Как найти количество лет при вкладе

Экономические задачи. Вклады

Задачи на вклады – это блок экономических задач в реальной математике. Для решения этих задач необходимо понимать суть некоторых экономических операций, которые в свою очередь тесно связаны с формулой сложного процента.

ЧТО ТАКОЕ ВКЛАД:

Суть вклада в том, что человек отдает банку свои деньги на хранение. Это можно делать для разных целей, например, чтобы накопить на что-то. Иногда банк предлагает такой вклад, с которого вы не сможете снять свои же деньги на протяжении заранее оговорённого времени. Так вы точно не потратите ничего лишнего.

Итак, люди кладут деньги в банк, чтобы получить с них проценты, потому что банк платит людям за то, что те доверяют банку и позволяют ему на некоторый период пользоваться этими деньгами. Банк как бы занимает деньги, а потом отдает их с процентами.

При этом существуют некоторые условия начисления процента. Он чаще всего накладывается не на ту сумму, которую вы положили в самом начале, а рассчитывается каждый день, месяц или год на ту сумму, которая фактически лежит на вкладе. То есть если вы доложите на вклад с деньгами еще столько же, то через определенный расчётный период вам начислят процент на бόльшую сумму, а следовательно ваша прибыль со вклада вырастет.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВКЛАДА:

Так как каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на ту сумму, которая уже лежит на вкладе, тогда процент может начисляться на вклад с уже начисленным процентом. Здесь нам пригодится формула сложного процента:

Пример №1:

Алексей хочет в начале года открыть вклад на 100 000 рублей под 10% годовых. Процент начисляется в начале каждого года, начиная со второго. Через какое минимальное количество сколько лет Алексею можно снять деньги с вклада, чтобы сумма на нём была больше 133 000?

СПОСОБ 1

Найдем, чему будет равна сумма на вкладе через 1 год, через 2 года и т. д., пока сумма не станет больше 130 000.

1. Через один год на вкладе будет лежать сумма:

(S_{1} = 100 000 bullet left( 1 + frac{10}{100} right) = 100 000 bullet 1.1 = 110 000)

1. Через два года процент будет налагаться уже на полученную сумму:

(S_{2} = 110 000 bullet 1.1 = 121 000)

1. Аналогично наложим проценты на второй год, чтобы получить третий:

(S_{3} = 121 000 bullet 1.1 = 133 100)

1. Видим, что, если Алексей заберет деньги после трёх лет, он снимет сумму, превышающую 133 000 рублей. Запишем ответ.

Ответ: 3.

СПОСОБ 2

Мы можем сразу использовать формулу сложного процента и составить неравенство, не рассчитывая каждый год по отдельности.

1. Запишем все известные нам данные в формулу сложного процента. Так как нам нужно найти количество лет, за которое на вклад будет накладываться процент, (n) будет неизвестной искомой величиной:

(S_{n} = 100 000left( 1 + 0,1 right)^{n})

1. При этом у нас есть условие, что через некоторое количество лет, когда Алексей снимет деньги, сумма на вкладе будет больше 133 000, а значит(text{ S}_{n} > 133 000). Составим неравенство:

(100 000{bullet 1,1}^{n} > 133 000)

1. Решим неравенство относительно (n):

({1,1}^{n} > 1,33)

Возведем 1,1 по порядку во вторую, третью и т. д. степень:

({1,1}^{2} = 1,21)

({1,1}^{3} = 1,331)

То есть, чтобы ({1,1}^{n}) должно быть больше, чем 1,33, (n) должно быть равно 3:

({1,1}^{3} > 1,33)

Значит Алексей должен снять деньги минимум через три года, чтобы сумма на вкладе была больше 133 000. Запишем ответ.

Ответ: 3.

Пример №2:

Анастасия открыла вклад на 100 000 на три года под 20% годовых. Процент начисляется в начале каждого года, начиная со второго. Сколько денег будет лежать на вкладе Анастасии через три года, если в середине второго года она снимет 10 000 ?

1. Составим таблицу, отображающую сумму на вкладе в начале и в конце каждого года:

Год	Начало года	Конец года
1
2
3

В начале первого года процент не накладывается. При этом до начала второго года сумма на вкладе не поменяется. Запишем это в таблицу:

Год	Начало года	Конец года
1	100 000	100 000
2
3

1. Уже в начале второго года на сумму на вкладе начислится 20%:

Год	Начало года	Конец года
1	100 000	100 000
2	(100 000 bullet 1,2 = 120 000)
3

При этом в задаче есть условие – Анастасия снимет со вклада 10 000 в середине второго года. Значит, к концу второго года вклад уменьшится на эту сумму:

Год	Начало года	Конец года
1	100 000	100 000
2	(100 000 bullet 1,2 = 120 000)	(120 000 –10 000 = 110 000)
3

1. В начале третьего года снова на оставшуюся сумму наложится 20%:

Год	Начало года	Конец года
1	100 000	100 000
2	(100 000 bullet 1,2 = 120 000)	(120 000 –10 000 = 110 000)
3	(110 000 bullet 1,2 = 132 000)

За год вклад никак не поменяется, значит, в конце третьего года на вкладе так и останется 132 000 рублей:

(mathbf{Год})	Начало года	Конец года
1	100 000	100 000
2	(100 000 bullet 1,2 = 120 000)	(120 000 –10 000 = 110 000)
3	(110 000 bullet 1,2 = 132 000)	132 000

Запишем ответ.

Ответ: 132 000.

Пример №3:

Известно, что вклад составляет целое количество миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 25% по сравнению с началом года. На какую сумму нужно открыть вклад, чтобы через два года на нём лежало больше 6 миллионов рублей?

1. Составим уравнение по формуле сложного процента. Мы не знаем, чему равна изначальная сумма, положенная на вклад, но мы знаем процентную ставку и количество лет:

(S_{2} = S_{0} bullet left( 1 + 0,25 right)^{2})

1. При этом сумма через два года должна быть больше 6 миллионов, тогда получаем неравенство:

(S_{0} bullet left( 1 + 0,25 right)^{2} > 6)

1. Решим это неравенство относительно (S_{0}):

(S_{0} > frac{6}{{1,25}^{2}})

Представим 1,25 как дробь (frac{5}{4}):

(S_{0} > frac{6}{frac{5^{2}}{4^{2}}})

(S_{0} > frac{6 bullet 16}{25})

(S_{0} > frac{96}{25})

1. Если (S_{0}) по условию равно целому количеству миллионов, определим. Между какими целыми числами находится дробь (frac{96}{25}). Так как (S_{0}) должно быть больше этой дроби, выберем большее целое число:

(3 < frac{96}{25} < 4)

Значит (S_{0} = 4) млн. Запишем ответ.

Ответ: 4.

Подробнее про формулу

Банки в своей практике руководствуются несколькими формулами, позволяющими рассчитывать простые % и сложные. При их начислении применяется фиксированный и плавающий вид ставок. Фиксированную закрепляют договором при размещении вклада, она не меняется до конца периода его действия. Она может измениться в случае автоматических пролонгаций действия договора. Также она изменится в случае досрочного разрыва соглашения между клиентом и банком с выплатой % за фактический период размещения вложений, если вклад был размещен до востребования. Эти нюансы должны быть описаны в договорах.

В случае плавающих ставок, установленных изначально, их размер может изменяться на протяжении действия договоров.

При каких условиях и в каком порядке будет осуществляться этот процесс, нужно описывать в договорах. Изменение процентов привязано к изменениям:

• ключевой ставки;
• валютного курса;
• переводом депозита в иную категорию и др.

Для расчетов указываются все требуемые формой данные:

• сумма вклада;
• размер % ставки конкретного вклада;
• периодичность начислений % (поквартально, помесячно, ежедневно и др.);
• срок заключения договора;
• иногда нужно знать вид применяемой ставки – она может плавать или быть зафиксированной.

Общая формула расчета процентов по вкладу

Использование формулы простых процентов целесообразно в случае начисления процентов в конце срока размещения депозита или если они будут переводиться на отдельный счет – если капитализация договором не предусмотрена.

Выбирая вклад, клиент банка должен обратить внимание на порядок, который применяется при начислении процентов.

Формула расчета простых:

S = (P x I x t / K) / 100

Обозначения:

• S – прибыль со вклада (только проценты, без тела вклада);
• P – сумма, изначально внесенная на депозит;
• I – размер % ставки (за год);
• t – кол-во дней начисления %;
• K – кол-во дней за год по календарю.

A = P * (1 + r/n)^(n*t)

Здесь все более сложно, поскольку нужно высчитывать степень (^ – знак степени). Остальные обозначения:

• A – общая сумма денег (тело вклада + проценты), которую вы получите после того, как срок вклада закончится.
• P – стартовая сумма, которую вы кладете на счет вклада.
• r – процентная ставка по вкладу.
• n – количество расчетов прибыль в году, для ежедневной капитализации – 365 или 366, для ежемесячной – 12 и так далее.
• t – количество лет вклада. 6 месяцев – это 0.5 года.

Формула для вкладов с ежемесячной капитализацией

Чтобы рассчитать возможную прибыль в случае выбора вида депозита с капитализацией % с ежемесячным начислением % подойдет такая формула:

S = Р * (1 + (N/100)/12)^n, здесь используются следующие обозначения:

n – количество проведенных операций перевода процентов в тело вклада на протяжении полного срока действия договора (то есть месяцев вклада);

S – сумма вклада на дату окончания действия депозита, которую вкладчик получит на руки;

Р – изначально внесенная сумма на депозит с возможностью капитализации;

N — % ставка (годовая).

Формула для вкладов с ежедневной капитализацией

Если выбрана форма начисления % с ежедневной капитализацией, применяется следующая формула:

S = P * (1 + (N/100)/K)^T, где:

S – суммарный доход (тело вклада + проценты);

Р – внесенная при заключении договора сумма;

N – годовая % ставка;

К – 365 или 366 дней;

Т – кол-во дней, на которые открыт депозит.

Формула для вкладов с ежеквартальной капитализацией

В данном случае расчет процентов будет выглядеть следующим образом:

S=Р * (1+ (N/100)/4)^Т, где:

S — получаемый в конце срока доход (тело вклада + проценты);

Р – изначально размещенная сумма на депозите;

N — годовой %;

Т – количество кварталов, на протяжении которых открыт вклад.

Что такое эффективная ставка по депозиту?

Эффективная ставка = фактическая ставка + прибыль от капитализации. Если вклад – без капитализации, то эффективная ставка равна фактической ставке (указана в договоре); если вклад – с капитализацией, то эффективная ставка будет выше фактической, поскольку капитализация будет увеличивать тело вклада.

Как рассчитать через Excel?

Рассчитать в Excel доход от депозита можно на примере. Если необходимо положить на депозит 50 000 руб. с процентной ставкой 8% на три года с ежемесячной капитализацией и просчитать размер дохода через 24 месяца, нужно составить таблицу:

• A1-A24 – указываем месяцы, то есть 1,2,3…
• D1 – указываем сумму тела кредита.
• D2 – указываем ставку в процентах

Теперь нужно в ячейку B1 вставить специальную формулу для подсчета сложного процента: =БС($D$2/12;A1;;-$D$1). Первый аргумент ($D$2/12) – проценты, нужно делать на 12, поскольку считаем ежемесячное начисление. Второй аргумент (A1) – месяц, за который считаем. Третий аргумент оставляем пустым (комиссии/сборы). Четвертый (-$D$1) – тело вклада, ввиду некоторых особенностей работы функции БС его нужно указывать с минусом. Теперь выделяем ячейку B1, растягиваем ее содержимое на ячейки ниже, до B24. Получаем суммарное количество денег на счете в каждом месяце, через 24 месяца получим 58 644 рубля.

Как рассчитать онлайн?

Онлайн расчет процентов можно осуществлять на сайте банка, выбранного для размещения депозита. Для этого нужно найти на странице банка онлайн калькулятор вкладов, ввести в него требуемые данные и рассчитать:

• сумму;
• срок;
• дату начала размещения вклада;
• % ставку;
• период капитализации;
• пополнение (если возможно).

Пример расчета

Расчет при ежемесячной капитализации:

Исходные данные:

Сумма вклада – 50 000 руб.;

Годовая ставка — 8%;

Срок вклада – 12 мес.

50 000 х(1+0,08/12)^12= 54 150 руб.

Налоги на доход по вкладам

За 2021 и 2022 годы налог по вкладам не начисляли вовсе. На доход со вкладов, полученный с 1 января 2023 года, начисляется НДФЛ в размере 13%, но – только на доход, превышающий определенный порог. Порог рассчитывается так: берут максимальную ключевую ставку ЦБ РФ за год, после чего умножают ее на 1 000 000 рублей. Например, максимальная ключевая ставка составила 6% – значит, налогом не будет облагаться доход за год в 60 000 рублей. Если ваш доход за год превысил эту сумму – на сумму превышения начисляется 13%. Если вы получили за год 90 000 рублей дохода со вкладов – с 30 000 рублей нужно будет заплатить 13% НДФЛ, то есть 3 900 рублей. Налог рассчитывается автоматически, в 2024 году вам пришлют уведомление за 2023-й год. Это работает как для резидентов, так и для нерезидентов РФ.