Цель
работы:
освоить
ареометрические, пикнометрические и
рефрактометрические методы определения
концентрации сухих веществ растворах.
Изучить устройство сахаромера и
рефрактометра. По полученным результатам
дать оценку методам определения сухих
веществ в растворах.
Теоретические сведения
Определение
концентрации сухих веществ в сырье,
полупродуктах и готовой продукции
бродильных производств имеет большое
практическое значение. По этому показателю
судят о качестве сырья и полноте его
использования в ходе технологического
процесса. Определение сухих веществ
выполняется быстро, поэтому является
удобным методом контроля производства.
Под
концентрацией сухих веществ понимают
количественное содержание этих веществ
в испытуемом материале. В условиях
производства количество растворенных
сухих веществ выражают в массовых (г на
100 г раствора) или массово-объемных (г
на 100 см3
раствора) процентах. Различают истинные
и видимые сухие вещества.
Истинные
сухие вещества наиболее точно определяют
высушиванием продукта до постоянной
массы. Ввиду длительности и трудности
определения истинных сухих веществ, в
бродильной промышленности повсеместное
распространение нашли методы
приблизительного определения растворенных
сухих веществ. Из них наиболее часто
употребляются методы, основанные на
определении плотности или показателя
преломления анализируемого продукта.
Например, по плотности водного раствора
сахарозы находят процентное содержание
сахарозы в этом растворе.
Если
же в растворе, кроме сахарозы, имеются
какие-нибудь несахара, они будут повышать
плотность раствора. В этом случае
полученное количество сахарозы будет
завышенным по сравнению с действительным
ее содержанием в растворе. Так как
несахара и сахароза влияют на плотность
раствора по-разному, то по найденной
плотности нечистого сахарного раствора
находят не истинный процент сухих
веществ в растворе (сумму сахарозы и
несахаров), а величину, близкую к нему
– содержание видимых сухих веществ.
Обычно видимое содержание сухих веществ
бывает больше истинного. Чем чище
раствор, тем меньше разница между
истинными и видимыми сухими веществами.
Для растворов химически чистой сахарозы
эта разница исчезает.
Методы, основанные на определении плотности раствора
Плотностью
вещества (объемной массой) называется
отношение массы m
данного
вещества к его объему V.
Плотность
вещества обозначается символом ρ
и измеряется в кг/м3:
p
= m
/ V.
Плотность
– величина постоянная, характеризующая
данное вещество. Для удобства работы
определяют не абсолютную, а относительную
плотность вещества, представляющую
собой отношение плотности исследуемого
вещества к плотности стандартного
вещества. В качестве стандартного
вещества для жидких продуктов принимают
воду при температуре 20 оС
и давлении 1,03 ∙ 105
Па. Относительная плотность вещества
является безразмерной величиной. Для
нахождения относительной плотности
исследуемой жидкости достаточно
определить массы исследуемого вещества
и воды, находящиеся в одном и том же
объеме, и полученные значения разделить.
Относительная
плотность вещества изменяется в
зависимости от температуры исследуемого
и стандартного веществ, поэтому ее
всегда обозначают с соответствующими
индексами.
Если
вещество тяжелее воды (например,
сахароза), плотность его водного раствора
увеличивается с увеличением концентрации
растворенного вещества, и наоборот,
плотность раствора спирта уменьшается
с увеличением концентрации спирта.
Таким образом, по плотности раствора
можно судить о концентрации вещества
в нем. На основании экспериментальных
работ и эмпирических расчетов составлены
таблицы, в которых приведены концентрации
растворов различных веществ в зависимости
от плотностей этих растворов.
Плотность
определяют, пользуясь специальными
приборами: пикнометрами, гидростатическими
весами или ареометрами-денсиметрами.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Большинство реактивов продаётся в сухом виде: это или порошок, или мелкие гранулы. Однако используются реактивы чаще всего в виде растворов. Поэтому один из самых частых вопросов от наших покупателей – как из сухого вещества сделать раствор нужной концентрации.
Напоминаем, что все работы с химическими веществами следует проводить с соблюдением необходимых мер безопасности! Используйте средства индивидуальной защиты органов дыхания, глаз и кожных покровов!
В зависимости от способа и методики приготовления растворы можно разделить на приблизительные и точные. Вторые можно приготовить только в лабораторных условиях с использованием дорогостоящего оборудования и посуды.
С другой стороны, “точности” приблизительных растворов вполне достаточно для проведения домашних опытов, удаления ржавчины или загрязнения, очистки или обеззараживания воды в аквариуме или в бассейне, для таких хобби, как химическая металлизация, печать фотографий, выращивание кристаллов, изготовления мыла и свечей и многих других целей.
Растворение химических веществ может производится в разных средах – воде, спирте, кислотах и т.д. В этой статье мы будем говорить только о растворении в воде.
Что такое концентрация раствора?
Концентрацию раствора выражают в процентах, например 10% раствор или 0,5% раствор. Эта цифра показывает, сколько частей вещества приходится на 100 частей раствора.
Так, в 100 граммах 10%-го раствора поваренной соли находится 10 грамм соли и 90 грамм воды. А в 500 граммах 30%-го раствора гидроксида натрия содержится 150 грамм NaOH и 350 грамм воды. Один килограмм 0,2%-го раствора нитрата серебра состоит из 2 грамм нитрата серебра и 998 грамм воды.
Отметим, что существует разница между массовой концентрацией и объемной концентрацией растворов, и эта разница тем больше, чем больше концентрация растворенного вещества и плотность раствора.
Например, чтобы приготовить 1 килограмм 15%-го раствора NaCl нужно смешать 150 грамм соли и 850 грамм воды. Для приготовления же 1 литра 15%-го раствора NaCl понадобится уже 166,2 грамм NaCl и 941,8 грамм воды (при растворении соли в воде объём раствора несколько увеличится), и плотность увеличится с 1,000 (на самом деле 0,998) до 1,108.
Объясняется такая разница тем, что плотность солевого раствора выше, чем плотность чистой воды.
В этой статье, для упрощения, речь всегда будет идти о массовой концентрации раствора, то есть вес раствора будем измерять в граммах, а не в миллилитрах.
Приготовление водного раствора из сухого безводного реактива
Прежде всего, определитесь – какой вес раствора вам понадобится. Если раствор этого вещества нестабилен или он вам нужен для какой-то разовой работы – готовьте столько раствора, сколько нужно сейчас. Если же раствор хорошо хранится и используется время от времени, можно приготовить его с запасом.
Теперь рассчитаем количество вещества, которое нужно взять для приготовления определенной массы раствора определённой концентрации:
Масса вещества в граммах = (концентрация раствора в процентах) * (масса раствора в граммах/100)
Соответственно, масса воды вычисляется как разница между общей массой раствора и массой сухого вещества.
Пример 1: приготовим 5%-й раствор гидроксида натрия (NaOH) массой 500 грамм.
Масса NaOH = (5) * (500 гр/100) = 25 грамм.
Масса воды = 475 грамм.
Пример 2: приготовим 37%-й раствор аммония фосфорнокислого (NH4H2PO4) массой 750 грамм.
Масса (NH4H2PO4) = (37) * (750 гр/100) = 277,5 грмм.
Масса воды = 472,5 грамм.
Остаётся растворить навеску сухого реактива в рассчитанном объёме воды.
Приготовление раствора из водных солей (кристаллогидратов)
Откуда взялась вода в сухом реактиве и что такое “водность” вещества – можно прочитать здесь…
Если вам нужно приготовить раствор из вещества, содержащего кристаллизационную воду (например, медный купорос CuSO4*5H2O, хромокалиевые квасцы KCr(SO4)2*12H2O и тому подобные вещества), то методика расчетов меняется, чтобы учесть уже имеющуюся в веществе воду.
Опять же, начинаем с определения массы раствора, который мы хотим приготовить. Затем вычисляем, сколько вещества должно содержаться в растворе такой массы нужной нам концентрации – формула та же, что и при использовании безводных реактивов.
Масса вещества в граммах = (концентрация раствора в процентах) * (масса раствора в граммах/100)
Далее, пересчитываем массу вещества на кристаллогидрат. Для этого в справочниках (Яндекс или Google – наше всё) находим молярные массы безводной формы этого вещества и кристаллогидрата и вычисляем соотношение – сколько вещества в безводной форме содержится в кристаллогидрате. Так, если молярная масса кристаллогидрата 150 грамм/моль, а безводная форма этого вещества имеет молярную массу 70 грамм/моль, это значит, что в 150 грамм кристаллогидрата содержатся 70 грамм безводной формы вещества.
Определив, какое количество кристаллогидрата вещества нам нужно растворить, вычисляем необходимую массу воды.
Пример 1. Приготовим 500 грамм 15%-го раствора карбоната натрия 10-водного Na2CO3∙ 10H2O
Определяем массу карбоната натрия в 500 граммах 15%-го раствора:
Na2CO3 = (15) * (500 гр/100) = 75 грамм
Делаем пересчет массы на кристаллогидрат. Молярная масса Na2CO3 = 106 грамм/моль, молярная масса Na2CO3∙ 10H2O = 286 грамм/моль. Таким образом, 286 грамм карбоната натрия 10-водного содержат 106 грамм карбоната натрия безводного.
Нам нужно, чтобы в растворе оказалось 75 грамм карбоната натрия безводного. Составляем пропорцию и получаем, что нужно взять 202 грамма карбоната натрия 10-водного.
Последний шаг – посчитать нужное количество воды. 500 грамм минус 202 грамма = 298 грамм воды.
Пример 2. Приготовим 1000 грамм 3%-го раствора сульфата магния 7-водного MgSO4∙ 7H2O
Определяем массу сульфата магния в 1000 граммах 3%-го раствора:
MgSO4 = (3) * (1000 гр/100) = 30 грамм
Делаем пересчет массы на кристаллогидрат. Молярная масса (MgSO4) = 120 грамм/моль, молярная масса (MgSO4∙ 7H2O) = 246 грамм/моль.
Вычисляем, что для того, чтобы получить в растворе 30 грамм сульфата магния нужно взять 62 грамма сульфата магния 7-водного.
Смешиваем 938 грамм воды и 62 грамма сульфата магния 7-водного, получаем нужный результат.
Задачи на растворы, смеси и сплавы.
1.
Справочный
материал.
Концентрацией
вещества
называют число, показывающее, какую часть массы раствора составляет
растворенное вещество.
Концентрация
может быть выражена в долях (от 0 до 1) или в процентах (от 0 до 100%).
Чтобы
определить концентрацию раствора, нужно знать массу вещества и массу
·
100 мг — это 0,1 г; 1 мл
водного раствора — это 1 г.
·
Чтобы
получить концентрацию в процентах, нужно рассчитать,
сколько граммов сухого вещества содержится в 100 г раствора.
·
Концентрация
раствора – это число, которое показывает сколько граммов (мл) сухого вещества
содержится в 100 мл раствора.
·
Процентная
концентрация (с) – отношение массы растворенного вещества (mв-ва) к массе раствора (m р-ра) и
умноженное на 100.
C= 
∙100%
·
Масса
раствора = масса вещества + масса воды; m р-ра = mв-ва+ mводы
·
Масса
вещества= концентрация раствора х масса раствора; mв-ва = с∙ m р-ра
·
При
смешивании двух и более растворов складываются массы раствора
(mсмеси=m1р-ра+m2р-ра) и массы вещества (m в-ва смеси=m в-ва 1р-ра+m в-ва 2р-ра);
2.
Примеры решения
задач на смеси, сплавы и растворы
1) В каком количестве 5%-го раствора содержится 60 г
сухого вещества?
Пусть в х мл 5% раствора содержится 60г сухого
вещества. Составим таблицу.
|
1 способ |
2 способ |
|
100 мл (5%) – 5г х мл (5%) – 60г х= |
5% —
х = |
Ответ: 1200 мл.
2) Дан 3% раствор лекарственного вещества. Какое
количество лекарственного вещества содержится в 1 столовой ложке?
|
Краткая запись |
Решение: |
|
Р-р – 3% 1 ст.л. — 15 мл mв-ва —? |
3 г – 100 мл х г – 15 мл х = |
Ответ: 0,45 г
3) В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора
некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Составим таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (л) |
Масса вещества (л) |
|
|
1 раствор |
12% — |
5 |
|
|
2 раствор |
0% — |
7 |
0∙7=0 |
|
Смесь: 1р+2р |
х% — |
|
0,01х∙12 = 0,6+0 |
Получим уравнение:
0,01х∙ 12 = 0,6
х= 5
Ответ: 5 %
4) Смешали 4 литра 15% водного раствора с 6 литрами
25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Составим таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (л) |
Масса вещества (л) |
|
|
1 раствор |
15% — |
4 |
|
|
2 раствор |
25% — |
6 |
0,25∙6=1,5 |
|
Смесь:1р+2р |
|
4+6=10 |
0,01х∙10 = 0,6+1,5 |
Получим уравнение:
0,01х∙ 10 = 2,1
х= 21
Ответ: 21 %
д)
При смешивании 30% раствора серной кислоты с 10% раствором серной кислоты
получилось 400г 15% раствора. Сколько граммов 30% раствора было взято?
Составим
таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (г) |
Масса вещества (г) |
|
|
1 раствор |
30% — |
|
|
|
2 раствор |
10% — |
у |
0,1∙у |
|
Смесь:1р+2р |
15% — |
|
0,15∙400 = 0,3х+0,1у |
Получим систему уравнений:
х + у = 400
0,3х + 0,1у = 60
Ответ: 100 г
5)
Смешали 300г 90% раствора соли и 900 г 30% раствора той же соли. Определите
содержание соли в полученном растворе.
Составим
таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (г) |
Масса вещества (г) |
|
|
1 раствор |
90% — |
300 |
|
|
2 раствор |
30% — |
900 |
0,3∙900=270 |
|
Смесь:1р+2р |
|
300+900=1200 |
0,01х∙1200=270+270 |
Получим уравнение:
0,01х∙ 1200 =540
х= 45
Ответ: 45 %
6)
Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара,
чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Составим
таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (г) |
Масса вещества (г) |
|
|
1 раствор (сироп) |
25% — |
180 |
0,25∙180=45 |
|
2 раствор (вода) |
0% — |
х —? |
|
|
Смесь:1р+2р |
|
180+х |
0,2∙(180+х)=45+0 |
Получим уравнение:
0,2∙(180+х) = 45
х=45
Ответ:45
7) Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой
воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг
90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько
килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?
Составим
таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (кг) |
Масса вещества (кг) |
||
|
1 раствор |
60% — |
х —? |
0,6∙х |
|
|
2 раствор |
30% — |
у |
|
|
|
1 случай |
вода |
0%-0 |
5 |
0∙5=0 |
|
Смесь: 1р+2р+вода |
|
х+у+5 |
0,2 (х+у+5)= |
|
|
2 случай |
3 раствор |
90%- |
5 |
|
|
Смесь: 1р+2р+3р |
|
х+у+5 |
0,7 (х+у+5) =0,6х+0,3у+4,5 |
Получим систему уравнений
0,6х+0,3у =0,2 (х+у+5)
0,6х+0,3у +4,5 = 0,7 (х+у+5)
х=2
у=2
Ответ:
2 кг
Имеется два сплава с разным содержанием меди: в
первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять
первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?
Составим таблицу.
|
Концентрация (%) |
Масса раствора (г) |
Масса вещества (г) |
|
|
1 сплав |
60% — |
х |
|
|
2 сплав |
45% — |
у |
0,45у |
|
Смесь:1с+2с |
55% — |
|
0,55(х+у)=0,6х+0,45у |
Получим уравнение:
0,6х + 0,45у = 0,55∙ (х+у)
х=2у
= 
Ответ:
Концентрация (процентное содержание) вещества
Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ.
Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов pA , выраженное формулой
 |
(1) |
где MA – масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M – масса всей смеси (сплава, раствора).
Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы (1) для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества A в растворе используется формула
 |
(2) |
где VA , – объём вещества А в растворе, а V – объем всего раствора.
Определение 2. Формулу (1) называют формулой для массовой концентрации вещества A в смеси (сплаве, растворе), а формулу (2) – формулой для объёмной концентрации вещества A в растворе.
При решении задач считается, что при слиянии нескольких растворов (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов соответственно.
Приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей (сплавов, растворов), а также при решении задач на объёмные концентрации растворов, являются общими, что мы и увидим при решении следующих типовых задач
Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы
Задача 1. Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти концентрацию полученного раствора кислоты в воде.
Решение. В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится
4,8 + 7,2 = 12
литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем
16 + 9 = 25
литров, то концентрация кислоты в этом растворе равна
Ответ. 48% .
Задача 2. Имеется 27 килограммов смеси цемента с песком с 40% содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы процентное содержание цемента в ней стало 30% ?
Решение. Обозначим буквой x количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в 27 килограммах смеси с 40% содержанием цемента содержится
килограммов цемента, а после добавления x килограммов песка масса смеси станет равной
27 + x
килограммов, то после добавления песка процентное содержание цемента в получившейся смеси будет составлять
По условию задачи
Следовательно,
Ответ. 9 килограммов.
Задача 3. Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?
Решение. Обозначив буквой x массу 8% раствора соли, а буквой y – массу 13% раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.
| x мл | |
| + | y мл |
| + | 200 мл |
| = | (x + y + 200) мл |
Рис. 1
На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 200 миллилитров 9% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 200) миллилитров.
| x мл | |
| + | y мл |
| + | 300 мл |
| = | (x + y + 300) мл |
Рис.2
На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 300 миллилитров 17% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 300) миллилитров.
Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
Ответ. Смешали 70 мл 8% раствора и 55 мл 13% раствора.
Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти процентное содержание меди в первом и во втором сплавах.
Решение. Обозначим x % и y % — процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.
| 1 кг | 2 кг | |||
| Медь x % |
Цинк | + | Медь y % |
Цинк |
Рис. 3
На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из 1 килограмма первого сплава и 2 килограммов второго сплава. Масса этого сплава – 3 килограмма.
| 4 кг | 1 кг | |||
| Медь x % |
Цинк | + | Медь y % |
Цинк |
Рис.4
На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из 4 килограммов первого сплава и 1 килограмма второго сплава. Масса этого сплава – 5 килограммов.
Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :
Далее получаем
Ответ. В первом сплаве содержание меди 30% , во втором сплаве содержание меди 60% .
Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».
Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».
С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».
С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
Для того, чтобы решать задачи на растворы и концентрацию, необходимо чётко понимать, что
называется концентрацией раствора.
Запомните!
Концентрация раствора — это часть, которую составляет масса растворённого вещества от
массы всего раствора.
- 9%-я концентрация раствора соли — это 9 грамм соли в
100 граммах раствора.
Разбор примера
Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора?
(Масса 1 л воды составляет 1 кг)
Используя определение концентрации данное выше, решим задачу следующим образом.
- 1 кг — масса растворённого вещества (соли)
- 9 кг — масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора)
- 9 + 1 = 10 кг — общая масса раствора.
Ответ: 10% — концентрация раствора.
Разбор примера
Теперь решим обратную задачу.
Сколько соли получится при выпаривании 375 граммов 12%-го раствора?
Чтобы найти массу выпаренной соли из раствора, умножим общую массу раствора на процент концентрации.
Не забудем предварительно перевести процент в десятичную дробь.
Ответ: 45 г соли.
Сложная задача на растворы
В растворе 40% соли. Если добавить 120 г соли,
то процентное содержание соли станет равным 70.
Сколько грамм соли было первоначально в растворе?
Для составления пропорции обозначим за «x» первоначальную массу соли в растворе, а
за «y» массу
воды в растворе. Так как концентрация соли в исходном растворе 40%, то соответственно вода составляет
100% − 40%= 60%
Изобразим графически условия задачи.
Составим пропорцию, связывающую эти величины до добавления соли.
Для решения задачи нам надо определить какая из неизвестных («x» или «y») остаётся неизменной
после добавления соли.
Этой величиной является масса воды в растворе «y».
Выразим её, учитывая изменения в растворе после добавления соли.
- (x + 120) г — масса соли в новом растворе
- (100% − 70% = 30% — процентное содержание воды в новом растворе.
Составим пропорцию аналогично предыдущей, но с учётом изменений произошедших
после добавления соли.
Так как масса воды осталось неизменной после добавления соли, приравняем её значения до и
после добавления соли и решим уравнение.
Ответ: 48 г — масса соли в первоначальном растворе.
Пример 1.
Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и
16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится в первом растворе?
57%=0,57
60%=0,6
|
1 случай |
2 случай |
||||||
|
M, кг |
С |
m, кг |
M, кг |
С |
m, кг |
||
|
1 раствор |
4 |
х |
4х |
1 раствор |
1 |
х |
1∙х |
|
2 раствор |
16 |
у |
16у |
2 раствор |
1 |
у |
1∙у |
|
смесь растворов |
20 |
0,57 |
4х+16у 20∙0,57 |
смесь растворов |
2 |
0,6 |
2∙0,6 |
Имеем систему уравнений
Вернемся к системе: 
12у = 6,6
у = 0,55
4х = 4∙0,65=2,6
Ответ: в 1 растворе 2,6 кг кислоты
Пример 2.
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и
16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится в первом растворе?
55%=0,55
61%=0,61
Пусть х – концентрация вещества в 1 растворе;
у – концентрация вещества во 2 растворе
|
1 случай |
2 случай |
||||||
|
M, кг |
С |
m, кг |
M, кг |
С |
m, кг |
||
|
1 раствор |
10 |
х |
10х |
1 раствор |
1 |
х |
х |
|
2 раствор |
16 |
у |
16у |
2 раствор |
1 |
у |
у |
|
смесь растворов |
10+16=26 |
0,55 |
10х+16у 0,55∙26=14,3 |
смесь растворов |
2 |
0,61 |
х+у 2∙0,61=1,22 |
Имеем систему уравнений:
Вернемся к системе: 
6у = 2,1
у = 0,35
масса кислоты в 1 растворе 10х=10∙0,87=8,7 (кг)
Ответ: 8,7 кг.
Пример 3. (решу огэ № 341508)
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные
— 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных
фруктов?
88% воды в свежих фруктах, тогда 100%-88%=12%=0,12
масса сухого вещества
30% воды в высушенных фруктах, тогда 100%-30%=70%=0,7
масса сухого вещества
|
M, кг |
С |
m, кг |
|
|
Свежие фрукты |
х |
0,12 |
50,4 |
|
Сухие фрукты |
72 |
0,7 |
72∙0,7=50,4 |
Найти х – найти число по его проценту
х = 50,4:0,12=5040:12=420 (кг)
Ответ: 420
Пример 5. (решу огэ №314442)
Имеется два сплава с разным содержанием
меди: в первом содержится 70%, а во втором — 40% меди. В каком отношении
надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий
50% меди?
70%=0,7
40%=0,4
50%=0,5
Пусть х – масса 1 сплава; у – масса 2 сплава
|
M, кг |
С |
m, кг |
|
|
1 сплав |
х |
0,7 |
0,7х |
|
2 сплав |
у |
0,4 |
0,4у |
|
сплав 1 и 2 |
х+у |
0,5 |
0,5(х+у) |
Получаем уравнение:
0,7х+0,4у=0,5(х+у)
0,7х+0,4у=0,5х+0,5у
0,7х-0,5х=0,5у-0,4у
0,2х=0,1у
2х=у
Ответ: 1:2
Пример 6. (решу огэ №316383)
Первый сплав содержит 5% меди, второй — 11%
меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов
получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего
сплава.
5%=0,05
11%=0,11
10%=0,1
Пусть х кг – масса первого сплава, тогда
|
M, кг |
С |
m, кг |
|
|
1 сплав |
х |
0,05 |
0,05х |
|
2 сплав |
х+4 |
0,11 |
0,11(х+4) |
|
сплав 1 и 2 |
х+х+4=2х+4 |
0,1 |
0,1(2х+4) |
Получаем уравнение:
0,05х+0,11(х+4)= 0,1(2х+4)
0,05х+0,11х+0,44=0,2х+0,4
0,05х+0,11х-0,2х=0,4-0,44
-0,04х=-0,04
х=1
Масса третьего сплава 2х+4=2∙1+4=6 (кг)
Ответ: 6
Пример 7. (решу огэ №338786)
Смешали некоторое количество 10-процентного
раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора
этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося
раствора?
10%=0,1
12%=0,12
Пусть х – масса раствора, тогда
|
M, кг |
С |
m, кг |
|
|
1 раствор |
х |
0,1 |
0,1х |
|
2 раствор |
х |
0,12 |
0,12х |
|
3 раствор |
2х |
С |
0,1х+0,12х=0,22х |
Ответ: 11%
Задания для самостоятельного решения:
1. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%,
а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы,
чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?
2. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13%
меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов
получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
3.Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и
30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится во втором растворе?
4. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и
20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится в первом растворе?
5. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и
8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится во втором растворе?
6. Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и
26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится в первом растворе?
7. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и
20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится во втором растворе?
8. Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и
18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится в первом растворе?
9. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и
42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится во втором растворе?
10. Имеются два сосуда, содержащие 48 кг
и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то
получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится во втором растворе?
11. Смешали некоторое количество
21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством
95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
12. При смешивании первого раствора кислоты,
концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация
которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были
взяты первый и второй растворы?
13. Смешали некоторое количество
10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством
12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
14. Свежие фрукты содержат 80% воды, а
высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
15. Свежие фрукты содержат 86 % воды, а
высушенные — 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг
высушенных фруктов?
Задачи на концентрацию
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Евсюкова Д.С. 1
1МБОУ «СОШ № 2 ст. Архонская»
Уймина Т.А. 1
1МБОУ «СОШ № 2 ст. Архонская»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение
Задачи на концентрацию являются основными задачами в школьном курсе химии, но различные способы решения таких задач можно рассматривать на уроках математики ещё с шестого класса, используя арифметический способ и понятие процента и десятичной дроби. Затем продолжить в седьмом классе изучив понятие пропорции, а так же умение решать задачи алгебраическим способом, то есть уравнением. И, наконец, в восьмом классе рассмотреть возможность решения таких задач с помощью систем уравнений.
При подготовке ГИА необходимо вспомнить и систематизировать типы и способы решения таких задач.
Арифметический способ
При изучении темы «Проценты» в 6 классе решение задач на концентрацию считаются задачами повышенной сложности и могут быть предложены особо подготовленным учащимся.
Задача 1. Имеется 735 г шестнадцатипроцентного раствора йода в спирте. Нужно получить десятипроцентный раствор йода. Сколько граммов спирта нужно долить для этого к уже имеющемуся раствору?
Решение:
1) Найдем, сколько чистого йода содержится в растворе.
735 · 0,16 = 117,6 (г).
2) В новом растворе йода останется такое же количество, но он будет составлять уже 10 % раствора.
Если 117,6 г – это 10 %, то весь раствор имеет массу 117,6 · 10 = 1176 (г).
3) Найдем, сколько спирта нужно долить для получения нового раствора.
1176 – 735 = 441 (г).
О т в е т: 441 г.
Алгоритм:
Найти массу чистого вещества в растворе. Эта масса будет сохраняться в новом растворе.
Найти массу нового раствора в соответствии с процентным содержанием в нем вещества.
Найти разность масс нового и старого растворов. [3]
Решение с помощью пропорции
Познакомившись с понятием пропорции в 7 классе, подобные задачи можно решать используя это понятие.
Задача 2. К 200 г 30 %-ного раствора соли долили 50 г воды. Какова концентрация полученного раствора?
Р е ш е н и е.
Составим соответствующую пропорцию, приняв за х массу соли в растворе:
200 г – 100 %
х г – 30 % , тогда х = = 60 г соли.
Масса нового раствора 200 + 50 = 250 г, но масса соли в нём не изменилась, т. е. получим
250 г – 100 %
60 г – х % , тогда х = = 24 % концентрация полученного раствора.
О т в е т: получили 24 %-ный раствор.
Задача 3. Смешали 12 л 15 %-ного раствора соляной кислоты и 10 л 10 %-ного раствора. Каково процентное содержание кислоты в полученном растворе? Ответ округлить до 0,1 %.
Р е ш е н и е
С помощью пропорций найдём массу кислоты в каждом растворе:
12 л – 100 %
х л – 15 %, х = = 1,8 л кислоты в первом растворе и
10 л – 100 %
х л – 10 %, х = = 1 л кислоты во втором растворе, всего 2,8 литра.
Так как масса кислоты не меняется, а общая масса растворов 12 + 10 = 22 л, то получим
22 л – 100 %
2,8л – х %, х = ≈ 12,7 %.
О т в е т: 12,7 % кислоты.[4]
Алгебраический способ
Задача 4. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 %-ный раствор?
Начнём решение этой задачи не с составления уравнения, а с вопросов, которые помогут уяснить условие и осознанно подойти к ее решению, используем так же при этом понятие пропорции.
Вопросы:
1) Сколько граммов соли содержится в имеющемся растворе?
(50 · 0,08 = 4 г.)
2) Если к имеющемуся раствору добавить воды, изменится ли массовая составляющая соли? (Нет.)
3) При добавлении воды изменится ли процентное содержание соли в растворе? (Да.)
4) Если к имеющемуся раствору добавить х г воды, какова станет масса всего раствора? (50 + х). Сколько граммов соли в нем будет? (4 г.)
5) Каково процентное содержание соли в новом растворе? (5 %.)
6) Какую пропорцию, согласно полученным результатам, можно составить?
4 г соли – 5 %
(50 + х) г раствора – 100 %.
Имеем уравнение:
5 (50 + х) = 400, откуда х = 30.
О т в е т: 30 г.
Алгоритм.
Поскольку при добавлении к раствору какого-либо вещества масса другого вещества не изменяется, а меняется его процентное содержание, то сначала необходимо найти массу неизменяющегося вещества.
Затем за х обозначить массу добавляемого вещества и составить пропорцию, в которой масса неизменного вещества будет составлять новое количество процентов, а масса всего раствора 100 %. [2]
Решим данные задачи по составленному выше алгоритму.
Задача 5. Сколько граммов воды нужно выпарить из 80 г 6 %-ного раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий 10 % соли?
Решение:
Масса соли в имеющемся растворе равна 80 · 0,06 = 4,8 г. В новом растворе соль будет составлять 10 %.
Пусть х г воды нужно выпарить, тогда масса нового раствора будет равна (80 – х) г.
Составим пропорцию:
4,8 г соли – 10 %;
(80 – х) г раствора – 100 %.
Получаем уравнение:
10 (80 – х) = 4,8 · 100, откуда х = 32.
Ответ: 32 г.
Задача 6. Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора этой же кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор?
х г — количество 75%-ного раствора кислоты, которое надо добавить;
(30 + х) г — масса получившегося 50%-ного раствора кислоты;
0,75х г — количество кислоты в х г 75%-ного раствора;
0,15 ∙ 30 г — количество кислоты в 30 г 15%-ного раствора;
0,5(30 + х) г — количество кислоты в 50%-ном растворе. Имеем уравнение:
кол-во кислоты кол-во кислоты кол-во кислоты
в 75%-ном + в 15%-ном = в 50%-ном
растворе растворе растворе
0,75х + 0,15 ∙ 30 = 0,5(30 + х)
0,75х + 0,15 ∙ 30 = 0,5(30 + х), откуда х = 46 г.
Ответ: 46 грамм.[1]
Решение задач с помощью систем уравнений
Задачи такого типа последние годы встречаются на Основном Государственном Экзамене и Едином Государственном Экзамене.
Задача 7. В колбу налили некоторое количество 60% -ного раствора соли и некоторое количество 80%-ного раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решим задачу, используя следующий план:
Обозначим буквами количество 60%-ного и 80%-ного растворов соли, налитых в колбу.
Запишем уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.
Определим количество соли в получившемся растворе.
Запишем уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.
Составим систему и решим ее.
1) Пусть взяли х мл 60 %-ного раствора соли и у мл 80 %-ного раствора.
2) x + у = 35.
3) 0,6x + 0,8у (количество соли в получившемся растворе).
4) 0,6x + 0,8у = 35 ∙ 0,72.
0,6x + 0,8у = 25,2.
5)
Решив эту систему, получим, что х = 14 и у = 21.
Ответ: 14 мл 60 %-ного раствора и 21 мл 80 %-ного раствора.
Рассмотрим арифметический способ, который использовался в старину.
1) Найдем разность между процентным содержанием соли в каждом из имеющихся растворов и полученном растворе:
72 % – 60 % = 12 %;
80 % – 72 % = 8 %.
2) Эти результаты показывают, что 60 %-ного раствора нужно взять 8 частей, а 80 %-ного – 12 частей, то есть растворы должны быть взяты в отношении 2 : 3.
Поскольку в результате получим 35 мл раствора, то 60 %-ного взяли 14 мл, а 80 %-ного – 21 мл. [5]
Задача 8. Сразу после сбора урожая процентное содержание воды в бананах составляет 75%. После их перевозки процентное содержание воды в них становится равным 70%. Сколько килограммов бананов надо приобрести, чтобы после перевозки осталось 2500 кг бананов? [6]
Решение. Определим содержание так называемого «сухого вещества»: после сбора урожая его содержится 25%, после перевозки – 30%. Его масса после перевозки составит 2500 : 100 · 30 = 750 кг, но т. к. она остаётся неизменной и после сбора урожая это 25%, то нужно собрать 3000 кг бананов.
О т в е т: 3000 кг.
Задача 9. Смешав 25-процентныйи и 95-процентный растворы кислоты добавив 20 кг чистой воды, получили 40-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 30-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 50-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 25-процентного раствора использовали для получения смеси? [7]
Заключение
Задачи, которые мы решили,— это так называемая задача на концентрацию. Концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нем сухого вещества к массе раствора, выраженное в процентах. С процентами приходится иметь дело и при решении многих других задач, например задач на вычисление прибыли с банковских вкладов, дохода от инвестиций, на расчет объемов выполненных работ. Все такие задачи нетрудно решить, если вы умеете выражать проценты обыкновенной или десятичной дробью и решать главную задачу на проценты — находить процент от заданной величины. Иногда удобно решать их или с помощью пропорции или системой уравнений. И тот и другой способы широко применяются при решении химических задач.
Литература
1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б. и др. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2010. — 288 с.
2. Дюмина Т. Ю. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. I полугодие.— Волгоград: Учитель, 2008. —205 с.
3. Дюмина Т. Ю. Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть 1. — Волгоград: Учитель, 2006. — 235 с.
4. Калинина М. Ф. Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. — Волгоград: Учитель, 2008. — 223 с.
5. Дюмина Т. Ю. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. II полугодие.— Волгоград: Учитель, 2009. —263 с.
6. Под редакцией Лысенко Ф.Ф. и Калабухова С.Ю. Математика 9 класс. Подготовка к ОГЭ-2016. 40 тренировочных вариантов. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 400 с.
7. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. – М.: Издательство «Национальное образование», 2016. – 256 с.
Просмотров работы: 9518
Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.
Задачи на проценты учат решать с 5 класса.
Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами:
- нахождение процента от числа,
- нахождение числа по его проценту,
- нахождение процентного отношения.
На уроках с учениками разбирают, что сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент.
Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.
Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.
Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 • а
5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.
Как найти 1% от числа?
Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Пример. Найти: 25% от 120.
Решение:
- 25% = 0,25;
- 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Решение:
Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%.
Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.
Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.
Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
Решение:
66 : 60 = 1,1 — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.
Ответ: 110%.
Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
Решение:
- 6+ 34 =40 (кг) – масса всего сплава.
- 34 : 40 = 0,85 = 85 (%) – сплава составляет медь.
Ответ: 85%.
Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?
Решение:
- 100 – 20 = 80 (%) – после весны.
- 80 + 80 • 0,3 = 104 (%) – после лета.
- 104 – 104 • 0,2 = 83,2 (%) – после осени.
- 83,2 + 83,2 • 0,1 = 91,52 (%) – после зимы.
Ответ: похудел на 8,48%.
Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?
Решение:
- 100 – 99 = 1 (%) = 0,01 – доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
- 20 • 0,01 = 0,2 (кг) – сухого вещества.
- 100 – 98 = 2 (%) = 0,02 – доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
- 0,2 : 0,02 = 10 (кг) – стало крыжовника.
Ответ: 10 кг.
Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение:
Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.
0,75 •1,25х= 0,9375х,
тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.
х — 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 • 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А : В) • 100%.
Пример. Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
- 15% = 0,15;
- 30 : 0,15 = 200.
Или
х — данное число;
0,15 • х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.
Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?
Решение:
Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
480 : 0,24= 2000 кг = 2 т
Ответ: 2 т.
Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?
Решение:
1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг : 0,05=20 кг.
Ответ: 20 кг.
Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
- 22 • 0,1 = 2,2 (кг) — грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);
- 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) — сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).
Ответ: 2,5 кг.
Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.
В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.
Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.
Решение:
- 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.
- 300 • 1,04 = 312 (тыс. р) – величина вклада через 1 месяц.
- 312 • 1,04 = 324,48 (тыс. р) – величина вклада через 2 месяца.
- 324,48 • 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.
Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300•1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) – величина вклада через 3 месяца.
Ответ: 337 459,2 рубля
Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?
Далее в 6 классе решают подобного типа задачи уже с применением пропорции. На эту базу знаний и опираются, готовя учеников к итоговым экзаменам в 9 и 11 классах.
Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.
Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)
Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов – скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?
Решение:
Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 – 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.
1 способ.
400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400 : 100 = 4 (руб.), а в 125 %
4 • 125 = 500 (руб.)
2 способ.
Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
400 • 1,25 = 500 или 400 • 125/100 = 500.
3 способ.
Применение свойства пропорции:
400 руб. – 100 %
х руб. – 125 %, получим х = 125 • 400 / 100 = 500 (руб.)
Ответ: 500 рублей.
Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?
Решение:
Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:
57 кг – 100 %
х кг – 150 %, получим х = 57 • 150 / 100 = 85,5 (кг)
Ответ: 85,5 кг.
Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)
После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?
Решение:
1 способ.
Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 – 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 • 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.
2 способ.
Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А – 0,52А = 0,48А.
Составим пропорцию:
А – 100%
0,48А – х %, получим х = 0,48А • 100 / А = 48 (%).
Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.
Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)
Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?
Решение:
До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 – 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.
1 способ.
680 : 85 = 8 (руб.) – в 1%
8 • 100 = 800 (руб.) – стоил товар до распродажи.
2 способ.
Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680 : 85 • 100 = 800 (руб.) или 680 : 0,85 = 800 (руб.)
3 способ.
С помощью пропорции:
680 руб. – 85 %
х руб. – 100 %, получим х = 680 • 100 / 85 = 800 (руб.)
Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.
Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».
Самые простые задачи этого типа приведены ниже.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение:
10 • 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
- 10 + 15 = 25 (кг) — сплав;
- 10 : 25 • 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве;
- 15 : 25 • 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве.
Ответ: 40%, 60%.
В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?
Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.
Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.
Тогда:
- концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
- процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
- Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
- Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
Решение:
300 • 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.
Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К — концентрация вещества;
P — процентное содержание вещества (в процентах).
Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
Решение:
Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).
При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х
Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75
Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:
0,25 • х = 33,75;
х = 33,75 : 0,25;
х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.
Ответ: 135 кг.
Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?
Решение:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
I х 70% = 0,7 0,7 • х
II у 60% = 0,6 0,6 • у
вода 2 – –
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 • ( х + у + 2 )
III 2 90 % = 0,9 0,9 • 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 • ( х + у + 2)
Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:
0,7 • х + 0,6 • у = 0,5 • ( х + у + 2 ) и 0,7 • х + 0,6 • у + 1,8 = 0,7 • ( х + у + 2).
Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.
Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.
Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Решение:
Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:
3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.
Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 – 100%
3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.
Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).
Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р).
Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 – 0,01р).
Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)
Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?
Решение:
1 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 – х ) %.
Составим пропорцию
5000 руб. – 100%
у руб. – (100 – х)%, получим у = 5000 • (100 – х) / 100 = 50 • (100 – х) рублей – стоимость товара после первого понижения.
Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 • (100 – х) руб. – 100%
z руб. – (100 – х)%, получим z = 50 • (100 – х) (100 – х) / 100 = 0,5 • (100 – х)2 рублей – стоимость товара после второго понижения.
Получим уравнение 0,5 • (100 – х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .
2 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.
Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 • (1 – 0,01х)2 = 4050.
Решив его, получим, что х = 10 %.
Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.
Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)
Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?
Решение:
Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.
Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение:
3000 • (1 + 0,01х)2 = 3630.
Решив его, получим, что х = 10 %.
Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз.
Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
Решение:
Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение:
(1 + 0,01 х)(1 – 0,01 х)А = (1 – 0,09)А,
1 – (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.
Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.
Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.
Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15.
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.
Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.
Тогда долг после второго платежа 13А/15.
Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:
А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.
А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
1,08А/15 = 108,
А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.
2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.
Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:
(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.
Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 1620000 рублей.
Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/24 – 0,01А = А – А/24 = 23А/24.
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 23А/24.
Второй платеж А/24 + 0,01• 23А/24.
Тогда долг после второго платежа 1,01• 23А/24 – А/24 – 0,01• 23А/24 = 23А/24(1,01 – 0,01) – А/24 = 23А/24 – А/24 = 22А/24.
Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
А/24 +0,01А • 24/24 + А/24 + 0,01• 23А/24 + А/24 + 0,01• 22А/24 + … + А/24 + 0,01• 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.
А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей – планируется взять в кредит.
Ответ: 300000 рублей.
В помощь учителю
Уважаемые коллеги! Опубликуйте свою педагогическую статью или сценарий мероприятия на Учительском портале и получите свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.
Для добавления статьи на портал необходимо зарегистрироваться.
Конкурсы
Диплом и справка о публикации каждому участнику!