Как найти конечное положение тела - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

§4. Способы описания движения

В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.

1. Векторный способ.

В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.

Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.

В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.

Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.

Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.

Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_»cp»` тела за время `Delta t`:

`vecv_»cp»=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)

Вектор `vecv_»cp»` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.

Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.

Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:

`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.

Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.

В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).

Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.

Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:

`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)

При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!

Таким образом, зная зависимость `vec r(t)`, можно найти скорость `vec v` и ускорение $$ overrightarrow{a}$$ тела в каждый момент времени. В этой связи возникает и обратная задача о нахождении скорости `vec v (t)` и радиус-вектора `vec t (t)` по известной зависимости от времени ускорения `vec a`. Для однозначного решения этой задачи необходимо знать начальные условия, т. е. скорость `vec v_0` и радиус-вектор `vec r_0` тела в начальный момент времени $$ t=0$$.

Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`»м»//»с»`) и метр на секунду в квадрате ( `»м»//»с»^2`).

2. Координатный способ.

В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ overrightarrow{r}$$тела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: $$ x=xleft(tright)$$ и $$ y=yleft(tright)$$. Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости $$ overrightarrow{v}$$ можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости $$ {v}_{x}$$ и $$ {x}_{y}$$ изменения координат тела (рис. 4). В самом деле $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.

Аналогично с помощью проецирования вектора $$ overrightarrow{a}$$ определяются ускорения $$ {a}_{x}$$ и $$ {a}_{y}$$ тела по направлениям координатных осей.

Таким образом, зная зависимости $$ xleft(tright)$$ и $$ yleft(tright)$$ ,можно найти не только положение тела, но и проекции его скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов $$ overrightarrow{v}$$ и $$ overrightarrow{a}$$в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости будет равен `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`, а его направление может быть задано углом между этим вектором и любой осью координат. Так, угол $$ alpha $$ между вектором $$ overrightarrow{v}$$ и осью `Ox` определяется отношением `»tg»alpha=v_y//v_x`. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора $$ overrightarrow{a}$$.
Обратная задача – нахождение скорости и зависимостей $$ xleft(tright)$$ и $$ yleft(tright)$$ по заданному ускорению – будет иметь однозначное решение, если кроме ускорения заданы ещё и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент времени $$ t=0$$.

3. Естественный (или траекторный) способ.

Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.

Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ lleft(tright)$$.

Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` — это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.

Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.

Средней путевой скоростью `v_»cp»` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:

`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)` (3)

Определённая ранее средняя скорость `v_»cp»` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.

Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_»cp»` и средняя путевая скорость `v_»cp»` троллейбуса?

Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_»ср»=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_»ср»|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:

`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)=(72 «км»)/(8 «ч»)=9 «км»//»ч»`.

Источник

Если тело движется равномерно вдоль некоторой заданной линии, то его положение на этой линии в любой момент времени находится просто. Из курса физики известно, что, умножив скорость тела $v$ на время $t$, протекшее до интересующего нас момента, мы получим длину пройденного пути $l$.

И если известна точка, в которой находилось тело в начальный момент времени, то, отложив от нее вдоль линии, по которой движется тело, пройденный путь $l$, мы найдем точку, где тело окажется в момент времени $t$.

Но задача решается так просто только тогда, когда известна линия, вдоль которой движется тело, или, как говорят, известна траектория движения тела. Так, траекторией для поезда будет железная дорога, для автомобиля — шоссе и т. д.

В тех случаях, когда траектория движения не задана, определить положение тела, т. е. его координаты, в конце пути нельзя, даже если положение тела и длина пройденного им пути известны. Так, например, если мы знаем начальное положение корабля и длину пройденного им пути, мы не сможем вычислить координаты корабля в конце этого пути: корабль может пройти его в любом направлении и по любой траектории.

Для того чтобы и в этом случае найти положение тела, надо знать не длину пройденного пути, а совсем другую величину — перемещение тела. Что это за величина?

Допустим, что в какой-то начальный момент времени движущееся тело (точка) занимало положение $M_{1}$(рис.), а через некоторый промежуток времени оно оказалось в другом положении на расстоянии $s$ от начального. Как найти это новое положение тела? Очевидно, что для этого недостаточно знать расстояние $s$, потому что есть бесчисленное множество точек, удаленных от точки $M$ на это расстояние (рис. 6).

Чтобы найти конечное положение тела, надо еще знать направление отрезка $s$, соединяющего начальное положение тела с его конечным положением. Этот направленный отрезок прямой и представляет собой перемещение тела. Конец отрезка, изображающего перемещение, для наглядности отмечают стрелкой (рис. а). Приставив отрезок к точке $M_{1}$, мы у конца стрелки найдем новое положение тела $M_{2}$ (рис. б).

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением.

Итак, чтобы найти положение тела в любой момент времени, нужно знать его начальное положение и перемещение, совершенное к этому моменту времени.

Перемещение тела надо отличать от траектории его движения. Из того, что тело переместилось из точки $M_{1}$ в точку $M_{2}$ (рис.) и длина его перемещения равна отрезку $M_{1}M_{2}$, не следует, что тело двигалось по прямой $M_{1}M_{2}$. Траектория движения тела, т. е. линия, по которой оно действительно двигалось, может не совпадать с этой прямой. Следующий пример поясняет это.

На рисунке изображена географическая карта района Черного моря. Расстояние между Одессой и Севастополем по прямой составляет 270 км, и, для того чтобы попасть из Одессы в Севастополь, нужно совершить перемещение, направленное примерно на юго-восток и численно равное 270 км. Если мы отправимся в путешествие на теплоходе, то его действительное движение может происходить по прямой, совпадающей с перемещением. Но из Одессы в Севастополь можно ехать и на поезде. Линия железной дороги проходит через Николаев, Херсон, Джанкой и Севастополь. Ее протяженность 660 км. При путешествии по железной дороге траектория движения уже не будет совпадать с перемещением.

Ясно, что если нас интересует конечное положение поезда относительно Одессы, то оно определяется перемещением Одесса — Севастополь. Если мы знаем, что перемещение направлено на юго-восток и составляет 270 км, то этих сведений достаточно для того, чтобы узнать, где расположен поезд. Но если нам сказано, что поезд прошел путь в 660 км, то это не поможет нам узнать, где, он находится; из Одессы поезд мог отправиться в Москву, Киев, Харьков или в любой другой город.

Источник

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

S_x = A_xB_x

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S_x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

S_x = x – x₀

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

S_y = y – y₀
S_z = z – z₀

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

S_x = x – x₀
S_y = y – y₀

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = s_x
CB = s_y

По теореме Пифагора

S² = S_x² + S_y²

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Источник

Содержание:

Путь и перемещение:

Вы знаете, что любой вид движения совершается по определенной траектории.

Траектория — это линия, которую описывает материальная точка при своем движении в данной системе отсчета. Эта линия может быть и невидима, например, траектория движения рыбы в воде, самолета в небе, пчелы в воздухе и др., которые можно только вообразить. По форме траектории механическое движение делится на прямолинейное и криволинейное.

Движение, траектория которого представляет собой прямую линию относительно данной системы отсчета, называется прямолинейным движением (b), а движение, траектория которого кривая линия, — криволинейным (с).

Длина траектории движения материальной точки, называется пройденным путем. Пройденный путь является положительной скалярной величиной, обозначается буквой

Для полного описания движения материальной точки необходимо определить изменение его положения в пространстве с течением времени, т.е. определить изменение координат материальной точки, или же изменение его радиус-вектора.

Изменение любой физической величины равно разности его конечного и начального значений и обозначается знаком (буква греч. алфавита) перед этой величиной.

Изменение координат материальной точки во время движения

Изменение координат материальной точки во время движения может быть, как положительным, так и отрицательным. Например, предположим, что муравей, двигаясь по показанной на рисунке траектории, попадает из точки М в точку N (d). Так как координата муравья по оси X увеличивается то изменение координаты по этой оси будет положительным: Координата же муравья по оси У уменьшается поэтому изменение его координаты по этой оси будет отрицательным:

Изменение радиус-вектора материальной точки во время движения

На следующем рисунке представлены радиус-векторы и начального и конечного положения, материальной точки (муравья) соответственно (е). Вектор соединяющий концы этих радиус-векторов называют перемещением данной материальной точки за промежуток времени Согласно правилу сложения векторов: Из последнего выражения получается, или где — перемещение материальной точки.

Перемещение — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущейся материальной точки с ее конечным положением. Перемещение — векторная величина.

Векторная величина — это величина, определяемая, кроме числового значения (модуля), также и направлением.

К вектору перемещения, как векторной величине, можно применить известные действия над векторами — сложение и вычитание векторов, определение результирующего вектора методом треугольника и параллелограмма.

Единицей измерения перемещения, как и пути, в СИ является метр, однако, перемещение имеет отличающийся физический смысл: перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении изменилось начальное положение материальной точки за данный промежуток времени.

Внимание! Только при прямолинейном движении без изменения направлении, модуль перемещения равен пройденному пути, во всех остальных случаях (при изменении направления прямолинейного движения, криволинейном движении) пройденный путь больше модуля перемещения (е).

Материальная точка прошла расстояние от точки М до точки N по прямой линии. В этом случае пройденный путь равен модулю перемещения:

Материальная точка прошла расстояние от точки М до точки N по прямой линии, а затем по этой же линии вернулась назад в точку В этом случае материальная точка прошла путь, равный а модуль перемещения равен нулю:

Если при движении материальной точки на плоскости известны его начальные координаты и вектор перемещения, то можно определить координаты конечного положения точки. Например, предположим, что материальная точка совершила перемещение Опуская перпендикуляры на оси ОХ и OY из начала и конца этого вектора, получаем проекции перемещения и (h). Как видно из рисунка, эти проекции равны разности начальных и конечных координат материальной точки:

Одинаковы ли путь и перемещение

Задача:

Велосипедист движется по круговому велотреку радиусом 80 м. Он стартует из точки А. Определите путь и перемещение велосипедиста при первом прохождении точки В (i).

Дано:

Решение:

Пройденный путь равен длине дуги:

Модуль перемещения же равен диаметру окружности:

Вычисление:

Что такое путь и перемещение

Автобус отправился из Москвы в 9 часов утра. Можно ли определить, где находился автобус в 11 часов, если известно, что он проделал путь

Конечно, нет. Ясно лишь, что в 11 часов он находился в месте, удаленном от Минска не более чем на 100 км (т. е. внутри окружности, изображенной на рисунке 37). Не исключено, что к 11 часам автобус вернулся в Москву.

Значит, для определения конечного положения тела недостаточно знать его начальное положение и пройденный им путь.

Мы нашли бы местонахождение автобуса в 11 часов, если бы знали траекторию его движения (зеленая линия на рисунке 38). Отсчитав 100 км от начальной точки маршрута вдоль траектории, найдем, что в 11 часов автобус прибыл в Борисов.

А можно поступить иначе. Конечное положение автобуса можно определить, зная его начальное положение и всего одну векторную величину, называемую перемещением.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).

Обозначим перемещение символом На рисунке 38 вектор — это перемещение автобуса из Минска в Мытищи, вектор — из Мытищь в Балашиху, а вектор — из Минска в Борисов.

Теперь, даже не зная траектории, по начальной точке и перемещению мы можем найти конечную точку для каждого из участков движения автобуса и для всего маршрута в целом.

Можно ли сравнивать путь S, пройденный телом, с его перемещением Нельзя, поскольку путь S — скаляр, а перемещение — вектор.

Сравнивать путь S можно с модулем перемещения который является скалярной величиной. Равен ли путь модулю перемещения?

В рассматриваемом примере путь, пройденный автобусом за два часа, Он равен длине траектории движения автобуса от Москвы через Мытищи до Балашихи (см. рис. 38). А модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Минска до Борисова: Путь автобуса больше модуля его перемещения:

Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус все время двигался по прямой, не изменяя направления движения.

Следовательно, путь всегда не меньше модуля перемещения:

Как складывают между собой пути и как — перемещения? Из рисунка 38 находим:

Пройденные пути складывают арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.

Равен ли при этом модуль сумме модулей Ответьте самостоятельно.

Мы выяснили, что путь и траектория относительны. Покажите на примерах, что перемещение тоже относительно, т. е. зависит от выбора системы отсчета.

При решении задач важно уметь находить проекции перемещения. Построим вектор перемещения куска мела по школьной доске из точки А в точку С (рис. 39). Из рисунка видно, что проекции вектора на координатные оси Ох и Оу равны разности координат конца и начала этого вектора:

Главные выводы:

Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.
Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).
Путь не меньше модуля перемещения тела за то же время.
Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.

Пример:

Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площадку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В по краю площадки (рис. 40). Размеры площадки 60 х 80 м. Определите модули перемещения конькобежца и пешехода и пути, пройденные ими.

Решение

Из рисунка 40 видно, что перемещения пешехода и конькобежца одинаковы. Модуль перемещения:

Путь конькобежца:

Путь пешехода:

Ответ:

Заказать решение задач по физике

Траектория движения

Возьмите лист бумаги и карандаш. Поставьте на листе точки А и В и соедините их кривой линией (рис. 7.1). Эта линия совпадает с траекторией движения кончика карандаша, то есть линией, в каждой точке которой последовательно побывал кончик карандаша во время своего движения.

Траектория движения — это воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка. Обычно мы не видим траектории движения тел, но иногда бывают исключения.

Так, в безоблачную погоду высоко в небе можно увидеть белый след, который во время своего движения оставляет самолет*. По этому следу можно определить траекторию движения самолета. Траектории движения каких тел можно восстановить по следам, изображенным на рис. 7.2? В каких случаях траекторию движения «заготавливают» заранее? Форма траектории может быть разной: прямая, окружность, дуга, ломаная и т. д. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения тел (рис. 7.3).

Форма траектории движения тела зависит от того, относительно какой системы отсчета рассматривают движение. Приведем пример. У мальчика, едущего в автобусе, упало из рук яблоко (рис. 7.4). Для девочки, сидящей напротив, траектория движения яблока — короткий отрезок прямой. В этом случае система отсчета, относительно которой рассматривается движение яблока, связана с салоном автобуса. Но все время, пока яблоко падало, оно «ехало» вместе с автобусом, поэтому для человека, стоящего на обочине дороги, траектория движения яблока абсолютно другая. Система отсчета в таком случае связана с дорогой.

Чем путь отличается от перемещения

Вернемся к началу (см. рис. 7.1). Чтобы найти путь, который прошел конец карандаша, рисуя кривую линию, необходимо измерить длину этой линии, то есть найти длину траектории (рис. 7.5). Путь — это физическая величина, равная длине траектории. Путь обозначают символом l. Единица пути в СИ — метр: [l]= м. Используют также дольные и кратные единицы пути, например миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км):

Путь, пройденный телом, будет разным относительно разных систем отсчета. Вспомним яблоко в автобусе (см. рис. 7.4): для пассажиров яблоко прошло путь около полуметра, а для человека на обочине дороги — несколько метров. Вернемся к рис. 7.1. Соединив точки А и В отрезком прямой со стрелкой, получим направленный отрезок, который покажет, в каком направлении и на какое расстояние переместился конец карандаша (рис. 7.6).

Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением. Перемещение обозначают символом . Стрелка над символом показывает, что перемещение — это векторная физическая величина*. Чтобы правильно задать перемещение, необходимо указать не только его значение (модуль), но и направление.

Модуль перемещения, то есть расстояние, на которое переместилось тело в определенном направлении, также обозначают символом s, но без стрелки. Единица перемещения в СИ такая же, как и единица пути, — метр: [s]= м. В общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела (рис. 7.7, а, б), поэтому путь, пройденный телом, обычно больше модуля перемещения. Путь и модуль перемещения равны только в том случае, когда тело движется вдоль прямой в неизменном направлении (рис. 7.7, в).

Итоги:

Воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения тел. Путь l — это физическая величина, равная длине траектории. Перемещение — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела. Единица пути и перемещения в СИ — метр (м).

Физические величины, имеющие значение и направление, называется векторными а имеющие только значение — скалярными.

Равномерное прямолинейное движение
Прямолинейное неравномерное движение
Прямолинейное равноускоренное движение
Сложение скоростей
Физический и математический маятники
Пружинные и математические маятники
Скалярные и векторные величины и действия над ними
Проекция вектора на ось

Источник

Равномерное прямолинейное движение

Всё в мире находится в движении.

Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.

Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.

А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.

Приступим!

Равномерное прямолинейное движение — коротко о главном

Сегодня ты узнал:

Как решить основную задачу механики в общем виде;
Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения;
Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло;
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна;
Как решить основную задачу механики для равномерного прямолинейного движения;
Как строить и анализировать графики равномерного прямолинейного движения;
Графиком равномерного прямолинейного движения является прямая;
Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают;
Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела;
Как строить траекторию движения тела;
Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено;
Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден;
Траектория движения тела зависит от выбора системы отсчета;
Как доказать закон сложения скоростей;
Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей;

А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!

Ой, я что, не сказал? Там сложные были!

Ты, наверное, и не заметил 😉

О том, как решить основную задачу механики

Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.

Мы узнали это, когда только начали изучать кинематику.

Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?

Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты. Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.

Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.

А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.

Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!

Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.

Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.

Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:

Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:

Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:

Но как найти эти координаты, зная лишь начальное положение тела и его перемещение? Как нам попасть из ({{x}_{0}}) в (x) и из ({{y}_{0}}) в (y) ?

Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда?

Отметим их:

Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!

То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:

(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}}) — для оси Х

(y={{y}_{0}}+{{S}_{y}}) — для оси Y

Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!

Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!

Это зависит от движения тела.

Равномерное прямолинейное движение

Определение равномерного прямолинейного движения

Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.

Давай попробуем дать ему определение.

Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.

Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.

Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.

Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.

Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?

Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.

А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.

Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.

Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.

Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.

То есть тело совершает равные перемещения!

Поэтому…

Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.

Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение (vec{S}).

Тогда за две секунды совершает перемещение (2vec{S}):

Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:

3_7 Peremesheniya za kazhdye 2 secunda pri ravnomernom dvizhenii

Скорость

Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.

Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.

То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!

А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.

Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.

Запишем это в виде формулы:

(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})

Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?

Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:

(vec{V}=frac{1}{t}cdot vec{S})

Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.

Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.

Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:

(vec{V}=frac{2vec{S}}{2t}=frac{{vec{S}}}{t})

Отсюда делаем вывод:

Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.

Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:

(vec{V}=overrightarrow{const})

Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.

Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения

Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:

(vec{S}=vec{V}cdot t)

Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:

({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)

({{S}_{y}}={{V}_{y}}cdot t)

Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?

Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)

Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:

Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.

По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?

Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.

То есть используем лишь одну ось:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.

Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.

Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным. Это зависит лишь от того, как расположено тело относительно начала координат:

Графики равномерного прямолинейного движения

Построение графика

Очень важно уметь описывать движение графиком. Это может значительно упростить решение задачи.

Давай посмотрим, как с помощью графика описать равномерное прямолинейное движение.

Любой график – множество точек, который показывает зависимость одного значения от другого. Эта зависимость определяется каким-то уравнением.

Например, когда мы строим параболу, мы руководствуемся уравнением (y={{x}^{2}}). Как еще это можно записать?

Вот так: (f(x)={{x}^{2}}). Это показывает, что функция (f) зависит от значения (x).

Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:

(x(t)={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.

Пусть: ({{V}_{x}}=0.5)м/с и ({{x}_{0}}=3)м

Тогда уравнение имеет вид: (x=3+0.5cdot t)

Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!

Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!

Отметим точки и соединим их. Получим график движения.

3_9 Postroyenie grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

3_10 Grafik ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?

Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.

Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?

Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:

3_11 Tochki peresecheniya grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!

Например, когда мы только включили секундомер ((t=0)с), тело находилось в начальном положении (({{x}_{0}}=3)м), и это видно по графику!

А когда координата тела была равна нулю?

Все очень просто: за 6 секунд до того, как мы включили секундомер! Прямая пересекает ось времени в точке -6.

Итак, мы выяснили, что…

График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.

Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.

Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.

И действительно, само уравнение (x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: (y=kx+m), где (m) — точка пресечения графика с осью Х, а (k) — коэффициент наклона прямой.

В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.

Зависимость графика от проекции скорости

Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:

3_12 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 1

Чем отличаются движения этих двух тел?

Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.

А что насчет проекции скорости?

Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).

Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.

А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.

Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?

Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:

3_13 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 2

Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:

3_14 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya i koordinaty

Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.

График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?

Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:

3_15 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya i proektsiya peremesheniya 1

(Delta {{x}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{01}}={{S}_{x}}_{1})

Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:

3_16 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya i proektsiya peremesheniya 2

(Delta {{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{02}}={{S}_{x}}_{2})

Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.

Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.

А что будешь делать с таким графиком?

Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?

Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может.

Например, вот так:

3_18 Koordinata ne menyaetsa lish po odnoj osi

Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.

Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.

Встреча

Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:

3_19 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya SNOVA

В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.

Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.

А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:

3_20 Dva grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya i koordinaty vstrechi

Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.

Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.

А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились.

Просто у них совпала траектория.

График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения

Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли…

Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.

Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:

3_21 Grafik zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.

Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:

3_22 Ploshad pod grafikom zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.

Где-то мы это слышали.

Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!

({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)

Совпадение? Не думаю.

3_23 Ploshad kak proektsiya peremesheniya pod grafikom zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!

Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.

Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения

Текстовые задачи

Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: (x=2cdot t), а ось направлена вниз по лестнице.

Решение:

Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:

(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}})

Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!

Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:

(x=0+2cdot t)

Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.

Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.

Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

И еще раз посмотрим на наше:

(x=0+2cdot t)

Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!

Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.

Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.

Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки.

На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?

Решение:

Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.

Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.

Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!

Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…

Стоп. «Сантиметре…»

Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины.

Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!

Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!

Теперь можем записать уравнение его движения:

(x=0.02+0.1cdot t)

Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение:

(x=0.02+0.1cdot 2=0.22)м

На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!

Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: (x=6+2cdot t). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: (x=3+3cdot t).

Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.

Решение:

Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?

Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.

Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):

3_22 Peresechenie grafikov ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.

Но как узнать, в какой?

Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?

Всегда нужно проверять себя аналитически.

Запишем два уравнения:

({{x}_{P}}=6+2cdot t) — Пети

({{x}_{D}}=3+3cdot t) — директора

При встрече у них одинаковые координаты: ({{x}_{P}}={{x}_{D}})

Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:

(6+2cdot t=3+3cdot t)

Отсюда легко вычислить время встречи:

(t=3) c

Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:

({{x}_{B}}=6+2cdot 3=12) м

Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.

Задачи на графики

Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:

3_26 Zadacha na grafik ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Решение:

Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.

Удивительно, но начнем с уравнения:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: ({{x}_{0}}=8) м

Имеем:

(x=8+{{V}_{x}}cdot t)

Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.

({{V}_{x}}=frac{x-8}{t}) м/с

Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:

3_27 Svyaz formuly s grafikom ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Считаем:

({{V}_{x}}=frac{6-8}{2}=-1) м/с

Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.

Подставим в уравнение:

(x=8-t) — уравнение движения тела.

Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.

3_28 Slozhnoe dvizhenie i grafiki ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

3_38 Postroenie grafika zavisimosti puti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya TOCHKA

Решение:

Опишем движение. Какое оно?

«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»

И будешь абсолютно прав.

А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»

Поэтому давай рассматривать этот график частями!

С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.

Найдем проекцию скорости.

Для начала, что есть скорость?

Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.

(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})

Знаем, что это справедливо и для проекций:

({{V}_{x}}=frac{{{S}_{x}}}{t})

Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?

Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:

({{S}_{x}}=x-{{x}_{0}})

Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам.

Вот и нашли проекцию скорости:

({{V}_{x}}=frac{x-{{x}_{0}}}{t})

Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:

3_29 Grafik ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

({{V}_{x}}=frac{4-10}{2}=-3) м/с

Проекция скорости на первом участке графика равна -3м/с.

Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.

Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.

Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.

Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.

Найдем проекцию скорости на третьем участке:

3_31 Uchastok grafika ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

({{V}_{x}}=frac{9-4}{12-7}=1) м/с

Так. Давай разберемся, почему там 12-7.

Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.

Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.

Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:

3_32 Sistema koordinat dlya grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Работаем с первой частью:

Мы выяснили, что в течение первых двух секунд проекция скорости была постоянна (как-никак, равномерное прямолинейное движение 🙂 ) и равна -3 м/с.

Давай нарисуем!

3_34 Postroenie grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 1

На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.

3_35 Postroenie grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 2

Избавимся от вспомогательных линий и получим:

3_36 Postroenie grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya FINAL

Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.

Нарисуем оси и обозначим их:

3_37 Postroenie grafika zavisimosti puti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya OSI

Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:

Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло (3cdot 2=6) метров! Отметим это!.. Нет, не так, на графике отметим:

3_39 Postroenie grafika zavisimosti puti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya TOCHKA 2

Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.

Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:

3_40 Postroenie grafika zavisimosti puti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya TOCHKA 3

На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.

Оно пройдет 5 метров.

Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:

3_41 Postroenie grafika zavisimosti puti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya TOCHKA FINAL

Остается только соединить точки прямой:

3_42 Postroenie grafika zavisimosti puti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya FINAL

Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику

3_43 Proektsiya peremecheniya iz grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Решение:

Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.

Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:

({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}}+{{S}_{x3}}+{{S}_{x4}}+{{S}_{x5}}+{{S}_{x6}})

Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?

«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:

3_44 Proektsiya peremecheniya iz grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya UCHASTOK 1

Что ж, давай найдем перемещение:

Проекция скорости есть -2м/с, а промежуток времени – 3с.

Поэтому: ({{S}_{x1}}=-2cdot 3=-6)м

Попробуем найти площадь второго прямоугольника:

3_45 Proektsiya peremecheniya iz grafika zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya UCHASTOK 2

Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!

({{S}_{x2}}=2cdot 2=4)м

Аналогично для остальных:

({{S}_{x3}}=3cdot 3=9)м

({{S}_{x4}}=2cdot 1=2)м

({{S}_{x5}}=1cdot 1=1)м

({{S}_{x6}}=-3cdot 2=-6)м

Посмотрим, чему равна проекция перемещения:

({{S}_{x}}=-6+4+9+2+1-6=4)м

Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.

Когда мы включили таймер, она была равна нулю:

3_46 Postroenie grafika zavisimosti proektsii peremesheniya ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 1

В конце первого промежутка времени она становится равна -6м:

3_47 Postroenie grafika zavisimosti proektsii peremesheniya ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 2

А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!

Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.

Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:

({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}})

Дальше – больше слагаемых.

Следующая точка: (-6+4=-2) м

А после нее:(-6+4+9=7) м и т.д.

3_48 Postroenie grafika zavisimosti proektsii peremesheniya ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 3

Теперь соединяем точки по порядку:

3_49 Postroenie grafika zavisimosti proektsii peremesheniya ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:

3_50 Na dvuh osyah grafik zavisimosti skorosti ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Решение:

Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!

Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.

Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.

Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)

Мы учились делать это раньше. Построим графики зависимости координаты от времени.

Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:

3_51 Grafik zavisimosti koordinaty X ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.

(x=1+2cdot t)

Строим его на первом промежутке:

3_52 Grafik zavisimosti koordinaty X ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 1

Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:

(x=17+0cdot t)

Координата не меняется. Рисуем:

Тело на 17 м. Оттуда продолжаем движение с проекцией скорости -2 м/с. Тогда: (x=17-2cdot t)

3_54 Grafik zavisimosti koordinaty X ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya 3

Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:

3_55 Grafiki zavisimosti koordinaty X i Y ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya

Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!

Давай построим их:

3_58 Postroenie traektorii ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya OSI

Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.

Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.

3_57 Grafiki zavisimosti koordinaty X i Y ot vremeni ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya SNOVA

В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.

Отметим эти точки:

3_56 Postroenie traektorii ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya KRAJNIE TOCHKI

Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.

То есть секунды: 4, 6, 8, 10.

Запишем координаты точек для нужных нам секунд:

4: (9;15)

6: (13; 9)

8: (17;11)

10: (17;13)

Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:

3_59 Postroenie traektorii ravnomernogo pryamolinejnogo dvizheniya FINAL

Задача решена!

Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂

Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость

Хочешь, покажу фокус?

Смотри.

Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.

Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.

Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.

Давай всё это изобразим для наглядности:

3_60 Zadacha na ravnomernoe pryamolinejnoe dvizhenie

Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.

Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.

Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.

Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!

Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.

Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.

Можно в виде формулы: ({{vec{V}}_{cp}}=frac{{vec{S}}}{t})

Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.

Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:

Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.

Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.

Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.

Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!

Относительность движения. Операции над скоростями

Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.

Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.

Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.

От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?

Оказывается, да!

Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.

Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.

А относительно Земли?

Вот так:

3_61 Tsikloida dlya opisaniya zavisimosti traektorii ot tochki otscheta

Круто, да?

Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.

Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.

А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.

Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.

Рассмотрим ситуацию.

По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.

Давай изобразим это:

Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:

Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:

А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:

Ты только посмотри! У нас тут треугольник!

Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!

Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!

({{vec{S}}_{a}}={{vec{S}}_{n}}+{{vec{S}}_{o}})

Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!

Та-а-ак… А его откуда брать?

Оно для всех течёт одинаково. Смело делим:

(frac{{{{vec{S}}}_{a}}}{t}=frac{{{{vec{S}}}_{n}}}{t}+frac{{{{vec{S}}}_{o}}}{t})

И получаем:

({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})

А теперь давай разбираться.

Что такое абсолютная скорость? В нашем случае это скорость пловца относительно берега.

Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета.

Что такое переносная скорость? Скорость плота, скорость течения реки относительно берега.

Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Что такое относительная скорость? Это скорость спортсмена относительна плота.

Относительная скорость – скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.

Таким образом,

Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно движущейся системы отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Иначе говоря:

Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей.

Чем хороши векторные уравнения? Они не заставляют тебя думать о знаках.

Знаки ты определишь в проекциях. Это будет зависеть от условия задачи.

Внимание, практика!

Решение задач на среднюю скорость и действия со скоростями

Задача 8 (продолжение задачи 3 🙂 ). Поймавший Петю директор пишет замечание в его дневник, его ручка движется по листу бумаги со скоростью 0.05 м/с. Через 3 секунды Петя взмолится перед Максимом Михайловичем, его ручка станет двигаться со скоростью 0.03 м/с на протяжении 4 секунд.

А если бедному ученику повезёт и ручка начнет плохо писать, то, чтобы расписать ее, директор будет давить на нее сильнее в течение 5 секунд и скорость ее станет равна 0.01 м/с.

Найдите среднюю путевую скорость ручки. Зная, что длина красноречивого замечания равна 24 см, найдите среднюю скорость ручки по перемещению.

Решение:

Если в задаче много букв – составляй ее план. Давай это сделаем и переведем все в СИ, если необходимо.

3с – 0.05 м/с

4с – 0.03 м/с

5с – 0.01 м/с

24см=0.24м

Что значит «длина замечания»? Фактически, расстояние от начала до конца, то есть это кратчайшая ПРЯМАЯ. Запишем ее как вектор – получим перемещение.

Ведь перемещение есть вектор, проведенный из начального положение в конечное.

Давай посчитаем, сколько времени директор писал замечание:

(3+4+5=12) с

Значит, мы уже можем найти среднюю скорость по перемещению!

Сделаем это:

({{V}_{cp}}=frac{0.24}{12}=0.02) м/с

Почему там не вектор? Помни: мы не можем приравнивать векторные величины к скалярным. Когда нам сказали, чему равно перемещение, нам дали ДЛИНУ вектора перемещения. А длина есть величина скалярная.

Приступим к средней путевой скорости. Для начала нам нужно найти путь, время у нас уже есть.

Путь будет состоять из трёх участков, в которых тело двигалось с разными скоростями:

(L={{L}_{1}}+{{L}_{2}}+{{L}_{3}})

Каждый из них можно найти умножением скорости на участке на время движения с этой скоростью. Вот так:

(L={{V}_{1}}cdot {{t}_{1}}+{{V}_{2}}cdot {{t}_{2}}+{{V}_{3}}cdot {{t}_{3}})

Давай подставим:

(L=0.05cdot 3+0.03cdot 4+0.01cdot 5=0.32)

А теперь можем найти среднюю путевую скорость:

({{V}_{cpL}}=frac{0.32}{12}approx 0.027) м/с

Задача решена!

Задача 9. В небе летят два вертолёта. Скорость одного из них – 350 км/ч, другого – 400 км/ч. Найти скорость второго вертолёта относительно первого.

Решение:

Вот тебе дело: найди одно очень важное потерянное условие.

Дело в том, что в задаче не сказано, летят ли они в одном направлении или в разных. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. Вертолеты движутся в одном направлении.

Давай вспомним главное уравнение:

({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})

Мы ищем скорость одного вертолета относительно другого. Скорость одного движущегося тела относительно другого движущегося тела называется относительной. Выразим ее:

({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}})

Помним, что с векторами рука об руку идут их проекции. Давай начертим схему задачи и построим ось, на которую будем проецировать векторы скорости:

Всё это, конечно, здорово, но какая скорость абсолютная, а какая переносная?

Давай разбираться.

Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

В система отсчета, которую требует задача, все происходит относительно первого вертолета. Он – тело отсчета.

Значит, переносная скорость – скорость первого вертолета относительно земли.

Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета. То есть это скорость второго вертолета, данная в задаче.

Вернемся к уравнению и запишем его по-новому:

({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}})

({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}})

Мы помним, что с векторами рука об руку идут проекции. Давай запишем это уравнение в проекции на ось Х.

Обе этих скорости направлены по направлению оси. Значит, их проекции положительны:

({{V}_{ox}}={{V}_{2x}}-{{V}_{1x}})

Мы выбрали ось так, чтобы векторы были ей параллельны, поэтому мы смело можем утверждать, что проекции по модулю равны длинам векторов:

({{V}_{o}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}})

Считаем:

({{V}_{o}}=400-350=50) км/ч

Случай 2. Вертолеты движутся в разных направлениях.

Нарисуем схему снова:

Нетрудно догадаться, что теперь проекция уравнения на ось будет иметь другой вид. Проекция скорости первого вертолета будет отрицательна: она направлена против оси.

({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}})

({{V}_{o}}={{V}_{2}}-(-{{V}_{1}})={{V}_{2}}+{{V}_{1}})

Скорости складываются. И правда: оба вертолета стремятся отдалиться друг от друга, никто никого не догоняет.

({{V}_{o}}=400+350=750) км/ч

Таким образом, скорость второго вертолета относительно первого равна 50 км/ч, если они движутся в одном направлении, и 750 км/ч, если движутся в разных.

Задача 10. Дядя Стэн, с уверенностью открыв сезон рыбалки, мчится на моторной лодке против течения реки в течение 3 ч и преодолевает 4 км, пока не вспоминает, что забыл дома свой любимый сборник анекдотов. Скорость течения реки – 2.5 км/ч.

Сколько времени понадобится Стэну, чтобы преодолеть то же самое расстояние, возвращаясь обратно?

Решение:

Давай сделаем рисунок. Это в большинстве случаев упрощает задачу!

Сначала нарисуем реку с течением:

А теперь лодку Стэна, которая плывет против течения. Обозначим ее собственную скорость.

3_70 Vektor skorosti techeniya reki i lodka

Давай посмотрим, как мы можем связать эти две скорости с путем и временем.

Для начала вспомним формулу:

({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})

Пройденный путь и время будет определять абсолютная скорость – та, что характеризует движение тела относительно неподвижной системы отсчета. В нашем случае – берега.

Можно объяснять проекциями, а можно просто понять. Куда легче плыть? По течению или против? Конечно, по течению! Оно подгоняет тебя.

В нашей ситуации Стэн сначала плывет против течения. Абсолютная скорость будет меньше собственной скорости лодки, ведь ее тормозит течение.

Давай запишем:

({{V}_{a1}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}) или (frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}), где ({{t}_{1}}) — время против течения.

Хорошо. Посмотрим, что может дать нам вторая часть задачи.

3_71 Vektor skorosti techeniya reki i lodka 2

Здесь лодка идет по течению. Уравнение имеет вид:

(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}}), где ({{t}_{2}}) — время по течению

Таким образом, у нас есть система уравнений:

(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}})

(frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}})

Нам неизвестна собственная скорость лодки. А нам она и не нужна! Вычтем одно уравнение из другого и получим:

(frac{L}{{{t}_{2}}}-frac{L}{{{t}_{1}}}=2cdot {{V}_{T}})

Отсюда нужно выразить время по течению:

({{t}_{2}}=frac{L}{2cdot {{V}_{T}}+frac{L}{{{t}_{1}}}})

Считаем:

({{t}_{2}}=frac{4}{2cdot 2.5+frac{4}{3}}approx 0.6) ч

36 минут потребуется Стэну, чтобы приплыть обратно.

Задача 11. По узкой лесной тропе колонной длиной в 30 метров идут туристы со скоростью 5 км/ч. Замыкающий посылает одного туриста в начало строя, чтобы тот передал гиду карту местности. Турист бежит в начало строя со скоростью 8 км/ч и, выполнив поручение, тут же бежит обратно с той же скоростью.

Сколько времени потребуется туристу, чтобы добежать до начала строя и вернуться обратно?

Решение:

Начнем с рисунка. Есть колонна определенной длины (пусть будет l), она движется с определенной скоростью. Из начала выходит турист (Т) и движется с другой скоростью:

Смотри. Пока турист движется, колонна тоже движется. Значит туда он пробежит путь больше, чем обратно:

3_73 Zadacha pro vybor systemi otscheta 2

Выглядит сложно.

Ну да, конечно! Это как идти в школу в соседнем дворе и для этого каждый раз покупать билет в Антарктиду.

Нужно выбрать удобную систему отсчета!

Сделаем так, чтобы колонна была неподвижна. Будем рассматривать все относительно нее. Можно даже представить, что ты один из туристов 🙂

Сделаем другую картинку!

3_74 Zadacha pro vybor systemi otscheta 3

Если ты один из туристов, будет очевидно, что туда и обратно «посыльный» будет двигаться с разной скоростью.

Например, когда ты едешь по шоссе, кто кажется быстрее: машины, которые обгоняют твою или машины, которые едут на встречу? Очевидно, что те, кто едут навстречу.

Теперь осталось определить, с какой скоростью турист движется туда и обратно.

Изначально он движется с колонной в одном направлении, то есть пытается ее обогнать. Результирующая скорость будет меньше его собственной:

({{V}_{1}}={{V}_{T}}-{{V}_{K}})

({{V}_{1}}=8-5=3) км/ч

Когда он движется обратно, колонна будет идти ему навстречу. Результирующая скорость будет больше:

({{V}_{2}}={{V}_{T}}+{{V}_{K}})

({{V}_{2}}=8+5=13) км/ч

Слишком быстро? Посиди и подумай. Мне не удастся просто вложить знания в твою голову. Ты сам тоже должен стараться!

Итак, из чего складывается время, затраченное туристом? Из времени туда и обратно!

(t={{t}_{1}}+{{t}_{2}})

Время в пути есть путь, деленный на скорость. Давай подставим:

(t=frac{l}{{{V}_{1}}}+frac{l}{{{V}_{2}}}=frac{l}{{{V}_{T}}-{{V}_{K}}}+frac{l}{{{V}_{T}}+{{V}_{K}}})

Теперь можем посчитать!

(t=frac{0.03}{3}+frac{0.03}{13}approx 0.0123)ч

Или приблизительно 44 секунды!

Задача решена! Оказывается, она очень простая, если верно выбрать систему отсчета.

Задачи в плоскости

Задача 12. Индейцы переплывают реку. Один из них, Красный Джо, встает напротив маленького причала и прыгает в воду, начиная плыть в его сторону со скоростью 2 м/с. Расстояние от причала до берега – 120 м. Течение реки имеет скорость 3 км/ч.

Куда на самом деле приплывет Красный Джо, позабывший духовную (и не только) связь своей скорости с рекой, и сколько времени на это уйдет?

3_75 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve

Решение.

Итак, в мыслях индейцах он плыл бы так:

3_76 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve CHAST

И это было бы верно, если бы он плыл в стоячей воде! Но течение изменяет его движение:

3_77 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve TRAEKTORIYA

Он движется вперед и его еще переносит река! Обозначим расстояние, на которое его перенесет от причала, за Х. Его и нужно найти.

3_78 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve SNOS

Еще нам дано расстояние до причала. Покажем на рисунке:

3_79 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve RASSTOYANIE

Как можно найти Х? Давай посмотрим, как движется тело по горизонтали. Оно просто смещается со скоростью течения, верно?

Значит, Х можно найти самым простым уравнением пути, которое мы знаем еще с пятого класса!

(X={{V}_{T}}cdot t)

Но как найти время?

Для этого нужно понять, что сносить его будет ровно столько времени, сколько он движется вперед.

То есть это то же время, что он затратил бы в стоячей воде, чтобы переплыть реку!

(t=frac{l}{{{V}_{K}}})

Подставим в уравнение выше:

(X={{V}_{T}}cdot frac{l}{{{V}_{K}}})

Теперь можем ответить на все вопросы задачи! Только не забудь перевести все в единую систему единиц измерения.

В задачах на движение не особенно важно (если не сказано иное), какие использовать единицы измерения. Главное, чтобы везде в решении они были одинаковые, например, везде километры или везде метры, везде часы или везде секунды. Как тебе удобно.

3 км/ч примерно равняется 0.83 м/с.

Подставляем значения в формулы:

(X=0.83cdot frac{120}{2}=49.8)м

Найдем время:

(t=frac{120}{2}=60)c

Таким образом, Красному Джо потребуется 1 минута на то, чтобы переплыть реку и оказаться на расстоянии 49.8 метров от причала.

Но есть и другой способ решения, если этот кажется тебе подозрительно легким 🙂

Попробуем решить эту задачу геометрией!

Вектор скорости течения параллелен отрезку Х, который нам нужно найти. Давай используем параллельный перенос и поставим его в более удобное место:

3_80 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve VEKTORY

Сумма векторов скорости Красного Джо и течения даст нам абсолютную скорость – скорость, с которой тело движется относительно берега.

Вектор абсолютной скорости будет лежать на пунктире, конец которого – положение Джо после преодоления реки.

А теперь рассмотрим подобные треугольники:

3_81 Zadacha na slozhenie skorostej v prostranstve PODOBIE TREUGOLNIKOV

Теперь запишем для них уравнение подобия, используя известные нам величины:

(frac{l}{{{V}_{K}}}=frac{X}{{{V}_{T}}})

Отсюда можем легко найти Х:

(X=frac{lcdot {{V}_{T}}}{{{V}_{K}}})

У нас получилась та же самая формула!

Задача 13. При скорости ветра 12 м/с капли дождя падают под углом 30 градусов к вертикали. При какой скорости ветра они будут падать под углом 45 градусов?

Решение:

Приятно и легко смотреть на дождь в окне. А еще легче решить эту задачу.

Если в физике видишь углы, ты точно будешь использовать тригонометрию. От нее не убежишь.

Начертим рисунок. Прежде всего, у нас есть вектор скорости ветра и какая-то вертикаль:

Как бы падали капли без ветра? Просто вниз:

Для удобства будем рассматривать одну каплю.

В этой задаче ветер можно сравнить с течением реки! Давай сделаем рисунок по этому сравнению!

Но где тут угол? Все просто: это будет угол вектора суммы!

3_85 Zadacha na vichislenie ugla pri absolyutnoj skorosti

Именно этот вектор принадлежит абсолютной скорости – той, что описывает движение капли относительно земли (и вертикали)

Давай разбираться. Скорость капли при отсутствии ветра нам неизвестна.

Не пугайся. Надежда на то, что неизвестные сократятся, всегда умирает последней.

Нам известна скорость ветра. И угол.

Рассмотрим получившийся у нас треугольник: он прямоугольный, его гипотенуза – абсолютная скорость. Она тоже неизвестна.

Давай попробуем с помощью угла связать два катета этого треугольника! Здесь поможет тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть:

(tgalpha =frac{{{V}_{B}}}{{{V}_{K}}})

Без векторов, потому что мы рассматриваем их длины и работаем с треугольником!

Давай выразим скорость капли в безветренную погоду, она ведь не изменится, она просто дана (вообще-то не дана, ну ладно) нам как факт.

({{V}_{K}}=frac{{{V}_{B}}}{tgalpha })

То есть когда скорость ветра и угол изменятся, мы все еще можем записать:

({{V}_{K}}=frac{{{{{V}’}}_{B}}}{tgbeta })

Давай приравняем:

(frac{{{V}_{B}}}{tgalpha }=frac{{{{{V}’}}_{B}}}{tgbeta })

Нужно найти новую скорость ветра. Выразим ее:

(frac{{{V}_{B}}cdot tgbeta }{tgalpha }={{V}_{B}}^{prime })

Можем подставить значения:

({{{V}’}_{B}}=frac{12cdot tg{{45}^{o}}}{tg{{30}^{o}}}=frac{12cdot 3}{sqrt{3}}approx 20.8) м/с

Задача решена!

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Заключение

Мы разобрались с самым простым видом движения.

Необходимо очень хорошо разбираться даже в тех вещах, которые кажутся очевидными.

Дальше будет легче, ведь у нас уже есть хорошая база! Теперь будут меняться лишь характеристики движения.

Надеюсь, тебе понравились задачи 🙂

Все ли было понятно? Узнал ли ты что-то, о чем не рассказывали в школе?

Источник