, 2, 3, 4,… n are n consecutive natural numbers, then the sum of squares of “n” consecutive natural numbers is represented by 12 + 22 + 32 +… + n2 and symbolically represented as Σn2.
The formula for the sum of squares of the first “n” natural numbers is given as follows:
∑n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6
Sum of Squares of First “n” Even Numbers
The formula for the sum of squares of the first “n” even numbers, i.e., 22 + 42 + 62 +… + (2n)2 is given as follows:
∑(2n)2 = 22 + 42 + 62 +… + (2n)2
∑(2n)2 = [2n(n+1)(2n+1)]/3
Sum of Squares of First “n” Odd Numbers
The formula for the sum of squares of the first “n” odd numbers, i.e., 12 + 32 + 52 +… + (2n – 1)2, can be derived using the formulas for the sum of the squares of the first “2n” natural numbers and the sum of squares of the first “n” even numbers.
∑(2n-1)2 = 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2
∑(2n-1)2 = [n(2n+1)(2n-1)]/3
Proof:
∑(2n –1)2 = [12 + 22 + 32 + … + (2n – 1)2 + (2n)2] – [22 + 42 + 62 + … + (2n)2]
Now, apply the formula for the addition of squares of “2n” natural numbers and “n” even natural numbers, and we get;
∑(2n–1)2 = 2n/6 (2n + 1)(4n + 1) – (2n/3) (n+1)(2n+1)
∑(2n–1)2 = n/3 [(2n+1)(4n+1)] – 2n/3 [(n+1)(2n+1)]
Now, take out the common terms.
∑(2n–1)2 = n/3 (2n+1) [4n + 1 – 2n – 2]
∑(2n–1)2 = [n(2n+1)(2n–1)]/3
Hence, proved.
Sum of Squares in Statistics
Sum of squares of n data points = ∑ni=0 (xi – x̄)2
∑ = represents sum
xi = each value in the set
x̄ = mean of the values
xi – x̄ = deviation from the mean value
(xi – x̄)2 = square of the deviation
n = number of terms in the series
In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. It evaluates the variance of the data points from the mean and aids in a better understanding of the data. The large value of the sum of squares indicates that there is a high variation of the data points from the mean value, while the small value indicates that there is a low variation of the data from its mean. Follow the steps given below to find the total sum of squares in statistics.
- Step 1: Count the number of data points in the given dataset.
- Step 2: Now, calculate the mean of the given data.
- Step 3: Subtract each data point from the mean calculated in step 2.
- Step 4: Now, determine the square of the difference obtained in step 3.
- Step 5: Finally, add the squares that we have determined in step 4.
Solved Examples based on Sum of Squares
Example 1: Find the sum of the given series: 12 + 22 + 32 +…+ 552.
Solution:
To find the value of 12 + 22 + 32 +…+ 552.
From the sum of squares formula for n terms, we have
∑n2 = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = [n(n+1)(2n+1)] / 6
Given, n = 55
= [55(55+1)(2×55+1)] / 6
= (55 × 56 × 111) / 6
= 56,980
Thus, the sum of the given series is 56,980.
Example 2: Find the value of (32 + 82), using the sum of squares formula.
Solution:
To find the value of 32 + 82
Given: a = 3 and b = 8.
From the sum of squares formula, we have
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
⇒ 32 + 82 = (3 +
2 − 2(3)(8)
= 121 – 2(24)
= 121 − 48
= 73.
Hence, the value of (32 + 82) is 73.
2 − 2(3)(8)Example 3: Find the sum of squares of the first 25 even natural numbers.
Solution:
To find the value of 22 + 42 + 62 +… + 482+ 502.
= 22( 12 + 22 + 32 +…+252)
From the sum of squares formula for n terms, we have
∑n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6
Here, n = 25
22( 12 + 22 + 32 +…+252) = 4[25(25+1)(2(25)+1)/6]
= (2/3) × (25) × (26) × (51)
= 22,100
Hence, the sum of squares of the first 25 even natural numbers is 22,100.
Example 4: A dataset has points 2, 4, 13, 10, 12, and 7. Find the sum of squares for the given data.
Solution:
Given: We have 6 data points 2, 4, 13, 10, 12, and 7.
The sum of the given data points = 2 + 4 + 13 + 10 + 12 + 7 = 48.
The mean of the given data is given by,
Mean, x̄ = Sum / Number of data points
= 48 / 6
= 8
So, the sum of squares is given by,
∑ni=0 (xi – x̄)2 = (2 –
= (–6)2 + (–4)2 + (5)2 + (2)2 + (4)2 + (–1)2
= 36 + 16 + 25 + 4 + 14 + 1
= 96
Hence, the sum of squares for the given data is 96.
Example 5: Calculate the sum of the squares of 4, 9, and 11 using the sum of squares formula for three numbers.
Solution:
To find the value of 4, 9, and 11.
Given, a = 4, b = 9, and c = 11.
From the sum of squares formula, we have
a2 + b2 + c2 = (a + b +c)2 − 2ab − 2bc − 2ca
42 + 92 + 112 = (4 + 9 + 11)2 −(2×4×9) − (2×9×11) − (2×11×4)
= 576 − 72 − 198 − 88
= 218
Hence, the value of (42 + 92 + 112) is 218.
Example 6: Find the sum of squares of the first 10 odd numbers.
Solution:
The sum of squares of the first 10 odd numbers: 12 + 32 + 52 +… +172 + 192
We know that,
The sum of squares of first “n” Odd Numbers ∑(2n–1)2 = [n(2n+1)(2n–1)]/3
Here, n is 10.
= [10×(2×10 + 1)(2×10 – 1)]/3
= [10 × 21 × 19]/3
= 10 × 7 × 19 = 1,330
Hence, the value of the sum of squares of the first 10 odd numbers is 1330.
FAQs based on Sum of Squares
Question 1: What is the Sum of Squares Error?
Answer:
Sum of squares error, also known as the residual sum of squares, is the difference between the actual value and the predicted value of the data.
Question 2: What Is the Expansion of Sum of Squares Formula?
Answer:
a2 + b2 formula is known as the sum of squares formula in algebra and it is read as a square plus b square. Its expansion is expressed as a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab.
Question 3: Write the Sum of Squares Formula used in Algebra.
Answer:
The sum of squares formula used in algebra are:
- a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
- a2 + b2 + c2 = (a +b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca
Question 4: Write the sum of squares of the first five even numbers.
Answer:
The sum of squares of the first five even numbers is given by:
∑(2n)2 = [2n(n+1)(2n+1)]/3
putting n = 5
∑(2×5)2 = [2×5×(5+1)×(2×5+1)]/3
= 220
Для нецелых чисел это совсем не сложно , а так как в 1-м условии задачи говорится о целых числах , то рассмотрим именно этот вариант.
Итак:дано натуральное число 7.Найти такие х и у , при которых верно выражение:7^2 = x^2 +y^2.(1) Но это частный вид уравнения окружности с радиусом равным 7 , а х и у это координаты любой точки , принадлежащей этой окружности.И главное — эти координаты могут принимать любые значения.
Теперь применительно пары чисел , для которых выполняется в целых числах равенство (1).И не для любого целого n это равенство выполняется в целых числах.В выражении m^2 =x^2 + y^2 ,решения в целых числах m , x , y называют Пифагоровыми тройками, и их можно найти по серии определённых формул,они известны,но главное то,что не для любого m это выполняется,в частности для m = 7 нет такой пары простых x и y, что можно рассмотеть при простом переборе простых чисел:
7 = 1 + 6 ,
7 = 2 + 5 ,
7 = 3 + 4 ,
7 = 4 + 3….далее повтор.Вывод: из все представленных слагаемых только 4 = 2^2 ,остальные корни-числа иррациональные.Это всё для m = 7.
Самая известная Пифагорова тройка : 3, 4, 5 .И все числа 3к ,4к , и 5к -тоже Пифагоровы тройки:6 , 8 , 10 ,…9 ,12 , 15..12 , 16 ,20 и так далее.
-
-
November 18 2017, 12:30
- Наука
- Cancel
сколько квадратов?
Видел недавно в ЖЖ такую задачку.
Посчитать все квадраты, которые образует сетка квадратов 4х4.
Понятно, что в сетке 4х4 квадраты могут быть со стороной 1, 2, 3 и 4.
С единичной стороной их 16 = 4х4, со стороной 2 их 3х3=9, со стороной 3 их 2х2=4, со стороной 4 — один квадрат.
Получается ряд 1² +2² +3² +4²=30
Рассмотрим более общий случай — сетка квадратов NxN.
Пусть размещаемый на сетке квадрат имеет размеры КхК. В «строке» таких квадратов — (
N-К+1). Самих «строк» — столько же. Просуммировав по всем возможным размерам квадратов (от К=1 до К=N) получим ряд:
1² +2² +3² +…+(N-2)²+(N-1)²+N²
Как посчитать такую сумму (назовём её Sn²) ? Ну, например так. Воспользуемся биномом Ньютона для кубической степени.
(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1
n³ = (n-1)³ + 3(n-1)² + 3(n-1) + 1
(n-1)³ = (n-2)³ + 3(n-2)² + 3(n-2) + 1
………………………………………………………………
2³ = 1³ + 3*1² + 3*1 + 1
Просуммируем левые и правые части. сумму кубов от 1 до
n назовём для удобства Sn³ . Сумму членов ряда 1+2+3+…+n (арифметической прогрессии) назовём Sn.
Sn³ -1 +(n+1)³ = Sn³ + 3*Sn² + 3*Sn + n
Sn³ — есть в левой и правой части. Убираем и получаем:
3*Sn² = (n+1)³ — 3*Sn — (n +1) Подставляя выраженние для суммы арифметической прогрессии. получаем:
3*Sn² = (n+1)³ — 3n (n +1)/2 — (n +1); 6*Sn² = 2(n+1)³ — 3n (n +1) — 2(n +1) = (n +1)(2(n+1)²-3n— 2) ;
6*Sn² = (n +1)(2n²+4n +2—3n— 2) = (n +1)*n*(2n+1)
Sn² = (n +1)*n*(2n+1)/6
Красиво тут ещё и то, что зная бином Ньютона и сумму для степеней к натурального ряда, можно получить таким же образом сумму для степеней к+1 натурального ряда. Мелочь, а приятно.
2’2 = 4.
Квадрат — правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. У квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины.
Что такое таблица квадратов?
Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень.
Таблица квадратов — это таблица, в которой содержатся квадраты чисел. С помощью таблицы в алгебре решают квадратные уравнения: возводят числа в квадрат и вычисляют квадратный корень.
Как рассчитать число в квадрате?
Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц.
Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.
Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы
Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ)
Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25)
Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ
Какое число в квадрате дает 14?
Таблица квадратов чисел от 1 до 210
| 1 [1] | 4 [2] | 196 [14] |
|---|---|---|
| 16129 [127] | 16384 [128] | 19600 [140] |
| 19881 [141] | 20164 [142] | 23716 [154] |
| 24025 [155] | 24336 [156] | 28224 [168] |
| 28561 [169] | 28900 [170] | 33124 [182] |
Число 14 в квадрате будет 196 Число 15 в квадрате будет 225. Число 16 в квадрате будет 256. Число 17 в квадрате будет 289. Число 18 в квадрате будет 324. Число 19 в квадрате будет 361. Число 20 в квадрате будет 400. Если говорить о данных числах, которые требуется возвести в квадрат, то совершите несколько не очень сложных действий.
Как это в квадрате?
Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.
Квадрат (число) — Квадрат или квадратное число целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый).
Что такое 5 в кубе?
Выражения “куб числа 5” или “число 5 в кубе” означают, что число “5” нужно возвести в третью степень – “5³”. Возвести любое число в ТРЕТЬЮ степень, означает, что это число нужно ТРИ раза умножить на такое же число. Например: 5³ = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 Значит “куб числа 5” равен значению числа “125”.
Как быстро найти число в квадрате?
Как возвести число в квадрат
- Шаг 1: Умножьте первую цифру числа на цифру, которая стоит выше в ряду с ней: 3 х 4 = 12.
- Шаг 2: К числу, которое получилось припишите в конце число 25.
- Шаг 1: Возьмем ближайшее число, кратное 10.
- Шаг 2: Теперь найдем нижнее число с разницей 3 от нашего числа.
Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.
Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы
Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ)
Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25)
Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ
Как на калькуляторе посчитать в квадрате?
Найти с помощью калькулятора квадрат числа 11052:
- Шаг 1. Набрать на калькуляторе число, которое нужно возвести в квадрат. В нашем случае — это число 11052.
- Шаг 2. Нажать кнопку умножить: «*».
- Шаг 3. Нажать кнопку равно: «=». Полученное число и будет квадратом числа.
Чтобы найти квадрат числа, введите это число в калькулятор, а затем нажмите кнопку “x 2 “. “1/X” – деление числа 1 на текущее число. Чтобы разделить число 1 на текущее число, введите это число в калькулятор, а затем нажмите кнопку “1/X”.”%” – вычисление процента от числа.” √” – вычисление квадратного корня. Чтобы найти квадратный корень числа, введите это число в калькулятор, а затем нажмите кнопку “√”.
Как легко возвести число в степень?
Последовательность действий при реализации данного алгоритма.
- Представить показатель степени n в двоичном виде.
- Положить вспомогательную переменную z равной числу x. Если , то текущий результат умножается на z, а само число z возводится в квадрат. Если = 0, то требуется только возвести z в квадрат.
Пусть нам надо число (a) возвести в степень (p) или умножить на число (p) (примеры кода для умножения и возведения буду приводить параллельно; число (p) должно быть натуральным, а (a) может быть произвольным).
Как будет 5 в квадрате?
В нашем случае это 5, и расписывается так же очень просто: 5^2 = 5 * 5 = 25.
5 в квадрате это 25 это тоже самое что 5*5=25.
Сколько 6 в квадрате?
Найдем, чему будет равно 6 в квадрате: 6^2 = 6 * 6 = 36. Ответ: 36.
1. Необходимо узнать сколько будет 6^2, для этого следует вспомнить, что квадрат числа – это число, которое умножили на себя, а куб числа это число, которое 3 раза умножили на себя же, то есть 6^2, – это 6 умноженное на 6, получается 36.
Что можно сказать о квадрате?
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно дать и другое определение квадрата: квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Квадрат — правильный четырёхугольник. У квадрата все углы и стороны одинаковы. Квадраты различаются лишь длиной стороны, а все 4 угла прямые и равны 90°. Квадратом может стать параллелограмм, ромб либо прямоугольник, когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.
Кто создал таблицу квадратов?
Иногда изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору, в честь которого она названа в различных языках, включая французский, итальянский и русский. В 493 году Викторий Аквитанский создал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50.
Пифагор изучил в Египте, а потом привез в Европу цифровые матрицы, известные ранее только узкому кругу избранных. В адаптированном варианте тайные таблицы дошли до наших дней и ныне известны как квадрат Пифагора. Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в тайне и передавал ученикам устно. Учёные утверждают, что квадрат Пифагора дает возможность точно определить сильные и слабые стороны человеческой натуры.
Чему равен квадрат числа 61?
Какому числу равен квадрат 61? Варианты: 1) 112; 2) 1961; 3) 3721. Квадрат числа предполагает умножение его на само себя. При возведении в квадрат 61 первым действием необходимо 1 * 61, где последняя цифра и в данном произведении и в искомом варианте будет равна 1.
Варианты: 1) 112; 2) 1961; 3) 3721. Квадрат числа предполагает умножение его на само себя. При возведении в квадрат 61 первым действием необходимо 1 * 61, где последняя цифра и в данном произведении и в искомом варианте будет равна 1. Следовательно, вариант ответа 1) 112 исключаем.
Какое число в квадрате даёт 2025?
Записываем 2025 как 452 .
Сумма делителей равна 3751. Куб числа 2025 равен 4100625, а квадрат составляет 8303765625. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 45. Кубический корень равен 12,6514899795262. Число, которое является обратным к числу 2025, выглядит как 0,000493827160493827.
Как доказать что квадрат?
Если в четырехугольник можно вписать окружность и около него описать окружность, а противолежащие углы равны, то это квадрат. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он квадрат. Доказательство. Исходя из теоремы (если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны), AB+CD = BC+AD.
С помощью признаков квадрата можно доказать, что четырехугольник — квадрат.
По сторонам и углу 90°: Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов 90°, то это квадрат
По диагоналям: Если диагонали четырехугольника равны, перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения, то это квадрат
По ромбу: Если в ромбе все углы прямые, то это квадрат
По прямоугольнику: Если в прямоугольнике все стороны равны, то это квадрат
По параллелограмму: Если в параллелограмме все стороны и углы равны, то это квадрат
Что такое квадрат 2 класс?
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Сколько свойств у квадрата?
| Квадрат | |
|---|---|
| Внутренний угол | 90° |
| Свойства | |
| Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура | |
| Медиафайлы на Викискладе |
Свойства квадрата
Все углы квадрата — прямые
Все стороны квадрата равны
Диагонали квадрата равны
Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов
Как найти квадрат числа
Учитель на уроке диктует математическое выражение для того, чтобы учащиеся записали его в тетрадь: «Три в квадрате минус пять…» Один ученик не успевая, просит: «Подождите, не говорите слишком быстро, я еще квадрат не нарисовал». Так вот, дабы не рисовать квадраты и кубы на математике, нужно знать, что квадратом числа является его вторая степень, то есть когда число умножается на себя два раза. Вычислять квадраты учат в еще школе: дважды два – четыре, пятью пять – двадцать пять.
Вам понадобится
- — таблицы умножения;
- — таблица квадратов двузначных чисел;
- — калькулятор.
Инструкция
Чтобы найти квадрат любого числа достаточно только это число умножить на себя. Пример 1. 6*6 =36; 4*4 = 16; 7*7 = 49. Произведение чисел до 10, состоящих из одной цифры, размещено в таблице, знакомой всем еще с начальной школы: таблицы умножения. В ней по диагонали можно увидеть квадраты чисел: 1*1=1, 2*2=4, 3*3=9,4*4=16,5*5=25,6*6=36,7*7=49,8*8=64,9*9=81.
Вторая степень двузначных чисел (например, числа 16, 79, 54) определяется тем же способом: умножением числа на себя. Пример2. 20*20=400; 25*25=625; 40*40=1600. Существует специальная таблица квадратов двузначных чисел, размещенная в учебнике по алгебре для седьмого класса. В ней легко найти квадрат любого числа. Для этого разбейте число, возводимое в квадрат на десятки и единицы. Найдите пересечение строки-десятков и столбца-единиц по указанной таблице — ячейка на пересечении и будет содержать квадрат данного числа.
Если под рукой нет таблицы, квадрат числа можно найти произведением числа на само себя, выполненное в столбик. Этим способом находится и квадрат числа, состоящего из любого количества цифр. Однако квадрат большого числа лучше вычислить с помощью калькулятора. Для этого умножьте на нем заданное число само на себя. Сначала наберите нужное число с помощью цифровой клавиатуры, затем нажмите кнопку «*». После этого еще раз наберите это же число и в заключении кнопку «=». Калькулятор представит на экране точный ответ квадрата числа.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.