Как найти количество распавшихся ядер - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

ΔN=N(t)-N(t+Δt)=N(t)(1-e^—^λΔt)

Если
интервал времени распада Δt
очень мал по
сравнению с периодом полураспада T,
то число ядер, распавшихся за время Δt,
можно найти по приближенной формуле:

ΔN=λN(t)Δt

Период
полураспада T–
это промежуток времени, за который число
нераспавшихся ядер уменьшается в два
раза (см. рис. 1.1).

За
время 2T
число ядер
снижается в 4 раза и т.д. Связь между
периодом полураспада и постоянной
распада

Число ядер, содержащихся в массе m радиоактивного вещества:

где
μ
– молярная масса вещества; N_A–
число Авогадро (N_A=6,02·10²³
моль^-1).

Активность
радиоактивного препарата – это число
ядер, распавшихся в единицу времени:

или

где
a₀₌λN₀–
активность в начальный момент времени.

Единица
активности в СИ – беккерель (Бк): 1 Бк –
активность изотопа, при которой за 1 с
происходит один акт распада.

Внесистемная
единица – кюри (Ku)
: 1 Ku=3,7·10¹⁰Бк.

Удельной
активностью называется число распадов
в 1 с на единицу массы распадающегося
вещества.

1.8 Правила смещения при радиоактивном распаде

В
процессах радиоактивного распада имеют
место так называемые правила смещения,
позволяющие определить массовое число
и заряд ядра нового элемента, возникающего
в результате α-
и β-
превращений:

при
α — распаде

при

—
распаде

при
γ- излучении
значения A
и Z
у ядра не изменяются.

Если
дочернее ядро Y
также оказывается
радиоактивным, то возникает цепочка
радиоактивных превращений. Из правил
смещения видно, что массовое число при
α —
распаде уменьшается на 4, а при β
—распаде не
меняется. Следовательно, для всех ядер
одного и того же радиоактивного семейства
остаток от деления массового числа на
4 одинаков, т.е. существует четыре
различных семейства, для каждого из
которых массовые числа определяются
значениями

A
= 4n,
4n+1,
4n+2,
4n+3,

где
n
– целое
положительное число.

Семейства
начинаются на наиболее долгоживущем (
с наибольшим периодом полураспада )
«родоначальнике» семейства: тории ,
уране и актинии

и
заканчиваются после цепочки α-
и β-
превращений на устойчивых изотопах
свинца:

Семейство
4n+1
нептуния
состоит из цепочки искусственно-радиоактивных
ядер и заканчивается висмутом.

1.9 Ядерные реакции

Ядерные
реакции – это превращения атомных ядер,
вызванные взаимодействиями их друг с
другом или с элементарными частицами.

Как
правило, в ядерных реакциях участвуют
два ядра и две частицы. Развернутый вид
ядерной реакции выглядит, к примеру,
следующим образом:

При
ядерных реакциях выполняются законы
сохранения массового и зарядового числа

A₁+A₂=A₃+A₄ и
Z₁+Z₂=Z₃+Z₄,

где
индексы 1 и 2 относятся к исходным
реагентам, а 3 и 4 – к продуктам реакции.
В законе сохранения зарядового числа
учитывается знак заряда реагента
(алгебраическая сумма). Кроме того,
выполняются закон сохранения импульса
и релятивистской полной энергии.

Широко
распространен сокращенный способ записи
ядерных реакций согласно следующему
правилу: вначале записывается
бомбардируемое ядро (ядро- мишень), затем
в скобках указывается на первом месте
налетающая частица (частица-снаряд), а
за ней – все частицы, вылетевшие в
результате реакции; после скобок
обозначается окончательно получившееся
ядро (ядро-продукт). Сокращенная запись
реакции представима в виде:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Печатать книгу

Примеры решения задач

Задача №1.

Образец радиоактивного радона ( ^{222}_{86}{Rn} ) содержит 10¹⁰ радиоактивных ядер с периодом полураспада 3,825 суток. Сколько ядер распадается за сутки?

Задача №2.

Через какое время в препарате полония ( _{84}{Po}^{210} ) распадается 75,0% имеющихся атомов, если непрерывно удалять радиоактивные продукты распада?

Задача №3.

Сколько ядер распадается за 1с. в куске урана ( ^{238}_{92}{U} ) массой 1,0 кг? Какова активность этого урана?

Задача №4.

Элемент тория ( ^{232}_{90}{Th} ) в результате радиоактивного распада превращается в изотоп свинца ( ^{208}_{82}{Pb} ). Сколько α — и β — частиц выбрасывает при этом каждый атом?

Задача №5.

Период полураспада радиоактивного изотопа ³⁷Ar·T=32 дня. Найти активность A препарата ³⁷Ar через: а) 1 день; б) 1000 дней после его изготовления, если начальная активность A₀=100мКи.

Задача №6.

Ядро ( _{84}{Po}^{210} ) полония превратилось в ядро ( ^{206}_{82}{Pb} ) свинца. Определить кинетическую энергию α — частицы и ядра отдачи.

Задача №7.

Зная массу дочернего нуклида и энергию β — распада Q, найти массу нуклида:

а) ⁶He, испытывающего β^— — распада, Q=3,50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β⁺ — распада, Q=1,82 МэВ.

Задача №8.

С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер Ir¹⁹¹, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ — квантов с энергией 129 кэВ?

Задача №1.

Дано: N₀=10¹⁰, ( ^{222}_{86}{Rn} ) T_1/2=3,825сут. t=1сут.	Решение:
Найти: ΔN=?

Дано:

N₀=10¹⁰, ( ^{222}_{86}{Rn} )

T_1/2=3,825сут.

t=1сут.

Решение:

Найти:

ΔN=?

Число распавшихся ядер за промежуток времени Δt равно

где N₀ — число ядер в начальный момент времени t=0, N — число не распавшихся ядер в момент времени t=t. Число N определяется законом радиоактивного распада

где величина λ — постоянная распада. Периодом полураспада T_1/2 называется промежуток времени, за который распадается половина первоначального числа ядер. С учетом периода полураспада преобразуем (2) и получим другую запись закона

( Delta{N}=N_0left(1-e^{frac{ln2}{T_{1/2}}t}right) ).

(3)

Расчет:

ΔN=10¹⁰(1-exp(0,693/3,825))=10¹⁰(1-0,834256)=1,66·10⁹частиц/сут.

Задача №2.

Дано: η=75,0%, ( _{84}{Po}^{210} )	Решение:
Найти: t=?

Дано:

η=75,0%, ( _{84}{Po}^{210} )

Решение:

Найти:

t=?

По условию задачи имеем

Период полураспада T_1/2 и постоянная распада λ связаны между собой соотношением вида

( lambda=frac{ln2}{T_{1/2}} ).

(2)

Применяя соотношение (2), запишем закон радиоактивного распада в виде

( N=N_0cdot2^{-frac{t}{T_{1/2}}} ).

(3)

Учитывая, что ΔN=N₀—N, поставим в (1) выражения (3) и (2). В результате получим следующее равенство

( eta=1-2^{-frac{t}{T_{1/2}}} ).

(4)

Отсюда следует, что

( t=-frac{T_{1/2}}{ln2}ln(1-eta) ).

(5)

Табличные данные: T_1/2=138 суток для радиоактивного вещества ₈₄Po²¹⁰.

Расчет:

( t=-frac{138}{0,693}ln0,25=276 )сут.

Задача №3.

Сколько ядер распадается за 1с. в куске урана ( _{92}^{238}{U} ) массой 1,0 кг? Какова активность этого урана?

Дано: m=1,0кг, ( _{92}^{238}{U} ) t=1c	Решение:
Найти: A=? ΔN=?

Дано:

m=1,0кг, ( _{92}^{238}{U} )

t=1c

Решение:

Найти:

A=?

ΔN=?

Активностью образца называют величину

( A=left|frac{dN}{dt}right| ),

(1)

где N — число ядер в данный момент времени, dN<0. Она характеризует убыль числа ядер за единицу времени. Из закона радиоактивного распада следует, что

Используя связь между величинами λ и T_1/2, запишем (2) в виде

( A=frac{ln2}{T_{1/2}}N ).

(3)

Число ядер N в образце в данный момент времени определяется выражением

( N=nu{N_A}=frac{m}{M}N_A ),

(4)

где v — число молей, содержащихся в препарате, m — масса образца, M — молярная масса вещества образца. И, окончательно, получим выражение для активности образца в следующем виде:

( A=frac{mln2}{MT_{1/2}}N_A ).

(5)

Табличные данные: T_1/2=4,5·10⁹ суток для радиоактивного вещества ₉₂U²³⁸.

Расчеты:

T_1/2=4,5·10⁹·365·24·3600=1,41812·10¹⁷c.
( A=frac{1cdot0,693cdot6,022cdot10^{23}}{238cdot1,41912cdot10^{17}}=1,2356cdot10^4 )с^-1.

Число распавшихся ядер за 1c равно активности, dN=1,24·10⁴ частиц.

Задача №4.

Элемент тория ( _{90}^{232}{Th} ) в результате радиоактивного распада превращается в изотоп свинца ( _{82}^{208}{Pb} ). Сколько α — и β — частиц выбрасывает при этом каждый атом?

Дано: ( _{90}^{232}{Th} rightarrow_{82}^{208}{Pb} )	Решение:
Найти: n_α=? n_β=?

Дано:

( _{90}^{232}{Th} rightarrow_{82}^{208}{Pb} )

Решение:

Найти:

n_α=?

n_β=?

По условию задачи массовое число A в результате радиоактивного распада изменилось на величину

Массовое число изменяется за счет α — излучения. Это дает следующее уравнение

Здесь учтено, что α — частица есть ядро атома гелия, и его массовое число A_α=4. Величина зарядового числа нового изотопа равна Z_Рв=ΔZ=8. Зарядовое число изменяется за счет обоих излучений. Поэтому второе уравнение имеет вид

Здесь учтено, что заряды частиц равны Z_α=2, Z_β=-1. Решение системы (1) — (2) дает следующие результаты: n_α=6, n_β=4.

Задача №5.

Дано: T_1/2=32дня, ³⁷Ar A₀=100мКи a) t=1день б) t=1000дней	Решение:
Найти: A=?

Дано:

T_1/2=32дня, ³⁷Ar

A₀=100мКи

a) t=1день

б) t=1000дней

Решение:

Найти:

A=?

Учитывая соотношение A=λN, для активности препарата можно записать формулу

где A₀ — начальная активность препарата, A — его активность в момент t времени. Заменяя λ известным соотношением, получим

( A=A_0e^{-frac{ln2}{T_{1/2}}t} ).

(2)

Расчеты:

a) ( A=100cdot{e}^{-frac{ln2}{32}1}=100cdot{0,97857}=98 )мКи.
б) ( A=100cdot{e}^{-frac{ln2}{32}1000}=100cdot{exp}(-21,66)=100cdot3,9157cdot10^{-11}мКи=3,9cdot10^{-11} )Ки.

Задача №6.

Ядро ( _{84}{Po}^{210} ) полония превратилось в ядро ( _{82}^{206}{Pb} ) свинца. Определить кинетическую энергию α — частицы и ядра отдачи.

Дано: ( _{84}{Po}^{210} rightarrow_{82}^{206}{Pb} )	Решение:
Найти: K_α=? K_Pb=?

Дано:

( _{84}{Po}^{210} rightarrow_{82}^{206}{Pb} )

Решение:

Найти:

K_α=?

K_Pb=?

Схема рассматриваемого распада имеет вид

(1)

Q — энергетический, или тепловой эффект ядерной реакции. Она в общем виде определяется формулой

(2)

где , — суммы масс покоя частиц соответственно до и после реакции, c — скорость света в вакууме. В случае распада (1) энергетический эффект имеет вид

Закон сохранения массы — энергии для распада (1) можно записать в следующем виде:

m_Poc²=m_Pbc²+m_αc²+T_Pb+T_α,

(4)

где T_Pb и T_α — кинетические энергии ядра Pb и α — частицы. Здесь предполагается, что до начала реакции ядро-мишень Po покоилось, и его кинетическая энергия T_Po равняется нулю. Из формул (3) и (4) следует

Используя соотношение (5) и закон сохранения импульса, мы можем найти кинетические энергии продуктов рассматриваемой реакции. Из закона сохранения импульса ( (|vec{p_{alpha}}|=|vec{p_{Pb}}|) ) следует связь между кинетическими энергиями

( T_{Pb}=frac{m_{alpha}}{m_{Pb}}T_{alpha} ),

(6)

где T=p²/(2m). Поставляя (6) в (5), найдем

( T_{alpha}=frac{Q}{1+m_{alpha}/m_{Pb}} ),

(7)

Табличные данные: m_Po=209,98297а.е.м., m_Pb=205,97446а.е.м., m_α=4,00260а.е.м.

Расчет:

Q=[209,98297-(205,97446+4,00260)]·931,5=5,505МэВ,
( T_{alpha}=frac{5,5}{1+4,00260/205,97446}=5,39 )МэВ,
( T_{Pb}=frac{4cdot5,34}{205}=0,11 )МэВ.

Задача №7.

Зная массу дочернего нуклида и энергию β — распада Q, найти массу нуклида:

а) ⁶He, испытывающего β^— — распада, Q=3,50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β⁺ — распада, Q=1,82 МэВ.

Дано: a) ⁶He, Q=3,50МэВ, β^— б) ²²Na, Q=1,82МэВ, β⁺	Решение:
Найти: m_He=? m_Na=?

Дано:

a) ⁶He, Q=3,50МэВ, β^—

б) ²²Na, Q=1,82МэВ, β⁺

Решение:

Найти:

m_He=?

m_Na=?

Нуклидом называют атом конкретного изотопа химического элемента.

а) Правило смещения электронного распада имеет вид

(1)

б) Правило смещения позитронного распада

Энергетический эффект бета — распада запишем в общем виде

Q=[m_X-(m_Y+m_e)]·931,5МэВ,

(2)

где m_X — масса материнского ядра X, m_Y — масса дочернего ядра Y, m_e — масса электрона в атомных единицах массы. Считая m_Y, Q известными, запишем выражение для массы m_X материнского ядра

( m_X=m_Y+m_e+frac{Q}{931,5} )(а.е.м.)

(3)

Табличные данные: m_Li=6,015126а.е.м. для нуклида ₃Li⁶, m_Na=21,991384а.е.м. для нуклида ₁₀Na²², m_e=5,486·10^-4а.е.м.

Расчеты:

a) ( m_{He}=6,015126+5,4858cdot10^{-4}+frac{3,50}{931,5}=6,0194 )а.е.м.
б) ( m_{Na}=21,991384+5,4858cdot10^{-4}+frac{1,82}{931,5}=21,9939 )а.е.м.

Задача №8.

Дано: E_γ=129кэВ, Ir₁₉₁	Решение:
Найти: v=?

Дано:

E_γ=129кэВ, Ir₁₉₁

Решение:

Найти:

v=?

Ядерное резонансное поглощение (эффект Мёссбауэра) заключается в том, что если одно ядро (источник) испускает γ — квант, то другое такое же ядро (поглотитель) с большой вероятностью этот квант поглощает, а затем излучает квант той же частоты. Такое же резонансное поглощение (излучение) обычно можно легко наблюдать у атомов, а в случае ядер оно наблюдается в определенных условиях. Энергии γ — квантов очень высоки, а энергии световых квантов очень малы по сравнению с ними. По этой причине энергия квантового перехода в атомах целиком уносится излучаемым световым фотоном, а в случае ядра энергия такого перехода распределяется между γ — квантом и ядром отдачи. Распределение энергии можно представить следующим образом:

где E_γ=p_γc — энергия вылетающего из ядра γ — кванта, c — скорость света в вакууме, T_яд — энергия отдачи ядра. Чтобы соблюдалось условие ΔE=E_γ резонансного поглощения, необходимо скомпенсировать энергию T_яд отдачи ядра. Это можно добиться, если будет сообщена источнику дополнительная энергия, численно равная кинетической энергии

( T_{mathit{яд}}=frac{m_{mathit{яд}}v^2}{2} ).

(2)

где v — относительная скорость сближения ядер. По закону сохранения абсолютные величины импульсов ядра отдачи и γ — кванта равны

Отсюда следует

( T_{mathit{яд}}=frac{p^2_{mathit{яд}}}{2m_{mathit{яд}}}=frac{E^2_{gamma}}{2m_{mathit{яд}}c^2} ).

(4)

Сопоставление (2) и (4) приводит к выражению для относительной скорости сближения источника и поглотителя

( v=frac{E_{gamma}}{m_{mathit{яд}}c^2} ).

(5)

Табличные данные: m_яд=190,960850а.е.м., c=2,998м/с.

Расчеты:

( v=frac{129cdot10^3cdot1,6cdot10^{-19}}{190,960850cdot1,660cdot10^{-27}cdot2,998cdot10^8}=217,18=217 )м/с.

Источник

При всем разнообразии реакций самопроизвольного (спонтанного) распада ядер в этом процессе наблюдается общая закономерность, которую можно описать математически. Интересно, что зависимость количества распавшихся ядер от времени задается одной и той же функцией для различных ядер, участвующих в распаде. Перейдем к количественному описанию процессов радиоактивного распада.

Большинство изотопов любого химического элемента превращается в более устойчивые изотопы путем радиоактивного распада. Каждый радиоактивный элемент распадается со своей, присущей только ему «скоростью». При этом для каждого радиоактивного ядра существует характерное время, называемое периодом полураспада , спустя которое в исходном состоянии остается половина имевшихся ядер. Таким образом, периодом полураспада называется промежуток времени, за который распадается половина начального количества радиоактивных ядер. Другая половина ядер превращается в более устойчивые изотопы посредством распада.
Отметим, что период полураспада не зависит от того, в каком состоянии находится вещество: твердом, жидком или газообразном. Кроме того, период полураспада радиоактивного вещества не зависит от его количества, от времени, места и условий, в которых оно находится. Поэтому количество радиоактивных ядер «тогда» и «сейчас» непосредственно определяет промежуток времени , прошедший с момента уменьшения числа ядер от до .
Невозможно точно предсказать, когда произойдет распад данного ядра. Однако можно оценить среднее число ядер, которые распадутся за данный промежуток времени. Таким образом, закон радиоактивного распада является статистическим и он справедлив только при достаточно большом количестве радиоактивных ядер.

Для записи закона радиоактивного распада будем считать, что в начальный момент времени () число радиоактивных ядер . Через промежуток времени, равный периоду полураспада, это число будет , еще через такой же промежуток времени — (рис. 218). Спустя промежуток времени, равный n периодам полураспада , радиоактивных ядер останется:

(1)

Это соотношение выражает закон радиоактивного распада, который можно сформулировать следующим образом:

число нераспавшихся радиоактивных ядер убывает с течением времени по закону, представленному соотношением (1).

Закон радиоактивного распада позволяет найти число нераспавшихся ядер в любой момент времени. Полученное выражение хорошо описывает распад радиоактивных ядер, если их количество достаточно велико.
Приведем экспериментальные результаты, которые показывают, что при малом количестве радиоактивных ядер это выражение неприменимо. На рисунке 219 изображен график распада 47 ядер изотопа фермия , период полураспада которого . Из рисунка 219 видно, что пока ядер было достаточно много — от 47 до 12, то показательная функция хорошо описывала закон распада. Однако при меньшем числе ядер истинная зависимость существенно отличается от показательной функции.
Периоды полураспада некоторых радиоактивных изотопов веществ приведены в таблице 11.

Таблица 11. Периоды полураспада радиоактивных изотопов веществ
Вещество	Период полураспада
	30,17 лет
	5,3 года
	8,04 суток
	24 390 лет
	1600 лет
	3,8 суток
	700 млн лет
	4,5 млрд лет

Впервые процесс радиоактивного распада для измерения промежутков времени был использован в 1904 г. Резерфордом. По отношению концентрации урана и его дочернего продукта распада (гелия) он определил возраст урановой породы. Эта работа положила начало ядерной геохронологии — определению возраста различных минералов Земли по радиоактивным долгоживущим веществам. В дальнейшем исследование процессов ядерного синтеза позволило перейти к ядерной космохронологии, т.е. к определению продолжительных промежутков времени, прошедших с момента образования элементов в масштабах Галактики и Вселенной. В основу ядерной космохронологии положена неизменность «скорости» радиоактивного распада.

В 1927 г. американский ученый Г. Блюмгарт, используя изотоп , впервые определил скорость кровотока у людей.

В 1934 г. венгерский ученый Дьердь фон Хевеши, используя дейтерий, впервые установил, что в организме человека вода полностью обновляется в течение 14 суток.

В 1943 г. Дьердь фон Хевеши была присуждена Нобелевская премия по химии «за работу по использованию изотопов в качестве меченых атомов при изучении химических процессов».

Источник

Число ядер, содержащихся в массе m радиоактивного вещества:

1.8 Правила смещения при радиоактивном распаде

1.9 Ядерные реакции

Оглавление

Примеры решения задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.