Зная угол правильного многоугольника, можно по формуле рассчитать количество его сторон, и в совокупности с длиной одной стороны, этот показатель позволяет вычислить все остальные измерения.
α=(n-2) (180°)/n
n=(360°)/(180°-α)
Первое, что можно вычислить через сторону и угол, представленный в виде количества сторон – это периметр правильного многоугольника, который равен длине стороны, умноженной на количество.
P=an=(360°a)/(180°-α)
Чтобы найти площадь правильного многоугольника через сторону и угол, нужно вместо количества сторон подставить преобразованную формулу с внутренним углом α.
S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=((360°)/(180°-α) a^2)/(4 tan(90°-α/2) )
В формулах, по которым можно найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник и радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, количество сторон, зависящее от угла фигурирует только в тригонометрических отношениях, что упрощает подстановку.
r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=a/(2 tan(90°-α/2) )
R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=a/(2 sin(90°-α/2) )
Анастасия
Сумма всех углов равна 180*(n-2), где n- число сторон.
Сложите все углы и приравняйте к этой формуле, решите уравнение считая n за х, а если многоугольник правильный, то все углы равны ( то есть Вам дана градусная мера одного угла, например а градусов) , то получите уравнение a*n=180*(n-2), решая его относительно n, получите число сторон
Вот как выглядят выпуклые и невыпуклые многоугольники:
Говоря простым языком, отличие выпуклых многоугольников в том, что:
Если провести отрезок через любые две точки выпуклого многоугольника, то она обязательно окажется в его «пределах» (будет стороной или диагональю).
А в невыпуклом многоугольнике подобный отрезок может оказаться снаружи, вне плоскости многоугольника.
_
Таким образом, зная определение выпуклого многоугольника, нетрудно догадаться, что углы 90 градусов бывают в четырёхугольниках (прямоугольник, квадрат), а углы 60 градусов — в треугольнике, причём равностороннем.
Это можно также посчитать исходя из формулы:
αn = 180°(n-2).
здесь α — величина угла, а n — число сторон.
αn = 180n — 360,
360 = 180n — αn,
360 = n(180 — α),
n = 360 / (180 — α).
Подставив вместо α градусы, которые даны в условии, получим:
1) угол 90: 360 / (180 — 90) = 360 / 90 = 4.
2) угол 60: 360 / (180 — 60) = 360 / 120 = 3.
3) угол 108: 360 / (180 — 108) = 360 / 72 = 5. (пятиугольник)
4) угол 120: 360 / (180 — 120) = 360 / 60 = 6 (шестиугольник)
Содержание материала
- Понятие правильного многоугольника
- Видео
- Как найти углы правильного многоугольника
- Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба
- Правильный четырехугольник
- Формулы правильного четырехугольника:
- Правильный n -угольник — формулы
- Формулы длины стороны правильного n -угольника
- Формула радиуса вписанной окружности правильного n -угольника
- Формула радиуса описанной окружности правильного n -угольника
- Формулы площади правильного n -угольника
- Формулы правильного n-угольника
- Формула периметра правильного многоугольника
- Формула периметра правильного n-угольника
- Формулы для стороны, периметра и площади квадрата
Понятие правильного многоугольника
У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.
Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.
Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.
Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:
Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:
Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:
Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?
Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:
Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?
Решение. В формулу
Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?
Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:
Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.
Ответ: не может.
Как найти углы правильного многоугольника
Правильный многоугольник встречается в нашей жизни каждый день, например, обычный квадрат, треугольник, восьмиугольник. Казалось бы, нет ничего проще, чем построить эту фигуру самостоятельно. Но это просто только на первый взгляд. Для того чтобы построить любой n-угольник, необходимо знать значение его углов. Но как же их найти? Еще ученые древности пытались построить правильные многоугольники. Они догадались вписать их в окружности. А потом на ней отмечали необходимые точки, соединяли их прямыми линиями. Для простых фигур проблема построения была решена. Формулы и теоремы были получены. Например, Эвклид в своем знаменитом труде «Начало» занимался решением задач для 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. Он нашел способы их построения и нахождения углов. Рассмотрим, как это сделать для 15-угольника. Сначала необходимо рассчитать сумму его внутренних углов. Необходимо использовать формулу S = 180⁰(n-2). Итак, нам дан 15-угольник, значит, число n равно 15. Подставляем известные нам данные в формулу и получаем S = 180⁰(15 — 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Мы нашли сумму всех внутренних углов 15-угольника. Теперь необходимо получить значение каждого из них. Всего углов 15. Делаем вычисление 2340⁰ : 15 = 156⁰. Значит, каждый внутренний угол равен 156⁰, теперь при помощи линейки и циркуля можно построить правильный 15-угольник. Но как быть с более сложными n-угольниками? Много веков ученые бились над решением этой проблемы. Оно было найдено только лишь в 18-м веке Карлом Фридрихом Гауссом. Он смог построить 65537-угольник. С этих пор проблема официально считается полностью решенной.
Видео
Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба
В зависимости от того, сколько сторон имеет правильный многоугольник, вычисляется его периметр. Это намного облегчает поставленную задачу. Ведь в отличие от прочих фигур, в этом случае не нужно искать все его стороны, достаточно одной. По этому же принципу находим периметр у четырехугольников, то есть у квадрата и ромба. Несмотря на то что это разные фигуры, формула для них одна Р = 4а, где а – сторона. Приведем пример. Если сторона ромба или квадрата равна 6 см, то находим периметр следующим образом: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У параллелограмма равны только противоположные стороны. Поэтому его периметр находят, используя другой способ. Итак, нам необходимо знать длину а и ширину в фигуры. Затем применяем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Параллелограмм, у которого равны все стороны и углы между ними, называется ромб.
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольнику — квадрат.
Формулы правильного четырехугольника:
1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r
2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:
S = a2
6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
S = 4 r2
7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
S = 2 R2
8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:
α = 90°
Смотрите также формулы и свойства квадрата
Правильный n -угольник — формулы
Формулы длины стороны правильного n -угольника
1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного n -угольника через радиус описанной окружности:
a = 2 R · sin 180°n a = 2 R · sin πn
Формула радиуса вписанной окружности правильного n -угольника
Формула радиуса вписанной окружности n -угольника через длину стороны:
r = a : (2tg 180°)n r = a : (2tg π)n
Формула радиуса описанной окружности правильного n -угольника
Формула радиуса описанной окружности n -угольника через длину стороны:
R = a : (2sin 180°)n R = a : (2sin π)n
Формулы площади правильного n -угольника
1. Формула площади n-угольника через длину стороны:
2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
3. Формула площади n -угольника через радиус описанной окружности:
S = n R2 · sin360°2n
Формулы правильного n-угольника
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон. P = n·a
Формулы для стороны, периметра и площади квадрата
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр |  |
P = 4a | Выражение периметра через сторону |
| Площадь | S = a2 | Выражение площади через сторону | |
| Сторона |  |
a = 2r | Выражение стороны через радиус вписанной окружности |
| Периметр | P = 8r | Выражение периметра через радиус вписанной окружности | |
| Площадь | S = 4r2 | Выражение площади через радиус вписанной окружности | |
| Сторона |  |
 |
Выражение стороны через радиус описанной окружности |
| Периметр |  |
Выражение периметра через радиус описанной окружности | |
| Площадь | S = 2R2 | Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра квадрата |
|
Выражение периметра через сторону
P = 4a Выражение периметра через радиус вписанной окружности
P = 8r Выражение периметра через радиус описанной окружности
|
| Формулы для площади квадрата |
|
Выражение площади через сторону
S = a2 Выражение площади через радиус вписанной окружности
S = 4r2 Выражение площади через радиус описанной окружности
S = 2R2 |
| Формулы для стороны квадрата |
|
Выражение стороны через радиус вписанной окружности
a = 2r Выражение стороны через радиус описанной окружности
|
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Теги
A polygon by definition is any geometric shape that is enclosed by a number of straight sides, and a polygon is considered regular if each side is equal in length. Polygons are classified by their number of sides. For example, a six-sided polygon is a hexagon, and a three-sided one is a triangle.
Regular Polygons
The number of sides of a regular polygon can be calculated by using the interior and exterior angles, which are, respectively, the inside and outside angles created by the connecting sides of the polygon. For a regular polygon the measure of each interior angle and each exterior angle is congruent. For example, a regular octagon has interior angles each equal to 125 degrees.
These relationships only hold true for convex polygons where the measure of each interior angle does not exceed 180 degrees.
Using Interior Angles
Subtract the interior angle from 180; then divide 360 by the difference of the angle and 180 degrees. For example, if the interior angle was 165, subtracting it from 180 would yield 15, and 360 divided by 15 equals 24, which is the number of sides of the polygon. Here is the general formula (it is important to note that this only works for the interior angles of a regular polygon):
text{# of sides}=frac{360^circ}{180^circ-text{interior angle}}
Using Exterior Angles
Divide 360 by the amount of the exterior angle to also find the number of sides of the polygon. For example, if the measurement of the exterior angle is 60 degrees, then dividing 360 by 60 yields 6. Six is the number of sides that the polygon has. This is a hexagon, so we can check this reasoning by finding the interior angle to be 120 degrees, which is the measure of the interior angle of a hexagon.
The general formula using the exterior angles of a regular polygon follows:
text{# of sides}=frac{360}{text{exterior angle}}
Tips
-
Subtracting the interior angle from 180 gives the exterior angle, and subtracting the exterior angle from 180 gives the interior angle because these angles are adjacent.
Irregular Polygons
Not all polygons have congruent angles and sides. The measure of the internal angles can vary depending on the measures of each side. Regardless of the polygon shape, the sum of exterior angles will always be 360 degrees. We can use this relationship to reason out a formula for an n-sided polygon with any side lengths.
The sum of the interior angles of a polygon can be related to the the number of sides through the polygon formula:
text{# of sides} = frac{text{sum of interior angles}}{180} + 2
We can try this formula with any quadrilateral. We know that the sum of the interior angles of any four sided polygon (like a square, rhombus, parallelogram, or trapezoid) is 360 degrees. Plugging this into the formula we can prove this known relationship:
text{# of sides} = frac{text{360}}{180} + 2 = 4 text{ sides}
Tips
-
This formula for any polygon works for either a convex or concave polygon.
Terminology of Polygons
As a helpful guide for reporting calculations, these are the general conventions for discussing polygons in geometry and trigonometry.
- Line segments make up each side of a polygon. They are straight lines of determined length.
- An apothem is a straight line from the center of a regular polygon to any side that forms a right angle with that side.
Naming polygons (3 — 10 sides):
- 3 sides – triangle
- 4 sides – square
- 5 sides – pentagon
- 6 sides – hexagon
- 7 sides – heptagon
- 8 sides – octagon
- 9 sides – nonagon
- 10 sides – decagon