Как найти количество решений уравнения по графику

Найдём количество решений уравнения

$$ sqrt{5+4left|xright|-{x}^{2}}=a$$

в зависимости от $$ a$$.

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

$$ {f}_{1}left(xright)=sqrt{5+4left|xright|-{x}^{2}}$$ и $$ {f}_{2}left(xright)=a$$.

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y={f}_{1}left(xright)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ fleft(0right)=sqrt{5}$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a < 0$$ и $$a > 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y={f}_{1}left(xright)$$, при $$ a=3$$ и $$ ain [0;sqrt{5})$$ есть две точки пересечения, а при $$ ain [sqrt{5};3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=sqrt{5}$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

$$ |x+5|+|x-3|=a$$.

Методом интервалов нетрудно построить график функции

$$ fleft(xright)=|x+5|+|x-3|$$.

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ fleft(xright)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

Найдём количество решений системы уравнений

$$ left{begin{array}{l}left|xright|+left|yright|=4;\ {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}end{array}right.$$

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ left|xright|+left|yright|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ left|aright|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

Как видим, при $$|a| < 2sqrt{2}$$ и $$|a| > 4$$ графики не пересекаются. При $$ left|aright|=2sqrt{2}$$ или $$ left|aright|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.

При $$ ain (-infty ;-4)cup (-2sqrt{2};2sqrt{2})cup (4;+infty )$$ система не имеет решений;

при $$ ain {-4;-2sqrt{2};2sqrt{2};4}$$ система имеет 4 решения;

при $$ ain (-4;-2sqrt{2})cup (2sqrt{2};4)$$ система имеет 8 решений.

При каких $$ a$$ функция $$ fleft(xright)={x}^{2}-3|x-{a}^{2}|-5x$$ имеет более двух точек локального экстремума?

$$left|x-{a}^{2}right|=left{begin{array}{l}x-{a}^{2}, mathrm{если} xge {a}^{2},\ {a}^{2}-x, mathrm{если} x<{a}^{2}.end{array}right.$$

$$fleft(xright)=left{begin{array}{l}{x}^{2}-8x+3{a}^{2}, mathrm{если} xge {a}^{2},\ {x}^{2}-2x-3{a}^{2}, mathrm{если} x<{a}^{2}.end{array}right.$$

При $$ xge {a}^{2}$$ график функции $$ fleft(xright)$$ есть часть параболы $$ y={x}^{2}-8x+3{a}^{2}$$, лежащая справа от $$ x={a}^{2}$$, а при $$x < a^2$$ $$ fleft(xright)={x}^{2}-2x-3{a}^{2}$$ и графиком функции будет часть параболы $$ y={x}^{2}-2x-3{a}^{2}$$ в полуплоскости слева от прямой $$ x={a}^{2}$$. Наибольшее возможное количество точек экстремума этой функции равно `3` (две вершины парабол и точка их пересечения, см. рис. 45).

Это возможно при условии $$1 < a^2 < 4$$, то есть $$ ain (-2;-1)bigcup (1;2)$$. 

Найдём все значения $$ a$$, при которых уравнение

$$ sqrt{x-9}=ax+7a-3$$

имеет единственное решение.

Полагая $$ x+7=t$$, получим уравнение $$ sqrt{t-16}=at-3$$. (1)

Требуется найти все значения $$ a$$, при которых графики функций $$ y=sqrt{t-16}$$ и $$ y=at-3$$ имеют единственную общую точку. Заметим, что все прямые, задаваемые уравнением $$ y=at-3$$ проходят через $$ (0;-3)$$ (рис. 46).

Ясно, что если $$ ale 0$$, то прямая $$ y=at-3$$ не имеет общих точек с параболой $$ y=sqrt{t-16}$$. Угловой коэффициент прямой $$ y=at-3$$ равен $$ a$$. Найдем угловые коэффициенты $$ {a}_{1}$$ и $$ {a}_{2}$$ прямых $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ (см. рис. 46) (обе задаются уравнением вида $$ y=at-3$$), первая из которых проходит через точку $$ (16;0)$$, а вторая имеет ровно одну общую точку (касается) с параболой  $$ y=sqrt{t-16}$$. Подставляя в уравнение прямой значения $$ t=16$$, $$ y=0$$, находим $$ {a}_{1}={displaystyle frac{3}{16}}$$. И при `0<a<3/16` уравнение (1) имеет единственное решение. Число `a_2` является ещё одним значением `a`, при котором уравнение (1) имеет единственный корень `t_1>16`. Возводя обе части (1) в квадрат, получаем уравнение $$ {a}^{2}{t}^{2}-(6a+1)t+25=0$$, дискриминант которого $$ D=(6a+1{)}^{2}-(10a{)}^{2}$$. При $$ D=0$$ и $$a > 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=sqrt{t-16}$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$dfrac3{16}leq a<dfrac14$$, то прямая $$ y=at-3$$ и парабола $$ y=sqrt{t-16}$$ имеют две общих точки, а при `a > 1/4` они не имеют общих точек. 

Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система

$$ left{begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+31le 8left(right|x|+|yleft|right),\ {x}^{2}+{y}^{2}-2y={a}^{2}-1end{array}right.$$

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ {x}^{2}-8left|xright|+16+{y}^{2}-8left|yright|+16le 1$$ или $$ left(right|x|-4{)}^{2}+(left|yright|-4{)}^{2}le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ {K}_{1}$$, $$ {K}_{2}$$, $$ {K}_{3}$$, $$ {K}_{4}$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ {O}_{1}(4;4)$$, $$ {O}_{2}(4;-4)$$, $$ {O}_{3}(-4;-4)$$, $$ {O}_{4}(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде

$$ {x}^{2}+(y-1{)}^{2}={a}^{2}$$.

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ left|aright|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ в направлении точек $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Пусть $$ {A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}$$ – точки пересечения $$ {l}_{1}$$ и окружности с центром $$ {O}_{1}$$, $$ {A}_{2}$$ и $$ {B}_{2}$$ – точки пересечения $$ {l}_{2}$$ и окружности с центром $$ {O}_{2}$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

$$ M{O}_{1}=5$$, $$ M{O}_{2}=sqrt{25+16}=sqrt{41}$$,

$$ M{A}_{1}=4$$, $$ M{B}_{1}=6$$, $$ M{A}_{2}=sqrt{41}-1$$, $$ M{B}_{2}=sqrt{41}+1$$.

При $$ 4le left|aright|le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ {omega }_{1}$$ , а при $$ sqrt{41}-1le left|aright|le sqrt{41}+1$$ – с кругом $$ {omega }_{2}$$.

Так как $$4 < sqrt{41} − 1 < 6$$, то объединение отрезков $$ [4;6]$$ и $$ [sqrt{41}-1;sqrt{41}+1]$$ есть отрезок $$ [4;sqrt{41}+1]$$, а искомое множество значений $$ a$$ определяется неравенством $$ 4le left|aright|le sqrt{41}+1$$.

Найдём все значения параметра $$ b$$, при которых система уравнений

$$ left{begin{array}{l}y=|b-{x}^{2}|,\ y=a(x-b)end{array}right.$$

имеет решение при любом значении параметра $$ a$$.

Рассмотрим три возможных случая: $$b < 0$$, $$ b=0$$,а также $$b > 0$$.

а) Если $$b < 0$$, то запишем систему в виде $$ left{begin{array}{l}y={x}^{2}+d,\ y=a(x+d),end{array}right.$$ где $$d = −b > 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b < 0$$ не подходит.

б) Если $$ b=0$$, то система примет вид $$ left{begin{array}{l}y={x}^{2},\ y=ax.end{array}right.$$

Легко видеть, что она имеет решение $$ (0;0)$$ при любом $$ a$$, т.е. значение $$ b=0$$ подходит.

в) Пусть $$b > 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 < b ≤ 1$$ и $$b > 1$$. Если $$b > 1$$, то $$sqrt{b} < b$$. Пусть $$ a=1$$, тогда система примет вид $$ left{begin{array}{l}y=|{x}^{2}-b|,\ y=x-b.end{array}right.$$

Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|{x}^{2}-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 < b ≤ 1$$, то $$ sqrt{b}ge b$$. В этом случае прямая $$ y=a(x-b)$$ пересекает график функции $$ y=|{x}^{2}-b|$$ при любом $$ a$$ (на рис. 49) представлен случай $$a > 0$$).

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`a|x-3|=5/(x+2)`

на промежутке  `{0;+oo)` имеет ровно два корня.

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a<=0` все значения функции `f(x)` на промежутке `[0;+oo)` неположительны, а все значения функции `g(x)` – положительны, поэтому при `a<=0` уравнение `f(x)=g(x)` не имеет решений на промежутке `[0;+oo)`. При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3)<g(3)` и `f(3+1/a)>g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем  считать, что `a>0`, поскольку случай `a<=0` был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения `D=a^2-4a(5-6a)=25a^2-20a`, поэтому при `0<a<4/5` это уравнение не имеет корней; при `a=4/5` уравнение имеет единственный корень, равный `1/2`; при `a>4/5` уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a<=5/6`.

Таким образом, уравнение `a|x-3|=5/(x+2)` имеет следующее количество корней на промежутке `[0;+oo):

– нет корней при `a<=0`;

– один корень при `0<a<4/5`;

– два корня при `a=4/5` и `a>5/6`;

– три корня при `4/5<a<=5/6`.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений

$$ left{begin{array}{l}left(right|y+9|+|x+2|-2)({x}^{2}+{y}^{2}-3)=0,\ (x+2{)}^{2}+(y+4{)}^{2}=aend{array}right.$$

имеет ровно три решения.

Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ {x}^{2}+{y}^{2}=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ sqrt{3}$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=sqrt{a}$$.

Отметим, что при $$a < 0$$ второе уравнение задаёт пустое множество, при $$ a=0$$ одну точку $$ (-2;-4)$$. Поэтому при $$ ale 0$$ трёх решений быть не может.

Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=sqrt{20}pm sqrt{3}$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (sqrt{20}-sqrt{3};sqrt{20}+sqrt{3})$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=sqrt{20}+sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3<sqrt{20}+sqrt3<7$$), т. е. у системы 3 решения.

2) $$ R=sqrt{20}-sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$ и нет общих точек с квадратом $$ G$$ (т. к. $$sqrt{20}-sqrt3<3$$), т. е. у системы 1 решение.

3) $$ R=3$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и ровно `2` общие точки с окружностью $$ S$$ (т. к. $$sqrt{20} − sqrt{3} < 3 < sqrt{20} + sqrt{3}$$), т. е. у системы 3 решения.

4) $$ R=7$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и нет общих точек с окружностью $$ S$$ (т. к. $$7 > sqrt{20} + sqrt{3}$$), т. е. у системы 1 решение.

Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=sqrt{20}+sqrt{3}$$. Тогда искомые значения параметра $$ a={3}^{2}=9$$ и $$ a=(sqrt{20}+sqrt{3}{)}^{2}=23+4sqrt{15}$$.

В зависимости от значений параметра а найдём количество решений уравнения

`a+[x]=sqrt(2x-x^2)`.

Количество решений соответствует количеству общих точек графиков `y=a+[x]` и `y=sqrt(2x-x^2)`.

$$ y=sqrt{2x-{x}^{2}}iff left{begin{array}{l}yge 0,\ {left(x-1right)}^{2}+{y}^{2}=1.end{array}right.$$ (Рис. 53)

График функции `y=a+[x]` представлен на рисунке ниже (Рис. 54).

Общие точки возможны лишь при `x in [0;2]`. Рассмотрим несколько случаев расположения графиков.

1) Если `0<=x<1`, то `y=a+[x]=a`. В этом случае возможна одна общая точка с полуокружностью `y=sqrt(2x-x^2)` при `0<=a<1`.

2) Если `1<=x<2`, то `y=a+[x]=a+1`. Теперь одна общая точка возможна при `0<a+1<=1`, то есть `-1<a<=0`.

3) Если `x=2`, то `y=a+[x]=a+2`. Точка `(2;a+2)` лежит на графике `y=sqrt(2x-x^2) iff a=-2`.

При `a in (-oo;-2)uu(-2;-1]uu[1;+oo)` нет решений;

при `a in {-2}uu(-1;0)uu(0;1)` одно решение;

при `a=0` два решения.

1

2

3

4