Как найти коммутант группы

Прежде всего, надо иметь в виду тот факт, что нормальная подгруппа N<=G тогда и только тогда содержит коммутант G, когда факторгруппа G/N абелева.

Центральная симметрия r в D4 перестановочна со всеми элементами. Подгруппа N=< r > ={e,r} нормальна, фактор по ней имеет порядок 4 и потому абелев. Поэтому D4′ содержится в N. При этом коммутант не единичен, так как D4 неабелева. Итого коммутант равен N.

В A4 есть подгруппа V4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Она нормальна (даже в S4). Фактор по ней имеет порядок 3, то есть абелев. Значит, V4 содержит коммутант. С другой стороны, [(123),(124)]=(132)(142)(123)(124)=(12)(34) принадлежит коммутанту. По симметрии, остальные элементы тоже принадлежат. Итого A4’=V4.

Любые элементы Q8 либо коммутируют (ab=ba), либо антикоммутируют (ab=-ba). Значит, коммутант лежит в {1,-1}. Он не равен {1}, так как группа неабелева.

То, что Sn’=An, верно для любого n>=3. Факторгруппа Sn/An имеет порядок 2, то есть абелева. С другой стороны, An порождается тройными циклами (известный и простой факт), а [(xz),(xy)]=(xz)(xy)(xz)(xy)=(xyz) есть тройной цикл, то есть все тройные циклы суть коммутаторы.

Источник

Коммутант группы

Коммутант группы

Слово «коммутант» в математике может означать два разных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры.

Содержание

  • 1 Коммутант группы
    • 1.1 Определение
    • 1.2 Свойства
  • 2 Коммутант алгебры
    • 2.1 Определение

Коммутант группы

Определение

Коммутант группы G (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — подгруппа группы G, порождаемая всевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно коммутант группы G обозначается [G,G], или G‘, или T2(G).

Свойства

  • Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.
  • Факторгруппа по некоторому нормальному делителю абелева тогда и только тогда, когда этот нормальный делитель содержит коммутант группы. Факторизация группы по её коммутанту называется абелианизацией.

Коммутант алгебры

Определение

Пусть A — некоторая алгебра. Её коммутантом называется идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это — наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.

Wikimedia Foundation.
2010.

Полезное

Смотреть что такое «Коммутант группы» в других словарях:

  • Коммутант — Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант  это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), равная нулю тогда и только тогда, когда умножение в данной… …   Википедия

  • КОММУТАНТ — группы, производная группа, второй член нижнего центрального ряда групп ы, подгруппа, порождаемая в группе Gвсевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно К. группы Gобозначается [G, G], или G , или Г 2(G). К. группы является вполне… …   Математическая энциклопедия

  • Изоморфные группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Кручение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Норма группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Порядок группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Порядок элемента группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Расширение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Центр группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Экспонента группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

Источник

Слово «коммутант» в математике может означать два разных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры.

Коммутант группы

Определение

Коммутант группы {displaystyle G} (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — подгруппа группы {displaystyle G}, порождаемая всевозможными коммутаторами элементов
группы {displaystyle G}.
Обычно коммутант группы {displaystyle G} обозначается {displaystyle [G,G]},
или {displaystyle G'}, или {displaystyle T_{2}(G)}.

Свойства

  • Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая комутант, является нормальной.
  • Факторгруппа по некоторому нормальному делителю абелева тогда и только тогда, когда этот нормальный делитель содержит коммутант группы. Фактор группы по её коммутанту называется абелианизацией.

Коммутант алгебры

Определение

Пусть {displaystyle ;_{R}A} — алгебра над кольцом, пусть {displaystyle S} — некоторое подмножество {displaystyle A}. Коммутант {displaystyle S} — это множество элементов {displaystyle A}, коммутирующих с любым элементом {displaystyle S}, то есть

{displaystyle {ain A|forall bin S;ab=ba}}

Свойства

Коммутант произвольного множества является подалгеброй.
he:תת חבורת הקומוטטורים
pl:Komutant

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить простой план статьи
  • Хэд хантер как составить резюме
  • Как найти жилую площадь многоквартирного дома
  • 4 сигнала спикера как исправить
  • Как составить бизнес план компьютерный клуб