Как найти координату пересечения диагоналей параллелепипеда

Вы открыли страницу вопроса В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?. Он относится к категории
Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов.
Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика,
воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

2.6. Призма, параллелепипед

Определение 20

Призмой называется многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причём в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Эти две равные грани называются основаниями призмы. Все остальные грани призмы называются боковыми, они образуют боковую поверхность призмы. Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Рёбра, не лежащие в основаниях, называются боковыми рёбрами призмы. Призму называют n—угольной, если её основаниями являются n-угольники.

На рисунке 61 изображена пятиугольная призма ABCDEA1B1C1D1E1. Здесь использован наиболее распро- странённый (стандартный) способ обозначения вершин призмы и стандартная запись: сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке — вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначают буквами без индекса, а в другом — с индексом.

Хорошо известный параллелепипед (рис. 62) является частным случаем призмы: параллелепипед — это четырёхугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Причём за основание можно взять любую грань параллелепипеда.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Призма называется правильной, если она прямая, а её основания — правильные многоугольники.

Как было отмечено, параллелепипед является частным случаем призмы. Особо выделим прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого прямоугольники (рис. 63).

Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диагонали.

Теорема 2.7 (свойство диагоналей параллелепипеда)

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром симметрии параллелепипеда, или просто центром параллелепипеда.

Уточним, что мы называем центром симметрии фигуры или тела точку, при симметрии относительно которой тело переходит само в себя. Заметим также, что образ параллелепипеда при симметрии однозначно задаётся образами его вершин. Поэтому точка пересечения диагоналей будет центром симметрии параллелепипеда (если мы докажем теорему 2.7).

Доказательство. Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 62). Докажем, что любые две его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Возьмём, например, диагонали AC1 и CA1. Рёбра AA1 и CC1 равны и параллельны, поскольку каждое из них равно и параллельно ребру BB1. Значит, AA1C1C — параллелограмм, диагонали AC1 и CA1 которого пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. ▼

Следствие

Параллелепипед имеет центр симметрии. Это — точка пересечения его диагоналей. Двенадцать рёбер параллелепипеда образуют три четвёрки соответственно равных между собой и параллельных отрезков.

Теорема 2.8

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 63). Рёбра AA1 и CC1 равны и перпендикулярны граням ABCD и A1B1C1D1, в которых лежат отрезки AC и A1C1. Следовательно, AA1C1C — прямоугольник и AC1 = CA1. То же верно для любой пары диагоналей. ▼

Теорема 2.9 (теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда)

Пусть a, b и c — длины трёх непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда, d — его диагональ. Тогда a2 + b2 + c2 = d 2. (Эта теорема представляет собой один из многих пространственных аналогов теоремы Пифагора.)

Доказательство. Пусть в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 63) AB = a, AD = b, AA1 = c. (Такими же соответственно будут и длины параллельных им рёбер.) Так как AA1C1C — прямоугольник, то

▼

Задачи, задания, вопросы

1.Разрежьте треугольную призму на три треугольные пирамиды.

2.Разрежьте куб на три равные четырёхугольные пирамиды.

3.Сумма трёх чисел, равных количеству вершин, рёбер и граней некоторого многогранника, равна: а) 102; б) 104. Определите вид многогранника, если известно, что это либо пирамида, либо призма.

4(в). Найдите диагональ единичного куба.

5.Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

6.Найдите расстояние от центра грани единичного куба до вершин противоположной грани.

7.Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 4. Найдите угол между его диагоналями.

8.Проекции отрезка на три попарно перпендикулярные прямые равны 1, 2 и 3. Найдите длину этого отрезка.

9.Найдите расстояние между серединами непараллельных сторон разных оснований правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 2.

10.Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.

11.Рассмотрим две треугольные пирамиды, вершинами которых служат вершины данного параллелепипеда. (Каждая вершина параллелепипеда является вершиной одной пирамиды.) Возможно ли, чтобы каждая вершина одной из пирамид принадлежала плоскости грани другой пирамиды, и наоборот?

12.Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням этой пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.

13(в). Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m, n и p. Найдите диагональ этого параллелепипеда.

14(в). Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами углы a, b и g. Докажите, что cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1.

15(в). В каком отношении диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 делится плоскостью A1BD ?

16(т). В одном старом учебнике дано такое определение призмы: «Призмой называется многогранник, у которого две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани — параллелограммы». Приведите пример многогранника, удовлетворяющего этому определению, но не являющегося призмой.

17(т). Станет ли верным определение, приведённое в предыдущей задаче, если перед словом «многогранник» поставить слово «выпуклый»? Указание. Возьмём куб и на каждой его грани, как на основании, во внешнюю сторону построим правильную четырёхугольную пирамиду с двугранными углами при основании 45°.

18(т). Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в плоскости основания правильной пирамиды, а четыре оставшиеся вершины — на её боковой поверхности, если сторона основания пирамиды равна a, а высота h. Решите эту задачу: а) для правильной четырёхугольной пирамиды; б) для правильной треугольной пирамиды.

19(п). Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a, b и c (a ⩽ b ⩽ c). Найдите: а) углы между его диагоналями; б) угол между диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней диагональю грани со сторонами a и b; в) угол между скрещивающимися диагоналями двух граней с общим ребром a.

20.Пусть K, L и M — середины рёбер AD, A1B1 и CC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, в котором AB = a, AA1 = b, AD = c. Найдите периметр треугольника KLM.

21(т). Укажите все точки на диагонали AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, через которые нельзя провести прямую, пересекающую прямые: а) BC и DD1; б) A1B и B1C.

22(т). Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2. Плоскость, параллельная этим рёбрам, делит параллелепипед на два неравных, но подобных между собой параллелепипеда. Найдите длину ребра, отличного от данных.

23(т). На рёбрах A1B1 и A1D1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 взяты точки K и M так, что A1K = A1M = x. Найдите x, если известно, что при повороте куба вокруг диагонали AC1 на угол a точка K переходит в M.

24(п). Постройте изображение призмы ABCA1B1C1, если на плоскости даны изображения следующих точек: а) A, B, B1 и C1; б) середин AA1, BC, CC1 и A1C1.

25.Постройте изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если даны изображения следующих точек: а) A, B, D, A1; б) A, B, C, D1; в) A, C, B1, D1; г) середин AB1, BC1, CD, A1D1; д) A, B и центров граней A1B1C1D1 и CDD1C1.

26.Дано изображение призмы ABCA1B1C1. Постройте изображение точки M пересечения плоскостей A1BC, AB1C и ABC1. Пусть высота призмы равна h. Чему равно расстояние от точки M до оснований призмы?

27(пт). Пусть O — середина высоты правильной треугольной пирамиды. Вторая пирамида симметрична данной относительно точки O. Как называется многогранник, являющийся общей частью двух указанных пирамид? (Если вы не знаете его названия, опишите, как он устроен.) Чему равна площадь поверхности этого многогранника, если площадь боковой грани равна S ?

28(т). Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a, b и c (a < b < c). Некоторое сечение этого параллелепипеда является квадратом. Найдите сторону этого квадрата.

29.Проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции треугольника A1BD на эту плоскость. Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD.

30(т). Используя результат предыдущей задачи, найдите, чему равно наибольшее значение площади проекции прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c на некоторую плоскость.

31(т). Через центр единичного куба проведена плоскость, делящая его на два многогранника. Докажите, что в каждом из получившихся многогранников найдётся диагональ, длина которой не меньше .

32.Многогранники изучают, их свойства используют представители самых различных профессий. Например, свойствам многогранников посвящены разделы таких наук, как минералогия и кристаллография. Известный русский минералог и кристаллограф Е. С. Фёдоров (1853—1919) сделал немало замечательных открытий, связанных со свойствами многогранников. Некоторые из открытых им многогранников называют «фёдоровскими». Вот один из них. Возьмём куб и соединим его центр со всеми вершинами. Для каждого из восьми полученных таким образом отрезков построим плоскость, перпендикулярную ему и проходящую через середину. Рассмотрим многогранник, ограниченный этими плоскостями и поверхностью куба (в него входит центр куба). Сколько граней имеет получившийся многогранник? Какими многоугольниками являются его грани? Докажите, что такими многогранниками можно заполнить всё пространство без пропусков и пересечений.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.