Как найти все подмножества множеств
На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1. Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.
Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
• У любого n-элементного множества ровно 2n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ …∙2=2n
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
Теорема . Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2n .
Доказательство. Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 21 ) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 22 ) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 23 ) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2k .
3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A – это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2k
штук.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2k + 2k = 2 ⋅ 2k = 2k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 24=16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Пример 2. Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}
Калькулятор множества всех подмножеств.
В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о}, достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.
Нахождение числа всех подмножеств данного множества
Если
задано некоторое множество А,
то можно рассматривать новое множество
М (А) –
множество всех его подмножеств.
Пример
1.
Сколько
подмножеств имеет множество А={}?
По
свойствам отношения включения, имеем
ÆА
и А.
Таким
образом, одноэлементное множество А={}
имеет
2 подмножества.
Пример
2.
Сколько всего подмножеств имеет
двухэлементное множество А={а,
в}?
По
свойствам отношения включения, имеем
ÆА
и А.
Одноэлементные
подмножества: {а},
{в}.
Таким
образом, двухэлементное множество А={а,
в}
всего
имеет 4 подмножества.
Пример
3.
Сколько всего подмножеств имеет
трехэлементное множество А
=
{,
○, ◊}?
По
свойствам отношения включения, имеем
ÆА
и А.
Одноэлементные
подмножества: {},
{○},
{◊}.
Двухэлементные
подмножества: {,
○},
{,
◊},
{○,
◊}.
Таким
образом, трехэлементное множество А
=
{,
○, ◊}
всего имеет 8 подмножеств.
Пример
4.
Сколько всего подмножеств имеет
четырехэлементное множество А
=
{а,
в,
с, d}?
По
свойствам отношения включения, имеем
ÆА
и А.
Одноэлементные
подмножества: {а},
{в}, {с}, {d}.
Двухэлементные
подмножества: {а,
в}, {а, с}, {a,
d},
{в, с},
{в,
d},
{с, d}.
Трехэлементные
подмножества: {а,
в, с}, {a,
в, d},
{а, с, d},
{в, с,
d}.
Таким
образом, четырехэлементное множество
всего
имеет 16 подмножеств.
Нетрудно
заметить, что с увеличением количества
элементов множества А,
число всех его подмножеств значительно
увеличивается. Возникает
вопрос: сколько подмножеств имеет
множество из n
– элементов?
Ответ
на поставленный вопрос дает следующее
утверждение.
Теорема
5. Конечное
множество, содержащее n
элементов, имеет 2п
подмножеств, то есть если
Ап
= {а1,
а2,
… , aп
}, то
п(М(Ап))=2п.
Доказательство
проведем,
используя метод математической индукции.
1)
Путь п
=
1, то есть А1
= {
а1}.
Значит, М(А1)=
{Æ,
{
а1}}.
В
этом случае п(М(А1))
=
21
=
2 что и доказывает справедливость теоремы
при п
= 1.
2)
Пусть п
= к,
то
есть Aк
= {
а1,
а2,
…, aк
}.
Предположим,
что п(М(Aк))
=
2,
то есть множество Aк
имеет
2
подмножеств.
3)
Докажем, что тогда множество Aк+1,
имеет
2
подмножеств. В самом деле, если к элементам
множества Aк,
содержащего
к
элементов,
добавить еще один элемент aк+1,
то к имеющимся 2
подмножествам добавятся еще 2
новых подмножества, и, следовательно,
множество Aк+1,
содержащее
к
+
1 элементов, будет иметь 2
+ 2
=
2
2
= 2
подмножеств.
Таким
образом, п(М(Aк+1))
=
2.
На
основании метода математической индукции
можно сделать вывод, что Теорема. 5
справедлива для любого натурального
числа п.
Теорема
доказана.
Понятие факториала
Название «факториал»
происходит от слова «factor»
− «множитель». Термин «factorielle»
ввёл французский математик Луи Арбогаст
(1759–1803) в 1800 году.13
Факториал
– это функция,
определённая на множестве целых
неотрицательных чисел
,
значение которой равно произведению
целых неотрицательных чисел от 1 до
данного числаn,
то есть 1∙2∙3∙ …∙n;
Обозначают символом n!.
По определению 0!
= 1, 1! = 1.
Обозначение n!
впервые использовал французский
математик Христиан Крамп (1760 – 1826 гг.)
в 1808 году.
По
определению факториала имеем:
,.
Пример 1.
Вычислим:
Пример
2. Упростим
выражение:
Пример
3. Докажем
формулу
.
Воспользуемся
методом математической индукции.
-
При
п=1
имеем,
откуда 1=1, значит дляп=1
формула верна. -
Предположим,
что формула верна, для п=к,
то есть
. -
Докажем,
что формула верна, для п=к+1,
то есть
.
Действительно,
=,
что и требовалось доказать.
На
основании метода математической индукции
заключаем, что формула верна для любого
натурального числа п.
Пример
4. Найти сумму
Решение.
Заменим
каждое слагаемое разностью по формуле
.
Имеем,
=так как все слагаемые в левой части
равенства, за исключением второго и
предпоследнего взаимно уничтожаются.
Следовательно,
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Множество — это набор элементов, которые обладают общим свойством. В каждом неупорядоченном множестве существует определенное количество подмножеств, которые можно рассчитать при помощи онлайн-калькулятора.
Множество
Множество представляет собой набор элементов, сгруппированных по определенному признаку. В математике это может быть множество натуральных, целых или рациональных чисел. В природе это множества яблок на дереве, песчинок в пустыне или звезд в космосе. На практике множество может представлять собой набор данных, массивы результатов измерений или входных воздействий. Множество — это простейший математический объект, поэтому с ним можно осуществлять простые арифметические действия, то есть складывать, вычитать или разбивать на составляющие — подмножества.
Несобственные подмножества
Каждое множественный объект имеет два несобственных подмножества: само множество и пустое. Согласно канторовской теории, любое множество считается подмножеством самого себя. Пустое множество — это своеобразный нуль теории множеств, и такой набор не содержит ни одного элемента. Потребность в пустом множестве обусловлена аксиомой, что любой результат операции между множествами также должен быть множеством. Пустой набор элементов также считается подмножеством для любого набора чисел.
Собственные подмножества
Помимо самого себя и пустого множества, набор чисел может иметь определенное количество собственных подмножеств. Их численность определяется мощностью множества, то есть количеством его элементов. Для объекта A, которое состоит из n-ного числа элементов, существует количество собственных подмножеств, которое определяется по формуле:
N = 2n — 2.
Из этого следует, что для набора из 3 элементов существует 23 — 2 = 6 собственных подмножеств, из 4 членов — 24 — 2 = 14 собственных подмножеств и так далее. К примеру, для множества {X, Y, Z} существуют следующие подмножества:
- {X};
- {Y};
- {Z};
- {XY};
- {XZ};
- {ZY}.
Если не разделять подмножества на собственные и несобственные, то для каждого множества существует подмножества, количеством:
N = 2n,
где n — количество элементов.
Это означает, что для того же набора {X, Y, Z} добавятся также пустое множество и оно само.
Подмножества и парадоксы
Канторовская теория множеств зашла в тупик, когда ее постулаты породили парадоксы. Наиболее известной проблемой наивной теории множеств считается парадокс Рассела. Известный британский философ и ученый Бертран Рассел рассмотрел бесконечные множества как абстрактные объекты. Если любое множество считается подмножеством самого себя, то верно выражение A Î A. Допустим, существует глобальное множество S, содержащее в себе все наборы объектов, которые не включают самих себя.
Далее возникает вопрос, верно ли, что S Î S? Если верно, то выходит, что S не содержит самого себя, так как изначально набор S содержит все множества, не содержащие себя, следовательно, S Î S. Если неверно, значит, набор S не соответствует первичному определению, следовательно, S Î S.
Данный парадокс так же известен как проблема цирюльника. Некий брадобрей заявляет, что будет брить только тех, кто не бреет сам себя. Тех, кто сами справляются с бритвой, цирюльник брить отказывается. Возникает парадокс: кто побреет цирюльника? Если он бреется сам, то он не должен себя брить, а если не бреется, то брить себя обязан. Для решения подобных парадоксов в теорию множеств была внесен раздел о типах объектов. Согласно теории типов, подмножества всегда должны быть низшего порядка по отношению к своему надмножеству.
Наша программа позволяет сгенерировать все возможные подмножества для любого заданного набора чисел. Для этого вам достаточно ввести числа через запятую в форму онлайн-калькулятора, после чего программа рассчитает все подмножества для выбранного набора, включая собственные и несобственные. Рассмотрим пример генерации подмножеств.
Пример работы калькулятора
Допустим, у нас есть множество последовательных натуральных чисел мощностью 4. Это означает, что наш объект выглядит как А = {1, 2, 3, 4,}. Согласно формуле, для A существует 24 = 16 подмножества: 14 собственных и 2 несобственных. При помощи калькулятора рассчитаем эти составляющие. Мы получим:
- пустое множество — {};
- одноэлементные наборы — {1}, {2}, {3}, {4};
- двухэлементные — {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4};
- трехэлементные — {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4};
- само множество — {1, 2, 3, 4}.
Точно также вы можете рассчитать количество подмножеств для множества произвольной мощности.
Заключение
Множество — это элементарный математический объект, с которым можно осуществлять разные арифметические операции. Используйте наши онлайн-калькуляторы для работы с множественными объектами.
Количество подмножеств в множестве
Множество A является подмножеством множества B:
A⊂B
если все элементы, принадлежащие A, также принадлежат множеству B.
Пустое множество Ø и само B также включаются в число подмножеств множества B:
Ø⊂B,B⊂B
Количество подмножеств из k элементов у множества из n элементов равно биномиальному коэффициенту, числу сочетаний из n по k:
C_n^k=n!/k!(n-k)!
Соответственно, общее количество подмножеств у множества из n элементов определяется суммой:
C_n^0+C_n^1+C_n^2+⋯+C_n^n
Из комбинаторики известно, что указанная сумма равна 2^n. Таким образом, общее число подмножеств у множества, состоящего из n элементов, составляет 2^n.
Пример
У множества {a,b,c}, состоящего из трех элементов, общее количество всевозможных подмножеств состоит из восьми (2^3=8):
Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
Количество подмножеств в множестве
Онлайн калькулятор определения количества подмножеств в введенном множестве.
Введите значения множества (через запятую,)
людей нашли эту статью полезной. А Вы?
4.3
4
голоса
Рейтинг статьи
Подписаться
Войти через
Уведомить о
1 Комментарий
Новые
Старые
Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии