Как найти количество решений уравнения производной функции

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ f'(x)=3ax^2+bx+c end Если в уравнении (f'(x)=0) дискриминант (D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)gt 0), кубическая парабола имеет две точки экстремума: (x_<1,2>=frac<-2bpmsqrt><6a>). Если при этом значения функции в точках экстремума (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но (f(x_1)cdot f(x_2)=0), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>)
б) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>=k)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью (y=1). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=frac1x+frac<1>+frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: (xneleft<0;1;3right>)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-infty-1-frac13=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+infty-1-frac13=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1-infty-frac12=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1+infty-frac12=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12-infty=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12+infty=+infty end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные (x=0, x=1, x=3) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-0-0-0=-0\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+0+0+0=+0\ end Горизонтальная асимптота (y=0)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: (k=0), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-frac<1>-frac<1><(x-1)^2>-frac<1><(x-3)^2>lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. (x=0) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, (0lt x_1lt 1,1lt x_2lt 3)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь (y=k) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При (klt 0) — три корня
При (k=0) — два корня
При (kgt 0) — три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при (k=0) два корня, при (kne 0) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ sqrt+sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию (f(x)=sqrt+sqrt<10-2x>)
ОДЗ: ( begin x-1geq 0\ 10-2xgeq 0 end Rightarrow begin xgeq 1\ xleq 5 end Rightarrow 1leq xleq 5 )
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: (f(1)=0+sqrt<8>=2sqrt<2>, f(5)=sqrt<4>+0=2)
Первая производная: begin f'(x)=frac<1><2sqrt>+frac<-2><2sqrt<10-2x>>=frac<1><2sqrt>-frac<1><sqrt<10-2x>>\ f'(x)=0 text<при> 2sqrt=sqrt<10-2x>Rightarrow 4(x-1)=10-2xRightarrow 6x=14Rightarrow x=frac73\ fleft(frac73right)=sqrt<frac73-1>+sqrt<10-2cdot frac73>=sqrt<frac43>+sqrt<frac<16><3>>=frac<6><sqrt<3>>=2sqrt <3>end Промежутки монотонности:

(x)	1	(1; 7/3)	7/3	(7/3; 5)	5
(f'(x))	∅	+	0	—	∅
(f(x))	(2sqrt<2>)	(nearrow )	max (2sqrt<3>)	(searrow )	2

Можем строить график:

(y=a) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения (f(x)) и (y) равно количеству решений.
Получаем:

$$ alt 2 $$	нет решений
$$ 2leq alt 2sqrt <2>$$	1 решение
$$ 2sqrt<2>leq alt 2sqrt <3>$$	2 решения
$$ a=2sqrt <3>$$	1 решение
$$ agt 2sqrt <3>$$	нет решений

По крайней мере одно решение будет в интервале (2leq aleq 2sqrt<3>).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство (frac<2+log_3 x>gt frac<6><2x-1>)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если (xgt 1), то (x-1gt 0), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если (xlt 1), то (x-1lt 0), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: (xgt 0)

Получаем совокупность: begin left[ begin begin xgt 1\ 2+log_3 xgtfrac<6(x-1)> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ 2+log_3 xltfrac<6(x-1)> <2x-1>end end right. \ 2+log_3 xgt frac<6(x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<2x-4><2x-1>\ left[ begin begin xgt 1\ log_3 xgtfrac<2x-4> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ log_3 xltfrac<2x-4> <2x-1>end end right. end Исследуем функцию (f(x)=frac<2x-4><2x-1>=frac<2x-1-3><2x-1>=1-frac<3><2x-1>)
Точка разрыва: (x=frac12) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-0>=+infty\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+0>=-infty end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: (y=1) begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-infty>=1+0\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+infty>=1-0 end На минус бесконечности кривая стремится к (y=1) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=left(1-frac<3><2x-1>right)’=frac<3><(2x-1)^2>gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка (x=frac12)

Пошаговый калькулятор производных онлайн

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Найти (с решением) производную функции.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции Найти производную функции f(x)

Немного теории.

Определение производной

Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ). Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции ( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение ( frac<Delta y> <Delta x>). Если существует предел этого отношения при ( Delta x rightarrow 0 ), то указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).

Для обозначения производной часто используют символ ( y’ ). Отметим, что ( y’ = f(x) ) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией ( y = f(x) ), определенная во всех точках (x), в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции ( y = f(x) ).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x=a ) можно провести касательную, непараллельную оси (y), то ( f(a) ) выражает угловой коэффициент касательной:
( k = f'(a) )

Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет производную в конкретной точке ( x ):
$$ lim_ <Delta x to 0>frac<Delta y> <Delta x>= f'(x) $$
Это означает, что около точки (x) выполняется приближенное равенство ( frac<Delta y> <Delta x>approx f'(x) ), т.е. ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке (x).
Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) )
2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) )
3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) )
4. Составить отношение ( frac<Delta y> <Delta x>)
5. Вычислить $$ lim_ <Delta x to 0>frac<Delta y> <Delta x>$$
Этот предел и есть производная функции в точке (x).

Если функция (y=f(x)) имеет производную в точке (x), то ее называют дифференцируемой в точке (x). Процедуру нахождения производной функции (y=f(x)) называют дифференцированием функции (y=f(x)).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x). Тогда к графику функции в точке ( M(x; ; f(x)) ) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен ( f'(x) ). Такой график не может «разрываться» в точке (M), т. е. функция обязана быть непрерывной в точке (x).

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x), то выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция ( y=|x|) непрерывна везде, в частности в точке (x=0), но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3] ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке (x=0). И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке (x=0). Но в этой точке касательная совпадает с осью (y), т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид (x=0). Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и ( f'(0) )

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если (C) — постоянное число и ( f=f(x), ; g=g(x) ) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Производная функции. Геометрический смысл производной



Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку А с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол  с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции ). Найдите количество решений уравнения )=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции равна нулю в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции ). Сколько точек максимума имеет функция ) на отрезке ? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

В точке функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла смежного с углом

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции определенной на отрезке В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Поэтому и свое наименьшее значение функция принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график — производной функции В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Кстати, вид графика функции определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график производной непрерывной функции В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке расположена точка в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что — точка максимума функции на отрезке и наибольшее значение функция принимает именно в этой точке.

Ответ: — 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

— касательная к

В точке производная отрицательная, т.к. функция — убывает в этой точке.

— угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол — тупой, а смежный с ним угол — острый.

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

где — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой

Для точки А:

Для точки В:

Отношение производных:

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая касается графика функции в точке Тогда для точки выполняются условия касания:

Первое уравнение показывает, что значения функций и в точке равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая касается графика функции причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

Начнем со второго уравнения:

Т.к. то

Найдем подставив в первое уравнение:

отсюда

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля = 40 км/ч, для третьего = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

Открытый банк заданий mathege.ru — тренажер задания 7 профильного ЕГЭ по математике-2023 (с ответами). Все прототипы задания7 на исследование функций. Это задание на использование свойств производной при анализе функций, либо на геометрический смысл производной, либо на физический смысл производной, либо на первообразную функции. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.

Использование свойств производной для исследования функций

27487 На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

27488. На рисунке изображён график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

27490. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

27491. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?

27492. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

27494. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].

27495. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].

27496. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10].

27497. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

27498. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

27499. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

27500. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

27502. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2; 6 ].

119971. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

317539. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

317540. На рисунке изображён график функции y = f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

317541. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

317542. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

Геометрический смысл производной

27485. Прямая y = 7x — 5 параллельна касательной к графику функции y = x² + 6x — 8. Найдите абсциссу точки касания.

27486. Прямая y = -4x — 11 является касательной к графику функции y = x³ + 7x² + 7x — 6. Найдите абсциссу точки касания.

27489. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

27501. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x -11 или совпадает с ней.

27503. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

27504. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

27505. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

27506. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

40130. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 2x — 2 или совпадает с ней.

40131. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

119972. Прямая y = 3x +1 является касательной к графику функции ax² + 2x + 3. Найдите a.

119973. Прямая y = -5x + 8 является касательной к графику функции 28x² + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

119974. Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x² — 3x + c. Найдите c.

317543. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

317544. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

[s60u_expand more_text=»Ответ» less_text=»Свернуть» height=»1″ hide_less=»no» text_color=»#333333″ link_color=»#0088FF» link_style=»default» link_align=»left» more_icon=»» less_icon=»» class=»»]
4
[/su_expand]

Физический смысл производной

119975. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t² — 48t +17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 с.

119976. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2t³ — 3t² + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

119977. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t⁴ + 6t³ + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

119978. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² -13t +23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

119979. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3t³ — 3t² — 5t + 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Первообразная 

323077. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (-3;5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-2;4].

323078. На рисунке изображён график функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

323079. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = x³ + 30x² + 302x — 15/8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x)= -x³ — 27x² — 240x — 8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.