Как найти количество точек равных 0 - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В №7 ЕГЭ несколько видов заданий, в который нужно по графику функции найти точки, в которых производная обращается в нуль.

Как найти, в каких точках производная равна нулю на графике функции?

В точках, в которых производная равна нулю, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Это могут быть точки экстремума (те из них, в которых производная существует):

Либо точки перегиба:

В окрестности точки экстремума график лежит по одну сторону от касательной, в окрестности точки перегиба — по разные стороны.

1)На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−1; 11). Найдите корень уравнения f'(x)=0.

Решение:

Касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс в точке x=3.

Следовательно, корнем уравнения f'(x)=0 является x=3.

Ответ: 3.

2)На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−4; 20). Найти количество решений уравнения f'(x)=0.

Решение:

Касательная к графику параллельна оси абсцисс в четырёх точках.

Значит, уравнение f'(x)=0 имеет четыре решения.

Ответ: 4.

3)На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−4; 10) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение:

Касательная к графику параллельна оси Ox в трёх точках.

Таким образом, производная функции f(x) равна 0 в трёх точках.

Ответ: 3.

В этих примерах мы рассматривали график функции y=f(x)!

Задания, в которых надо определить в каких точках производная равна нулю на графике производной y=f'(x), решаются иначе!

Источник

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Источник

Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.

Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить статью на блоге, а также посмотреть справочник (но в нём краткое изложение).

Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки −5, −4, 1, 2, 3, 4, и 7. Получили 7 точек.

2. Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре: –3; 0; 4,2; 6,9

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Посмотреть решение.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только одна целая точка х = 2.

2. Прямая y = 3 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 3 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот).

Таких точек четыре: –4,3; 1,4; 2,5; 4,4

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции f (x) отрицательна.

Посмотреть решение.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−2; 12). Найдите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

4. Количество точек, в которых производная равна нулю.

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки: –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.

2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки 5 и 6. Получили 2 точки.

3. Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Найдите сумму точек экстремумов функции f (x). Посмотреть решение.

Как видите, ничего сложного нет. Желаю вам успехов!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

На рисунке изображен график функции y  =  f(x),определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−2; 12). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−11; 2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−2; 9). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−4; 7). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.