Как найти количество размещений

Чтобы работать с теорией вероятностей и статистикой, нужно знать принципы комбинаторики — науки о подсчёте количества всевозможных комбинаций элементов.

• Факториал, правила суммы и произведения
• Перестановка
• Размещение
• Сочетание
• Как использовать перестановки, размещения и сочетания в анализе данных
• Совет эксперта

Самые популярные факториалы

Рекуррентная формула факториала

В этой формуле для получения следующего элемента необходимо знать предыдущий.

Правило суммы — если объект A можно выбрать способами, а объект B можно выбрать способами, то объект «A или B» можно выбрать n + m способами.

Правило произведения — если объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то для пары «A и B» есть n ∙ m вариантов выбора.

Когда важно одно или другое — варианты выбора складываются, когда одно и другое — умножаются. Оба правила позволяют найти, сколько есть вариантов на выбор или, например, сколько есть способов различного расположения предметов.

Получить больше практики по расчёту количества комбинаций можно в модуле «Комбинаторика» тренажёра «Основы математики для цифровых профессий».

Пример. На странице интернет-магазина одежды размещены три футболки. Если поменять их расположение на странице, получится новая перестановка. Сколькими способами можно расположить футболки на странице?

Решение. Три футболки можно расположить на странице способами: P₃ = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3.

Пример. Чтобы выполнить ежедневный квест, игроку нужно принести магу корзину с четырьмя кристаллами разного цвета. Первой необходимо найти корзину, а кристаллы можно сложить в неё в произвольном порядке. Как найти число способов выполнить задание?

Решение. Для выполнения квеста нужно 5 предметов. Корзину всегда находят первой, поэтому её позиция зафиксирована. Порядок сбора 4 оставшихся предметов равен числу перестановок 4 элементов. Всего есть 4! = 24 способа выполнить задание.

В отличие от перестановки, у размещения два параметра: из скольких элементов выбирают (n) и сколько именно выбирают (k).

Порядок выбора элементов важен, когда:

● Выбирают несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей.
● В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, когда надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет.

Пример. Недалеко от пользователя есть 9 ресторанов. Из них надо выбрать 4, которые будут отображаться на главном экране. Сколько есть способов выбрать рестораны?

Решение. Порядок выбора важен, поэтому выбрать четыре ресторана поможет правило произведения: существует 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024 способа. Это как раз и есть количество размещений из 9 по 4.

Пример. Сколькими способами можно заполнить спортивный пьедестал из трёх мест, если есть 10 претендентов?

Решение. Выбрать упорядоченную тройку можно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 способами. По формуле для количества размещений это считается так:

Несколько частных значений для количества сочетаний:

Порядок выбора или расстановки не важен, когда:

● Выбирают несколько элементов одновременно. В учебниках по математике самый частый пример — мешок с шариками, откуда вытаскивают несколько шариков разом.
● Выбирают пару (тройку, группу) для взаимного или равноправного процесса. Например, двух человек для партии в шахматы, две команды для игры в хоккей, три бренда одежды для коллаборации, две точки для соединения отрезком, пять человек для хора.

Пример. Из 9 актёров выбирают четырёх для массовки. Порядок выбранных людей не важен. Сколько есть способов выбрать актёров?

Решение. Чтобы получить количество вариантов выбора 4 из 9 без учёта порядка, нужно

Это количество сочетаний из 9 по 4: сначала нашли количество способов выбрать 4 из 9, потом «склеили» все варианты с одним набором актёров, но разным порядком.

Пример. В сувенирном магазине продаются 6 видов кружек. Сколько есть способов выбрать 4 разные?

Решение. Общее количество перестановок для 6 элементов нужно разделить на (6 – 4)! и ещё на 4!, так как не нужно учитывать ни перестановки «невыбираемых» кружек, ни порядок среди выбираемых.

Поэтому для выбора 4 кружек из 6 есть

А если надо выбрать только 2 разные кружки?

Ответ получился такой же, потому что множители в знаменателе просто поменялись местами.

У этого есть и логическое обоснование: например, выбрать 4 кружки из 6 (и купить их) — это то же самое, что выбрать 2 кружки из 6 (и не купить их).

Аналогично получится, что

В общем виде это свойство выглядит так:

Его называют свойством симметрии для количества сочетаний.

Совет эксперта

Диана Миронидис
Выбирать приходится каждый день: сколько блюд получится сделать из продуктов в холодильнике, сколькими способами можно добраться до работы — ответы на все эти вопросы даёт комбинаторика. Это отличный фундамент для изучения анализа данных и тех областей математики, которые связаны с теорией вероятностей и статистикой. Например, чтобы работать с биномиальным распределением, нужно знать, что такое биномиальные коэффициенты и как их находить. А это как раз комбинаторные задачи.

Автор и методист курсов по математике

Формула числа размещений

Определение числа размещений

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $k$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $k$, а их число равно

$$A_n^k=frac{n!}{(n-k)!}=ncdot (n-1)cdot … cdot (n-k+1) $$

Если вы уже знакомы с сочетаниями, то легко заметите, что чтобы найти размещения, надо взять все возможные сочетания, а потом в каждом еще поменять порядок всеми возможными способами (то есть фактически сделать еще перестановки). Поэтому число размещений еще выражается через число перестановок и сочетаний так:

$$A_n^k= C_n^k cdot k! = C_n^k cdot P_k.$$

Получилась такая изящная формула, объединяющая три других формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок).

Пример всех размещений из $n=3$ объектов (различных фруктов) в группы по $m=2$ с учетом порядка — на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $$A_3^2=3cdot (3-2+1)=3cdot 2 =6.$$

Чтобы вычислить число размещений $A_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о размещениях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы размещений: как использовать Excel для нахождения числа размещений, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

• Онлайн-учебник по теории вероятностей
• Как решать задачи по комбинаторике?
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Решить теорию вероятности на заказ

Решенные задачи

Число размещений

Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них k объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок).
Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по k, а их число равно:

A_kⁿ = n!(n — k)!

Пример размещений. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2).

Данный онлайн калькулятор позволяет найти число размещений из n элементов по k.

Поделиться страницей в социальных сетях:

Размещения

1. Размещения без повторений
2. Размещения с повторениями
3. Примеры

п.1. Размещения без повторений

Размещениe без повторений – это упорядоченная ⟨n,k⟩ – выборка без повторений,     k ≤ n. Общее количество размещений без повторений: $$ mathrm{ A_n^k=frac{n!}{(n-k)!} } $$

Например:
Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита {+,*,A,!,2}.
Сколько всего паролей без повторения символов можно составить?
По условию n = 5, k = 3. Рассматриваем размещение 5 символов по 3 позициям без повторений: (mathrm{ A_5^3=frac{5!}{(5-3)!}=5cdot 4cdot 3 = 60 })
Всего 60 паролей.
Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции – 5 вариантов символов, на второй – 4 оставшихся, на третьей – 3 оставшихся. Итого, по правилу произведения: 5 · 4 · 3 = 60 паролей.

п.2. Размещения с повторениями

Размещение с повторением – это упорядоченная ⟨n,k⟩ – выборка с повторениями. Общее количество размещений с повторениями: $$ mathrm{ overline{A}_n^k=n^k } $$

Например:
Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита {+,*,A,!,2}.
Сколько всего паролей можно составить?
По условию n=5, k=3. Рассматриваем размещение 5 символов по 3 позициям с повторениями: (mathrm{ overline{A}_5^3=5^3=125. })
Всего 125 паролей.
Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции 5 вариантов символов, на второй – 5 вариантов, и на третьей – 5 вариантов. Итого, по правилу произведения: 5 · 5 · 5 = 5³ = 125 паролей.

п.3. Примеры

Пример 1. Исследуйте различие между перестановкой без повторений и размещением без повторений ⟨3,2⟩-выборок для трёх разноцветных фишек. Изобразите полученные решения.

Рассматриваем фишки:

1) Для перестановок, ⟨3,3⟩-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельная перестановка. Видно, как образуется факториал. Для каждой отдельной фишки – одна перестановка. Для каждой пары фишек – две перестановки: 2 · 1. Когда добавляем третью, получаем: 3 · 2 · 1 Итого: P3 = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок.

2) Для размещений без повторений, ⟨3,2⟩-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельное размещение. В первом столбце слева – 3 варианта по цвету. Во втором столбце остается только 2 варианта. Итого: (mathrm{A_3^2=3cdot 2=6}) размещений.

Пример 2. Исследуйте перестановки без повторений и размещения для ⟨4,3⟩ выборок и для ⟨4,2⟩ выборок без повторений из 4 разноцветных фишек.
Изобразите полученные решения.

Рассматриваем фишки:

Пример 3. Исследуйте различие между перестановкой с повторениями и размещением с повторениями. Сделайте вывод.
Перестановка с повторениями: сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «МАМА»? Запишите все эти слова в лексикографическом порядке.
Размещение с повторениями: сколько 4-буквенных слов можно получить, используя две буквы: «М» и «А»? Запишите все эти слова в лексикографическом порядке.

1) Для перестановки с повторениями получаем: begin{gather*} mathrm{ a_1=M,k_1=2, a_2=A,k_2=2 }\ mathrm{ k=k_1+k_2=2+2=4 }\ mathrm{ P_4(2;2)=frac{4!}{2!cdot 2!}=frac{24}{2cdot 2}=6 } end{gather*} Все 6 слов в лексикографическом порядке:

AAMM≺AMAM≺AMMA≺MAAM≺MAMA≺MMAA

2) Для размещения с повторениями получаем: begin{gather*} mathrm{ n=2, k=4 }\ mathrm{ overline{A}_2^4=2^4=16 } end{gather*} Все 16 слов в лексикографическом порядке:

AAAA≺AAAM≺AAMA≺AAMM≺AMAA≺AMAM≺AMMA≺AMMM≺
≺MAAA≺MAAM≺MAMA≺MAMM≺MMAA≺MMAM≺MMMA≺MMMM

Вывод: вариантов для размещения с повторениями получается больше, т.к. они включают слова с одной, тремя и четырьмя «М» и «А». А в перестановки с повторениями входят только слова с двумя «М» и двумя «А».

Пример 4. В базе данных с номерами телефонов содержатся все 7-значные номера.
1) Сколько в книге номеров, в которых цифры не повторяются?
2) Сколько в книге всего номеров?
3) Сколько в книге номеров, у которых 4 последних цифры одинаковые?
4) Сколько в книге номеров, у которых 4 последних цифры одинаковые, а 3 первых цифры отличаются от 4 последних?
1) Цифр – всего 10: {0;1;2;…;9}

n=10,   k=7

Количество семизначных номеров без повторений равно количеству размещений без повторений: $$ mathrm{ A_{10}^7=10cdot 9cdot 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4=604800 } $$ 2) Количество всех семизначных номеров равно количеству размещений с повторениями: $$ mathrm{ overline{A}_{10}^7=10^7=10 000 000 } $$ 3) 4 последних одинаковых цифры рассматриваем как одну «склеенную» цифру;
а 7-значный номер – как 4-значный, с последней «склеенной цифрой».
Количество всех4-значных номеров равно количеству размещений с повторениями: $$ mathrm{ overline{A}_{10}^4=10^4=10 000 } $$ 4) Если 10 вариантов 4 последних цифр: {0;1;2;…;9}, тогда для каждой из 3 первых цифр остается 9 вариантов. Если 10 вариантов для 3 первых цифр, тогда для 4 последних остается 9 вариантов.
По правилу суммы и произведения общее количество таких номеров: $$ mathrm{ N=frac{9^3cdot 10+10^3cdot 9}{2}=8145 } $$ Ответ: 1) 604 800 2) 10 000 000; 3) 10 000; 4) 8145.