В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются компланарными, и перечислим условия для компланарности двух, трех и большего количества векторов. Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Условия компланарности векторов
- Пример задачи
Условия компланарности векторов
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные ей, называются компланарными.
Из определения следует, что любые два вектора компланарны, т.к. всегда можно найти плоскость, параллельную им обоим.
Условия компланарности:
- Для трех векторов:
- Их смешанное произведение равняется нулю.
- Они линейно зависимы.
- Для n-ого количества векторов: среди них не более двух линейно независимых векторов.
Пример задачи
Определим, являются ли векторы a = {2; 5; 8}, b = {1; 4; 3} и c = {6; 7; 1} компланарными.
Решение
Чтобы проверить компланарность векторов с заданными координатами, найдем их смешанное произведение.
a · [b x c] = 8 + 90 + 56 – 192 – 42 – 5 = -85
Таким образом, векторы не являются компланарными, т.к. их смешанное произведение не равняется нулю.
Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
-
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
-
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Примеры задач на компланарность векторов
Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3},
b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1},
b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| a · [b × с] = | 1 | 1 | 1 | = |
| 1 | 3 | 1 | ||
| 2 | 2 | 2 |
= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
 |
1 | 1 | 1 |  |
~ |
| 1 | 2 | 0 | |||
| 0 | -1 | 1 | |||
| 3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
| ~ | |
1 | 1 | 1 | |
~ | |
1 | 1 | 1 | |
~ |
| 1 — 1 | 2 — 1 | 0 — 1 | 0 | 1 | -1 | |||||||
| 0 | -1 | 1 | 0 | -1 | 1 | |||||||
| 3 — 3 | 3 — 3 | 3 — 3 | 0 | 0 | 0 |
к 3-тей строке добавим 2-рую
| ~ | |
1 | 1 | 1 | |
~ | |
1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 3 — 3 | 3 — 3 | 3 — 3 | 0 | 0 | 0 |
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Одно из определений компланарных векторов гласит:
векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости, называются компланарными векторами.
Тот же смысл имеет и другое определение:
три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Обрати внимание!
Всегда возможно найти плоскость, параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.
Eсли из трёх векторов два коллинеарны, то очевидно, что эти три вектора компланарны.
Все вышеупомянутые случаи легко рассмотреть, если разместить векторы на рёбрах параллелепипеда.
1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы
AA1→
,
CC1→
и
AD→
, то есть, эти векторы компланарны. Также компланарны векторы
AA1→
,
AB→
и
CC1→
, так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор
CC1→
совпадёт с вектором
AA1→
.
2. Например, векторы
AB→
,
AD→
и
AA1→
не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.
Признак компланарности трёх векторов:
пусть векторы
a→
и
b→
не коллинеарны. Если для вектора
c→
существует единственная пара реальных чисел (x) и (y), такая, что
c→=x⋅a→+y⋅b→
, то векторы
a→
,
b→
и
c→
компланарны.
Справедливо и обратное утверждение:
если три вектора
a→
,
b→
и
c→
компланарны и векторы
a→
и
b→
не коллинеарны, то вектор
c→
можно разложить по векторам
a→
и
b→
одним-единственным образом.
Если разложить вектор
AC→
по векторам
AA1→
и
AA2→
, то это можно сделать одним-единственным образом:
AC→=AB→+AD→=x⋅AA1→+y⋅AA2→
.
Если три вектора некомпланарны, то для их сложения в пространстве применяется закон параллелепипеда.
1. Векторы приводят к общему началу (A).
2. На этих трёх рёбрах строится параллелепипед.
3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов
AB→
,
AD→
и
AA1→
.
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам
Теорема о разложении по базису в пространстве
Любой вектор
d→
можно разложить по трём данным некомпланарным векторам
a→
,
b→
и
c→
, причём реальные коэффициенты разложения (x), (y) и (z) определяются единственным образом:
AC1→=AD→+AB→+AA1→=x⋅AA2→+y⋅AA3→+z⋅AA4→
.
Содержание
Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами
Коллинеарность
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора $mathbf a(x_1,y_1)$ и $mathbf b(x_2,y_2)$ коллинеарны, если существует число $n$ такое, что
$$ mathbf {a} = n · mathbf {b}$$
или покоординатная детализация:
$$ x_1 = k cdot x_2 \
y_1 = k cdot y_2 \
z_1 = k cdot z_2 $$
Для коллинеарности векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
$$ k = frac {x_1} {y_1} =frac {x_2} {y_2} = ldots $$
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. [или модуль векторного произведения = 0]
$$ x_1y_2 — x_2y_1 = 0$$
Пример 1. Какие из векторов a = (1; 2), b = (4; 8), c = (5; 9) коллинеарны? Ответ — a и b.
Пример 2. Доказать что вектора a = (0; 3) и b = (0; 6) коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n. $na = (2 · 0; 2 · 3) = (0; 6)$
Пример 3. Образуют ли базис векторы k(3,7), 
-6,14)?
Ответ: да. Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы).
В общем случае нужно составить систему уравнений (по условию 1) и исследовать ее на совместность. Если несовместна (решений нет) — значит, вектора ЛН. В данном случаи можно действовать упрощенно по условию 2, так как нет нулей и деления на них.
Пример 4. Даны вершины четырёхугольника A(-4,2), B(2,6), C(5,4), D(-1,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Нужно доказать:
-
параллельность противоположных сторон AB и CD;
-
параллельность противоположных сторон BC и AD.
Найти вектора и проверить на коллинеарность.
Систематизируем: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:
-
векторы линейно независимы;
-
векторы образуют базис;
-
векторы не коллинеарны;
-
векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
-
определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Ортогональность
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
$$ x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$
или в трехмерном случае:
$$ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$
Пример 1. Доказать что вектора a = (1; 2) и b = (2; -1) ортогональны.
Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = (2; 4) и b = (n; 1) будут ортогональны.
Ответ -2
Пример 4. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.
Ответ : да
Компланарность
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга.
Условия компланарности векторов
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [b × с] = 1 2 3 = 1 1 1 1 2 1 = 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть даны две прямые a и b, заданные уравнениями:
$$ a: y = k_1 x + c_1 \
b: y = k_2 x + c_2
$$
Возьмем два произвольных вектора, по одному на каждой прямой. Например, при x=0 и x=1 прямая a проходит через точки $(0, c_1)$ и $(1, k_1 + c_1)$. Значит, вектор, лежащий на прямой a можно задать координатами $(1, k_1)$
Аналогично, вектор, лежащий на прямой b можно задать координатами $(1, k_2)$
Векторы коллинеарны, если $k_1 = k_2$ — совпадают угловые коэффициенты прямых, значит, прямые параллельны
Векторы ортогональны, если скалярное произведение $k_1 cdot k_2 + 1 = 0$ или $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны