Как найти координату середины отрезка формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение.

Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

x_c = x_a + x_b y_c = y_a + y_b

2 2
Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

x_c = x_a + x_b y_c = y_a + y_b z_c = z_a + z_b

2 2 2

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

Пример 1.

Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).

Решение.

x_c =	x_a + x_b	=	-1 + 6	=	5	= 2.5
2	2	2

y_c =	y_a + y_b	=	3 + 5	=	8	= 4
2	2	2

Ответ: С(2.5, 4).

Пример 2.

Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).

Решение.

x_c =

x_a + x_b2

=> x_b = 2x_c — x_a = 2·1-(-1)=2+1=3

y_c =

y_a + y_b2

=> y_b = 2y_c — y_a = 2·5-3=10-3=7

Ответ: B(3, 7).

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

Пример 3.

Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).

Решение.

x_c =	x_a + x_b	=	-1 + 6	=	5	= 2.5
2	2	2

y_c =	y_a + y_b	=	3 + 5	=	8	= 4
2	2	2

z_c =	z_a + z_b	=	1 + (-3)	=	-2	= -1
2	2	2

Ответ: С(2.5, 4, -1).

Пример 4.

Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).

Решение.

x_c =

x_a + x_b2

=> x_b = 2x_c — x_a = 2·1-(-1)=2+1=3

y_c =

y_a + y_b2

=> y_b = 2y_c — y_a = 2·5-3=10-3=7

z_c =

z_a + z_b2

=> z_b = 2z_c — z_a = 2·2-10=4-10=-6

Ответ: B(3, 7, -6).

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое середина отрезка, по какой формуле считаются ее координаты (в плоскости и пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Расчет координат середины отрезка
Примеры задач

Расчет координат середины отрезка

Серединой называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.

AC = CB

Если концы отрезка A (x_a, y_a) и B (x_b, y_b) расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) считаются по формуле:

Если отрезок с концами A (x_a, y_a, z_a) и B (x_b, y_b, z_b) находится в трехмерном пространстве, координаты его середины рассчитываются следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Вычислим координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, образованного точками A (5, -2) и B (11, 10).

Решение:
В данном случае нам подойдут формулы для плоскости:
x_c = (5 + 11) / 2 = 8
y_c = (-2 + 10) / 2 = 4

Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).

Задание 2
Найдем координаты точки B, являющейся одним из концов отрезка AB. При этом известны координаты точки A (7, 13) и середины отрезка – C (4, -3).

Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для расчета координат середины отрезка:

x_b = 2x_c – x_a = 2 · 4 – 7 = 1
y_b = 2y_c – y_a = 2 · (-3) – 13 = -19

Следовательно, координаты B – (1, -19).

Источник

На этой странице можно рассчитать координаты середины отрезка как на плоскости, так и в пространстве. Введите координаты точек и получите ответ, а также подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов.

Задача нахождения координат середины отрезка довольно часто возникает при решении задач, связанных с нахождением средней линии, медианы а также других вычислениях. На нашем сайте также можно рассчитать длину отрезка, заданного координатами.

Середина отрезка — точка, расположенная на отрезке на равном расстоянии от его конечных точек.

Формула для нахождения координат середины отрезка на плоскости

{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}}

x_a и y_a — координаты первой точки A,

x_b и y_b — координаты второй точки B,

x_c и y_c — координаты середины отрезка (точка C).

Формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве

{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}; ; z_c=dfrac{z_a + z_b}{2}}

x_a, y_a и z_a — координаты первой точки A,

x_b, y_b и z_b— координаты второй точки B,

x_c, y_c и z_c — координаты середины отрезка (точка C).

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Задача 1

Найдите координаты середины отрезка АВ,если А(-2,3) и В(6,-3).

Решение

Подставим координаты концов отрезка в формулы.

x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{-2 + 6}{2} = dfrac{4}{2} = 2

y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{3 + (-3)}{2} = dfrac{0}{2} = 0

Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0).

Ответ: C(2, 0)

Калькулятор середины отрезка поможет проверить результат.

Задача 2

Дано: A(1, -1, 2), B(3, 1, -2). Найдите координаты середины отрезка AB.

Решение

Воспользуемся формулами координат середины отрезка в пространстве, подставив в них значение координат концов отрезка.

x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{1 + 3}{2} = dfrac{4}{2} = 2

y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{-1 + 1}{2} = dfrac{0}{2} = 0

z_c=dfrac{z_a + z_b}{2} = dfrac{2 + (-2)}{2} = dfrac{0}{2} = 0

Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0, 0).

Ответ: C(2, 0, 0)

Проверка

Источник

Пусть A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) — две произвольные точки, C(x;y) — середина отрезка AB.

Чтобы найти координаты середины отрезка через координаты его концов используется формула:

$[x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};y = frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}]$

Доказательство:

I. Если отрезок AB не пересекает ось Ox.

1) При x₂>x₁.

Проведём через точки A, B и C прямые AA₁, BB₁, CC₁, перпендикулярные оси Ox.

Прямые AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны оси Oy (по признаку параллельности прямых). Эти прямые пересекают ось Ox соответственно в точках A₁(x₁;0), B₁(x₂;0) и C₁(x;0).

Так как AC=CB и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны, то A₁C₁=C₁B₁ (по теореме Фалеса).

$[{A_1}{C_1} = x - {x_1},{C_1}{B_1} = {x_2} - x,]$

откуда

$[x - {x_1} = {x_2} - x,2x = {x_1} + {x_2},]$

$[x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}.]$

2) При x₂<x₁

рассуждения аналогичны.

$[{B_1}{C_1} = x - {x_2},{C_1}{A_1} = {x_1} - x,]$

$[x - {x_2} = {x_1} - x, Rightarrow x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}.]$

3) При x₁=x₂ абсциссы точек A, B и C одинаковы:

x₁=x₂=x.

Формула

$[x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}]$

также выполняется:

$[x = frac{{x + x}}{2}.]$

II. Если отрезок AB пересекает ось абсцисс,

рассуждения повторяются.

Формула

$[y = frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}]$

доказывается аналогично.

Что и требовалось доказать.

Источник

Координаты середины отрезка

Содержание:

Что такое середина отрезка
Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
- Середина отрезка на координатной прямой
- Середина отрезка на плоскости
- Середина отрезка в пространстве
Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка
Примеры решения задач

Что такое середина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой ограниченный с двух сторон участок прямой.

Пусть точки A и B не совпадают. Если провести через них прямую, то образуется отрезок AB или BA, который ограничен точками A и B. Данные точки являются концами отрезка.

Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, ограничивающими данный отрезок. Длина отрезка AB обозначается как модуль данной геометрической фигуры, то есть |AB|.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Серединой отрезка является такая точка C, принадлежащая отрезку AB, которая расположена в центре данного отрезка, то есть |AC|=|CB|.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа x_A и x_B, а точка С делит AB пополам. Определите координату x_C, соответствующую С.

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

(left|ACright|=left|CBright|)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

(x_C-x_A=x_B-x_C)

(x_C-x_A=-left(x_B-x_Cright))

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения x_C, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение:

(x_A=x_B)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат x_C и y_C, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат A_x, A_y; B_x, B_y; C_x, C_y— это проекции исходных точек.

По построению прямые AA_x, BB_x, CC_xотносительно друг друга находятся параллельно. Прямые AA_y, BB_y, CC_yне пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

(A_xC_x=C_xB_x)

(A_yC_y=C_yB_y)

Это значит, что C_xи C_yявляются серединами отрезков A_xB_x и A_yB_y соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

(y_C=frac{y_A+y_B}2)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), вычисляются следующим образом:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2right))

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(x_A, y_A, z_A) и B(x_B, y_B, z_B). C(x_C, y_C, z_C) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить x_C, y_C, z_C.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — A_x, A_y, A_z; B_x, B_y, B_z; C_x, C_y, C_z— проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

(left|A_xC_xright|=left|C_xB_xright|)

(left|A_yC_yright|=left|C_yB_yright|)

(left|A_zC_zright|=left|C_zB_zright|)

Исходя из полученных равенств следует, что C_x, C_y, C_z— делят A_xB_x, A_yB_y, A_zB_z пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) используем формулу:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2,;frac{z_A+z_B}2right))

Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка

Трактовка векторов в алгебре позволяет составить формулу для расчета координат середины отрезка.

Дано: прямоугольная система координат Oxy, в которой лежат произвольные точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), а также C, делящая пополам отрезок, ограниченный A и B.

По определению действий над вектором в геометрии:

((1);overrightarrow{OC}=frac12timesleft(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}right))

В рассматриваемой ситуации в точке C пересекаются диагонали параллелограмма с основаниями: (overrightarrow{OA},;overrightarrow{OB}

Это значит, что С — это центр диагоналей.

Поскольку координаты радиус вектора совпадают с координатами точки, имеем: (overrightarrow{OA}=left(x_A,;y_Aright),;overrightarrow{OB}=left(x_B,;y_Bright)

Произведем подстановку в формулу (1):

(overrightarrow{OC}=frac12timesleft(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}right)=left(frac{x_A+x_B}2,;frac{y_A+y_B}2right)

Получили формулу определения координат середины отрезка, находящегося в декартовой системе координат:

(left(frac{x_A+x_B}2,;frac{y_A+y_B}2right))

По аналогично схеме можно вывести формулу для расчета координат центра отрезка, лежащего в пространстве:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2,;frac{z_A+z_B}2right))

Примеры решения задач

Задача № 1

Дано: в декартовой системе координат имеются точки M(5,4) и N(1,−2). Найти координаты середины отрезка MN.

Решение:

Пусть точка O — центр MN. Тогда вычислим ее координаты, подставив в формулы:

(x_O=frac{x_A+x_B}2=frac{5+1}2=frac62=3)

(y_O=frac{y_A+y_B}2=frac{4+left(-2right)}2=frac{4-2}2=frac22=1)

Точка O имеет координаты (3,1).

Ответ: (3,1).

Задача № 2

Дано: треугольник ABC лежит в прямоугольной системе координат. Известны координаты его вершин: A(7,3), B(−3,1), C(2,4). Вычислите длину медианы АМ.

Решение:

Поскольку АМ является медианой треугольника ABC, то точка М делит сторону ВС на два равных отрезка, то есть является серединой отрезка ВС. Отсюда можно вычислить координат точки М:

(x_М=frac{x_В+x_С}2=frac{-3+2}2=frac{-1}2=-0,5)

(y_М=frac{y_В+y_С}2=frac{1+4}2=frac52=2,5)

Теперь, зная координаты начала и конца отрезка АМ, применим формулу нахождения расстояния между точками:

(AM=sqrt{left(x_M-x_Aright)^2+left(y_M-y_Aright)^2}=sqrt{left(-0,5-7right)^2+left(-2,5-3right)^2}=sqrt{-7,5^2+left(-5,5right)^2}=sqrt{56,25+30,25}=sqrt{86,5}

Ответ: √86,5.

Источник