Как найти константы интегрирования - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Видео: Виды и примеры требований. Видеокурс Основы разработки требований в ИТ-проектах. Денис Бесков, 2013

Содержание

Обратное свойство
Неопределенный интеграл
Другие значения постоянной интеграции
Как рассчитывается постоянная интегрирования?
Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Предлагаемые упражнения
Упражнение 1
Упражнение 2.
Упражнение 3.
Упражнение 4.
Ссылки

В постоянная интеграции Это дополнительная ценность для вычисления первообразных или интегралов, она служит для представления решений, составляющих примитив функции. Он выражает внутреннюю неоднозначность, когда любая функция имеет бесконечное количество примитивов.

Например, если мы возьмем функцию: f (x) = 2x + 1 и получим ее первообразную:

∫ (2x + 1) dx = х²+ х + C ; куда C это постоянная интеграции и графически представляет вертикальный переход между бесконечными возможностями примитива. Правильно сказать, что (x²+ x) есть а примитивов f (x).

Таким же образом вы можете определить (x²+ х + C ) как примитив f (x).

Обратное свойство

Можно отметить, что при выводе выражения (x²+ x), мы получаем функцию f (x) = 2x + 1. Это связано с обратным свойством, существующим между выводом и интегрированием функций. Это свойство позволяет получать формулы интегрирования, начиная с дифференцирования. Это позволяет проверять интегралы через те же производные.

Однако (x²+ x) — не единственная функция, производная которой равна (2x + 1).

d (Икс²+ х) / dx = 2x + 1
d (Икс²+ х + 1) / dx = 2x + 1
d (Икс²+ х + 2) / dx = 2x + 1
d (Икс²+ х + 3) / dx = 2x + 1
d (Икс²+ х + C) / dx = 2x + 1

Где 1, 2, 3 и 4 представляют конкретные примитивы f (x) = 2x + 1. В то время как 5 представляет неопределенный или примитивный интеграл f (x) = 2x + 1.

Примитивы функции получаются посредством первичного или интегрального процесса. Где F будет примитивом f, если верно следующее

у = ∫ f (x) dx= F (х) + С; C = постоянная интеграции
F ’(x) = f (x)

Можно видеть, что функция имеет единственную производную, в отличие от ее бесконечных примитивов, полученных в результате интегрирования.

Неопределенный интеграл

∫ f (x) dx = F (x) + C

Он соответствует семейству кривых с одинаковым рисунком, которые испытывают несоответствие в значениях изображений каждой точки (x, y). Каждая функция, отвечающая этому шаблону, будет отдельным примитивом, а набор всех функций известен как неопределенный интеграл.

Ценность постоянная интеграции именно он отличает каждую функцию на практике.

В постоянная интеграции предлагает вертикальный сдвиг на всех графиках, которые представляют примитивы функции. Где наблюдается параллелизм между ними, и то, что C это значение смещения.

Согласно общепринятой практике постоянная интеграции он обозначается буквой «C» после добавления, хотя на практике не имеет значения, добавляется или вычитается константа. Его реальную ценность можно найти разными способами в зависимости от первоначальные условия.

Другие значения постоянной интеграции

Уже говорилось о том, как постоянная интеграции применяется в отрасли интегральное исчисление; Представление семейства кривых, определяющих неопределенный интеграл. Но многие другие науки и отрасли приписывают очень интересные и практические ценности постоянная интегрирования, которые способствовали развитию множества исследований.

в физический константа интегрирования может принимать несколько значений в зависимости от характера данных. Очень распространенный пример — знание функции V (т) который представляет собой скорость частицы в зависимости от времени t. Известно, что при вычислении примитива V (t) функция получается R (t) который представляет собой позиция частицы против времени.

В постоянная интеграции он будет представлять значение начальной позиции, то есть в момент t = 0.

Аналогично, если функция известна В) который представляет собой ускорение частицы против времени. Примитив A (t) приведет к функции V (t), где постоянная интеграции будет значением начальной скорости V₀.

в экономия, получая посредством интегрирования примитив функции стоимости. В постоянная интеграции будут представлять собой постоянные затраты. И так много других приложений, заслуживающих дифференциального и интегрального исчисления.

Как рассчитывается постоянная интегрирования?

Для расчета постоянная интегрирования, всегда будет необходимо знать первоначальные условия. Которые отвечают за определение того, какой из возможных примитивов является соответствующим.

Во многих приложениях он рассматривается как независимая переменная в момент времени (t), где постоянная C принимает значения, которые определяют первоначальные условия конкретного случая.

Если взять исходный пример: ∫ (2x + 1) dx = x²+ х + C

Допустимое начальное условие может заключаться в том, что график проходит через определенную координату. Например, известно, что примитив (x²+ х + C) проходит через точку (1, 2)

F (х) = х²+ х + C; это общее решение

F (1) = 2

Подставим в это равенство общее решение

F (1) = (1)² + (1) + С = 2

Отсюда легко следует, что C = 0

Таким образом, соответствующий примитив для этого случая есть F (х) = х²+ х

Есть несколько типов числовых упражнений, которые работают с константы интегрирования. Фактически, дифференциальное и интегральное исчисление не перестают применяться в современных исследованиях. Их можно найти на разных академических уровнях; от первоначального расчета, через физику, химию, биологию, экономику и другие.

Это также видно при изучении дифференциальные уравнения, где постоянная интеграции Он может принимать разные значения и решения, это связано с многочисленными производными и интеграциями, которые выполняются в этом вопросе.

Примеры

Пример 1

Пушка высотой 30 метров стреляет вертикально вверх. Известно, что начальная скорость снаряда составляет 25 м / с. Принимать решение:

Функция, определяющая положение снаряда по времени.
Время полета или момент, когда частица падает на землю.

Известно, что при прямолинейном движении, равномерно изменяющемся, ускорение является постоянной величиной. Это случай запуска снаряда, где ускорение будет равным гравитации.

g = — 10 м / с²

Также известно, что ускорение — это вторая производная от положения, что указывает на двойное интегрирование в разрешении упражнения, таким образом, получая два константы интегрирования.

А (т) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

Начальные условия упражнения указывают на то, что начальная скорость равна V₀ = 25 м / с. Это скорость в момент времени t = 0. Таким образом выполняется следующее:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁ Y C₁= 25

С определенной функцией скорости

V (t) = -10t + 25; Сходство с формулой MRUV (V_F = V₀ + а х т)

Аналогичным образом мы продолжаем интегрировать функцию скорости, чтобы получить выражение, определяющее положение:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t² + 25т + C₂

R (t) = -5t² + 25т + C₂ (примитив позиции)

Начальное положение R (0) = 30 м известно. Затем вычисляется конкретный примитив снаряда.

R (0) = 30 м = -5 (0)² + 25(0) + C₂ . куда C₂ = 30

Первый раздел разрешен, так как R (t) = -5t² + 25т + 30 ; Это выражение гомологично формуле смещения в MRUV R (t) = R₀ + V₀т — гт²/2

Для второго раздела необходимо решить квадратное уравнение: -5t² + 25т + 30 = 0

Поскольку это заставляет частицу достигнуть земли (позиция = 0)

Фактически, уравнение 2-й степени дает нам 2 решения T: {6, -1}. Значение t = -1 игнорируется, потому что это единицы времени, домен которых не включает отрицательные числа.

Таким образом решается второй участок, где время полета равно 6 секундам.

Пример 2

Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

f » (x) = 4; f ‘(2) = 2; f (0) = 7

Когда информация о второй производной f ’’ (x) = 4, начинается процесс антидеривации.

f ’(x) = ∫f’ ’(x) dx

∫4 dx = 4x + C₁

Затем, зная условие f ‘(2) = 2, переходим:

4 (2) + С₁ = 2

C₁= -6 и f ’(x) = 4x — 8

Проделайте то же самое для второго постоянная интеграции

f (x) = ∫f ’(x) dx
∫ (4x — dx = 2x² — 8x + С₂

Начальное условие f (0) = 7 известно и приступаем:

2(0)² — 8 (0) + С₂= 7

C₂= 7 и f (x) = 2x² — 8x + 7

f ’’ (x) = x² ; f ‘(0) = 6; f (0) = 3

Аналогично предыдущей задаче мы определяем первые производные и исходную функцию из начальных условий.

f ’(x) = ∫f’ ’(x) dx

∫ (х²) dx = (x³/ 3) + С₁

При условии f ‘(0) = 6 переходим:

( 0³/ 3) + С₁= 6; куда₁= 6 и f ’(x) = (x³/3 ) + 6

Затем второй постоянная интеграции

f (x) = ∫f ’(x) dx

∫ [(x³/ 3) + 6] dx = (x⁴/ 12) + 6x + С₂

Начальное условие f (0) = 3 известно и приступаем:

[(0)⁴/ 12] + 6 (0) + C₂ = 3; куда₂ = 3

Таким образом, мы получаем примитивное частное

f (x) = (Икс⁴/ 12) + 6x + 3

Пример 3

Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

dy / dx = 2x — 2, который проходит через точку (3, 2)

Важно помнить, что производные относятся к наклону линии, касательной к кривой в данной точке. Где некорректно предполагать, что график производной касается указанной точки, поскольку она принадлежит графику примитивной функции.

Таким образом, мы выражаем дифференциальное уравнение следующим образом:

dy = (2х — 2) дх ; тогда при применении критериев предотвращения вывода мы имеем:

∫dy = ∫ (2x — 2) dx

у = х² — 2x + C

Применение начального условия:

2 = (3)² — 2 (3) + С

С = -1

Получается: f (х) = х² — 2х — 1

dy / dx = 3x² — 1, который проходит через точку (0, 2)

Выразим дифференциальное уравнение следующим образом:

dy = (3x² — 1) дх ; тогда при применении критериев предотвращения вывода мы имеем:

∫dy = ∫ (3x² — 1) дх

у = х³ — х + С

Применение начального условия:

2 = (0)² — 2 (0) + С

С = 2

Получается: f (х) = х³ — х + 2

Предлагаемые упражнения

Упражнение 1

Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

f » (х) = х; f ‘(3) = 1; f (2) = 5
е » (х) = х + 1; f ‘(2) = 2; f (0) = 1
f » (x) = 1; f ‘(2) = 3; f (1) = 10
е » (х) = -х; f ‘(5) = 1; f (1) = -8

Упражнение 2.

Воздушный шар, поднимающийся со скоростью 16 футов / с, сбрасывает мешок с песком с высоты 64 футов над уровнем земли.

Определите время полета
Что будет вектор V_Fкогда я упаду на пол?

Упражнение 3.

На рисунке показан график ускорения-времени автомобиля, движущегося в положительном направлении оси x. Автомобиль двигался с постоянной скоростью 54 км / ч, когда водитель нажал на тормоза и остановился за 10 секунд. Определите:

Начальный разгон автомобиля
Скорость автомобиля при t = 5с
Смещение автомобиля при торможении

Упражнение 4.

Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

dy / dx = x, проходящий через точку (-1, 4)
dy / dx = -x² +1, который проходит через точку (0, 0)
dy / dx = -x + 1, который проходит через точку (-2, 2)

Ссылки

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и методы интегрирования. Уилсон, Веласкес Бастидас. Университет Магдалены 2014
Стюарт, Дж. (2001). Расчет переменной. Ранние трансцендентальные. Мексика: Thomson Learning.
Хименес, Р. (2011). Математика VI. Интегральное исчисление. Мексика: Pearson Education.
Физика И. Мак Гроу Хилл

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In calculus, the constant of integration, often denoted by (or ), is a constant term added to an antiderivative of a function f(x) to indicate that the indefinite integral of f(x) (i.e., the set of all antiderivatives of f(x) ), on a connected domain, is only defined up to an additive constant.^[1]^[2]^[3] This constant expresses an ambiguity inherent in the construction of antiderivatives.

More specifically, if a function f(x) is defined on an interval, and F(x) is an antiderivative of f(x) , then the set of all antiderivatives of f(x) is given by the functions F(x)+C , where is an arbitrary constant (meaning that any value of would make F(x)+C a valid antiderivative). For that reason, the indefinite integral is often written as ,^[4] although the constant of integration might be sometimes omitted in lists of integrals for simplicity.

Origin[edit]

The derivative of any constant function is zero. Once one has found one antiderivative F(x) for a function f(x) , adding or subtracting any constant will give us another antiderivative, because ${textstyle {frac {d}{dx}}(F(x)+C)={frac {d}{dx}}F(x)+{frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ . The constant is a way of expressing that every function with at least one antiderivative will have an infinite number of them.

Let and be two everywhere differentiable functions. Suppose that for every real number x. Then there exists a real number such that for every real number x.

To prove this, notice that . So can be replaced by , and by the constant function , making the goal to prove that an everywhere differentiable function whose derivative is always zero must be constant:

Choose a real number , and let C=F(a) . For any x, the fundamental theorem of calculus, together with the assumption that the derivative of vanishes, implying that

${displaystyle {begin{aligned}&0=int _{a}^{x}F'(t) dt\&0=F(x)-F(a)\&0=F(x)-C\&F(x)=C\end{aligned}}}$

thereby showing that is a constant function.

Two facts are crucial in this proof. First, the real line is connected. If the real line were not connected, we would not always be able to integrate from our fixed a to any given x. For example, if we were to ask for functions defined on the union of intervals [0,1] and [2,3], and if a were 0, then it would not be possible to integrate from 0 to 3, because the function is not defined between 1 and 2. Here, there will be two constants, one for each connected component of the domain. In general, by replacing constants with locally constant functions, we can extend this theorem to disconnected domains. For example, there are two constants of integration for , and infinitely many for , so for example, the general form for the integral of 1/x is:^[5]^[6]

${displaystyle int {frac {dx}{x}}={begin{cases}ln left|xright|+C^{-}&x<0\ln left|xright|+C^{+}&x>0end{cases}}}$

Second, and were assumed to be everywhere differentiable. If and are not differentiable at even one point, then the theorem might fail. As an example, let F(x) be the Heaviside step function, which is zero for negative values of x and one for non-negative values of x, and let . Then the derivative of is zero where it is defined, and the derivative of is always zero. Yet it’s clear that and do not differ by a constant, even if it is assumed that and are everywhere continuous and almost everywhere differentiable the theorem still fails. As an example, take to be the Cantor function and again let .

For example, suppose one wants to find antiderivatives of cos(x) . One such antiderivative is sin(x) . Another one is . A third is . Each of these has derivative cos(x) , so they are all antiderivatives of cos(x) .

It turns out that adding and subtracting constants is the only flexibility we have in finding different antiderivatives of the same function. That is, all antiderivatives are the same up to a constant. To express this fact for cos(x) , we write:

Replacing by a number will produce an antiderivative. By writing instead of a number, however, a compact description of all the possible antiderivatives of cos(x) is obtained. is called the constant of integration. It is easily determined that all of these functions are indeed antiderivatives of cos(x) :

${displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}[sin(x)+C]&={frac {d}{dx}}sin(x)+{frac {d}{dx}}C\&=cos(x)+0\&=cos(x)end{aligned}}}$

Necessity[edit]

At first glance, it may seem that the constant is unnecessary, since it can be set to zero. Furthermore, when evaluating definite integrals using the fundamental theorem of calculus, the constant will always cancel with itself.

However, trying to set the constant to zero does not always make sense. For example, can be integrated in at least three different ways:

${displaystyle {begin{alignedat}{4}int 2sin(x)cos(x),dx=&&sin ^{2}(x)+C=&&-cos ^{2}(x)+1+C=&&-{frac {1}{2}}cos(2x)+{frac {1}{2}}+C\int 2sin(x)cos(x),dx=&&-cos ^{2}(x)+C=&&sin ^{2}(x)-1+C=&&-{frac {1}{2}}cos(2x)-{frac {1}{2}}+C\int 2sin(x)cos(x),dx=&&-{frac {1}{2}}cos(2x)+C=&&sin ^{2}(x)+C=&&-cos ^{2}(x)+C\end{alignedat}}}$

So setting to zero can still leave a constant. This means that, for a given function, there is not necessarily any «simplest antiderivative».

Another problem with setting equal to zero is that sometimes we want to find an antiderivative that has a given value at a given point (as in an initial value problem). For example, to obtain the antiderivative of cos(x) that has the value 100 at x = π, then only one value of will work (in this case ).

This restriction can be rephrased in the language of differential equations. Finding an indefinite integral of a function f(x) is the same as solving the differential equation ${textstyle {frac {dy}{dx}}=f(x)}$ . Any differential equation will have many solutions, and each constant represents the unique solution of a well-posed initial value problem. Imposing the condition that our antiderivative takes the value 100 at x = π is an initial condition. Each initial condition corresponds to one and only one value of , so without it would be impossible to solve the problem.

There is another justification, coming from abstract algebra. The space of all (suitable) real-valued functions on the real numbers is a vector space, and the differential operator ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ is a linear operator. The operator ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ maps a function to zero if and only if that function is constant. Consequently, the kernel of ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ is the space of all constant functions. The process of indefinite integration amounts to finding a pre-image of a given function. There is no canonical pre-image for a given function, but the set of all such pre-images forms a coset. Choosing a constant is the same as choosing an element of the coset. In this context, solving an initial value problem is interpreted as lying in the hyperplane given by the initial conditions.

References[edit]

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
^ «Definition of constant of integration | Dictionary.com». www.dictionary.com. Retrieved 2020-08-14.
^ Weisstein, Eric W. «Constant of Integration». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-14.
^ «Reader Survey: log|x| + C«, Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012
^

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления интеграла константы

Формула

Интеграл константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования плюс постоянная интегрирования.

Этот факт получается на основании
свойств неопределенного интеграла, а именно, что константу
можно выносить за знак интеграла и знак интеграла уничтожает знак дифференциала.

Примеры вычисления интеграла константы

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $int 2dx$

Решение. Согласно формуле имеем, что

$$int 2 d x=2 x+C$$

Ответ. $int 2 d x=2 x+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $int (pi — 1)dx$

Решение. Искомый интеграл равен

$$int(pi-1) d x=(pi-1) x+C$$

Ответ. $int(pi-1) d x=(pi-1) x+C$

Читать дальше: интеграл степенной функции.

Источник

Как известно, постоянные
интегрирования определяются из начальных
условий, каковыми являются значения
искомой функции и ее производных по
(n– 1)-ую
включительно в начальный момент времени
0⁺(«справа»). В отличие от чисто
математических задач, где эти условия
задаются в качестве исходных данных
непосредственно, при анализе переходных
процессов задаются начальные условия
«слева» в моментt = 0^–,
предшествующий коммутации (чаще всего
они формулируются самой постановкой
задачи и легко определяются из расчета
докоммутационного режима). Нахождение
начальных условий «справа» по известным
значениям начальных условий «слева» –
ключевой момент в расчете переходных
процессов.

Опишем процедуру отыскания
начальных условий в цепи n—го
порядка

для послекоммутационной
схемы ()
составляют систему уравнений для
мгновенных значений токов и напряжений
по законам Кирхгофа, дополняют эту
систему компонентными уравнениями
типадля емкости;
рассматривают эту систему
уравнений в момент t = 0⁺
с учетом независимых начальных
условий, которые по правилам коммутации
берутся равными начальным условиям
«слева», в результате определяются
зависимые начальные условия, в том
числе значения первых производных от
индуктивных токов и емкостных напряжений;
для отыскания значений
первых производных от зависимых
электрических величин и вторых
производных от независимых электрических
величин необходимо систему уравнений
из п. 1 продифференцировать и
рассмотреть ее в момент t = 0⁺с учетом информации,
полученной в п. 2;
процедура дифференцирования
продолжается до тех пор, пока не будет
найдена (n– 1)-ая производная
искомой функции в 0⁺.

Система уравнений для определения
постоянных интегрирования имеет
следующий вид:

(4.9)

Здесь для определенности
полагаем все корни p_k вещественными
разными числами. Кроме того, следует
учитывать, что при наличии в цепи только
источников постоянных воздействий
значение производных от принужденной
составляющей переходного процесса
равны нулю.

Возможная схемная реализация
этой технологии подробно описана в [] и
позже будет пояснена на конкретном
примере.

4.2.5. Переходные процессы в цепях Iпорядка

Рассмотрим примеры
расчета переходных процессов в
неразветвленных электрических цепях,
с достаточной степенью наглядности
иллюстрирующие физические явления,
происходящие в них в переходных режимах.

4.2.5.1. Разряд заряженной ёмкости через сопротивление r

1. Запишем
правило коммутации для цепи на рис. 4.5:

2. Составим дифференциальное
уравнение цепи:

;

Характеристическое
уравнение первого порядка:

корень которого
.

3. Полное решение дифференциального
уравнения:

Поскольку уравнение
имеет первый порядок, свободная
составляющая имеет одну экспоненту

4. Определим принужденную
составляющую
.

5. Для определения постоянной
интегрирования Aзапишем полное решение для моментаt = 0⁺

Применив правило коммутации,
получим окончательное решение

Ток в цепи определяется
с помощью дифференциального закона Ома

Итак, имеем две
экспоненты, описывающие изменения
и.
Графики измененияипредставлены на рис. 4.6. Напряжение на
конденсаторе непрерывно в момент
коммутации и уменьшается по экспоненциальному
закону от начального значенияU₀.
Знак «минус» в выражении для тока говорит
о том, что ток при разряде конденсатора
направлен противоположно току при его
заряде. В начальный момент значение
тока максимально, его спад связан с
уменьшением напряжения на элементах
цепи. Ток на ёмкости меняется скачком.

Введём
величину, характеризующую скорость
изменения электрической величины в
переходном режиме, называемуюпостоянная
времени ().

Величина
показывает, за какой промежуток времени
свободная составляющая переходного
процесса уменьшается враз.

Чем
больше,
тем медленнее переходный процесс, тем
больше.
Хотя полученные выше выражения определяют
бесконечную длительность переходного
процесса – свободные составляющие лишь
асимптотически стремятся к нулю –
практически можно считать, что переходный
процесс заканчивается за время, равное
.

Постоянную времени
можно графически определить по длине
подкасательной, проведённой в любой
точке свободной составляющей переходного
процесса (рис. 4.7).

Постоянная времени
измеряется в секундах и для цепей первого
порядка связана с корнем характеристического
уравнения

. (4.10)

Рассмотрим
энергетические соотношения, описывающие
работу цепи после коммутации.

Энергия электрического
поля конденсатора до коммутации –,
в результате полного разряда при.

Покажем, что вся
энергия, запасенная в конденсаторе,
выделяется в виде тепловой энергии на
резисторе R:

Соседние файлы в папке Часть 2

Источник

Определение постоянных интегрирования в классическом методе

Определение констант интегрирования классическим способом. Как известно из предыдущего, свободный ток или свободное напряжение могут быть выражены в виде суммы экспоненциальных членов. Количество полных слагаемых равно числу корней в характеристическом уравнении.

Таким образом, для двух действительных неравных корней трех действительных неравных корней <ce = 4 «. Для любой схемы, мы можем видеть, что: 1) при t = 0+ Требуемое значение свободного тока льда представляет собой первую производную льда (0+) 2) первое число и, необязательно, свободную производную, взятую при f ~ 0 +.

используя уравнение Кирхгофа и закон переключения
Людмила Фирмаль

Значение первой производной тока обозначено как i’ce (0,.). Значение второй производной свободного тока при t = 0+ обозначено как & (0+) и т. Д. Подумайте, как определить интегральную константу A, …, Zce (0+), <^ (0+) и & (0+), и известное уравнение характеристики цепочки установки значения корня p19 представляет собой линейное уравнение

В случае ice = Aept постоянная интегрирования A определяется значением свободного тока efe (0+): Л = / „(0+). (10.15) Если характеристическое уравнение является квадратичным, а его корни не равны действительному числу, + ЛЧ (Ю.16) Это уравнение во времени: ice = PtA ^ + p2L2 ^.

Запишите уравнения (10.16) и (10.16 ‘) для (10.16’) / = 0 (учитывая случай t-0-eM = 1). = (10.17) ice (0+) = pxAx + p2L2. (10.17 ‘) В этой системе уравнений известны 1 £ B (0+), 4D0D p ± и p2. Неизвестно Lh и Ay. Совместное решение (10.17) и (10.17 ‘) выглядит следующим образом: l (Qf) P ^ ce (0-b) • (10.17 «) 1

Если корень характеристического уравнения Pl-Pr является комплексно сопряженным, свободный ток имеет вид: = Ae ~, если sin (q + v (10.18) Угловая частота ω0 и коэффициент ослабления b известны из решения характеристического уравнения, где

два неизвестных A и v имеют значения ife (0- ») и * <* (0 +).
Людмила Фирмаль

Время Дифференцируем с уравнением (10.18), получим: ice — A6e ~ ts в (uot + v) -j-A ^ ~ h cos (nJ-fv). (10.18 ‘) уравнение (10.18’) для / == 0+: i ‘<x (04) = — / b sin v + cos v. Итак, есть два уравнения для определения двух неизвестных A и v: лед (° +) = 4sinv; Ice (0 +) — Lb sin v + <b0L cos v. Для цепей с характеристическими кубическими уравнениями свободный ток льда = A ^ 1 * + LU + A ^ 1. (10.20)

Найти первую и вторую производные левой и правой частей (10.20): ice = PyA ^ 4 — p2A2eVit 4-; (10.21) (10.22) (10.23) Cb = Pi A / * + plA2epj + plA ^. т = 0р1св (0J = А + Л.24 «Л3; 4 (0 +) = рхЛг + р2Л2 + р3Л3; ■ лед (0 +) = PiЛ x + P2 A 2 4″ Rz l 8. Уравнение одновременности (10.23) имеет вид , Система из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными Lx, L2 и L8, включая все другие величины [px, p2, p8, <^ (0+), C (0+)

Обратите внимание, что в сложных ветвях с большим запасом энергии и определенными взаимосвязями между параметрами начальное значение одного или нескольких свободных токов или напряжений может быть равно нулю.

В этом случае количество свободных компонентов конкретного тока или напряжения будет меньше количества корней характеристического уравнения и не будет равно количеству свободных компонентов других токов, например, угловой частоты b)

Собственная угловая частота последовательного или параллельного резонансного контура, которая может возникнуть, если одна свободная вибрация равна 0, в этом случае доступна r цепь На этой частоте, до свободных компонентов, резонансный контур серии на самом деле более короткие участки цепи соединены с зажимом, параллельная схема будет резать цепь для этого. I: $ *

Теперь рассмотрим некоторые численные примеры расчета переходных процессов классическими методами в цепях первого и второго порядка с постоянными и синусоидальными источниками. d.s с нулевыми и ненулевыми начальными условиями.

Пример 128. На рисунке 309 до того, как автоматический выключатель был замкнут, начальное состояние было нулевым. E = 210 В. /? г = 1000 Ом, /? 2 = 2000 Ом. С = 50 микрофарад. 1) Найти начальные значения полной, принудительной и свободной составляющих всех токов и напряжений на емкости. 2) Определить закон изменения во времени всех ветвей тока и емкостного напряжения.

Выберите положительное направление для тока ветвления в соответствии со схемой решения в первой части проблемы. 309. Принимает положительное направление относительно напряжения, как это обычно делается, в соответствии с током.

Перед замыканием автоматического выключателя напряжение на конденсаторе равно нулю: M0-) = Согласно второму закону переключения оно остается равным нулю сразу после переключения при t-0 +.

Построить уравнение в соответствии с законом Кирхгофа. + «c = W? 2» = / 2 + «3- t = 0, переписать в /. M <> +) == W /? 2; h (0 +) = / 2 (0+) + i3 (0+), ns (0 +) = 0, поэтому h (0 +) = 7Γ = S = 0,21 (a) и (0 +) = 0: «3 (0 +) = h (0+) -i2 (0+) = 0,21 a. Независимое начальное значение схемы равно 1. «c (0+) = 0 — все остальные начальные значения являются зависимыми.

Найти текущее значение форсировки. Схема Тогда источником постоянной е., А в случае постоянного тока емкость является разомкнутой цепью, поэтому • -i = E = ΛW lW k1 + ı2zooo = 0,07 (а) Напряжение на конденсаторе является напряжением на сопротивлении Равно напряжению /? 2: IS —UR «- ^ pr 2pr ER * R1A-R2 140 В.

Найдите свободные составляющие тока, для этого каждый ток при t = 0+ является принудительным и свободным Может быть выражена как сумма: отсюда (0J = ((° +) ™ imp (0J = 0,21-0,07 = 0,14 (o);) == <2 (0 +) — <2lr (0, ..) = 0-0,07-—0,0 7 (а); он, (0+) — h (0 +) — (0J = 0, 21-0 = 0,21 (а); «ere (0+) = UC (0 +) — и Spr (0+) = 0-140 = -140 (c).

Решение второй части проблемы стр. См. 365): «T + ^ 2-0 имеет один маршрут: Ri 4- R2 RtRzC-30 сек 1. Поскольку в характеристическом уравнении существует только один маршрут, Ae & (с тем же индексом, что и у постоянной A желаемого тока): = = ‘W + = 0,07 + 0,146- ^ a; Ri_r Kb 4 = <2, ,, P + = ~~ + = 0,07-0,07e «® ° za»; z = i3np + «S» = 0 + ^ ept = 0,2 л. К SOf a; «a =« c »₽ +« a . = + A ^ ‘= 140-140e ~ ^ c.

График тока и напряжения u как функции времени качественно показан на рисунке 310. Константа интегрирования 7 ^ является током при / = 0+ Значение свободного компонента ilce равно A = ‘1 «(0+) = 0,14 a. Константа интегрирования A = * 2 «(0+) = -0,07 a; L =» s ™ (0+) = 0,21 a; L4 = ISB (0+) = -140 дюймов.

Выше решение описывается в числовой форме Напишите решение в буквальной форме: L = MO +) — <1lR (o +) = A__ | _; L2 = i, (0 +) — i2np (0+) = 0 — A-; ‘T * 2 A-4 (0 +) — ianp (0+) = A — o = A; К1Д4 = is (0,.) АСпр (0+) = 0- /? 2 * I’ <1 Как правило, требуемое количество описывается следующим образом: ЕRi + R> Е — ^ — и Ri + R *

Пример 129 Рисунок 312 До того, как автоматический выключатель был замкнут, существовало устойчивое состояние: / ?! = /?} = -50 Ом C = 100 микрофарад, E = 150 дюймов Требования к рисунку 310: 1) Ток и напряжение конденсатора заполнены, принудительные и свободные компоненты и напряжение на конденсаторе отсутствуют

Найти начальное значение производной 2) Определить ток t2, t3 и напряжение u как функцию времени Решение первой части задачи i2 (0_) = 0 и «1 (0_) = i, до переключения (0_) = = — = 1 (a) n H1 + H1 + H3 150 Вт конденсатора Соответствует ли напряжение напряжению резистора? 3: (0-) == H (0-) = 1 • 50 = 50 (c).

Определить принудительное значение после переключения: -Chlr- + 100 “* «Слр (° +) = ‘zpr (° +) /? Z = 1,5 • 50 = 75 (c). Согласно второму закону Кирхгофа, образованному первой и второй ветвями t = 0+ Построить уравнение контура: H (° +) + «c (O.,.) = £, но есть (0 +) = есть (0 отсюда» 1 (0 +) = уравнение E — к (0- ) = 150-50 = 2, Ri 50 L найдено: / 3 (0+) = M ^ = 1a.

Согласно первому закону Кирхгофа «1 (0 +) =» 2 (0 +) — H3 (0+), поэтому ‘2 (0 J = h (0 +) — i3 (0+) = 2-1 = 1 (a). Общие и принудительные значения: (0 *) = 50-75 = -25 (е); (0+) = 2-1,5 = 0,5 (а);, (0 +) = 1-0 = 1 (а); 1 .5 = -0,5 ()) • сгcg (0+) = сc (0 +) — СC /, C s (^ 1) = C 1) C pr 1 C c (® +) = H (O «) H pr H c sv (° +) = H (0+) -h pr (° +) = 1-1 b; / — »^ is st dt ‘, тогда из-за st _ Che dtС

В этом примере / dt ^ Cce _ ^ 2Св (фу) 1 = 10 * (в! сек). # // m> + С100.1О ~ * Решение второй части задачи Существует один путь к характеристическому уравнению схемы после переключения. p = -A ± 2k _ 400 с ‘ RiR.fi Каждый ток равен сумме форсирующего компонента и свободного компонента Aept, A равно / = 0 +: 1,54-0,5 0’a; t2 = e “40Wa; r3 = 1,5-0,5 54 a.

Таким образом, i = inp + ice = 35,2 sinˆ-20′) 8,54e ~ 2 | 0 / a. Свободный ток, кривая 4 — общий ток после переключения (ордината кривой 4 при ω / 0 — кривая 2 и 5 Она равна сумме координат). Пример 132. На рисунке 317 замыкает переключатель на третьей ветви.

До этого было устойчивое состояние. e (t) = E = 120 дюймов 1) w, .. ‘»c ^)„. ! Найти принудительный ток и напряжение конденсатора после переключения f1 (0J = i2 (0_) = 120 50 4-10 перед включением выключателя, чтобы решить первую часть проблемы, чтобы найти: H pr ^ 2 Pr DC * 3lr = 0 *

Отсутствует падение напряжения от постоянного тока на индуктивности, поскольку ток не течет в конденсатор, поэтому вынужденное напряжение на конденсаторе от 1Lpr до падения напряжения с резистора /? 2 от тока u = 2.10 = 20 (c)

Первый закон выпрямления Z2 (0J = 4 (0+) = 2a, где (0+) = h pr (^ 4) + 12 sv (0 +)>, где 12 sv (° +) = «2 (0 +) -» 2 pr (0t) = 2-2 = 0 «i (0+) = i2 (0+) + z3 (0+),» i (0+) = 2 + равен (0 +), который строит уравнение по закону Кирхгофа о второй замкнутой цепи, образованной первой и третьей ветвями: 4 (0 +) + 4 GM * s + равно (0-J- это (0+) = 0 и 4 (0+) = 2-H3 (0J, тогда E-21 Ri + Dz 120-2-50 50 -f-50 = 0,2 (а) r3ge (0+): это (0-3 = есть (<М к пр (0+) = 0,2-0 = 0,2 (а).

Определяется ULc (/ (0 ^)) Создайте уравнение свободной компоненты, чтобы 4 ev (0+) + 4 sv (0+) + ul sv (0+) = 0 вдоль контура, образованного первой и второй ветвями -i2 sv (0 +) /? 2 = -0,2 • 50 + 0 = -10 (c), но поэтому (^ sv =, csv (M = _ 5 (a / s). L = 0 + ^ 2

Найти свободное напряжение конденсатора при t = 0+ согласно второму закону переключения .ic (0_) = «s (° +);» c (0+) = ■ использовать pr (° +) + «C cn (0+); 0 = 20+» cn (0+), следовательно, «Csv (° +) ^ -20 e- Z-0 + определяет скорость изменения свободного напряжения конденсатора.

По этой причине решение для второй части задачи составляет 0,2 150,10-6 «1333 (в / с). Характеристическое уравнение имеет вид p ^ L2c (/ ?! + /? S) + p [C (?? 2 / ? S + R & + / r ^ s) + Л2] + /? х + /? 2 = 0 имеет два комплексных сопряженных корня: Pi = -42, 1 + / 15,2 с «1 и p2 = -42,1- / 15,2 с» 1.

Таким образом, свободный компонент необходимо получить в следующем формате Существует: 4e ”6z sin (coo / + v), где 6 = 42,1 и ω0 = 15,2. Данные первой части задачи G pr% a ,, <2 sv (0 +) — 0, ^ 2 sv ( 0 *) 5 и / s ssp = 20 e; ssb (0+) = -20 e; ss sv (0+) = 1333 v / s. / = 0 функция Le ”6 * sin (co0 / 4 ~ v) 4sinv.

Производная функции Ae от bi sin (. Кривая 2 на рисунке 318 показывает uc = f (t). Пример 133. 317 e (t ) = 127 sin (314 / 4-40 °) C. Параметры схемы такие же, как в Примере 132. До включения автоматического выключателя цепь находилась в устойчивом состоянии: «c (0_) = 0.

Требуется: 1) «Cr (° +) и 2) Определить i2 (t) и uc (t). Решение первой части проблемы — до переключения / определение принудительного тока и напряжения конденсатора после переключения Входной импеданс цепи номер 4-1 ^ 2) zex = /?, + ~ ^ ~ = 104,8e — jSS0 ‘; -F / <о ^ + ^ зт. 127е / 4О ° 104,8- / 9 ° м’ Ir pr (° +) == 1,213 sin 49 ° 50 ‘= 0,923 a.Подключено параллельно 1,2! 3? 49е50’а

Мгновенное значение вынужденного тока после переключения ilnp => 1,213 sinˆ + 49 ° 50′); 2-й и 3-й ответвления комплексного сопротивления = bO.Zv-‘18035; ^ rz-; Kg 4 «4-х напряжения в комплексе в параллельном сечении = = 1,2 1 Ze’49’50 ‘.56.3 ^ «‘ ® ‘= 68.2е’31’15’ in; j U23t-68,2 ^ 31 Q 10OCr- / 58 ° 45 ‘S ^ m-z2-io- | j628“ U ‘1Wee 1/3 w = 68’2g / — = 1,253е’54 ° 20’.

Мгновенные значения вынужденных токов i2 и i8 после переключения: i2 = 0,1085 sin (w / -58 ° 45 ‘), i8 = 1,253 sin (o / + 54 ° 2 (В); i2 pr (0+) = OD 085 sin (-58 ° 45 ‘) = -0,0928 a Szpr (0 +) == 1,253 sin 54 ° 20’ = 1,016 A. Принудительное напряжение на конденсаторе UCm = 1,253е / 54 ° 20 ‘.21, З- / 80 ° = 26,7y- / ^ «‘.

Мгновенное значение вынужденного напряжения, приложенного к емкости после переключения, составляет pr-26,7 sin (co / -35 ° 40′);» pr (° +) = 26> 7 sin (-35 ° 40 ‘) = -15,57 дюйма. Найти f2re (0+). Закон переключения: «2 (0 ) = <2 (0+) = -0,1415 =» 2 „p (0+) ) 4-12sv (0+); ”■ 2pr (0+) = -0,0928 a;» 2 «(0+) = -0,1415 4-0,0928 = -0,0487 a.

Согласно второму закону переключения конденсатор» Найти свободное напряжение ssv (0+). «S (0 ) =» s pr (0+) 4- и С (в (0+); «сev (0 <) = (0 _) — isp (0 +) = 0 — (- 15,57) = 15,57 (в) / 1-й и 3-й бюстгальтер для определения 3gv (0+) Настройка уравнения вдоль контура, образованного с помощью переключателя.

Заменить в нем / найти 1sv (0+) ~ 1-0.0487 4- £ 3 „(0+) 1 и sSv (® +) =, 5” 57 6-: ”’8” (0+) = ~ 10 + 1 ° ‘~ = ~ 0,1314 (а); G зв (0-J = <2 зв (0+) + rs зв (0+) ~ -0,18 А. «дн (0 +) = £ ( Для определения- ^ построим уравнение первого сформированного контура второй ветви: <1 Зв (° +) + * 2 Зв (0-i) + UL св ОМ-0 »Зв ( 0 *) * s-0,1314 150-10 «6 = -876 (в; с).

Решение второй части задачи Согласно данным, полученным при решении первой части, / 2lr = 0,1085 sin (w / -58g45 ‘), / 2sv (0+) = -0,0487 a; (0+) = 4,74 a / 7 sin (co / -35c40’), ccb (0+) = 15,57 в , Cb (0J-in / sec.

Создать два уравнения для определения корней i2ce A и v характеристического уравнения: equationsin v = -0.0487; -бЛsin v + co0 / cos v == 4.74, wh = L = 0, 184 a и v = -15с20 So G-12 „₽ +« 2 »= О, 1085 sin А-58 ° 45 ‘) + 4- 0,184e ~ 4i!’ L’s в (1512 / -15 ° 2 (D) а.

Построить два уравнения для определения констант A и v в iCw: A sin v = 15,57; -M sin v + v0A, потому что v = -876 Совместное решение: A = 21,3 и v = 136 ° 5 (G, «c = ^ SpR +» c = 26 «7 sin, А-35 ° 40 ‘) + _ [_ 21,3e ~ 42’, f sin ( 15.2Z + 136 ° 50 ‘) в. ♦

* * Здесь мы возвращаемся к основам операторного метода, который является вторым методом для расчета переходных процессов линейных электрических цепей. Я помню несколько

Смотрите также:

Решение задач по электротехнике

Источник