Прежде всего, надо иметь в виду тот факт, что нормальная подгруппа N<=G тогда и только тогда содержит коммутант G, когда факторгруппа G/N абелева.
Центральная симметрия r в D4 перестановочна со всеми элементами. Подгруппа N=< r > ={e,r} нормальна, фактор по ней имеет порядок 4 и потому абелев. Поэтому D4′ содержится в N. При этом коммутант не единичен, так как D4 неабелева. Итого коммутант равен N.
В A4 есть подгруппа V4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Она нормальна (даже в S4). Фактор по ней имеет порядок 3, то есть абелев. Значит, V4 содержит коммутант. С другой стороны, [(123),(124)]=(132)(142)(123)(124)=(12)(34) принадлежит коммутанту. По симметрии, остальные элементы тоже принадлежат. Итого A4’=V4.
Любые элементы Q8 либо коммутируют (ab=ba), либо антикоммутируют (ab=-ba). Значит, коммутант лежит в {1,-1}. Он не равен {1}, так как группа неабелева.
То, что Sn’=An, верно для любого n>=3. Факторгруппа Sn/An имеет порядок 2, то есть абелева. С другой стороны, An порождается тройными циклами (известный и простой факт), а [(xz),(xy)]=(xz)(xy)(xz)(xy)=(xyz) есть тройной цикл, то есть все тройные циклы суть коммутаторы.
Коммутант группы
- Коммутант группы
-
Слово «коммутант» в математике может означать два разных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры.
Содержание
- 1 Коммутант группы
- 1.1 Определение
- 1.2 Свойства
- 2 Коммутант алгебры
- 2.1 Определение
Коммутант группы
Определение
Коммутант группы G (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — подгруппа группы G, порождаемая всевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно коммутант группы G обозначается [G,G], или G‘, или T2(G).
Свойства
- Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.
- Факторгруппа по некоторому нормальному делителю абелева тогда и только тогда, когда этот нормальный делитель содержит коммутант группы. Факторизация группы по её коммутанту называется абелианизацией.
Коммутант алгебры
Определение
Пусть A — некоторая алгебра. Её коммутантом называется идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это — наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.
- 1 Коммутант группы
Wikimedia Foundation.
2010.
Полезное
Смотреть что такое «Коммутант группы» в других словарях:
-
Коммутант — Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), равная нулю тогда и только тогда, когда умножение в данной… … Википедия
-
КОММУТАНТ — группы, производная группа, второй член нижнего центрального ряда групп ы, подгруппа, порождаемая в группе Gвсевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно К. группы Gобозначается [G, G], или G , или Г 2(G). К. группы является вполне… … Математическая энциклопедия
-
Изоморфные группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Кручение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Норма группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Порядок группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Порядок элемента группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Расширение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Центр группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
-
Экспонента группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте
его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву
, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения
и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему
Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена
или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
|
|
коммутант группы An
|
|
11/04/08 |
|
|
|
|
 |
03.01.2012, 00:16 
|
Sonic86 |
Re: коммутант группы An
|
||
08/04/08 |
|||
|
|
|||
|
|
spyphy |
Re: коммутант группы An
|
|
11/04/08 |
Да точно, у Винберга есть ответ на 1-ый вопрос. Спасибо за наводку.
|
|
|
|
|
, 
. Надеюсь это так, а то я немного не уверен…|
Sonic86 |
Re: коммутант группы An
|
||
08/04/08 |
Угу.
|
||
|
|
|||
|
. Надеюсь это так, а то я немного не уверен…
для 
.Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы