Как найти комплексный корень квадратного уравнения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней z₀, z₁, z₂, … z_n_-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

где – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

, .

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

, .

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z₀.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Всем известно из школы квадратное уравнение:

поиск дискриминанта и решение вопроса: имеет ли квадратное уравнение корни или корень или нет. Как следует из основной теоремы алгебры, любое уравнение — ой степени имеет ровно корней с учетом кратности этих корней. Таким образом, любое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно два корня. При этом кратные корни в комплексном анализе считаются ровно столько раз, какая у них кратность.

Утверждение. Пусть коэффициенты многочлена — ой степени

– действительные и его комплексный корень, тогда тоже является корнем этого многочлена.

Доказательство. Перейдем к комплексному сопряжению в равенстве : , так как . Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то: .

Получили , следовательно, — также корень многочлена .

Если коэффициенты квадратного трехчлена действительны, а дискриминант отрицательный, то пару сопряженных корней можно найти через дискриминант.

При этом в формуле

нужно учесть что .

Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами: .

Решаем по «половинной» формуле: .

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один не действительный коэффициент, то корни не будут комплексно сопряженными.

Рассмотрим уравнение с комплексными коэффициентами:

Решаем через дискриминант. .

Таким образом, — корни нашего уравнения.

Пример 3

Решить квадратное уравнение:

Опять используем школьную формулу решения. Находим дискриминант:

Чтобы извлечь корень из дискриминанта обратимся к формуле извлечения корня ой степени из комплексного числа. Если , то корни ой степени из имеют вид:

В нашем случае .

Так что корни такие:

Теперь запишем корни исходного квадратного уравнения: .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Двучленным называется уравнение вида $x^ =A$.

Рассмотрим три случая:

Решить уравнение: $x^ <3>=8$.

Так как $A>0$, то $x_ =sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2kpi > <3>+icdot sin frac<2kpi > <3>right),, , , k=0. 2$.

При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos 0+icdot sin 0right)=sqrt[<3>] <8>=2$.

При $k=1$ получаем

[x_ <1>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2pi > <3>+icdot sin frac<2pi > <3>right)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1+sqrt <3>cdot i.]

При $k=2$ получаем

[x_ <2>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<4pi > <3>+icdot sin frac<4pi > <3>right)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1-sqrt <3>cdot i.]

Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.

Готовые работы на аналогичную тему

Так как $A$ — комплексное число, то

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

[varphi =arg z=arctgfrac<1> <1>=arctg1=frac<pi > <4>]

Подставим полученные значения и получим:

Уравнение перепишем в виде:

При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi /4> <3>+icdot sin frac<pi /4> <3>right)=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>right)=sqrt[<6>] <2>cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>right)$.

При $k=1$ получаем

При $k=2$ получаем

Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

[D=2^ <2>-4cdot 1cdot 5=4-20=-16.]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Комплексное число вида $overline=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.

Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1pm 2i$, записать исходное уравнение.

Запишем уравнение следующим образом:

[x^ <2>-(1-2i)cdot x-xcdot (1+2i)+(1-2i)cdot (1+2i)=0] [x^ <2>-x+2icdot x-x-2icdot x+1-4i^ <2>=0] [x^ <2>-2x+1+4=0] [x^ <2>-2x+5=0]

Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ — искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск

Регистрация прошла успешно!

На email мы отправили пароль для доступа ко всем сервисам

Не пропусти промокод на скидку в ближайших письмах

источники:

http://khab.work5.ru/spravochnik/matematika/kvadratnoe-uravnenie-s-kompleksnymi-kornyami

http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/kvadratnoe_uravnenie_s_kompleksnymi_kornyami/

Источник

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Определение 1

Двучленным называется уравнение вида $x^{n} =A$.

Рассмотрим три случая:

В случае если $A$ — это положительное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле

[x_{k} =sqrt[{n}]{A} cdot left(cos frac{2kpi }{n} +icdot sin frac{2kpi }{n} right),, , , k=0,..,n-1.]

В случае если $A$ — это отрицательное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле

[x_{k} =sqrt[{n}]{|A|} cdot left(cos frac{pi +2kpi }{n} +icdot sin frac{pi +2kpi }{n} right),, , , k=0,..,n-1.]

В случае если $A$ — это комплексное число, то корни уравнения находятся по формуле

[x_{k} =sqrt[{n}]{r} cdot (cos frac{varphi +2pi k}{n} +isin frac{varphi +2pi k}{n} ),, , , k=0..n-1.]

Пример 1

Решить уравнение: $x^{3} =8$.

Решение:

Так как $A>0$, то $x_{k} =sqrt[{3}]{8} cdot left(cos frac{2kpi }{3} +icdot sin frac{2kpi }{3} right),, , , k=0,..,2$.

При $k=0$ получаем $x_{0} =sqrt[{3}]{8} cdot left(cos 0+icdot sin 0right)=sqrt[{3}]{8} =2$.

При $k=1$ получаем

[x_{1} =sqrt[{3}]{8} cdot left(cos frac{2pi }{3} +icdot sin frac{2pi }{3} right)=sqrt[{3}]{8} cdot (-frac{1}{2} +frac{sqrt{3} }{2} cdot i)=2cdot (-frac{1}{2} +frac{sqrt{3} }{2} cdot i)=-1+sqrt{3} cdot i.]

При $k=2$ получаем

[x_{2} =sqrt[{3}]{8} cdot left(cos frac{4pi }{3} +icdot sin frac{4pi }{3} right)=sqrt[{3}]{8} cdot (-frac{1}{2} -frac{sqrt{3} }{2} cdot i)=2cdot (-frac{1}{2} -frac{sqrt{3} }{2} cdot i)=-1-sqrt{3} cdot i.]

Пример 2

Решить уравнение: $x^{3} =1+i$.

«Квадратное уравнение с комплексными корнями» 👇

Решение:

Так как $A$ — комплексное число, то

[x_{k} =sqrt[{n}]{r} cdot (cos frac{varphi +2pi k}{n} +isin frac{varphi +2pi k}{n} ),, , , k=0..n-1,, , , k=0,..,2.]

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

[r=sqrt{1^{2} +1^{2} } =sqrt{1+1} =sqrt{2} ]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

[varphi =arg z=arctgfrac{1}{1} =arctg1=frac{pi }{4} ]

Подставим полученные значения и получим:

[A=sqrt{2} cdot (cos frac{pi }{4} +isin frac{pi }{4} )]

Уравнение перепишем в виде:

[x^{3} =sqrt{2} cdot (cos frac{pi }{4} +isin frac{pi }{4} )]

При $k=0$ получаем $x_{0} =sqrt[{3}]{sqrt{2} } cdot left(cos frac{pi /4}{3} +icdot sin frac{pi /4}{3} right)=sqrt[{3}]{sqrt{2} } cdot left(cos frac{pi }{12} +icdot sin frac{pi }{12} right)=sqrt[{6}]{2} cdot left(cos frac{pi }{12} +icdot sin frac{pi }{12} right)$.

При $k=1$ получаем

[begin{array}{l} {x_{1} =sqrt[{3}]{sqrt{2} } cdot left(cos frac{pi /4+2pi }{3} +icdot sin frac{pi /4+2pi }{3} right)=sqrt[{3}]{sqrt{2} } cdot left(cos frac{3pi }{4} +icdot sin frac{3pi }{4} right)=} \ {=sqrt[{6}]{2} cdot left(cos frac{3pi }{4} +icdot sin frac{3pi }{4} right)} end{array}]

При $k=2$ получаем

[begin{array}{l} {x_{2} =sqrt[{3}]{sqrt{2} } cdot left(cos frac{pi /4+4pi }{3} +icdot sin frac{pi /4+4pi }{3} right)=sqrt[{3}]{sqrt{2} } cdot left(cos frac{17pi }{12} +icdot sin frac{17pi }{12} right)=} \ {=sqrt[{6}]{2} cdot left(cos frac{17pi }{12} +icdot sin frac{17pi }{12} right)} end{array}]

Определение 2

Квадратным называется уравнение вида $ax^{2} +bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^{2} -4ac$, при этом

[x_{1,2} =frac{-bpm sqrt{D} }{2a} .]

Примечание 1

Пример 3

Решить уравнение $x^{2} +2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

[D=2^{2} -4cdot 1cdot 5=4-20=-16.]

Так как $D

[x_{1,2} =frac{-2pm sqrt{-16} }{2} =frac{-2pm icdot sqrt{16} }{2} =frac{-2pm icdot 4}{2} =-1pm 2i.]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

Рис. 1

Примечание 2

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Определение 3

Комплексное число вида $overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Примечание 3

Известно, что если $x_{1,2} $ являются корнями квадратного уравнения $ax^{2} +bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_{1} )(x-x_{2} )=0$. В общем случае $x_{1,2} $ являются комплексными корнями.

Пример 4

Зная корни уравнения $x_{1,2} =1pm 2i$, записать исходное уравнение.

Решение:

Запишем уравнение следующим образом:

[(x-(1-2i))cdot (x-(1+2i))=0.]

Выполним умножение комплексных чисел

[x^{2} -(1-2i)cdot x-xcdot (1+2i)+(1-2i)cdot (1+2i)=0][x^{2} -x+2icdot x-x-2icdot x+1-4i^{2} =0] [x^{2} -2x+1+4=0] [x^{2} -2x+5=0]

Следовательно, $x^{2} -2x+5=0$ — искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Пример 5

Решить уравнение: $z^{2} +(1-2i)cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

[D=(1-2i)^{2} +4cdot 1cdot (1+i)=1-4i+4i^{2} +4+4i=1-4+4=1.]

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

[x_{1} =frac{-(1-2i))-sqrt{1} }{2} =frac{-1+2i-1}{2} =frac{-2+2i}{2} =-1+i.] [x_{2} =frac{-(1-2i))+sqrt{1} }{2} =frac{-1+2i+1}{2} =frac{2i}{2} =i.]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

Рис. 2

Примечание 4

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты
$a$,
$b$ и
$c$ — в общем случае являются комплексными.
Его решение находим с помощью дискриминанта

$$D=b^{2}-4 a c$$

тогда

$$x_{1,2}=frac{-b pm sqrt{D}}{2 a}$$

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются
комплексными числами.

Пример

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни
$z_{1}=1-i$ и
$z_{2}=4-5i$. Решить его.

Решение. Известно, что если
$z_1$, $z_2$ — корни квадратного уравнения
$z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде
$(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что
искомое уравнение можно записать следующим образом:

$$(z-(1-i))(z-(4-5 i))=0$$

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

$$z^{2}-(4-5 i) z-(1-i) z+(1-i)(4-5 i)=0$$
$$z^{2}+z(-4+5 i-1+i)+4-5 i-4 i+5 i^{2}=0$$

$z^{2}+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ — искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D=(-5+6 i)^{2}-4 cdot 1 cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$
$$=-7-24 i$$

Так как при извлечении корня из комплексного числа в
результате получится комплексное число, то корень из
дискриминанта будем искать в виде $sqrt{D}=a+b i$. То есть

$$sqrt{-7-24 i}=a+b i Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^{2} Rightarrow$$
$$Rightarrow-7-24 i=a^{2}+2 a b i-b^{2}$$

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно,
получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и
$b$:

$$left{begin{array}{l}a^{2}-b^{2}=-7 \ 2 a b=-24end{array}right.$$

решив которую, имеем, что $a_1=3$,
$b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из
полученных пар, например, первую, получаем, что
$sqrt{D}=3-4 i$, а тогда

$$z_{1}=frac{-(-5+6 i)+(3-4 i)}{2 cdot 1}=4-5 i$$
$$z_{2}=frac{-(-5+6 i)-(3-4 i)}{2 cdot 1}=1-i$$

Ответ. $z^{2}+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$

Читать дальше: элементарные функции комплексного аргумента.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Решение квадратных уравнений.

Линейный
многочлен

при

всегда имеет корень

.
Квадратный трехчлен уже не всегда имеет
корни над полем действительных чисел.

Пусть

– квадратный трехчлен над полем
комплексных чисел (
).
Обозначим через

какой-либо комплексный квадратный
корень из дискриминанта

.
Тогда

суть комплексные
корни многочлена

Действительно,
уравнение

равносильно уравнению

,
откуда и следует формула (6).

ПРИМЕР.
Решим уравнение

:

Заметим, что
как и положено по теореме Виета, сумма
корней равна

,
а произведение равно 13.

Основная теорема алгебры комплексных чисел

Поле называется
алгебраически замкнутым, если любой
многочлен над этим полем, не равный
константе, имеет хотя бы один корень.
Из теоремы Безу сразу следует, что над
таким полем любой неконстантный многочлен
разложим в произведение линейных
множителей. В этом смысле алгебраически
замкнутые поля устроены проще, чем не
алгебраически замкнутые. Мы знаем, что
над полем действительных чисел не всякий
квадратный трехчлен имеет корень, тем
самым поле ℝ не
является алгебраически замкнутым.
Оказывается ему чуть-чуть не хватает
до алгебраической замкнутости. Другими
словами: решив казалось бы частную
задачу о уравнение

,
мы одновременно справились со всеми
остальными полиномиальными уравнениями.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Любой
многочлен над полем ℂ,
не равный константе, имеет хотя бы один
комплексный корень.

СЛЕДСТВИЕ.
Любой многочлен, не равный константе,
над полем комплексных чисел разложим
в произведение линейных множителей:

Здесь

— старший коэффициент многочлена,

– все различные комплексные корни
многочлена,

— их кратности. Должно выполняться
равенство

Доказательство
следствия представляет собой несложную
индукцию по степени многочлена.

Над другими
полями положение дел не столь хорошее
в смысле разложимости многочленов.
Назовем многочлен неприводимым, если
он во-первых, не константа, а, во-вторых,
не разложим в произведение многочленов
меньших степеней. Ясно, что всякий
линейный многочлен (над любым полем)
неприводим. Следствие можно переформулировать
так: неприводимыe многочлены над полем
комплексных чисел с единичным старшим
коэффициентом (по другому: унитарные)
исчерпываются многочленами вида

(

Разложимость
квадратного трехчлена

равносильна наличию хотя бы одного
корня. Преобразуя уравнение

к виду
,
заключаем, что корень квадратного
трехчлена

существует тогда и только тогда, когда
дискриминант

есть квадрат какого-либо элемента поля
K (здесь предполагаем, что 2≠ 0 в поле K).
Отсюда получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
Квадратный трехчлен

над полем K, в котором 2≠ 0, неприводим
тогда и только тогда, когда он не имеет
корней в поле K. Это равносильно тому,
что дискриминант

не является квадратом никакого элемента
поля K. В частности, над полем действительных
чисел квадратный трехчлен

неприводим, если и только, если

.

Итак над
полем действительных чисел существуют
по крайней мере два вида неприводимых
многочленов: — линейные и квадратичные
и отрицательным дискриминантом.
Оказывается, что эти два случая исчерпывают
множество неприводимых многочленов
над ℝ.

ТЕОРЕМА. Любой многочлен над полем
действительных чисел разложим в
произведение линейных множителей и
квадратичных множителей с отрицательными
дискриминантами:

Здесь

— все различные действительные корни
многочлена

,

— их кратности, все дискриминанты

меньше нуля, и квадратные трехчлены

все различны.

Вначале
докажем лемму

ЛЕММА.
Если

для какого-либо

,
то сопряженное число

также является корнем многочлена

.

Доказательство.
Пусть
,

– комплексный корень многочлена

.
Тогда

где мы
использовали свойства сопряжения.
Следовательно,

.
Тем самым

— корень многочлена

.
□

Доказательство
теоремы. Достаточно доказать, что любой
неприводимый многочлен над полем
действительных чисел либо линейный,
либо квадратичный с отрицательным
дискриминантом. Пусть

— неприводимый многочлен с единичным
старшим коэффициентом. В случае

сразу получаем

для некоторого действительного

.
Предположим, что

.
Обозначим через

какой-либо комплексный корень этого
многочлена, существующий по основной
теореме алгебры комплексных чисел. Так
как

неприводим, то

(см.
теорему Безу). Тогда по лемме,

будет еще одним корнем многочлена

,
отличным от

Многочлен

имеет
действительные коэффициенты. Кроме
того,

делит

согласно теореме Безу. Так как

неприводим и имеет единичный старший
коэффициент, то получаем равенство

.
Дискриминант этого многочлена отрицателен,
так как иначе он имел бы вещественные
корни.□

ПРИМЕРЫ.
А. Разложим
многочлен

на неприводимые множители. Среди
делителей константного члена 6 ищем
корни многочлена. Убеждаемся, что 1 и 2
– корни. Тем самым многочлен делится
на

.
Поделив, находим

—
окончательное разложение над полем

,
ибо дискриминант квадратного трехчлена

отрицателен и, следовательно, он над
полем действительных чисел далее не
разложим. Разложение того же многочлена
над полем комплексных чисел получим,
если найдем комплексные корни квадратного
трехчлена

.
Они суть

.
Тогда

—
разложение данного многочлена над

Б.
Разложим

над полями действительных и комплексных
чисел. Так как действительных корней
этот многочлен не имеет, то он разложим
на два квадратных трехчлена с отрицательными
дискриминантами