Как найти координатную прямую 6 класс

Координатный луч с положительными числами дополним противоположным ему лучом и нанесём на него такие же деления. Получим координатную прямую.

Около стрелочки часто ставят букву  (x), (y), (z)  или другую букву латинского алфавита. В таких случаях говорят: ось (x), ось (y), ось (z)  соответственно.

На координатной прямой важно расположение точек.

Говорят: «Точка (P) расположена слева от точки (O)». «Точка (P) расположена справа от точки (K)».

M−1,5;K−1;P12;T2;F2,25.

Введение

Вот такие отметки на дороге (рис. 1) выполняют сразу три функции.

Рис. 1. Отметки на дороге

• Измерение расстояний. Мы знаем, на сколько мы удалились от города. Или от другой подобной отметки.
• Адрес, имя. Мы знаем, где находимся. По телефону легко передать числовой адрес нашего места.
• Направление. Глядя на эти отметки, легко понять, в какой стороне находится город – начало отсчета.

Где ещё числа помогают нам ориентироваться? В кинотеатре. В зрительном зале все ряды и все кресла пронумерованы. И на нашем билете написаны номер ряда и номер места. С помощью двух этих чисел мы легко находим свое место (рис. 2).

Рис. 2. Место в кинотеатре

Раньше дома не имели номеров. Вы приезжаете в город и ищете дом купца Елисеева. Когда людей и домов не очень много, то это не очень трудно. Особенно, если вы ищете дом известного человека (рис. 3).

Рис. 3. Дом без номера

Но в современном городе с сотнями тысяч и миллионами жителей ориентироваться нам помогает нумерация домов (рис. 4).

Рис. 4. Нумерация домов

Но вернемся к дороге. Представьте, что вы вдруг оказались на дороге перед отметкой  (рис. 5).

Рис. 5. Отметка

Понятно ли, где вы находитесь? Пока нет. Нужно знать еще вот что:

• В каких единицах это измерено: может, это километры, может, версты, а может, мы в Англии и это мили.
• Точка отсчета. А в какой стороне начало, город от которого отсчитывается? В какую сторону увеличиваются эти отметки?

Когда нам будут известны эти две вещи, то мы точно будем знать, где находимся.

Координатная (числовая) прямая

Моделью дороги в математике является прямая.

Две идеи (присвоить точкам имена и измерять расстояния) объединяются в одну – координатная (или числовая) прямая. Можно имена присваивать буквенные. Там даже функцию порядка можно сохранить – за  идет , за  идет  и т.д. Но с измерением расстояний тут не понятно, как поступить. Поэтому удобнее присвоить точкам на прямой числовые имена.

Для этого требуется три действия.

• Отмечаем точку, относительно которой все будет считаться, начало отсчета. Самое разумное – поставить там отметку ноль, ведь если мы находимся в этой точке, то расстояние до начала отсчета равно нулю (рис. 6).

Рис. 6. Начало отсчета

• Выбираем единицы, в которых будем измерять. Для этого нужно указать длину отрезка, которую мы будем считать единичной (рис. 7).

Рис. 7. Единичный отрезок

• Выбираем направления, куда будут увеличиваться отметки. Отметим его стрелкой. Координатная прямая готова (рис. 8).

Рис. 8. Координатная прямая

Теперь каждой точке соответствует число, адрес этой точки. Это число называют координатой.

Модель дороги

Когда мы говорим «модель дороги в математике – прямая», может возникнуть резонный вопрос: но дорога далеко не всегда бывает прямой, она может быть какой угодно формы (рис. 9).

Рис. 9. Извилистая дорога

Уточним: мы говорим о модели дороги в том случае, если речь идёт не об удобстве, а только о расстоянии и порядке.

Если мы можем двигаться исключительно по дороге (не можем срезать и т.п.), то нам неважно, какой формы дорога: за столбом с номером  будет идти столб с номером  и т.д. Таким образом, для описания движения автомобиля, например, дорогу можно «выпрямить» и рассматривать модель – прямую

Координатная плоскость

В жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда упорядочивания по одному параметру недостаточно.

Например, в кинотеатре места занумерованы не от  до нескольких тысяч (что значительно усложнило бы поиск места зрителем), а обозначены номером ряда и номером места в этом ряду. Таким образом, каждому месту мы ставим в соответствие две координаты (а не одну) – ряд и место (рис. 10).

Рис. 10. Ряд и место

В этом случае нам уже не будет хватать координатной прямой, понадобится координатная плоскость.

Посмотреть урок про координатную плоскость можно по ссылке: Координатная плоскость. 

Определение координат точки

Давайте потренируемся определять эти координаты для разных точек.

Определим координату точки  (рис. 11).

Рис. 11. Точка

Для этого измерим, сколько раз единичный отрезок уложится от начала отсчета  до точки .  раза. Точке  соответствует число . Или точка  имеет координату  (рис. 12).

Рис. 12. Координата точки

Иногда координату записывают в скобках после названия точки (рис. 13).

Рис. 13. Запись координаты

Определим координату точки  (рис. 14).

Рис. 14. Точка

Единичный отрезок поместился  раз. Координата  (рис. 15).

Рис. 15. Координата точки

Можно поступить наоборот: найти точку по ее координате. Точка  имеет координату . Тогда от нуля нужно отложить  целых единичных отрезков и  (рис. 16).

Рис. 16. Расположение точки

Пусть теперь точка левее начала отсчета. Точка . Отрезок укладывается  раза. Но координата  уже занята для точки  справа (рис. 17).

Рис. 17. Расположение точки

Да и все остальные положительные числа уже использованы для координат тех точек, что находятся справа от нуля.

Но у нас остались еще отрицательные числа. Их и будем использовать для таких точек. То есть точка  имеет координату .

Две координаты, отличающиеся только знаками (то есть противоположные числа), соответствуют точкам, симметричным относительно начала координат. Например,  и соответствуют двум симметричным точкам  и  (рис. 18).

Рис. 18. Симметричные точки

Названия числовых прямых

Если числовых прямых две или больше, то, чтобы отличать одну от другой, их обозначают буквами, , ,  и т.д. Например, в прямоугольной системе координат на плоскости две оси. Их обозначают обычно  и . В нашем случае, хоть прямая и одна, ее все равно обычно обозначают буквой . Кроме того, чтобы не откладывать каждый раз единичные отрезки до нужной точки, на прямой часто сразу ставят несколько отметок, соответствующих целым числам.

Определение

Итак, координатная прямая (числовая прямая) – это прямая, на которой выбраны начало отсчета, направление, масштаб (единичный отрезок).

Каждой точке соответствует число, которое называют координатой. Координата является адресом точки. По этой координате можно точно найти, где находится точка, как дом по адресу. И, наоборот, по точке можно однозначно сказать, какая у нее координата (рис. 19).

Рис. 19. Координатная прямая

Использование координатной прямой

Итак, когда же мы используем координатную прямую? Представьте, что вам по телефону нужно объяснить, где находятся эти точки на прямой (рис. 20).

Рис. 20. Точки на прямой

Мы можем взять линейку, измерить все расстояния между точками и передать по телефону.

А теперь, пусть это числовая прямая. Теперь у каждой точки есть координата, ее можно продиктовать по телефону, а на том конце ваш собеседник по этим координатам может точно так же расставить точки (рис. 21).

Рис. 21. Точки на координатной прямой

Сравнение чисел и арифметические операции с помощью числовой прямой

Итак, у нас каждой точке соответствует число и наоборот. Но соответствие распространяется и дальше – на сравнение чисел и на арифметические операции.

То, что , означает, что точка с большой координатой находится правее (рис. 22).

Рис. 22. Сравнение координат

Прибавить к числу  положительное число  на прямой будет означать, что от исходной точки с координатой  отступить вправо на  единичных отрезка. Придем в точку  (рис. 23).

Рис. 23. Сложение положительных чисел

Прибавить отрицательное число (вычесть положительное) означает сдвиг влево (рис. 24).

Рис. 24. Вычитание

Свойство противоположных чисел: их сумма равна нулю. Двум противоположным числам соответствуют симметричные относительно нуля точки. Например,  и . Можно к  прибавить , то есть сдвинуться на  единиц вправо, придем в точку ноль. Или, наоборот, от точки  можно сдвинуться на  единиц влево (прибавить отрицательное число  или вычесть ) (рис. 25).

Рис. 25. Свойство противоположных чисел

Задача

Замена в задаче чисел точками, а сложения – сдвигом может облегчить решение. Чему равна сумма бесконечного числа слагаемых: ?

Решение

Изобразим точку  на прямой. Она находится посредине между  и  (рис. 26).

Рис. 26. Расположение точки

Добавить одну четвертую – значит найти точку, сдвинутую на  единичного отрезка вправо, то есть на половину оставшегося до единицы (рис. 27).

Рис. 27. Добавили

Добавим к нему , то есть еще движемся вправо на , половину оставшегося отрезка (рис. 28).

Рис. 28. Добавили

Этот процесс будет продолжаться до бесконечности, но новая точка всегда будет левее единицы, но все ближе и ближе к ней.

То есть сумма становится всё ближе к единице, но не превосходит ее. Поэтому такую бесконечную сумму считают равной единице: .

Заключение

Мы выяснили, что числовая прямая устанавливает соответствие между точками и числами. Такое взаимно-однозначное соответствие позволяет заменить работу с точками на работу с числами или наоборот. Переход от одних объектов к другим часто позволяет упростить задачу, облегчить понимание.

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Ч. 2. М. «Просвещение», 2010.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Math-prosto.ru (Источник).
3. School-assistant.ru (Источник).

Домашнее задание

• Укажите координату точки  (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Введение в координатную геометрию

Система геометрии, в которой положение точек на плоскости описывается упорядоченной парой чисел.

Что такое координаты?

Чтобы показать концепцию, изучим сетку выше. Столбцы помечены A, B, C и т. д. Строки сгруппированы 1, 2, 3 и т.д. сверху. Мы видим, что X располагается в ячейке D3; то есть столбик D, строчка 3.

D и 3 именуются координатами. Она состоит из двух частей: строчки и столбика. В каждой строке много полей, и в каждом столбце много полей. Номы можем найти одно безальтернативное поле, где пересекаются столбец и строка.

Координатная плоскость

В координатной геометрии точки располагаются на «координатной плоскости», как продемонстрировано ниже. Он имеет две шкалы, одна проходит вдоль плоскости, именуемой «осью x», а другая перпендикулярна ей, называемой «осью y». (Их можно изучать как подобные столбцу и строке в абзаце выше.) Точка, в которой оси пересекаются, зовётся началом координат, где x и y равны нулю.

Определение прямой в координатной геометрии

Это то же самое, что и определение прямой в обычной планиметрии, с той лишь разницей, что мы знаем координаты задействованных точек.

Определение луча в координатной геометрии

Координаты

Каждой точке пространства можно присвоить три числа относительно начальной точки. Эти три числа позволяют нам отличить любую точку от любой другой в пространстве. К счастью для вас, мы имеем дело не с тремя измерениями, а только с двумя.

Расстояние между двумя точками

Соответствие между точками и действительными числами

Прямая может содержать много точек. Они непосредственно связаны с действительными числами. Это можно обозначить как взаимно очевидное соответствие.

Чтобы лучше уяснить это правило, нужно обозначить точку на прямой координат и посмотреть, какому числу соответствует знак. Если эта точка соотносится с началом координат, она будет помечена нулем. Если не совпадает с началом, откладываем нужное число единичных отрезков до достижения заданного знака. Этой точке будет соответствовать число. В изложенном ниже примере воочию продемонстрируем этот постулат.

Если мы не можем отыскать точку, откладывая единичные отрезки, нам также нужно обозначить точки, составляющие десятую, сотую или тысячную часть его. Подробно это правило можно увидеть на образце.

Отложив несколько таких промежутков, мы можем получить не только целое число, но и дробное — как отрицательное, так и положительное. Помеченные промежутки помогут нам найти необходимую точку на прямой координат. Это могут быть как целые числа, так и дробные. Впрочем, на прямой есть точки, которые чрезвычайно сложно найти с помощью отдельных отрезков. Они соответствуют десятичным дробям. Чтобы найти аналогичную точку, нужно отложить один отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие части.

Множество действительных чисел включает в себя все, которые возможно записать в виде дроби.

Каждой точке на прямой координат соответствует конкретное действительное число.

Различные точки обозначают разные числа.

Если число не является целым, мы должны обозначить несколько отрезков (единичных), а также десятые, сотые доли в заданном направлении. К примеру, 400350 соответствует точке на прямой координат, в которую возможно попасть из начала координат, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 десятичных, и 5 тысячных.

Каждая точка на прямой соответствует действительному числу, которое помечается на координатной прямой. Из-за данного суждения прямая иногда определяется как числовая прямая.