Как найти количество молекул газа в сосуде

План решения задач на газовые законы

1. Если
   в задаче рассматривается одно состояние
   газа и требуется найти какой-либо
   параметр этого состояния, нужно
   воспользоваться уравнением Менделеева
   – Клапейрона.

2. Если
   значения давления и объема явно не
   заданы, их нужно выразить через заданные
   величины, подставить в записанное
   уравнение и, решив его, найти неизвестный
   параметр.

3. В
   том случае, когда в задаче рассматриваются
   два различных состояния газа, нужно
   установить, изменяется ли масса газа
   при переходе из одного состояния в
   другое. Если масса остается постоянной,
   можно применить уравнение Клапейрона.
   Если же при постоянной массе в данном
   процессе не изменяется какой-либо из
   параметров ( р,V или Т), применяются
   уравнение соответствующего закона
   (Гей-Люссака, Шарля или Бойля-Мариотта).

4. Если
   в двух состояниях масса газа разная,
   то для каждого состояния записывают
   уравнение Менделеева-Клапейрона. Затем
   систему уравнений решают относительно
   искомой величины.

Примеры решения задач

Пример 3.1. Определите
число молекул воды в бутылке вместимостью
0,33л. Молярная масса воды М=18∙10^-3
кг/моль, плотность воды ρ=1г/см³.

Дано:
V=0,33л=0,33∙10^-3
м³;
М=18∙10^-3
кг/моль; ρ=1г/см³=
1∙10³
кг/м³;

Найти:
N.

Решение:
Масса
воды, занимающей объём V,

m=ρV,
(1)

где
ρ – плотность воды.

Масса
молекулы

,
(2)

где
М – молярная масса; N_A=6,02∙
10²³моль^-1
–
постоянная Авогадро.

Число
молекул в бутылке

(3)

Подставляя
в выражение (3) формулы (1) и (2), получим
искомое число молекул:

.

Ответ:
N=1,1∙10²⁵.

Пример 3.1. Узкая
цилиндрическая трубка, закрытая с одного
конца, содержит воздух, отделённый от
наружного воздуха столбиком ртути.
Когда трубка обращена закрытым концом
кверху, воздух внутри неё занимает длину
ℓ, когда же трубка обращена кверху
открытым концом, то воздух внутри неё
занимает длину ℓ’ < ℓ. Длина ртутного
столбика h мм. Определить атмосферное
давление.

Дано:
ℓ; ℓ’ < ℓ; h.

Найти:
Р.

Решение:
В данном процессе
изменяются давление и объём воздуха, а
температура остаётся постоянной.
Следовательно, если начальные параметры
воздуха обозначить Р₁
и V₁,
а конечные как Р₂
и V₂ получаем
следующее соотношение:

Р₁V₁
= Р₂V₂

Когда
трубка обращена закрытым концом кверху,
воздух в ней находится под давлением
Р₁=
Р_атм
– h ( здесь и далее измеряем в мм.рт. ст.).
Если же трубку перевернуть, давление
воздуха в ней будет равно Р₂
= Р_атм
+ h .

Учитывая,
что V₁ =
Sℓ₁,
V₂ =
Sℓ₂,
где S — площадь сечения трубки, получаем:

(Р_атм
– h) Sℓ =
(Р_атм
+ h) Sℓ’,

Отсюда
находим атмосферное давление

Ответ.

Пример
3.2. В сосуде находится
смесь m = 7 г азота и m = 11г углекислого
газа при температуре Т = 290 К и давлении
Р = 1 атм. Найти плотность этой смеси,
считая газа идеальными.

Дано:
m₁=7
г=7∙10^-3кг;
m₂=11
г=11∙10^-3кг;
Т=290К; Р=1атм=10⁵Па.

Найти:
ρ.

Решение:
Давление газов в сосуде
известно. Если через Р₁
обозначить давление
азота, если бы углекислого газа не было,
а через Р₂ давление
углекислого газа, если бы не было азота
(так называемые парциальными давления),
то давление смеси газов Р будет согласно
закону Дальтона Р =
Р₁ +
Р₂.
Учитывая, что температура каждого газа
Т запишем для азота и кислорода уравнение
Менделеева-Клапейрона:

Складывая
эти выражения, получаем:

Отсюда
находим объём, занимаемый смесью газов

Плотность
смеси газов вычисляется по формуле

Ответ:

Пример
3.3. Кислород массой
m=10г
находится под давлением 200кПа при
температуре 280К. В результате изобарного
расширения газ занял объём 9л. Определите:
1) объём газа V₁
до расширения; 2) температуру газа T₂
после расширения; 3) плотность газа ρ₂
после расширения.

Дано:
M=32∙10^-3кг/моль;
m=10г=10∙10^-3кг;
р=200кПа=2∙10⁵Па=const;
Т₁=280К;
V₂=9г=9∙10^-3м³.

Найти:
1) V₁;
2) Т₂;
3) ρ₂.

Решение:
Объём газа до расширения найдём, согласно
уравнению Клапейрона-Менделеева,

,

откуда

Записав уравнение Клапейрона-Менделеева
для конечного состояния газа:

,

найдём искомую температуру

Плотность газа после расширения газа

.

Ответ:
1) V₁=3,64
л; 2) Т₂=693
К; 3) ρ₂=1,11
кг/м³.

Пример 3.3. В
цилиндре с площадью основания 100 см²
находится воздух. Поршень расположен
на высоте 50 см от дна цилиндра. На поршень
кладут груз массой 50 кг, при этом он
опускается на 10 см. Найти температуру
воздуха после опускания поршня, если
до его опускания давление было равно
101 кПа, а температура 12С.

Дано: S=100см²=1∙10^-2м²;h₁=50см=0,5
м;m=50кг; Δh=10см=0,1
мt;P₁=101∙10³Па; Т₁=12С=285
К.

Найти:
Т₂.

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха под
поршнем: до опускания поршня и после
его опускания. До опускания поршня
состояние воздуха характеризуется
параметрами Р₁,
V₁,
T₁,
после опускания поршня – параметрами
Р₂,
V₂,
T₂,
где V₁=Sh₁,
Р₂=Р₀+Р,

,
V₂=Sh₂,
или, поскольку h₂=h₁—
Δh,

V₂=S(h₁—
Δh).

Применим
к этим двум состояниям формулу Клапейрона:

,

откуда

(1)

Подставим
в формулу (1) выражения для Р₁,
V₁,
Р₂
и V₂:

;

Ответ:
Т₂=338К

Пример 3.3. Имеются
два сосуда с газом: один вместимостью
3 л, другой 4 л. В первом сосуде газ
находится под давлением 202 кПа, а во
втором 101 кПа. Под каким давлением будет
находиться газ, если эти cосуды соединить
между собой? Считать, что температура
в сосудах одинакова и постоянна.

Дано: V₁=3л=3∙10^—3м³;V₂=4л=4∙10^—3м³;Р₁=202кПа=202∙10³Па; Р₂=101кПа=101∙10³Па.

Найти:
Р.

Решение:

По закону Дальтона,

Р
= Р₃
+ Р₄ (1)

Так
как процесс изотермический, то парциальное
давление газа в каждом сосуде можно
найти по закону Бойля-Мариотта:

Р₁V₁
=
Р₃V,
Р₂V₂
=
Р₄V,

где
V=V₁+V₂.
Тогда парциальное давление газа в каждом
из сосудов после их соединения

,

, (2)

Подставляем
выражения (2) в (1):

Ответ:
Р=141 Па

Пример 3.3. В
баллоне содержатся сжатый газ при
температуре t₁
= 27С
и давлении p₁
= 4 МПа. Каково будет давление, если из
баллона выпустить

Δm
= 0,4m
массы газа, а температуру понизить до
t₂
= 17С?

Дано: Т₁=27С
=300 К;Р₁=4МПа=4∙10⁶
Па;Δm
= 0,4m;
Т₂=17С
=290 К Найти:
Р.

Решение: Рассмотрим
два состояния газа: до разрежения и
после, когда осталось1-n массы m газа.
Параметры каждого из этих состояний
связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

,

где
Р₁,
Т₁,
Р₂,
Т₂
– соответственно давление и температура
газа до и после выпуска; m — масса газа;
М – молярная масса; V — объем.

Разделив
почленно первое равенство на второе,
получим:

,

oткуда

(1)

Ответ:
Р₂
= 2,310⁶
Па = 2,3 МПа.

Пример
3.3. Найти максимально
возможную температуру идеального газа
в процессе P = P₀
– αV²,
где P₀,
α — положительные постоянные.

Дано:
P = P₀
– αV²;
P₀, α
— const

Найти:
T_max.

Решение:
Для нахождения максимальной температуры
необходимо получить явную зависимость
последней от параметров и исследовать
эту зависимость на экстремум. Так как
газ является идеальным, выразим давление
из уравнения Менделеева-Клапейрона и
подставим его в уравнение процесса

Отсюда
выражаем температуру

Условие экстремума
,
которое сводится к выражению.

Решая
данное уравнение, получаем значение
объёма, при котором температура принимает
экстремальное значение
.
Исследуя знак второй производной, приходим к выводу, что при данном
значении объёма температура газа будет
идеальной. Подставляя выражение для
объёма в выражение для температуры при
данном процессе, получаем:

Ответ:

Пример
3.3. В сосуде
вместимостью V=5л
находится кислород массой m=15г.
определите: 1) концентрацию молекул
кислорода в сосуде; 2) число N
молекул газа в сосуде.

Дано:
V=5л=5∙10^-3м³;
M=32∙10^-3кг/моль;
m=15г=1,5∙10^-2кг.

Найти:
1) n; 2) N.

Решение:
Записав
уравнение Клапейрона-Менделеева

(1)

И
уравнение состояния идеального газа

Р=nkT
(2)

И
поделив (1) на (2), найдём искомую концентрацию
молекул кислорода в сосуде

.

Концентрация
молекул

,

Откуда
искомое число молекул газа в сосуде

N=nV.

Ответ:
1)
n=5,64∙10²⁵
м^-3;
2) N=2,82∙10²³.

Соседние файлы в папке Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1 В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой m=2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации 0,2. Определить общее число молекул и концентрацию молекул азота до нагревания; концентрацию n2 молекул и n3 атомов азота после нагревания.
РЕШЕНИЕ

2 В колбе вместимостью V=0,5 л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.
РЕШЕНИЕ

3 Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака NH3 при температуре t=27 и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.
РЕШЕНИЕ

9.1 В сосуде вместимостью V=12 л находится газ, число N молекул которого равно 1,44*10^18. Определить концентрацию молекул газа.
РЕШЕНИЕ

9.2 Определить вместимость сосуда, в котором находится газ, если концентрация молекул n=1,25*10^26 м-3, а общее их число N=2,5*10^23.
РЕШЕНИЕ

9.3 В сосуде вместимостью V=20 л находится газ количеством вещества 1,5 кмоль. Определить концентрацию n молекул в сосуде.
РЕШЕНИЕ

9.4 Идеальный газ находится при нормальных условиях в закрытом сосуде. Определить концентрацию n молекул газа.
РЕШЕНИЕ

9.5 В сосуде вместимостью V=5 л находится кислород, концентрация n молекул которого равна 9,41*10^23 м-3. Определить массу газа.
РЕШЕНИЕ

9.6 В баллоне вместимостью V=5 л находится азот массой m=17,5 г. Определить концентрацию молекул азота в баллоне.
РЕШЕНИЕ

9.7 Определить количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд вместимостью V=3 л, если концентрация n молекул газа в сосуде равна 2*10^18 м-3.
РЕШЕНИЕ

9.8 В двух одинаковых по вместимости сосудах находятся разные газы в первом водород, во втором кислород. Найти отношение n1/n2 концентраций газов, если массы газов одинаковы
РЕШЕНИЕ

9.9 Газ массой m=58,5 г находится в сосуде вместимостью V=5 л. Концентрация n молекул газа равна 2,2*10^26 м-3. Какой это газ?
РЕШЕНИЕ

9.10 В баллоне вместимостью V=2 л находится кислород массой m=1,17 г. Концентрация n молекул в сосуде равна 1,1*10^25 м-3. Определить по этим данным постоянную Авогадро
РЕШЕНИЕ

9.11 В баллоне находится кислород при нормальных условиях. При нагревании до некоторой температуры часть молекул оказалась диссоциированной на атомы. Степень диссоциации 0,4. Определить концентрации частиц n1 до нагревания газа; n2 молекулярного кислорода после нагревания; n3 атомарного кислорода после нагревания.
РЕШЕНИЕ

9.12 Определить концентрацию молекул идеального газа при температуре T=300 К и давлении p=1 мПа.
РЕШЕНИЕ

9.13 Определить давление идеального газа при двух значениях температуры газа T=3 К; 1 кК. Принять концентрацию молекул газа равной ≈1019 см-3.
РЕШЕНИЕ

9.14 Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью V=30 л при температуре T=300 К и давлении p=5 МПа?
РЕШЕНИЕ

9.15 Определить количество вещества и концентрацию молекул газа, содержащегося в колбе вместимостью V=240 см3 при температуре T= 290 К и давлении p=50 кПа.
РЕШЕНИЕ

9.16 В колбе вместимостью V=100 см3 содержится некоторый газ при температуре T=300 К. На сколько понизится давление p газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N=1020 молекул?
РЕШЕНИЕ

9.17 В колбе вместимостью V=240 см3 находится газ при температуре T=290 К и давлении p=50 кПа. Определить количество вещества газа и число N его молекул.
РЕШЕНИЕ

9.18 Давление p газа равно 1 мПа, концентрация его молекул равна 10^10 см-3. Определить температуру газа; среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.
РЕШЕНИЕ

9.19 Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре T=600 К. Найти также кинетическую энергию поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества ν=1 кмоль.
РЕШЕНИЕ

9.20 Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре Т=400 К.
РЕШЕНИЕ

9.21 Определить кинетическую энергию, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре T=1 кК, а также среднюю кинетическую энергию поступательного движения, вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы.
РЕШЕНИЕ

9.22 Определить число молекул ртути, содержащихся в воздухе объемом V=1 м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре t=20, если давление насыщенного пара ртути при этой температуре равно 0,13 Па.
РЕШЕНИЕ

9.23 Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать его при откачке с целью удалить адсорбированные газы. Определить, на сколько повысится давление в сферическом сосуде радиусом R=10 см, если все адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным, сечение одной молекулы равно 10-15 см2. Температура, при которой производится откачка, равна 600 К.
РЕШЕНИЕ

9.24 Определить температуру T водорода, при которой средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул достаточна для их расщепления на атомы, если молярная энергия диссоциации водорода Wm=419 кДж/моль. Примечание. Молярной энергией диссоциации называется энергия, затрачиваемая на диссоциацию всех молекул газа количеством вещества ν=1 моль.
РЕШЕНИЕ

9.25 Найти среднюю квадратичную, среднюю арифметическую и наиболее вероятную vв скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры T=20 К; 300 К; 5 кК.
РЕШЕНИЕ

9.26 При какой температуре T средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости v2=11,2 км/с?
РЕШЕНИЕ

9.27 При какой температуре T молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре T1=100 К?
РЕШЕНИЕ

9.28 Колба вместимостью V=4 л содержит некоторый газ массой m=0,6 г под давлением p=200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.
РЕШЕНИЕ

9.29 Смесь гелия и аргона находится при температуре T=1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.
РЕШЕНИЕ

9.30 Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю квадратичную скорость пылинки массой m=10-10 г, если температура T воздуха равна 300 К.
РЕШЕНИЕ

9.31 Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой m=10-8 г, находящейся среди молекул кислорода?
РЕШЕНИЕ

9.32 Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость 1 км/с.
РЕШЕНИЕ

9.33 Определить наиболее вероятную скорость молекул водорода при температуре T=400 К.
РЕШЕНИЕ

Как найти количество молекул в веществе

Количество молекул в веществе измерить обычными методами практически невозможно. Это связанно с тем, что молекула вещества слишком мала для того, чтобы ее увидеть. Поэтому количество молекул в данной массе вещества рассчитывается с помощью специальных формул.

Вам понадобится

• — периодическая таблица химических элементов;
• — весы;
• — калькулятор.

Инструкция

Зная такую величину, как количество вещества ν, найдите число молекул в нем. Для этого количество вещества, измеренное в молях, умножьте на постоянную Авогадро (NА=6,022∙10^23 1/моль), которая равна числу молекул в 1 моле вещества N=ν/ NА. Например, если имеется 1,2 моль поваренной соли, то в ней содержится N=1,2∙6,022∙10^23 ≈7,2∙10^23 молекул.

Если известна химическая формула вещества, с помощью периодической таблицы элементов найдите его молярную массу. Для этого по таблице найдите относительные атомные массы атомов, из которых состоит молекула, и сложите их. В результате получите относительную молекулярную массу вещества, которая численно равна его молярной массе в граммах на моль. Затем, на весах измерьте массу исследуемого вещества в граммах. Чтобы найти количество молекул в веществе, умножьте массу вещества m на постоянную Авогадро (NА=6,022∙10^23 1/моль) и поделите результат на молярную массу M (N=m∙ NА/M).

Пример Определите количество молекул, которое содержится в 147 г серной кислоты. Найдите молярную массу серной кислоты. Ее молекула состоит из 2-х атомов водорода одного атома серы и 4-х атомов кислорода. Их атомные массы равны 1, 32 и 16. Относительная молекулярная масса равна 2∙1+32+4∙16=98. Она равна молярной массе, поэтому М=98 г/моль. Тогда количество молекул, содержащихся в 147 г серной кислоты, будет равно N=147∙6,022∙10^23/98≈9∙10^23 молекул.

Чтобы найти количество молекул газа в нормальных условиях при температуре 0ºС и давлении 760 мм рт. столба, найдите его объем. Для этого измеряйте или высчитайте объем емкости V, в которой он находится в литрах. Чтобы найти количество молекул газа поделите этот объем на 22,4 л (объем одного моля газа в нормальных условиях), и умножьте на число Авогадро (NА=6,022∙10^23 1/моль) N= V∙ NА/22,4.

Источники:

• как определить количество молекул

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

При решении большей части задач первой главы нужно уметь определить молярные массы веществ. Для этого по известным из таблицы Менделеева относительным атомным массам надо определить относительную молекулярную массу, а затем и молярную массу по формуле M = 10^-3 M_r, кг/моль, где M – молярная масса; M_r – относительная молекулярная масса.

Во многих задачах требуется по известной массе тела определить количество вещества или число молекул (атомов) в нем. Для этого используются формулы: и . Массы отдельных молекул определяются по формуле: . В некоторых задачах массу вещества нужно выразить через его плотность ρ и объем V.

При решении задач удобно иметь перед глазами указанные выше и все остальные формулы § 2.

В ряде задач используется основное уравнение молекулярно-кинетической теории в форме (1.17) или (1.18).

1. Определить молярную массу воды.

Решение. Относительная атомная масса водорода равна 1,00797, а кислорода 15,9994. Химическая формула воды H₂O. Следовательно, относительная молекулярная масса воды равна:

M_r = 2 · 1,00797 + 15,9994 = 18,01534 ≈ 18.

Молярная масса воды M ≈ 10^-3 · 18 кг/моль ≈ 0,018 кг/моль.

2. Определить количество вещества и число молекул, содержащихся в 1 кг углекислого газа.

Решение. Так как молярная масса углекислого газа M = 0,044 кг/моль, то количество вещества . Число молекул .

3. Молекулы газа, концентрация которых n = 2,7 · 10²⁵ м^-3, производят на стенки сосуда давление p = 10⁵ Па. Какова средняя кинетическая энергия E поступательного движения молекул?

4. Плотность газа в баллоне газополной электрической лампы ρ = 0,9 кг/м³. При горении лампы давление в ней возросло с p₁ = 8 · 10⁴ Па до p₂ = 1,1 · 10⁵ Па. На сколько увеличилась при этом средняя скорость молекул газа?

Решение. Произведение массы m₀ одной молекулы на концентрацию молекул (число молекул в единице объема) n равно массе молекул, заключенных в единице объема, т. е. плотности газа ρ = m₀n. Следовательно, основное уравнение молекулярно-кинетической теории (1.17) можно записать в виде:

Упражнения

1. Какую площадь может занять капля оливкового масла объемом 0,02 см³ при расплывании ее на поверхности воды?
2. Считая диаметр атома вольфрама d ≈ 2 ∙ 10^-10 м, оценить количество атомов, покрывающих поверхность острия иглы. Острие считать полушаром радиуса 5 ∙ 10^-8 м.
3. Определить молярные массы водорода и гелия.
4. Во сколько раз число атомов в 12 кг углерода превышает число молекул в 16 кг кислорода?
5. Каково количество вещества (в молях), содержащегося в 1 г воды?
6. Чему равно число молекул в 10 г кислорода?
7. Молярная масса азота равна 0,028 кг/моль. Чему равна масса молекулы азота?
8. Определить число атомов в 1 м³ меди. Молярная масса меди M = 0,0635 кг/моль; ее плотность ρ = 9000 кг/м³.
9. Плотность алмаза 3500 кг/м³. Какой объем займут 10²² атомов этого вещества?
10. Как изменится давление газа, если концентрация его молекул увеличится в 3 раза, а средняя скорость молекул уменьшится в 3 раза?
11. Под каким давлением находится газ в сосуде, если средний квадрат скорости его молекул v² = 10⁶ м²/с², концентрация молекул n = 3 ∙ 10²⁵ м^-3, масса каждой молекулы m₀ = 5 ∙ 10^-26 кг?
12. В колбе объемом 1,2 л содержится 3 ∙ 10²² молекул гелия. Какова средняя кинетическая энергия каждой молекулы? Давление газа в колбе 10⁵ Па.
13. Вычислить средний квадрат скорости движения молекул газа, если его масса m = 6 кг, объем V = 4,9 м³ и давление p = 200 кПа.

Дано:

t=27°Ct=27°mathrm{C}

ρ=3.0 кПаrho=3.0,mathrm{кПа}

V=1.4 лV=1.4,mathrm{}л

Найти:

NN — ?

СИ:

t=300 К,t=300,К,

ρ=3.0⋅103 Па,rho = 3.0cdot 10^3,Па,

V=1.4⋅10−3 м3.V=1.4cdot 10^{-3}, м^3.

Решение:

Определим число молекул идеального газа по формуле

N=nVN=nV,

где nn — концентрация молекул газа.

Идеальный газ в сосуде создает давление ρ=nkT.rho=nkT.

Тогда n=ρkTn={dfrac{rho}{kT}}.

Следовательно, N=ρVkTN={dfrac{rho V}{kT}}.

N=3.0⋅103⋅1.4⋅10−31.38⋅10−23⋅300=1⋅1021.N={dfrac{3.0 cdot 10^3 cdot 1.4 cdot 10^{-3}}{1.38 cdot 10^{-23} cdot 300}}=1 cdot 10^{21}.

Ответ: N=1⋅1021.N=1 cdot 10^{21}.