Как найти концентрацию получившегося раствора в математике

Для того, чтобы решать задачи на растворы и концентрацию, необходимо чётко понимать, что
называется концентрацией раствора.

• 9%-я концентрация раствора соли — это 9 грамм соли в
  100 граммах раствора.

Разбор примера

Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора?
(Масса 1 л воды составляет 1 кг)

Используя определение концентрации данное выше, решим задачу следующим образом.

• 1 кг — масса растворённого вещества (соли)
• 9 кг — масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора)
• 9 + 1 = 10 кг — общая масса раствора.

Ответ: 10% — концентрация раствора.

Разбор примера

Теперь решим обратную задачу.

Сколько соли получится при выпаривании 375 граммов 12%-го раствора?

Чтобы найти массу выпаренной соли из раствора, умножим общую массу раствора на процент концентрации.
Не забудем предварительно перевести процент в десятичную дробь.

Ответ: 45 г соли.

Сложная задача на растворы

В растворе 40% соли. Если добавить 120 г соли,
то процентное содержание соли станет равным 70.
Сколько грамм соли было первоначально в растворе?

Для составления пропорции обозначим за «x» первоначальную массу соли в растворе, а
за «y» массу
воды в растворе. Так как концентрация соли в исходном растворе 40%, то соответственно вода составляет

100% − 40%= 60%

Изобразим графически условия задачи.

Составим пропорцию, связывающую эти величины до добавления соли.

Для решения задачи нам надо определить какая из неизвестных («x» или «y») остаётся неизменной
после добавления соли.

Этой величиной является масса воды в растворе «y».

Выразим её, учитывая изменения в растворе после добавления соли.

• (x + 120) г — масса соли в новом растворе
• (100% − 70% = 30% — процентное содержание воды в новом растворе.

Составим пропорцию аналогично предыдущей, но с учётом изменений произошедших
после добавления соли.

Так как масса воды осталось неизменной после добавления соли, приравняем её значения до и
после добавления соли и решим уравнение.

Ответ: 48 г — масса соли в первоначальном растворе.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Цель: создать условия для формирования умений решать задачи на растворы на основе знаний процентов, отношений и умений работы с дробями.

Задачи:

Образовательные

• повторить понятия проценты, отношения;
• закрепить знания, умения и навыки решения задач на нахождение числа по его дроби и нахождение дроби от числа, работы с дробями;
• показать практическую значимость математических знаний для решения задач на концентрацию.

Воспитательные

• показать практическую значимость математических знаний для решения задач на концентрацию из повседневной жизни;
• воспитание у учащихся интереса к предмету.

Развивающие

• развивать наблюдательность, логическое мышление учащихся;
• развивать жизненную смекалку и интуицию.

Необходимое оборудование и материалы: доска, мел, карточка с задачами, презентация.

План урока:

1. Мотивационный момент (1 минута).
2. Подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала (5 минут).
3. Изучение нового материала (12 минут).
4. Решение задач на отработку формул (3 мин).
5. Физминутка (1 минута).
6. Первичное закрепление нового материала (15минут).
7. Рефлексия (1 минута).
8. Подведение итогов. Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока

I. Мотивационный момент.

Ребята, мы с вами решали задачи, содержащие проценты. Мы также знаем, что отношения существуют и между людьми, и между числами, и между величинами. Они часто встречаются в задачах. А могут быть отношения и проценты в задачах на смеси и растворы? Ответ на этот вопрос найдем на уроке.

II. Подготовка к сознательному усвоению нового материала.

(Слайд 2)

1. Выразить десятичной дробью, а потом обыкновенной: 25%, 10%, 50%, 75%, 125%.
2. Указать в виде процентов: 0,7; 0,04; 1,3.
3. Найти 15% от числа 60.
4. Найти число, 15% которого равны 30.
5. Из 25 семян взошло 24 семени. Найдите процент всхожести.
6. Итак, известные нам отношения: (Слайд 3)

Всхожесть = ; .

Значения данных отношений мы представляли в виде процентов.

III. Изучение нового материала.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-нибудь водой. При этом используют слово «концентрация». Как вы понимаете это слово?

В большом энциклопедическом словаре «концентрация (от новолат. concentratio) – сосредоточение, скапливание, собирание кого-либо, чего-либо в к.-л. месте» [1].

Концентрация в химии – величина, выражающая относительное количество данного компонента (независимой составной части) в физико-химической системе (смеси, растворе, сплаве) [2].

Сейчас разберемся с этим понятием с точки зрения математики. (Слайд 4)

Нальем в стакан 150 г воды и растворим в ней 50 г сахара. Какой станет масса раствора?[3]

50+150=200 (г) – масса общая. (Слайд 5)

Раствор тщательно перемешиваем.

Найдите процентное содержание сахара в растворе.

50 : 200=1: 4 = 0,25;

0,25=25%

25% – процентное содержание сахара в данном растворе.

Число 0,25 называют концентрацией сахара в растворе. (Слайд 6)

Итак, в математике, концентрацию можно представить как отношение чистого вещества к раствору (сплаву, смеси).

Концентрация = , т.е. К=.

Как по этой формуле найти М_ч.в? М_общ?

М_ч.в. = М_общ · К

М_общ = Мч.в: К

(Слайд 7)

IV. Решение задач на отработку формул:

(Слайд

1. В 500 г раствора содержится 100 г соли. Найдите концентрацию соли в данном растворе. Процентное содержание соли в растворе?
2. 200 г раствора содержит 80% соли. Найдите массу соли в этом растворе.
3. Какова масса раствора, в котором 150 г сахара составляют 25%.

Во многих текстовых задачах понятие «концентрация» может быть заменено на:[3] (Слайд 9-10)

Рис.1.

Подумайте, отношение каких величин используется в понятиях «жирность, соленость, проба».

Встречая эти слова в текстах задач, вы должны понимать, что речь идет о «концентрации» того или другого чистого вещества в растворах или сплавах или смесях.

V. Физминутка.

(Слайд 11)

Следите глазами за движениями черепашек.

VI. Первичное закрепление нового материала.

Решим несколько задач на «концентрацию».

(Задачи 1-4 заранее распечатаны на листочке. (Приложение 1) Данные условий задач вносим в таблицу, обсуждаем ход решения. Отвечаем на вопросы к действиям.

Задача 1. В одну банку мама налила 480 г воды и насыпала 120 г сахара, в другую – 840 г воды и 160 г сахара. В какой банке вода слаще? [4] (Слайд 12-13)

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти концентрации сахара в растворах каждой банки и сравнить их.

Решение:

1. Какова масса раствора в первой банке?
   480+120 = 600 (г)

2. Какова концентрация сахара в растворе первой банки?
   120:600 = 0,2; 0,2=20%

3. Какова масса раствора во второй банке?
   840+160 = 1000(г)

4. Какова концентрация сахара в растворе второй банки?
   160:1000 = 0,16; 0,16=16%

5. В какой банке вода слаще?
   20% > 16%

Ответ: в первой банке вода слаще.

Задача 2. Смешивают 200 г 80%-го раствора соли и 700 г 20%-го раствора той же соли. Сколько соли в полученном растворе? (Слайд 14-15)

Решение:

80% – это процентное содержание соли в 200г раствора (концентрация 0,8)

1. Сколько г соли в этом растворе?
   0,8 ·200=160(г)

20% – это содержание соли в 700 г раствора (концентрация соли 0,2)

1. Сколько г соли во втором растворе?
   0,2·700=140 (г)
2. Сколько г соли в полученном растворе?
   160+140=300 (г)

Ответ: 300 г.

Задача 3. Какой раствор получится при смешивании 200 г 50% раствора соли и раствора, в котором 150 г соли составляют 25%? (Слайд 16-17)

Решение:

50% – процентное содержание соли в 200 г растворе (концентрация 0,5).

1. Сколько г соли в этом растворе?
   0,5·200=100 (г)
   Что мы знаем про второй раствор? – Знаем количество соли (150г) и его процентное содержание25% (значит, концентрация соли 0,25)

2. Какова масса второго раствора?
   150:0,25= 600 (г)
   Чтобы найти концентрацию соли в новом растворе, что надо знать? – Массу соли и массу всего раствора.

3. Какова масса соли в двух растворах?
   100+150=250 (г)

4. Какова масса нового раствора?
   200+600 =800 (г)

5. Какова концентрация соли в новом растворе?
   250:800=0,3125; 0,3125 = 31,25%

Ответ: 31,25%.

Задача для самостоятельного решения (дома).

Задача 4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?[5]

Решение:

1. Сколько кг соли в морской воде?
   0,05·30=1,5 (кг)
   Пресная вода содержит соль? – Нет. – Значит, масса соли и в новом растворе будет 1,5 кг, но ее концентрация составит уже 0,015.

2. Какова масса нового раствора (с добавлением пресной воды)?
   1,5: 0,015= 100 (кг)

3. Сколько пресной воды нужно добавить?
   100 – 30 = 70 (кг)

Ответ: 70 кг.

VII. Этап рефлексии.

(Слайд 18)

Ответ на листочке:

• Сегодня я узнал….
• У меня получилось…
• Было трудно….
• Было интересно….
• Теперь я умею…

VIII. Итог урока. Домашнее задание.

(Слайд 19)

№754, 755, подготовить библиографическую справку о Магницком Л.Ф.; о его схеме решения задач на смеси, растворы.

Используемая литература:

1. Большой энциклопедический словарь. -2-е изд., перераб.и доп. – М.:Большая Российская энциклопедия, 1998. — 1456 с.: ил.
2. slovari. yandex.ru
3. urok.1sept.ru/articles/520040
4. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ [Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006. – 302 с. :ил.
5. Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). В 2-х кн. Кн. 1. Алгебра: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш.шк., 1994. — 528 с.: ил.

Работа на тему: «Решение задач на концентрацию, смеси
и сплавы».

        Задачи на
концентрацию, смеси, сплавы.

Задачи на
концентрацию традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников и
абитуриентов, кажутся многим из них довольно сложными. Обучение решению этих
задач начинается с 6 класса и продолжается на продолжении всей основной школы.
Однако, в 11 классе эти задачи у большинства вызывают затруднения. При
повторении можно начинать с решения самых простых задач, взятых из учебника
математики для 6 класса. В таких задачах речь обычно идет о растворах
некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого
вещества после  каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси, сплавы
играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без
изменения математического содержания. Ключевой при решении таких задач является
идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом.

В качестве модельной задачи рассмотрим следующую.

 Смешали х литров п- процентного  водного раствора некоторого вещества 
с у литрами  к- процентного водного раствора этого же вещества. Требуется найти
концентрацию получившейся смеси.

 Воспользуемся ключевой идеей: проследим за изменениями, происходящими
с чистым веществом. В первом растворе его было 0,01хп литров, во втором
растворе 0,01ук литров. Значит количество чистого вещества в полученной смеси
будет равно  0,01хп + 0,01ук литров, а всего смеси получится х + у  литров.
Теперь найти искомую концентрацию легко.

( 0,01хп + 0,01ук):
(х + у) ×100= (хп + ук):(х + у). Заметим, что растворы в этой задаче можно было
бы заменить двумя сплавами разной массы и с разным содержанием чистого
вещества. Решение при этом практически не изменится, поменяются лишь единицы
измерения и названия веществ.

Тема : Задачи на проценты и концентрацию.

Цель: формировать умение решать задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

1.Устная работа.

Найдите:

а) 50% от
80;         б) 10% от 300           в) 1% от 30     г) 20% от 25          д)25%
от 400

е) 5% от 200;         
ж) 50% от 17             з) 40% от 10   и) 70% от 30          к) 9% от 500.

2.Формирование
умений и навыков.

Задача. Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10%
соли, второй содержит 15 % соли и третий – 20% соли. Смешали 130 мл первого
раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора.

Определите, сколько
процентов составляет морская соль в полученном растворе

Решение:

1)                 
В 130 мл первого раствора содержится 130 × 0,1 = 13
(г) морской соли. В 200 мл второго раствора содержится 200 × 0,15 = 30 (г)
морской соли. В 170 мл третьего раствора содержится 170 × 0,2 = 34 (г) морской
соли.

2)                 
После того, как эти растворы смешали, получили 130
+ 200 + 170 = 500 (мл) нового раствора, который содержит 13 + 30 + 34 = 77 (г)
морской соли.

3)                 
Найдем, сколько процентов составляют 77 (г) морской
соли от 500 мл раствор

.

Задача. Сколько граммов воды надо добавить к 50
г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 % — ный раствор?

Заметим, что задачи на концентрацию вызывают наибольшие
затруднения у учащихся. Поэтому следует подробнее остановиться на решении
данной задачи, начав не с составления уравнения, а с вопросов, которые помогут
учащимся уяснить условие и осознанно подойти к её решению.

Вопросы учащимся:

1) Сколько граммов соли содержится в имеющемся растворе?

    (50×0,08 = 4 г).

2) Если к имеющемуся раствору добавить воды, изменится ли
массовая составляющая соли? (Нет.)

3) При добавлении воды изменится ли процентное содержание
соли в растворе? (Да.)

4) Если к имеющемуся раствору добавить х г воды,
какова станет масса всего раствора? (50 + х). Сколько граммов соли в нем
будет? (4г).

5) Каково процентное содержание соли в новом растворе?
(5%.)

6) Какую пропорцию, согласно полученным результатам, можно
составить?

4 г соли – 5%

(50 + х) г раствора – 100%.

Имеем уравнение:

5(50 + х) = 400, откуда х = 30.

Ответ: 30г.

Алгоритм.

Поскольку при добавлении к раствору какого-либо вещества
масса другого вещества не изменяется, а меняется его процентное содержание, то
сначала необходимо найти массу изменяющегося вещества.

Затем за х обозначить массу добавляемого вещества и
составить пропорцию, в которой масса неизмененного вещества будет составлять
новое количество процентов, а масса всего раствора 100%.

Задание учащимся.

Решите следующие две задачи по составленному выше
алгоритму.

Задача №1.

Сколько граммов воды надо добавить к 180
г  сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить 20%-ый сироп?

Решение.

Веществом, которое не меняет своей массы в новом растворе,
является сахар. Поэтому найдем его массу.

180×0,25 = 45 г.

После добавления воды 45
г сахара в новом растворе будут составлять 20 % от всей массы. Пусть х
г воды надо добавить, тогда масса нового раствора составляет (180 + х)
г.

Имеем пропорцию:

45 г сахара – 20%;

(180 + х) г сиропа – 100%.

Из пропорции составим уравнение:

20(180 + х)= 4500, откуда х = 45.

Ответ: 45г.

Задача №2.

Сколько граммов воды надо выпарить из 80
г 6%-ого раствора соли, чтобы получить 10%-й раствор?

Решение.

Масса соли в имеющемся растворе равна 80 × 0,06 = 4,8
г. В новом растворе соль будет составлять 10%.

Пусть х граммов воды нужно выпарить, тогда масса
нового раствора будет равна (80 — х) г.

 Составим пропорцию:

4,8 г соли – 10%;

(80 — х) г раствора – 100%.

Получаем уравнение:

10(80 – х) = 4,8×100, откуда х = 32.

Ответ: 32 г.

Задача №3.

Имеются два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля,
второй 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200
кг, содержащий 25 % никеля. Насколько кг масса первого сплава меньше массы
второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава х кг, а масса второго у
кг. Масса третьего сплава х + у и по условию задачи х + у = 200. Первый сплав
содержит 0,1х кг чистого вещества, а второй 0,3у кг. Третий сплав содержит 0,25×200=50
кг. Значит, 0,1х + 0,3у =50. Получили систему из двух линейных уравнений.
Решением системы является пара чисел х=50 и у=150. Итак, масса первого сплава
на 150 – 50 =100 кг меньше.

Ответ: 100.

Задача №4.

Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40 % меди. Масса
второго сплава больше массы первого на 3
кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите
массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса второго сплава
( х + 3 )кг. Масса третьего сплава х + х + 3 = 2х +3
кг. Масса чистого вещества в первом сплаве 0,1х кг, во втором – 0,4×( х+3),
значит всего чистого вещества 0,1х + 0,4(х+3). Так как третий сплав содержит
30% меди, т.е. 0,3( 2х +3), то имеем уравнение 0,3( 2х +3)= 0,1 + 0,4( х+3),
откуда х = 3. Масса третьего сплава  равна 2×3 +3 = 9
кг.

Ответ: 9.

Задача №5.

Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько
килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?

Решение.

Используем ключевую идею: будем следить за массой
«чистого», т.е. в данном случае «сухого» вещества в винограде и изюме. Виноград
содержит чистого вещества 100% — 91% = 9%, а изюм содержит чистого вещества
100% — 7% =  93%. Пусть для получения 21 килограмма изюма требуется х кг
винограда. Из условия следует, что масса «сухого» вещества в х кг
винограда равна 0,09х кг. Поскольку эта масса равна массе «сухого»вещества в 21
килограмме изюма, то по условию задачи можно составить уравнение

0,09х=0,93×21,

откуда

9х = 93×21,

т.е. х = 217
кг.

Ответ: 217 кг.

Задача для самостоятельного решения.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько
килограммов винограда требуется для получения 20 килограмма изюма?

Ответ:190кг.

Задача №6.

В сосуд, содержащий 5
литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7
литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

 В 5 литрах раствора содержится 0,12×5 = 0,6
л чистого вещества. Масса нового раствора 12
литров, а чистого вещества в нем по прежнему 0,6
л. Значит концентрация нового раствора равна 0,6 : 12×100% =5%.

Ответ: 5.

Задача №7.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора
некоторого вещества с таким же количеством 19- процентного раствора этого же
вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

  Пусть масса первого раствора х г, он содержит 0,15х г
чистого вещества. Масса второго раствора тоже х г, он содержит 0,19х г чистого
вещества. Масса нового раствора равна х + х = 2х г и он содержит 0,15х + 0,19х
= 0,34х г чистого вещества. Тогда концентрация нового раствора равна ( 0,34х) :
(2х)×100% = 17%.

Ответ: 17.

Задача  для самостоятельного решения.

Смешали 4 литра 15-процентного раствора некоторого вещества
с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько
процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 21.

Итоги урока.

Вопросы учащимся:

— Как найти процент от величины?

— Как найти величину по ее проценту?

— Как найти, сколько процентов одна величина составляет от
другой величины?

— Каков алгоритм решения задач на концентрацию, в которых к
имеющемуся раствору      добавляют одно из составляющих его веществ?

— По какому плану решаются задачи на смешивание нескольких
растворов?

ЛИТЕРАТУРА

1.Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику
Г.В.Дорофеева, С.Б.Суворовой, И.Ф.Шарыгина. Часть 1/авт.-сост. Т.Ю.Дюмина. –
Волгоград: Учитель,2007.

2.Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику под
редакцией Г.В.Дорофеева / авт.-сост. М.Ф. Калинина. – Волгоград: Учитель,2008.

3.Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под
редакцией Г. .В. Дорофеева / авт. – сост. Т. Ю. Дюмина. – Волгоград:
Учитель,2008.

4.Шестаков С.А., Гущин Д.Д. ЕГЭ 2011. Математика. Задача
В12. Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л.Семенова и
И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.

Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.

Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Покажем правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.

. В сосуд, содержащий  литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили  литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

.

---

. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.

Получаем:

Ответ: .

. Виноград содержит  влаги, а изюм — . Сколько килограммов винограда требуется для получения  килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось  воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме  воды и  «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось  кг изюма. Тогда

 от  от 

Составим уравнение:

и найдем .

Ответ: .

---

. Имеется два сплава. Первый сплав содержит  никеля, второй —  никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой  кг, содержащий  никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что .

Ответ: .

---

. Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив  кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо  кг воды добавили  кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Ответ: .

Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и  смеси

Выступление

на городском МО учителей математики

учителя математики

 МКОУ СОШ № 10

Х. Перевальный

Асановой Аминат Аргуновны

                                  Ноябрь 2013 г.

Тема:   «Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и  смеси»

Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем эти задачи встречаются в  диагностических и тренировочных работах СТАТГРАД  МИОО и  на ЕГЭ.  Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» не зависимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

Формула для нахождения концентрации

              СА=  · 100, где

А  – вещество в сплаве

          М  – масса сплава

МА  – масса вещества А в сплаве

СА – концентрация вещества А в сплаве (в %)

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы.

Задача №1

В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганат калия). В нее долили 60г 30 %-го раствора марганцовки. Определить процентное содержание марганцовки  в полученном растворе.

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	СА	М	МА
1-й раствор	10% или 0,1	140	0,1·140
2-й раствор	30% или 0,3	60	0,3·60
3-й раствор		200	0,1·140 +0,3·60

Концентрация раствора равна :  СА=  ·100 = 16 (%)

Ответ: 16%

Задача №2

I способ

Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора марганцовки, чтобы получить 200г  16%-го раствора марганцовки?

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	СА	М	МА
1-й раствор	10% или 0,1	х	0,1х
2-й раствор	30% или 0,3	у	0,3у
3-й раствор	16% или 0,16	200	0,16· 200

Составим и решим систему уравнений:

   

Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

Намного проще, на мой взгляд, решить задачу по правилу «прямоугольника» или «креста», применяемому  химиками:

Смешали два раствора: первый — массой m1 г и концентрацией с1 и второй – массой m2г и концентрацией с2, получили раствор  массой (m1 + m2)г и концентрацией с3, причем с1< с3< с2.

Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.

Масса основного вещества в первом растворе равна с1 m1 г, во втором растворе —  с2 m2, а в смеси с3(m1 + m2)г.

Составим равенство с1 m1 + с2 m2= с3(m1 + m2), откуда следует пропорция

  =  

II способ

х

200- х 

х= 140(г)- 10% р-р

200 -140 = 60(г) 30% р-р

Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

1ч

1ч

Пусть концентрация раствора равна х%.

 = 1; х= 17

Ответ: 17%.

Задача №3  (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Какова концентрация  кислоты  в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора кислоты – с1,а концентрация второго – с2 .

	СА	М	МА
1-й раствор	с1	30	30с1
2-й раствор	с2	20	20с2
3-й раствор	0,68	50	50· 0,68= 34
4-й раствор	70% или 0,7	mс1+mс2	2m·0,7

Решим полученную систему уравнений:

Поэтому  m1= 0,6·30=18

Ответ: 18%

Задача №4 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Пусть масса первого сплава  х кг, а масса второго –  (х+3)кг

х кг

(х+3)

 = ; х= 3(кг)- масса первого сплава

3+(3+3)= 9(кг) масса второго сплава

 Ответ: 9кг.

Задача №5 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение аналогично решению задачи № 4

х кг

(200-х)

 = ;   х= 50(кг)- масса первого сплава

200- 50= 150(кг)- масса второго сплава

150-50 = 100(кг)

Ответ: 100кг.

Задача №6  (Тренировочная работа № 1 от 22 ноября 2012г)

Смешав 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса 14-процентного раствора кислоты –  х кг, а масса 50-процентного – у кг . Если смешать 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавить  кг чистой воды, получится 22-процентный раствор кислоты:0,14х+0,5у= 0,22(х + у +10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32% раствор кислоты:0,14х+0,5у+0,5·10=0,32(х +у+10) . Решим полученную

систему уравнений:

Ответ: 25кг.

Задача №6  (Диагностическая работа №3 от 13 марта 2013г)

 Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг, а второй- 20кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78 % кислоты.  Каково процентное содержание кислоты в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.

1)

100 кг

20 кг

         =5;

2)

1ч

1ч

         =1;

3) решим систему уравнений

     

Ответ: 69%.

Задача №7

Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510г. определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19.3 г/см3,а серебра 10,5 г/см3.

Решение.

По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, то есть 13.41- 12,51= 0,9(кг).

Плотность воды равна 1г/см3, поэтому объем сплава равен 900 см3, а его плотность равна

 = 14.9 (г/см3).

Составим схему, где в левой колонке и в центре стоят массы 1см3 серебра, золота и сплава:

Рассматривая правую колонку, видим, что золота и серебра в сплаве одинаковое число частей. Значит, массы золота и серебра в сплаве равны.

13, 41 :2 = 6, 705 (кг)

Ответ: по 6.705 кг

Задача №8

Концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию. Если смещать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в отношении3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля спирта в каждом растворе?

Решение:

Пусть первый раствор содержит х%, второй –у%, а третий z% спирта. При первом перемешивании смешали 2ч первого раствора, 3ч второго раствора и 4ч третьего и получили раствор, содержащий 32% спирта. Получим  первое уравнение: 0,02х + 0,03у +0,04z =0,32·9,

2х +3у+ 4z =  288.

При повторном перемешивании смешали 3ч первого раствора, 2 ч второго и 1ч третьего и получили раствор, содержащий 22% спирта. Получим второе уравнение: 0,03х + 0,02у+ 0,01 z = 0,22·6,

3х+ 2у+ z =132.

Учитывая, что концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию: х, у, z, получим третье уравнение: у2= хz.

Составим и решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений выразим у и z через х.

у = 48- 2х, z = х+36, подставляя в третье уравнение получим:

(48-2х)2 = х(х+ 36)

482 – 192х +4х2 =х2 + 36х

3х2— 228х+ 2304= 0

х2— 76х+ 768= 0

х1=12

х2= 64 не является решением так как если х= 64, у<0.

Ответ: в первом 12%, во втором 24%, в третьем 48%.

Задачи на переливание

При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся, что выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что плотности растворов изменяются незначительно и примерно равны плотности воды, то есть растворы сильно разбавлены, или наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность раствора близка к плотности основного вещества.

Задача № 9

В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй- 1л молока.  Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Решение.

1. В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило

 = , а кофе – 1-  = .

1. Во второй кастрюле осталось0,87л молока и добавили 0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 ·  = .

Ответ: одинаково.

Задача №9

Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью, причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне остается 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый раз?

Решение.

Предположим, что в первый раз выпустили х литров смеси и дополнили баллон х литрами азота. После первого выпуска смеси  в баллоне осталось  (8-х) · 0,16 л кислорода, а его концентрация стала равна  = (8 – х)· 0,02. После  второго выпуска х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода, равной (8 – х)· 0,02. Концентрация кислорода на этом этапе равна  = 0,09, откуда (8 – х)2 = 36, то есть х1 = 2, х2 = 14.

х2 не удовлетворяет условию задачи, так как х< 8.

Ответ: 2 л.