Как найти количество рукопожатий

Содержание

• Проблема рукопожатия
• Малые группы
• Группы из четырех человек
• Большие группы
• Количество рукопожатий, необходимое для групп разного размера
• Создание формулы для задачи о рукопожатии
• Интересное замечание: треугольные числа
• Вопросы и Ответы

Проблема рукопожатия

Проблема рукопожатия очень проста для объяснения. В принципе, если у вас есть комната, полная людей, сколько рукопожатий нужно, чтобы каждый человек пожал руку кому-нибудь ровно один раз?

Для небольших групп решение довольно простое, и его можно довольно быстро пересчитать, но как насчет 20 человек? или 50? или 1000? В этой статье мы рассмотрим, как методично найти ответы на эти вопросы и создать формулу, которую можно использовать для любого количества людей.

Малые группы

Начнем с поиска решений для небольших групп людей.

Для группы из 2 человек ответ очевиден: достаточно 1 рукопожатия.

Для группы из 3 человек человек 1 будет пожимать руки человеку 2 и человеку 3. Это просто оставляет человека 2 и человека 3, чтобы пожать друг другу руки, а у другого в общей сложности 3 рукопожатия.

Для групп, превышающих 3 человека, нам потребуется методический способ подсчета, чтобы мы не пропустили и не повторили рукопожатия, но математика все еще довольно проста.

Группы из четырех человек

Предположим, у нас есть 4 человека в комнате, которых мы будем называть A, B, C и D. Мы можем разделить это на отдельные шаги, чтобы упростить подсчет.

• Человек А пожимает друг другу руки по очереди3 рукопожатия.
• Человек B пожал руку A, ему все еще нужно пожать руку C и D2.
• Человек C теперь пожал руки A и B, но ему все еще нужно пожать руку D1 еще раз.
• Человек D теперь всем пожал руки.

Таким образом, общее количество рукопожатий составляет 3 + 2 + 1 = 6.

Большие группы

Если вы внимательно посмотрите на наши расчеты для группы из четырех человек, вы увидите шаблон, который мы можем использовать для продолжения расчета количества рукопожатий, необходимых для групп разного размера. Предположим, у нас есть п люди в комнате.

• Первый человек пожимает руки всем в комнате, кроме себя. Таким образом, его общее количество рукопожатий на 1 меньше, чем общее количество людей.
• Второй человек уже пожал руку первому, но ему все еще нужно пожать руку всем остальным. Таким образом, количество оставшихся людей на 2 меньше, чем общее количество людей в комнате.
• Третий человек пожал руки первому и второму. Это означает, что оставшееся количество рукопожатий для него на 3 меньше, чем общее количество людей в комнате.
• Так продолжается с каждым рукопожатием на одно рукопожатие меньше, пока мы не дойдем до предпоследнего человека, которому нужно только пожать руку последнему.

Используя эту логику, мы получаем количество рукопожатий, показанное в таблице ниже.

Количество рукопожатий, необходимое для групп разного размера

Создание формулы для задачи о рукопожатии

Наш метод пока хорош для довольно небольших групп, но для больших групп он все же займет некоторое время. По этой причине мы собираемся создать алгебраическую формулу для мгновенного расчета количества рукопожатий, необходимых для группы любого размера.

Предположим, у вас есть п люди в комнате. Используя нашу логику сверху:

• Человек 1 пожимает n — 1 руки
• Человек 2 пожимает 2 руки
• Человек 3 пожимает — 3 руки
• и так далее, пока вы не дойдете до предпоследнего человека, пожимающего 1 оставшуюся руку.

Это дает нам следующую формулу:

Количество рукопожатий для группы из n человек = (П — 1) + (П — 2) + (П — 3) + … + 2 + 1.

Это все еще немного длинновато, но есть быстрый и удобный способ его упростить. Подумайте, что произойдет, если мы сложим первый и последний члены вместе: (n — 1) + 1 = n.

Если мы сделаем то же самое для второго и предпоследнего семестра, мы получим: (п — 2) + 2 = п.

Фактически, если мы проделаем это до конца, мы получим п каждый раз. Очевидно, есть п — 1 терминов в нашей исходной серии, поскольку мы добавляем числа от 1 до п — 1. Следовательно, добавляя термины, как указано выше, мы получаем п множество п — 1. Мы фактически добавили сюда всю нашу последовательность, поэтому, чтобы вернуться к требуемой сумме, нам нужно уменьшить вдвое этот ответ. Это дает нам формулу:

Количество рукопожатий для группы из n человек = п × (п — 1) / 2.

Теперь мы можем использовать эту формулу для расчета результатов для гораздо более крупных групп.

Формула

Количество рукопожатий = n × (n — 1) / 2.

Интересное замечание: треугольные числа

Если вы посмотрите на количество рукопожатий, необходимых для каждой группы, вы увидите, что каждый раз, когда размер группы увеличивается на единицу, количество рукопожатий увеличивается на единицу по сравнению с предыдущим увеличением. т.е.

• 2 человека = 1
• 3 человека = 1 + 2
• 4 человека = 1 + 2 + 3
• 5 человек = 1 + 2 + 3 + 4 и так далее.

Список чисел, созданный этим методом, 1, 3, 6, 10, 15, 21, … известен как «треугольные числа». Если использовать обозначение T_п описать n^th треугольное число, то для группы из n человек количество требуемых рукопожатий всегда будет равно T_п-1.

Вопросы и Ответы

Вопрос: На встрече присутствовало несколько человек. Перед началом встречи каждый из них пожимал друг другу руки ровно один раз. Было подсчитано общее количество рукопожатий, которое составило 36. Сколько человек пришло на встречу, исходя из проблемы рукопожатия?

Отвечать: Установив нашу формулу равной 36, мы получим n x (n-1) / 2 = 36.

п х (п-1) = 72

п = 9

Итак, на собрании 9 человек.

Математики любят красивые числовые последовательности, которые подчиняются строгим формулам. Мы тоже попробуем получить такую последовательность и посмотрим, есть ли для неё какая-то готовая формула.

В самом начале у нас есть один человек — сам начальник транспортного цеха. Он руки никому не жмёт, поэтому для одного человека количество рукопожатий равно 0.

Когда приходит второй, он жмёт руку только начальнику, потому что больше никого пока нет. Значит, для двух человек количество рукопожатий равно 1.

Третий пожмёт руки им обоим, сделав 2 рукопожатия, а общее количество рукопожатий станет равным 1 + 2 = 3.

Четвёртый пожмёт руки трём присутствующим, сделав три рукопожатия, и общее число рукопожатий получится 3 + 3 = 6.

Наконец, пятый пожмёт руки 4 раза и увеличит общее число до 6 + 4 = 10.

Запишем эту последовательность:

0, 1, 3, 6, 10.

Глядя на это, каждый математик воскликнет: «Да это же треугольные числа!»

Треугольные числа — это число точек, которые можно расставить в форме правильного треугольника, поэтому их так и называют. Для них есть специальная формула, вывести которую на страницы этого журнала мы не можем по техническим причинам.

Нам надо из самого числа найти его номер, чтобы понять, какой по счёту человек пришёл и дал в сумме 120 рукопожатий. Не вдаваясь в математические подробности, сразу скажем, что формула треугольных чисел может быть сведена к вот такому квадратному уравнению:

n² + n — 2T = 0.

Мы знаем, что у нас по условию Т = 120. Подставим это число в уравнение:

n² + n — 2 × 120 = 0 → n² + n — 240 = 0.

Применим знания из 7 класса школьной программы по математике и решим его:

n1 = -16 и n2 = 15.

Так как количество человек на встрече не может быть отрицательным, то вариант -16 нам не подходит. Остаётся 15, но так как наша последовательность сдвинута на единицу (потому что первый человек не пожимает руки никому, а отсчёт начинается со второго пришедшего), то мы прибавляем к 15 единицу и получаем 16 — это и будет правильный ответ.

Представьте, что вы не знаете про треугольные числа, но умеете программировать и организовывать циклы. Этого вполне достаточно для того, чтобы решить эту задачу.

Общее правило такое: каждый, кто приходит, делает на одно рукопожатие меньше, чем его собственный порядковый номер. Получится, что первый пожмёт руки 0 раз (1 — 1 = 0), второй — 1 раз (2 — 1 = 1) и так далее. И с каждым входящим мы будем эти рукопожатия складывать с остальными. Осталось написать программу. Как всегда в этих случаях, проще всего использовать JavaScript. Код, который будет ниже, можно вставить в консоль прямо на этой странице (Cmd + Alt + I) и получить нужный результат:

// переменные для подсчёта людей и общего количества рукопожатий
var count, handshake;
// в самом начале был один начальник транспортного цеха…
count = 1;
// ...который руку никому не пожал
handshake = 0;
// пока количество рукопожатий не станет равно 120 — выполняем цикл
while (handshake != 120) {
  //добавляем нового участника совещания
  count += 1;
  // считаем, сколько раз он пожмёт руки всем, кто уже присутствует
  handshake += (count - 1);
}
// выводим итоговое количество присутствующих
alert('Всего пришло ' + count + ' человек.')

В итоге за нас всю работу сделала программа, и ни одной формулы не задействовано.

Иногда можно решить задачу простым перебором, возложив всю механическую работу на машину.

Групповое рукопожатие

Центр исследований и исследований Карла Альберта, Коллекция Конгресса

Проблема рукопожатия

Проблему рукопожатия очень просто объяснить. В принципе, если у вас есть комната, полная людей, сколько рукопожатий необходимо, чтобы каждый человек пожал руку кому-нибудь ровно один раз?

Для небольших групп решение довольно простое, и его можно довольно быстро пересчитать, но как насчет 20 человек? или 50? или 1000? В этой статье мы рассмотрим, как методично найти ответы на эти вопросы и создать формулу, которую можно использовать для любого количества людей.

Малые группы

Начнем с поиска решений для небольших групп людей.

Для группы из 2 человек ответ очевиден: достаточно 1 рукопожатия.

Для группы из 3 человек человек 1 пожмет руки человеку 2 и человеку 3. Это просто оставит человека 2 и человека 3, чтобы пожать друг другу руки, а другому всего 3 рукопожатия.

Для групп, превышающих 3 человека, нам потребуется методический способ подсчета, чтобы не пропустить и не повторить рукопожатия, но математика все еще довольно проста.

Группы из четырех человек

Предположим, у нас есть 4 человека в комнате, которых мы назовем A, B, C и D. Мы можем разделить это на отдельные шаги, чтобы упростить подсчет.

• Человек А по очереди пожимает друг другу руки — 3 рукопожатия.
• Человек B теперь пожал руку A, ему все еще нужно пожать руку C и D — еще 2 рукопожатия.
• Человек C пожал руки A и B, но ему все еще нужно пожать руку D — еще 1 рукопожатие.
• Человек D пожал всем руку.

Таким образом, общее количество рукопожатий составляет 3 + 2 + 1 = 6.

Большие группы

Если вы внимательно посмотрите на наш расчет для группы из четырех человек, вы можете увидеть шаблон, который мы можем использовать для продолжения расчета количества рукопожатий, необходимых для групп разного размера. Предположим, у нас в комнате n человек.

• Первый человек пожимает руки всем в комнате, кроме себя. Таким образом, его общее количество рукопожатий на 1 меньше, чем общее количество людей.
• Второй человек уже пожал руку первому, но ему все еще нужно пожать руку всем остальным. Таким образом, количество оставшихся людей на 2 меньше, чем общее количество человек в комнате.
• Теперь третий человек пожал руки первому и второму. Это означает, что оставшееся количество рукопожатий для него на 3 меньше, чем общее количество людей в комнате.
• Так продолжается с каждым рукопожатием на одно рукопожатие меньше, пока мы не дойдем до предпоследнего человека, которому нужно только пожать руку последнему.

Используя эту логику, мы получаем количество рукопожатий, показанное в таблице ниже.

Количество рукопожатий, необходимое для групп разного размера

Создание формулы для задачи о рукопожатии

Наш метод пока хорош для довольно небольших групп, но для больших групп он все же займет некоторое время. По этой причине мы собираемся создать алгебраическую формулу для мгновенного вычисления количества рукопожатий, необходимых для группы любого размера.

Предположим, у вас в комнате n человек. Используя нашу логику сверху:

• Человек 1 пожимает n — 1 руки
• Человек 2 пожимает — 2 руки
• Человек 3 пожимает — 3 руки
• и так далее, пока не дойдете до предпоследнего человека, пожимающего 1 оставшуюся руку.

Это дает нам следующую формулу:

Количество рукопожатий для группы из n человек = (n — 1) + (n — 2) + (n — 3) +… + 2 + 1.

Это все еще немного долго, но есть быстрый и удобный способ его упростить. Представьте, что произойдет, если мы сложим первый и последний члены вместе: (n — 1) + 1 = n.

Если мы сделаем то же самое для второго и предпоследнего членов, мы получим: (n — 2) + 2 = n.

Фактически, если мы проделаем это до конца, мы получим n каждый раз. Очевидно, что в нашем исходном ряду есть n — 1 члена, поскольку мы складываем числа от 1 до n — 1 . Следовательно, добавляя термины, как указано выше, мы получаем n партий по n — 1 . Мы фактически добавили сюда всю нашу последовательность, поэтому, чтобы вернуться к требуемой сумме, нам нужно уменьшить вдвое этот ответ. Это дает нам формулу:

Количество рукопожатий для группы из n человек = n × (n — 1) / 2.

Теперь мы можем использовать эту формулу для расчета результатов для гораздо больших групп.

Формула

Для группы из n человек:

Количество рукопожатий = n × (n — 1) / 2.

Интересное замечание: треугольные числа

Если вы посмотрите на количество рукопожатий, необходимых для каждой группы, вы увидите, что каждый раз, когда размер группы увеличивается на единицу, количество рукопожатий увеличивается на единицу по сравнению с предыдущим увеличением. т.е.

• 2 человека = 1
• 3 человека = 1 + 2
• 4 человека = 1 + 2 + 3
• 5 человек = 1 + 2 + 3 + 4 и так далее.

Список чисел, созданный этим методом, 1, 3, 6, 10, 15, 21,… известен как «треугольные числа». Если мы используем обозначение T _n для описания n- ^го треугольного числа, то для группы из n человек количество требуемых рукопожатий всегда будет T _n-1.

Вопросы и Ответы

Вопрос: На митинге присутствовали люди. Перед началом встречи каждый из них пожимал друг другу руки ровно один раз. Было подсчитано общее количество рукопожатий, которое составило 36. Сколько человек пришло на встречу, исходя из проблемы рукопожатия?

Ответ: Установив нашу формулу равной 36, мы получим nx (n-1) / 2 = 36.

пх (п-1) = 72

п = 9

Итак, на собрании 9 человек.

© 2020 Дэвид

Сколько было рукопожатий?

Сколько было рукопожатий?

Вопрос подробнее:

Сколько было рукопожатий?

Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Хотела бы узнать, с какой целью задача не уточняет, что подразумевается под рукопожатием, обменялись ли эти люди рукопожатиями между собой, еще с какими-то другими людьми?

В двух первых классах у детей получились разные ответы.

Как родителям проверять правильность решения задачи, если с точки зрения однозначного ответа вопрос поставлен некорректно? В учебнике для 1-го класса обратила внимание на несколько подобных задач.

Ответ:

Уважаемый посетитель сайта!

Очень радует, что Ваш ребенок решает логические задачи, которые не входят в обязательный минимум знаний, и Вы при этом поддерживаете его поиск.

Данная задача – не авторская, а классическая, ее уже более сотни лет включают в разнообразные сборники математических задач, олимпиады и т.д. Никаких уточнений по поводу того, что такое «рукопожатие» обычно не приводится, так как странно было бы уточнять, что под рукопожатием понимается то, что двое пожали друг другу руки». Именно поэтому никаких замечаний со стороны математиков РАН при грифовании учебников эта задача никогда не вызывала.

Данная задача имеет однозначное решение, которое можно получить несколькими способами. Приведем некоторые из них.

1 способ

Каждый из 4 человек пожал руки трем другим людям. Произведение 3 · 4 = 12 дает удвоенное число рукопожатий. Действительно, в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а второй – первому, на самом же деле было одно рукопожатие. Итак, число рукопожатий равно: (4 · 3) : 2 = 6.

2 способ:

Обозначим людей номерами. Первый человек – (1), второй – (2) и т.д. Рукопожатие первого человека со вторым можно обозначить 1-2 и т.д. Тогда имеем наглядную картину:

Первый человек обменялся рукопожатиями 3 раза: 1-2, 1-3, 1-4;

дополнительно второй – 2 раза: 2-3, 2-4;

дополнительно третий – 1 раз: 3-4.

При этом все рукопожатия четвертого уже сосчитаны.

Значит, всего было 3 + 2 + 1 = 6 рукопожатий.

Возможно, ребёнку будет удобнее решить задачу графически.

3 способ:

Сделаем к задаче чертеж. Каждый из людей обозначается на нем точкой (по условию, их всего 4), а рукопожатие – отрезком, соединяющим две точки. Так, отрезок АВ на этом чертеже обозначает, что люди А и В пожали друг другу руку.

Видно, что отрезков всего шесть.

4 способ:

Легче всего воспринимают дети представление решения в явном виде.

Например, можно вызвать к доске четырех учеников. Первый ученик пожимает остальным руки. На доске записывается число произведенных рукопожатий: 3.

Сделавший все рукопожатия садится на свое место. Остаются у доски трое. Один из них пожимает руки остальным и садится на место. На доске фиксируется: 2.

Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки или только двум ученикам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше.

Следующему остается пожать только одну руку. А самый последний не должен пожимать руку никому, так как все уже пожали ему руку.

На доске записано: 3, 2, 1. Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 6.

Важно, что это задание допускает различные варианты решения. Каждый ребёнок находит свой вариант, обосновывает его. Всё это способствует развитию мыслительных операций, речи, вариативному мышлению, навыков общения.

Математика – наука интересная и занимательная. Новых Вам открытий!

С уважением,

Кигель Н.В., методист

Центра системно-деятельностной педагогики «Школа 2000…»

АПК и ППРО.