Как найти количество верных цифр числа

Значащие цифры  десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1

x = 0.002036,    цифры 2036 являются значащими;

x = 2.27×10⁶,     значащими цифрами являются цифры 2, 2, 7;

x = 2270000,     все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Пример 2

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x     = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

x     = 0.002306,

Dx  = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

Пример 3

x     = 1.121 ± 0.003;

x     = 1.121;

Dx  = 0.003.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

Пример 4

x     = 0.002306 ± 0.00007;

x     = 0.002306;

Dx  = 0.00007.

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

Пример 5

x     = 12.3 ± 0.5;

x     = 12.3;

Dx  =   0.5.

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

Пример 6

x     = 12.3 ± 0.8;

x     = 12.3;

Dx  =   0.8.

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.

Верные значащие цифры приближенного числа

Определение
5:
Значащими
цифрами
числа а
называют все цифры в его записи, начиная
с первой ненулевой слева.

Пример 5:
Числа 0,001405и 5,0300 имеют соответственно
4 и 5 значащих цифр. Ноль, записанный в
конце десятичной дроби, всегда значащая
цифра. В числе 5,0300 последний ноль
показывает, что число задано с точностью
до десятитысячных.

Определение
6:
Значащую цифру числа
а 
называют верной,
если абсолютная погрешность числа не
превосходит половины единицы разряда,
соответствующего этой цифре.

Пример 6:
Сколько верных значащих цифр содержит
приближенное число

?

Решение:

Поскольку

,
то верными будут цифры 5, 8, 2.

Погрешности математических операций Абсолютная погрешность суммы и разности

Теорема 1:
Абсолютная
погрешность
алгебраической
суммы
нескольких приближенных чисел не
превышает суммы алгебраических
погрешностей этих чисел.

Доказательство:
Пусть

— алгебраическая сумма точных чисел.

— сумма приближенных значений этих
чисел.

Абсолютные
погрешности их соответственно равны:

.
Вычитая из точного значения суммы её
приближенное значение, имеем:

или, переходя к
модулям:

,

следовательно

,

что требовалось
доказать.

Из последней
формулы следует, что абсолютная
погрешность алгебраической суммы не
может быть меньше абсолютной погрешности
наименее точного из слагаемых.

Пример 7:

,

где числа 204,4 и
144,2 верны с точностью до 0,1.

Значит, остальные
нужно округлить с точностью до 0,01,
сложить и округлить результат до 0,1.
Итак

Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел

Теорема 2:
Относительная
погрешность произведения
нескольких
приближенных чисел, отличных от нуля,
не превышает суммы относительных
погрешностей этих чисел.

Доказательство:
Пусть

(1), где

— положительные
приближенные числа и их абсолютные
погрешности:

.

Логарифмируя (1),
получим:

.

По теореме об
абсолютной погрешности суммы:

.

Используя то, что

,

получим

,

что требовалось
доказать.

Относительная погрешность частного

Теорема 3:
Относительная
погрешность частного не превышает суммы
относительных погрешностей делимого
и делителя.

Доказательство:
Пусть

— приближенные числа, а

— абсолютные погрешности этих чисел.
По теореме об абсолютной погрешности
алгебраической суммы:

,

что требовалось
доказать.

Относительная погрешность натуральной степени и корня

Теорема 4:
Относительная погрешность m-й
степени
приближенного числа (m-натуральное)
в m
раз больше относительной
погрешности
самого числа.

Доказательство:
Пусть

,
тогда

,

что требовалось
доказать.

Вывод:
В результате вычисления степени
приближенного числа следует оставить
столько верных значащих цифр, сколько
верных значащих цифр в основании.

Теорема 5:
Относительная
погрешность
корня m-й
степени в m
раз меньше предельной относительной
погрешности
подкоренного числа.

Доказательство:
Пусть

,
тогда

,
т.е.

.

Правила подсчета цифр

При массовых
вычислениях с приближенными или точными
числами, а также с числами, у которых
погрешность отсутствует, используют
правила
подсчета цифр:

• промежуточные
  вычисления следует получать хотя бы
  с одной запасной цифрой, по отношению
  к значащим цифрам
  чисел,
  участвующим в промежуточном вычислении,

• окончательный
  результат вычисления содержит то
  количество значащих цифр, которое
  имеет исходное число с наименьшим
  числом значащих цифр.

Пример 8:
Вычислить выражение: Y
= 0,125а²
(8b-c),

где a
= 18; b
= 2,75; c
= 3,232.

Решение:.
Так как погрешность чисел а,b,с
отсутствует
то вычисления производим в соответствии
с правилами подсчета цифр.

Преобразуем
исходное выражение к следующему, более
рациональному виду :

Y =.0,125а²
(8b-c)
= a²
(b-c/8)

Исходное выражение
содержало 5 действий, а окончательное
выражение содержит 4 действия.

Далее последовательно
производим необходимые вычисления (в
соответствии с числом а
= 18, у которого
две значащие цифры) и записываем результат
в форме с плавающей запятой:

Y
= 324 • (2,75 —
0,404) = 324 • 2,346 = 760 = 7,6 • 10².

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

И правильно что не принял…
В вашем первом примере число верных цифр равно 5. Почему? А вот запишем это число в виде
6.5392*10^-14 = 0,000 000 000 000 065 392
Нули не считаются верными цифрами, сколько бы их впереди не стояло.

Другой пример
6.5392*10¹⁴ = 653 920 000 000 000
здесь тоже 5 верных цифр.

Следует отметить, что если бы последнее число было бы точным, то это необходимо специально указывать. Однако запись числа в экспоненциальной форме как правило означает, что число приближённое. И нули не считаются точными цифрами
Только для ТОЧНОГО числа число верных цифр равно числу самих цифр.
Пример:
1 000 000 — 7 верных цифр, если миллион точное число.

В вашем последнем примере (0,043887) — число верных цифр 5, а не 2. В противном случает данное число было бы округлёно до 0,044.

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа приближения называется верной, если в том же десятичном разряде чисел и стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .

Решение:

Поскольку , запишем диапазон возможных значений в виде двойного неравенства:

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

Ответ:

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

1. Оставлять в записи числа только верные цифры.
2. Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписывать.
3. Если число содержит на конце целой части сомнительные цифры, то они должны быть заменены на , где — число цифр, которые нужно заменить.
4. Граница абсолютной погрешности числа, содержащего только верные цифры, равна единице последнего разряда.

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: . В этом случае граница абсолютной погрешности .

2. Если задано число , то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: . Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как , то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число . В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на , поскольку заменяем только одну цифру. Тогда .

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде , где — цифры, причем (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число в стандартном виде будет представлено как .

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число — три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Известно, что любое положительное число A может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

A = Am 10m + am-1 10m-1 + … + am-n+1 10m-n+1 + …,

Где ai – цифры числа A, причем старшая цифра am≠0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд). Например:

3141,59…= 3∙103 +1∙102 +4 101 +1∙100+ 5∙10-1+9∙10-2+…

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби. Значащими цифрами числа Называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, остальные четыре цифры, включая два нуля, будут значащими. В числе 0,00208 значащими цифрами будут три последних цифры.

Значащую цифру приближенного числа называют верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Например, для точного числа A=412,3567 число A*=412,356 является приближением с шестью верными знаками, так как D(a*)=0,0007< 1∙10-3.

Таким образом, точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Не всегда верные цифры в приближенном числе будут совпадать с соответствующими цифрами точного числа. Например, приближенное число A*= 9,995, заменяющее точное A=10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны.

< Предыдущая		Следующая >