Как найти количество путей в информатике

Автор — Лада Борисовна Есакова.

Подсчет путей в ориентированном графе. ЗАДАЧА № 15.

В этой задаче требуется подсчитать количество путей, ведущих из одной вершины графа в другую. Обычно задачу решают преобразованием графа в дерево. Однако, при сложной структуре графа такое решение становится очень трудоемким. Велика вероятность ошибки.

Рассмотрим простой и эффективный способ решения.

В этой задаче мы имеем дело с ориентированным графом (графом, у которого ребра имеют направление). Т.е. ребра имеют вид стрелок. Две вершины, соединенные напрямую стрелкой, называются смежными. Вершина, из которой выходит стрелка, называется предком, а вершина, в которую входит стрелка – потомком.

Несложно понять, что количество путей, которыми можно попасть в некоторую вершину, равно сумме количеств путей предков этой вершины.

Пример:

На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Решение:

Каждой вершине, начиная с начальной (A), поставим в соответствие индекс, равный количеству путей, которыми можно попасть в эту вершину. Для вершины A (начало пути) индекс всегда равен 1 (в начало пути можно попасть единственным образом – никуда не двигаясь). Теперь сформулируем правило: индекс вершины равен сумме индексов его предков. Исходя из этого индекс Б равен 1 (предок у Б один – вершина A).

У вершины Д предками являются А и Б, значит индекс вершины Д равен 1+1=2.

Очевидно, что мы можем посчитать индекс только тех вершин, индексы предков которых уже посчитаны. Например, мы не можем посчитать индекс Г, пока не посчитан индекс В. Двигаясь последовательно, мы рассчитаем индексы всех вершин.

Индекс вершины Ж и будет ответом задачи.

Ответ: 11

Введение

Если G является неориентированным графом, то путём в графе G будет такой конечный или бесконечный набор последовательных рёбер и вершин S = (…, a0, E0, a1, E1, …, En-1, an), для которого пара соседних рёбер Ei и Ei-1 обладают общей вершиной ai. То есть справедливы следующие выражения E0 = (a0, a1), E1 = (a1, a2), …, En = (an, an+1)

Следует заметить, что возможна неоднократная встреча с одним и тем же ребром при прохождении путевого маршрута. В случае, когда нет рёбер, которые предшествуют E0, то a0 считается исходной вершиной S. А когда не существует рёбер, которые идут за E(n-1), то an считается последней вершиной S. Все вершины, которые принадлежат паре соседних рёбер, считаются внутренними.

Следует заметить, что поскольку возможно повторение рёбер и вершин при прохождении путевого маршрута, то внутренняя вершина может быть, как начальной, так и конечной вершиной.

При совпадении начальной и конечной вершин, путь считается циклическим. В случае, когда каждое ребро графа при обходе путевого маршрута, попадается всего один раз (повтор вершин допускается), такой путь считается цепью, а циклический путь считается циклом.

Путь, при котором нет рёбер графа, соединяющих две вершины пути, носит название индуцированного пути. Пара путей считается независимой в смысле вершин, когда у них нет одинаковых внутренних вершин. И по аналогии пара путей считается независимой в плане рёбер, когда у них нет общих внутренних рёбер.

«Количество путей в графе» 👇

Количество путей в графе

В случае, когда в город S возможно доехать лишь из городов X, Y, и Z, то количество разнообразных путевых маршрутов из города А в город S равняется суммарному количеству разных путей движения из А в Х, из А в Y и из А в Z, что можно выразить следующей формулой:

$N_S = N_X + N_Y + N_Z$

Обозначим как NM количество путевых маршрутов из вершины А в некую вершину М. Количество путей будет конечным, если в графе отсутствуют замкнутые пути, то есть циклы. Рассмотрим конкретный пример. Имеется структурная схема дорог, которые соединяют города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. Передвижение по всем дорогам возможно только в одну сторону, в которую указывает стрелка. Необходимо определить количество возможных путей из города А в город Л.

Обозначим как $N_X$ число разных маршрутов из города А в город Х. Считаем, что город А является исходным пунктом путевого маршрута, и, следовательно, NA = 1. А для произвольно выбранного города Х число путей $N_X$ возможно определить по формуле:

$N_X = N_Y + … + N_Z$.

Здесь суммарный путь принят по всем вершинам, имеющим прямую связь с вершиной Х, то есть, к примеру:

$N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К$

Сформируем таблицу, где каждому городу сопоставлено общее число прямых маршрутов в этот город. Вычислим общее число путей из начальной точки маршрута, города А.

В пункты Б и В ведут единственные дороги из А. В пункт В можно попасть из пунктов А, Б, и Г, т.е. $N_В = N_А + N_Б + N_Г = 3$.

В пункт Е можно попасть только из Г, количество путей равно количеству путей в пункт Г. В пункт Ж ведут прямые пути из пунктов Е и В, т.е. $N_Ж = N_В + N_Е = 4$. В пункт Д ведут прямые пути из пунктов Б и В, т.е. $N_Д = N_В + N_Б = 4$.

В пункт И можно попасть только из Д, количество путей равно количеству путей в пункт Д = 4. В пункт К ведет путь только из пункта Е, т.е. $N_К = N_Е = 1$. В пункт Л ведут прямые пути из пунктов Д, И, Ж и К, т.е. $N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К = 13$.

Итоговый результат тринадцать путей.

ЕГЭ по информатике 2022 — Задание 13 (Лёгкое!)

Сегодня разберём одно из самых лёгких заданий из ЕГЭ по информатике — задание 13. Вы с похожим типом задач могли встретится на экзамене в 9 классе по информатике.

Приступим к практическим тренировкам решения 13 задания ЕГЭ по информатике 2022.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

Решение:

Нужно подсчитать количество путей от начальной точки А до конечной точки К.

Будем использовать специальную технику для решения 13 задания из ЕГЭ по информатике 2022

Ставим 1 (единицу) возле начальной точки A. Далее, просматриваем ближайшие точки и анализируем, сколько входит стрелок в эти точки. В точку Б «перетекает» 1 из точки А. В точку Г тоже входит одна стрелка из точки А. Значит, тоже в эту точку «перетекает» 1 из А.

В точку В входят две стрелки. Значит, в точку В «втекает» сумма двух точек, из которых выходят эти стрелки! Получается 1 + 1 = 2.

И продолжаем в том же духе.

Число в конечной точке показывает правильный ответ!

Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2020)

На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж?

Отличие этой задачи от предыдущей заключается в том, что пути, которые будем засчитывать, обязательно должны проходить через пункт Ж. Чтобы выполнить это условие, зачеркнём стрелку из пункта Е в пункт И. Так же зачеркнём стрелку из пункта З в пункт И. По этим стрелкам ходить нельзя, т.к. если мы по ним пойдём, не будет пройден пункт Ж.

Основная техника же решения будет такой же, как и в прошлой задаче.

Продолжаем отработку 13 задания ЕГЭ по информатике 2022

На рисунке – схема дорог, связывающих пункты А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л, М, Н, П

Сколько существует различных путей из пункта А в пункт П, не проходящих через пункт Е?

Такая же задача, как и предыдущие две, только здесь, при построении путей, мы не должны проходить через точку E.

Зачеркнём те дороги, которые поведут наши пути через пункт E.

Далее, применим старый метод, который использовали ранее.

Рассмотрим задачу, которая была на реальном экзамене по информатике в этом году.

Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Е, Ж, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться в одном направлении, указанном стрелкой. Какая наибольшая длина пути из А в М ?

Решение:

В этой задаче отличается вопрос от привычного нахождения количества путей. Здесь нужно найти наибольшую длину пути из начального пункта в конечный.

Возле начальной точки ставим число 0.

Смотрим сколько входит в узел стрелок. Выбираем стрелку, которая идёт из узла с наибольшим числом. При переходе по стрелочке добавляем 1.

Число, которое получится возле конечной точки и будет ответом. В этой задачке стрелок получилось 7, это и будет ответ.

Источник

Как считать схему дорог по информатике

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

Начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К. N_K — количество различных путей из города А в город K, N — общее число путей.

В «K» можно приехать из Е, Ж, З или И, поэтому N = N_К = N_Е + N_Ж + N _З + N_И (1)

Преобразуем первые вершины:

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Начнем считать количество путей с конца маршрута – с города Ж. N_X — количество различных путей из города А в город X, N — общее число путей.

В «Ж» можно приехать из Е, К, З или В, поэтому N = N_Ж = N_Е + N_К + N _З + N_В (1)

N = N_Ж = 3 + 8 + 3 + 5 + 1 + 2 + 1 + 1 = 24.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Начнем считать количество путей с конца маршрута – с города Ж. N_X — количество различных путей из города А в город X, N — общее число путей.

В «Ж» можно приехать из Е, К, З, В или Б, поэтому N = N_Ж = N_Е + N_К + N _З + N_В + N_Б (1)

Преобразуем первые вершины с учетом значений вторых:

N = N_Ж = 13 + 12 + 5 + 2 + 1 = 33

Источник

9 задание ОГЭ информатика

ОГЭ по информатике 9 задания объяснение

Поиск количества путей

• Если в город R из города A можно добраться только из городов X, Y и Z, то количество различных путей из города A в город R равно сумме числа различных путей проезда из A в X, из A в Y и из A в Z, то есть:

9 задание как решать

Подробный видеоразбор по ОГЭ 9 задания:

Рассмотрено 3 задачи. Перемотайте видеоурок на решение нужной задачи.

Решение задания 9.1:

На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город H?

• Решим задание с конца. Т.е. так как траектория поиска путей от А до Н, то мы будем рассматривать сначала город Н.
• В город Н можно попасть из трех городов — C, D и G; запишем это так:
• Теперь аналогично рассмотрим города C, D и G:

Далее, рассмотрим каждый город, дойдя до первого — города А. Для него существует только одни путь. Также, для городов, выходящих только из города А, тоже существует только 1 путь. Таким образом имеем:

Решение задания 9.2. Сборник Ушакова Д.М., 2018 г. ВАРИАНТ 2:

На карту нанесены 4 города (A, B, C и D).
Известно, что:
между городами A и C — три дороги,
между городами C и B — две дороги,
между городами A и B — две дороги,
между городами C и D — две дороги,
между городами B и D — четыре дороги.
По каждой из этих дорог можно ехать в обе стороны.

Сколькими различными способами можно проехать из A в D, посещая каждый город не более одного раза?

• Построим все возможные ветви для движения из города A. Будем выполнять произведение количества дорог для каждой ветви, так как движение возможно в обе стороны:
• Полученные результаты для каждого способа движения из города A в город D следует сложить:

Решение задания 9.3. Демонстрационный вариант огэ по информатике 2022 г.:

На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город В?

Поскольку нас интересуют пути, проходящие через город В, то вычеркнет те дороги, которые минуют город В:

Как видим, таких дорог получилось две — Б->Д и А->Г. Учтем это при дальнейших расчетах.

Решим задание с конца. Т.е. так как траектория поиска путей — от А до K, то мы будем рассматривать сначала город K.

В город K можно попасть из трех городов — Д, E и Ж; запишем это так:

Теперь аналогично рассмотрим города Д, Е и Ж:

Далее, рассмотрим каждый город, дойдя до первого — города А. Для него существует только одни путь. Также, для городов, выходящих только из города А, тоже существует только 1 путь. Таким образом имеем:

Поскольку нас интересуют пути, проходящие через город В, то вычеркнет те дороги, которые минуют город В:

Построим дерево, расположив его для удобства горизонтально:

Уберем пути, в которых отсутствует город В:

Подсчитаем количество оставшихся путей следования до города К, их 10 .

Источник

Задача №15. Графы. Поиск количества путей.

Подсчет путей в ориентированном графе. ЗАДАЧА № 15.

В этой задаче требуется подсчитать количество путей, ведущих из одной вершины графа в другую. Обычно задачу решают преобразованием графа в дерево. Однако, при сложной структуре графа такое решение становится очень трудоемким. Велика вероятность ошибки.

Рассмотрим простой и эффективный способ решения.

В этой задаче мы имеем дело с ориентированным графом (графом, у которого ребра имеют направление). Т.е. ребра имеют вид стрелок. Две вершины, соединенные напрямую стрелкой, называются смежными. Вершина, из которой выходит стрелка, называется предком, а вершина, в которую входит стрелка – потомком.

Несложно понять, что количество путей, которыми можно попасть в некоторую вершину, равно сумме количеств путей предков этой вершины.

На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Решение:

Каждой вершине, начиная с начальной (A), поставим в соответствие индекс, равный количеству путей, которыми можно попасть в эту вершину. Для вершины A (начало пути) индекс всегда равен 1 (в начало пути можно попасть единственным образом – никуда не двигаясь). Теперь сформулируем правило: индекс вершины равен сумме индексов его предков. Исходя из этого индекс Б равен 1 (предок у Б один – вершина A).

У вершины Д предками являются А и Б, значит индекс вершины Д равен 1+1=2.

Очевидно, что мы можем посчитать индекс только тех вершин, индексы предков которых уже посчитаны. Например, мы не можем посчитать индекс Г, пока не посчитан индекс В. Двигаясь последовательно, мы рассчитаем индексы всех вершин.

Индекс вершины Ж и будет ответом задачи.

Ответ: 11

Источник

Как считать схему дорог по информатике

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из пункта А в пункт К, не проходящих через пункт В?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Е = Д = 1 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город К, не проходящих через город В.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из пункта А в пункт К, не проходящих через пункт Е?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

И = В + Г = 5 (Е не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город Е).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город К, не проходящих через город Е.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из пункта А в пункт Л, проходящих через пункт И?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

К = И = 10. (Е не учитываем, поскольку путь должен проходить через И)

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город Л, проходящих через город И.

Количество путей из пункта А в пункт Л, проходящих через пункт И, равно произведению количества путей из пункта А в пункт И В и количества путей из пункта И в пункт Л.

Найдем количество путей из пункта А в пункт И:

Из пункта И в пункт Л есть только один путь И — К — Л.

Тогда количество путей из пункта А в пункт Л, проходящих через пункт И, равно 10 · 1 = 10.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из пункта А в пункт Л, проходящих через пункт Е?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

К = Е = 10. (И и В не учитываем, поскольку путь должен проходить через город Е).

Л = К + Е = 20. (Д и Ж не учитываем, поскольку путь должен проходить через город Е).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город Л, проходящих через город Е.

Количество путей из пункта А в пункт Л, проходящих через пункт Е, равно произведению количества путей из пункта А в пункт Е и количества путей из пункта Е в пункт Л.

Найдем количество путей из пункта А в пункт Е:

Найдем количество путей из пункта Е в пункт Л (при этом Е — исходный пункт):

Тогда количество путей из пункта А в пункт Л, проходящих через пункт Е, равно 10 · 2 = 20.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из пункта А в пункт Л, не проходящих через пункт Е?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

И = Г = 3 (Е не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город Е).

К = И = 3 (Е не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город Е).

Л = Д + Ж + К = 3 + 3 + 3 = 9 (Е не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город Е).

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город Д?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Е = Д = 3 (В и Г не учитываем, поскольку путь должен проходить через город Д).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город К, проходящих через город Д.

Количество путей из города А в город К, проходящих через город Д, равно произведению количества путей из города А в город Д и количества путей из города Д в город К.

Найдем количество путей из города А в город Д:

Найдем количество путей из города Д в город К (при этом Д — исходный пункт):

Тогда количество путей из города А в город К, проходящих через город Д, равно 3 · 3 = 9.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город Г?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.

При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Е = Г = 3 (В и Д не учитываем, поскольку путь должен проходить через город Г).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город К, проходящих через город Г.

Количество путей из города А в город К, проходящих через город Г, равно произведению количества путей из города А в город Г и количества путей из города Г в город К.

Найдем количество путей из города А в город Г:

Найдем количество путей из города Г в город К (при этом Г — исходный пункт):

Тогда количество путей из города А в город К, проходящих через город Г, равно 3 · 3 = 9.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город П, проходящих через город Е?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Ж = Е = 3. (В и Г не учитываем, поскольку в этих вершинах не проходим через Е).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город П, проходящих через город Е.

Заметим, что путь из города А в город П обязательно должен проходить через город Ж. По условию задачи путь должен также проходить через город Е. Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город Е, равно произведению количества путей из города А в город Е, количества путей из города Е в город Ж и количества путей из города Ж в город П.

Найдем количество путей из города А в город Е:

Из города Е в город Ж есть только один путь.

Найдем количество путей из города Ж в город П (при этом Ж — исходный пункт):

Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город Е, равно 3 · 1 · 7 = 21.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город П, проходящих через город В?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Ж = В = 3. (Е и Г не учитываем, поскольку в этих вершинах не проходим через В).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город П, проходящих через город В.

Заметим, что путь из города А в город П обязательно должен проходить через город Ж. По условию задачи путь должен также проходить через город В. Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город В, равно произведению количества путей из города А в город В, количества путей из города В в город Ж и количества путей из города Ж в город П.

Найдем количество путей из города А в город В:

Из города В в город Ж есть только один путь.

Найдем количество путей из города Ж в город П (при этом Ж — исходный пункт):

Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город В, равно 3 · 1 · 7 = 21.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город П, проходящих через город М?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Л = М = 17 (Ж и К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).

П = Л + М = 34 (К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город П, проходящих через город М.

Количество путей из города А в город П, проходящих через город М, равно произведению количества путей из города А в город М и количества путей из города М в город П.

Найдем количество путей из города А в город М:

Найдем количество путей из города М в город П (при этом М — исходный пункт):

Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город М, равно 17 · 2 = 34.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город К, не проходящих через пункт В?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Г = А = 1 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Д = Б = 1 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Е = Г + Д = 2 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город К, не проходящих через город В.

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город К, не проходящих через пункт В?

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

Г = А = 1 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Д = Б = 1 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Е = Г + Д = 2 (В не учитываем, поскольку путь не должен проходить через город В).

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город К, не проходящих через город В.

Источник