Как найти концентрацию молекул газа в физике

Газ обладает высокой реакционной способностью по сравнению с жидкими и твердыми телами ввиду большой площади его активной поверхности и высокой кинетической энергии образующих систему частиц. При этом химическая активность газа, его давление и некоторые другие параметры зависят от концентрации молекул. Рассмотрим в данной статье, что это за величина и как ее можно вычислить.

О каком газе пойдет речь?

В данной статье будут рассмотрены так называемые идеальные газы. В них пренебрегают размерами частиц и взаимодействием между ними. Единственным процессом, который происходит в идеальных газах, являются упругие столкновения между частицами и стенками сосуда. Результатом этих столкновений является возникновение абсолютного давления.

Любой реальный газ приближается по своим свойствам к идеальному, если уменьшать его давление или плотность и увеличивать абсолютную температуру. Тем не менее существуют химические вещества, которые даже при низких плотностях и высоких температурах далеки от идеального газа. Ярким и всем известным примером такого вещества является водяной пар. Дело в том, что его молекулы (H₂O) являются сильно полярными (кислород оттягивает на себя электронную плотность от атомов водорода). Полярность приводит к появлению существенного электростатического взаимодействия между ними, что является грубым нарушением концепции идеального газа.

Универсальный закон Клапейрона-Менделеева

Чтобы уметь рассчитывать концентрацию молекул идеального газа, следует познакомиться с законом, который описывает состояние любой идеальной газовой системы независимо от ее химического состава. Этот закон носит фамилии француза Эмиля Клапейрона и русского ученого Дмитрия Менделеева. Соответствующее уравнение имеет вид:

P*V = n*R*T.

Равенство говорит о том, что произведение давления P на объем V всегда для идеального газа должно быть прямо пропорционально произведению температуры абсолютной T на количество вещества n. Здесь R — это коэффициент пропорциональности, который получил название универсальной газовой постоянной. Она показывает величину работы, которую 1 моль газа выполняет в результате расширения, если его на 1 К нагреть (R=8,314 Дж/(моль*К)).

Концентрация молекул и ее вычисление

Согласно определению под концентрацией атомов или молекул понимают количество частиц в системе, которое приходится на единицу объема. Математически можно записать:

c_N = N/V.

Где N — общее число частиц в системе.

Прежде чем записать формулу для определения концентрации молекул газа, вспомним определение количества вещества n и выражение, которое связывает величину R с постоянной Больцмана k_B:

n = N/N_A;

k_B = R/N_A.

Используя эти равенства, выразим отношение N/V из универсального уравнения состояния:

P*V = n*R*T =>

P*V = N/N_A*R*T = N*k_B*T =>

c_N = N/V = P/(k_B*T).

Таким образом мы получили формулу для определения концентрации частиц в газе. Как видно, она прямо пропорционально зависит от давления в системе и обратно пропорционально от абсолютной температуры.

Поскольку количество частиц в системе велико, то концентрацией c_N пользоваться неудобно при выполнении практических расчетов. Вместо нее чаще используют молярную концентрацию c_n. Она для идеального газа определяется так:

c_n = n/V = P/(R *T).

Пример задачи

Необходимо рассчитать молярную концентрацию молекул кислорода в воздухе при нормальных условиях.

Для решения этой задачи вспомним, что в воздухе находится 21 % кислорода. В соответствии с законом Дальтона кислород создает парциальное давление 0,21*P₀, где P₀ = 101325 Па (одна атмосфера). Нормальные условия также предполагают температуру 0 ^oC (273,15 К).

Мы знаем все необходимые параметры для вычисления молярной концентрации кислорода в воздухе. Получаем:

c_n(O₂) = P/(R *T) = 0,21*101325/(8,314*273,15) = 9,37 моль/м³.

Если эту концентрацию привести к объему 1 литр, то мы получим значение 0,009 моль/л.

Чтобы понять, сколько молекул O₂ содержится в 1 литре воздуха, следует умножить рассчитанную концентрацию на число N_A. Выполнив эту процедуру, получим огромное значение: N(O₂) = 5,64*10²¹ молекул.

• Основное уравнение
кинетической теории газов

,

где
р — давление
газа, n
– концентрация
молекул (число молекул в единице объема),
—
средняя кинетическая энергия
поступательного движения одной молекулы,
угловые скобки обозначают осреднение
по

большому
ансамблю частиц, m₀
– масса
молекулы,
—
средняя квадратичная скорость движения
молекул.

• Средняя
кинетическая энергия поступательного
движения одной молекулы

,

где
k
=
1,38·10^-23
Дж/К –
постоянная Больцмана, Т
– абсолютная температура.

•
Энергия теплового
движения молекул (внутренняя энергия
идеального газа):

,

где
i
– число степеней свободы молекулы, m
– масса газа, М
– молярная
масса данного вещества, R
= 8,31 Дж/(кг·К) –
универсальная газовая постоянная, Т
– абсолютная
температура.

• Числом степеней
свободы называется число независимых
координат полностью определяющих
положение тела в пространстве. Любая
молекула имеет 3 поступательных степени
свободы (i_пост=3).
Молекулы,
кроме одноатомных, имеют еще вращательные
степени свободы (у двухатомных молекул
i_вр
= 2, у
многоатомных i_вр
= 3) и
колебательные степени свободы, которые
при невысоких (комнатных) температурах
не учитываются.

• В соответствии
с законом Больцмана о равномерном
распределении энергии по степеням
свободы, в
среднем на каждую степень свободы
молекулы приходится одинаковая энергия,
равная
.

• Средняя
кинетическая энергия вращательного
движения одной молекулы:

•
Средняя суммарная
кинетическая энергия одной молекулы:

,

где
i
– число степеней свободы молекулы
(i=i_пост+
i_вр).

• Средняя
квадратичная скорость молекулы:

• Средняя
арифметическая скорость (средняя
скорость теплового движения)молекулы:

,

где m₀
– масса одной молекулы, М
– молярная масса вещества, причем
,

N_A=
6,023·10²³
1/моль –
число Авогадро.

• Барометрическая
формула характеризует изменение давления
газа с высотой в поле сил тяжести:

или
,

где
p
– давление
на высоте h
над уровнем
моря, p₀
– давление на высоте h
= 0,
g
– ускорение
свободного падения. Эта формула
приближенная, так как температуру нельзя
считать постоянной для большой разности
высот.

•
Распределение
Больцмана для концентрации частиц в
силовом поле имеет вид:

,

где
n
– концентрация частиц, обладающих
потенциальной энергией W_п
, n₀
— концентрация
частиц в точках поля с W_п
= 0.

Примеры
решения задач

Задача
1. Найти
среднюю кинетическую энергию
вращательного движения одной молекулы
кислорода при температуреТ
= 350 К, а также среднюю кинетическую
энергию
вращательного движения всех молекул
кислорода массойm
= 4 г.

Решение.
Согласно закону Больцмана о равном
распределении энергии по степеням
свободы на каждую степень свободы
приходится энергия равная
,
гдеk
– постоянная Больцмана, Т
– абсолютная
температура.

Так
как молекула кислорода двухатомная, у
нее две вращательных степени свободы,
поэтому средняя кинетическая энергия
вращательного движения выразится
формулой:

Подставим
в полученную формулу значения k
= 1,38·10^-23
Дж/К, и Т
= 350 К, получим

Кинетическая
энергия всех N
молекул, содержащихся в 4 г кислорода
равна:

Число
всех молекул газа можно вычислить по
формуле:

,
где N_A
– число
Авогадро,
—
количество вещества,m
– масса газа, М
– молярная
масса. Учтя приведенные выражения,
получим:

Подставляем
числовые значения: N_A
= 6,023·10²³
1/моль ; m
= 4 г = 4·10^-3
кг ; М
= 32·10^-3
кг/моль;
=
4,83·10^-21
Дж:

Выведем
размерность полученной величины:

Задача
2. В
воздухе при нормальных условиях взвешены
одинаковые частицы. Известно, что
концентрация частиц уменьшается в два
раза на высоте h
= 20 м. Определить массу частицы.

Решение.
Воспользуемся формулой распределения
Больцмана:

,

где
W_п
= m₀gh
– потенциальная
энергия частицы в поле сил тяжести.

Подставив
это выражение в формулу распределения
Больцмана, получим:

Логарифмируем
обе части уравнения по основанию е,
тогда:

,
откуда

Подставив
числовые значения в полученную формулу,
найдем

Выведем
размерность полученной величины:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В физике текучих субстанций большое внимание уделяется изучению газов, которое осуществляют при помощи использования модели идеального газа. В этой области было открыто много законов. В приведенной ниже статье изучим формулу концентрации молекул газа (идеального) и покажем, как ее следует применять при решении практической проблемы.

Идеальный газ

Что же это такое? Прежде чем записать формулу концентрации молекул газа, расскажем, что собой представляет модель идеального газа. В соответствии с кинетической теорией текучих субстанций, в таких веществах молекулы и атомы движутся хаотически по прямым траекториям. Расстояния между ними намного больше, чем их собственные линейные размеры, поэтому последними пренебрегают при выполнении вычислений. Кроме того, считают, что взаимодействий между молекулами не существует, поскольку их кинетическая энергия слишком велика по сравнению со слабыми потенциальными взаимодействиями.

Любые реальные газы, которые находятся при низких давлениях и достаточно высоких абсолютных температурах, по своему поведению приближаются к описанной модели. Тем не менее существуют текучие субстанции, у которых помимо ван-дер-ваальсовых взаимодействий между частицами действуют взаимодействия более сильного характера. Примером является водяной пар, у которого молекулы друг с другом связаны водородными (полярными) связями. Для описания поведения таких субстанций нельзя использовать модель идеального газа.

Универсальное уравнение

Модель идеального газа удобна при выполнении практических расчетов тем, что уравнение состояния вещества, полученное на ее основе, связывает три термодинамических параметра: температуру T, объем системы V и абсолютное давление P. Это уравнение записано ниже:

P * V = n * R * T.

Где R — постоянная, равная 8,314 Дж/(моль*К), n — количество вещества.

Современная молекулярно-кинетическая теория газов позволяет путем несложных рассуждений и математических выкладок получить теоретически это уравнение. Впервые же оно было записано в результате анализа многочисленных экспериментов, которые в течение двух веков выполняли европейские ученые, начиная от Роберта Бойля (вторая половина XVII века) и заканчивая Амедео Авогадро (начало XIX века).

Считается, что уравнение состояния идеального газа первым получил Эмиль Клапейрон, а к современной форме его привел русский химик Дмитрий Менделеев, поэтому его часто называют законом Клапейрона-Менделеева.

Понятие о концентрации молекул: виды концентраций

Когда изучают текучие субстанции, то знать концентрации компонентов, которые их образуют, является важным при решении многих практических задач. Например, от этого показателя и размеров молекул зависит общая площадь поверхности активного вещества, а значит, его реакционная способность. Другой пример, концентрация некоторых веществ в воздухе определяет допустимые их пределы для нормального протекания жизненно необходимых процессов в организме человека.

В случае газов, как правило, пользуются тремя следующими концентрациями:

• Атомная. Она определяется, как процентное содержание количества атомов или молекул компонента по отношению к объему всей системы.
• Массовая. Показывает отношение массы компонента к объему газа.
• Молярная. Она равна отношению количества вещества изучаемого компонента к объему системы.

Заметим, что все виды концентраций вычисляются по отношению к объему системы. Справедливость этих величин действительна, поскольку каждый компонент системы полностью заполняет ее объем.

Среди всех типов концентраций наиболее удобной на практике является молярная. Ниже в статье приведем формулу именно для нее.

Формула концентрации молекул газа

В соответствии с приведенным в предыдущем пункте определением, молярная концентрация i-го компонента системы c_n(i) вычисляется так:

c_n(i) = n_i / V.

Предположим, что мы имеем однокомпонентный (чистый) газ. Это может быть кислород, азот, гелий и так далее. В этом случае можно применить формулу Клапейрона-Менделеева и выразить из нее молярную концентрацию молекул. Имеем:

P * V = n * R * T =>

c_n = n / V = P / (R * T).

Из записанной формулы концентрации молекул газа легко получить атомную (молекулярную) концентрацию. Покажем, как это делается:

c_n = n / V = N / (N_A * V) = c_N / N_A =>

c_N = c_n * N_A = N_A * P / (R * T) = P / (k_B * T).

Здесь N_A и k_B — число Авогадро и постоянная Больцмана. Соответственно, N — число молекул в системе. Поскольку величина k_B имеет маленькое значение (1,38 * 10^-23), то c_N принимает огромные значения, что неудобно для ее практического использования.

Пример задачи

В результате изобарного нагрева закрытой системы с идеальным газом его температура увеличилась на 100 К и стала равной 400 К. Как изменится концентрация молекул газа, если давление в системе составляет 1,5 атмосферы.

Поскольку давление в процессе нагрева не изменилось, а температура была равна 300 К согласно условию задачи, то молярная концентрацию молекул до нагрева системы составляла:

c_n1 = 1,5 * 101 325 / (8,314 * 300) = 60,9 моль/м³.

Число молекул в системе не изменилось при нагреве, так как система является закрытой. После нагрева газа его концентрация составила:

c_n2 = 1,5 * 101 325 / (8,314 * 400) = 45,7 моль/м³.

Изменение концентрации составило:

Δc_n = c_n2 — c_n1 = 45,7 — 60,9 = -15,2 моль/м³.

Отрицательный знак говорит, что концентрация уменьшилась, что является очевидным, поскольку увеличился объем системы после нагрева, а число частиц в ней осталось прежним.