Как найти координату точки в круге - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сегодня поговорим об единичной окружности 🧑‍🏫

Можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?🤔

Ну, конечно, можно! Записывай и запоминай общую формулу для нахождения координат точки:

x=x0+r⋅cos δ

y=y0+r⋅sin δ

x0,y0 — координаты центра окружности;

r — радиус окружности;

δ —угол поворота радиуса вектора.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Источник

Как определить координаты точки на окружности

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
Ось ординат Oy — вертикальная ось.
Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

верхний правый угол — первая четверть I;
верхний левый угол — вторая четверть II;
нижний левый угол — третья четверть III;
нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2).
Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0).
Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус.
Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Как найти координату точки окружности

Как находить точки окружности

Окружность изучается в геометрии, и чтобы правильно сделать заданную задачу, нужно научиться находить точки окружности. Для этого вам понадобится список необходимых инструментов, таких как:

простой карандаш;
тетрадь в клеточку;
циркуль;
транспортир;
шариковая или гелевая ручка.

Как найти координаты точки окружности

Прежде, чем найти точку на окружности и обозначить ее координаты, следует эту окружность построить. При построении вам встретятся еще несколько правил, в зависимости от заданных в задаче вопросов. Это может быть как хорда, на которой тоже нужно будет найти точку в окружности, она соединяет две точки. Помните, что диаметром называется хорда, которая проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ней.

Также можно найти точку на окружности, которая находится на касательной, то есть прямой, которая имеет с окружностью одну общую точку, но не пересекает ее. Если окружность пересекается прямой, то она имеет с ней две общие точки, найти на окружности их легко, так как они одновременно относятся как к окружности, так и к прямой. Для определения координат точки на окружности можно воспользоваться как формулой для прямой, так и формулой для окружности.

Как найти координаты точки на окружности или, если известно только значение радиуса R, можно по одной из его координат, либо если дано значение угла альфа. Выглядит это так:

sin alpha = y / R
cos alpha = x / R
cos alpha * cos alpha + sin alpha * sin alpha = 1

Может помочь также найти на окружности координаты точки один из многочисленных форумов, где сидят математики и помогают решить все задачки, но не только помогают, но и стараются объяснить ее.

В школе учат, как найти точки окружности, когда начинают изучать геометрию в 6 классе.

Отличников, которые знают, как найти точки на окружности и их координаты, часто могут обижать в школе, если они не дают списывать. В таких случаях будет нелишним знать, как наказать обидчика за оскорбление.

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие системы координат

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
Ось ординат Oy — вертикальная ось.
Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

верхний правый угол — первая четверть I;
верхний левый угол — вторая четверть II;
нижний левый угол — третья четверть III;
нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2).
Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0).
Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус.
Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Окружность на координатной плоскости

Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:

Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:

Если уравнение помножить на любое число A, то получим

Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.

Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:

3. Если выполняется неравенство

Как найти радиус и центр окружности

Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:

Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство

Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3

Анимационный график окружности

Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.

Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие системы координат

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
Ось ординат Oy — вертикальная ось.
Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

верхний правый угол — первая четверть I;
верхний левый угол — вторая четверть II;
нижний левый угол — третья четверть III;
нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2).
Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0).
Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус.
Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Окружность. Форма и положение.

Окружность — это замкнутая плоская линия, всякая точки которой равноудалена от одной и той же точки (O), называемой центром.

Прямые (OA, OB, OС. . . ), соединяющие центр с точками окружности — это радиусы.

Бесконечная прямая (MN), прочерченная через какие-нибудь две точки окружности – секущая. а часть ее (EF), заключенная между этими точками, называется хордой.

Всякая хорда (AD), прочерченная через центр — диаметр.

Диаметр представляет наибольшую из хорд..Всякий диаметр делит окружность и круг пополам. Таким образом, всякий диаметр разделит окружность на две полуокружности, а круг на два полукруга.

Какая-нибудь часть окружности (напр. EmF ) называется дугой.

О хорде (EF), соединяющей концы дуги, говорят, что она стягивает эту дугу.

Для определения дуги иногда применяют знак È ; напр., пишут так: ÈEmF.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, именуют кругом.

Часть круга (напр., СOB, заштрихованная на чертеже), ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги, обозначают как сектор.

Часть круга, (напр., EmF), ограниченная дугой и стягивающей ее хордой, обозначают как сегмент.

Из этого получаем:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Два круга с одинаковыми радиусами будут равны.

3. Диаметр равен двум радиусам.

4. Точка, лежащая внутри круга, ближе к центру, а точка, лежащая вне круга, дальше от центра, чем точки окружности.

5. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

6. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

При работе с окружностями применяют следующие теоремы:

1. Теорема. Прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.

Из этой теоремы получаем два логично вытекающих следствия:

Никакая часть окружности не может совместиться с прямой, потому что в противном случае окружность с прямой имела бы более двух общих точек.

Линия, никакая часть которой не может совместиться с прямой, называется кривой.

Из предыдущего следует, что окружность есть кривая линия.

2. Теорема. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и только одну.

Как следствие данной теоремы получаем:

Три перпендикуляра к сторонам треугольника вписанного в окружность проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности.

Решим задачу. Требуется найти центр предложенной окружности.

Отметим на предложенной три любые точки A, B и С , начертим через них две хорды, например, AB и СB, и из середины этих хорд укажем перпендикуляры MN и PQ. Искомый центр, будучи одинаково удален от A, B и С, должен лежать и на MN, и на PQ, следовательно, он находится на пересечении этих перпендикуляров, т.е. в точке O.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-koordinaty-tochki

http://www.calc.ru/Okruzhnost-Forma-I-Polozheniye.html

Источник

Как найти координаты точки в окружности

Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности называется радиусом.

Вам понадобится

— простой карандаш;
— тетрадь;
— транспортир;
— циркуль;
— ручка.

Инструкция

Прежде чем найти координаты той либо иной точки окружности, постройте заданную окружность. При ее построении вам могут встретиться множество новых понятий. Так хорда – это отрезок, который соединяет две точки окружности, причем хорда, проходящая через центр окружности — максимальная (она носит название диаметра). Кроме того, к окружности может быть проведена касательная, которая представляет собой прямую, перпендикулярно расположенную к радиусу окружности, который проведен к точке пересечения касательной и рассматриваемой геометрической фигуры.

Если по условию задания известно, что построенную вами окружность пересекает другая окружность (она меньше по размерам), изобразите это графически: на рисунке должно быть изображено, что две эти окружности пересекаются, то есть имеют ряд общих точек. Центр первой окружности обозначьте точкой 1 (ее координаты (X1,Y1)), а ее радиус — R1. Таким образом, центр второй окружности должен быть обозначен точкой 2 (координаты этой точки (X2,Y2)), а радиус — R2. В точках пересечения фигур поставьте точки 3 (X3,Y3) и 4 (X4,Y4). Центральная точка пересечения должна быть обозначена 0: ее координаты (X,Y).

Для того чтобы найти координаты пресечения данных окружностей, а следовательно и точку, принадлежащую и первой, и второй из них, вам придется решить квадратное уравнение. Рассмотрите два образовавшихся треугольника (?103 и ?203) и проанализируйте их показатели. Гипотенузы этих треугольников — R1 и R2 соответственно. Зная значение гипотенуз, найдите отрезок D, соединяющий центр первой окружности с центром второй. Выбранный метод расчета напрямую зависит от того, какими получились анализируемые вами треугольники. Если они прямоугольные, то квадрат длины гипотенузы каждого из них будет равен сумме квадратов катетов данного треугольника. К тому же, длину катета можно найти по формуле: a = ccos ?, где с – длина гипотенузы, а cos? – косинус прилежащего угла. Найдя значение катетов, определите координаты интересующей вас точки.

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны, рассчитывая значения катетов: не допустите ошибку.

Полезный совет

Не забудьте: один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть равен 90о.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.

ВНИМАНИЕ! Если Вы искали как найти координаты точки по углу от произвольной прямой и совсем не подразумевали эллипс, то Вам сюда.

Калькулятор точки на эллипсе

Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.

Маркеры кликабельны и таскабельны.

Если есть вопросы, предложения по калькулятору или заметили ошибку, буду очень рад обратной связиx

Эллипс:

a:
b:

Углы (град.):

Get a better browser, bro…

Параметрическое уравнение эллипса

Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

(1) Параметрическое уравнение эллипса

Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.

Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.

Подготовка

Рис.1. Построение эллипса

У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.

Проведем прямую из общего центра [X₀;Y₀] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X₁;Y₁] и [X₂;Y₂].

α – угол между прямой и осью X.

Малая окружность	X₁ = b × cos α	Y₁ = b × sin α
Большая окружность	X₂ = a × cos α	Y₂ = a × sin α

Таблица 1. Координаты точек пересечения прямой с окружностями

Нахождение зависимости

Рис.2. Угол β для точки эллипса [X’;Y’]

Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X₀;Y₀] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.

Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.

Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:

X’ = X₂ = a × cos α

Y’ = Y₁ = b × sin α

Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.

Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.

Тангенс угла β в этом случае равен:

(3) Тангенс угла β

Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:

(4) Зависимость тангенса α от тангенса β

Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.

Нахождение координат

Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.

Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):

//— находим параметр (некий угол) для уравнения —

SinCos(Angle,sn,cs);

t := ArcTan2(a*sn, b*cs);

Получившийся в результате вызова ArcTan2 угол есть ничто иное, как параметр t в параметрическом уравнении (1). Подставив его в уравнение, находим координаты точки на эллипсе, отстоящей на заданный угол от оси X.

О параметре

Практический смысл параметра t состоит в том, что это угол окружности до «сплющивания». Этот тот угол окружности, который будет соответствовать точке эллипса при заданном угле. Попытаюсь на практике показать.

В JavaScript’е нет понятия эллипс. Тем более нет понятия дуги эллипса. Но можно нарисовать окружность (через дугу) и «сплющить». Может быть такой номер пройдет и с дугой?

// рисует дугу эллипса

function drawArcEllipse(ctx, center, a, b, start, finish,

colorLine=‘none’, widthLine=0.0, angle=0.0) {

if (a==0.0) return;

var t1 = start;

var t2 = finish;

ctx.beginPath();

// сохраняем контекст

ctx.save();

// перемещение координат в центр эллипса

ctx.translate(center.x, center.y);

// поворот плоскости на угол, если требуется

if (angle!=0.0) ctx.rotate(angle);

// сжимаем по вертикали

ctx.scale(1, b/a);

// рисуем дугу

ctx.arc(0, 0, a, t1, t2);

// восстанавливает контекст

ctx.restore();

if (colorLine!=‘none’)

ctx.strokeStyle = colorLine;

if (widthLine>0.0)

ctx.lineWidth = widthLine;

ctx.stroke();

ctx.closePath();

}

Рис.3. Использование параметра эллипса

На рисунке слева видим, что дуга расположена совершенно неправильно. Очевидно, что надо использовать какие-то другие углы. Вот тут на помощь приходит параметр эллипса. Это как раз тот самый угол, который обеспечивает «попадание» в нужный нам угол при «сплющивании» окружности.

Перепишем функцию с учетом нахождения параметра:

// рисует дугу эллипса

function drawArcEllipse(ctx, center, a, b, start, finish,

colorLine=‘none’, widthLine=0.0, angle=0.0) {

if (a==0.0) return;

var sn = Math.sin(start);

var cs = Math.cos(start);

var t1 = Math.atan2(a*sn, b*cs);

sn = Math.sin(finish);

cs = Math.cos(finish);

var t2 = Math.atan2(a*sn, b*cs);

ctx.beginPath();

// сохраняем контекст

ctx.save();

// перемещение координат в центр эллипса

ctx.translate(center.x, center.y);

// поворот плоскости на угол, если требуется

if (angle!=0.0) ctx.rotate(angle);

// сжимаем по вертикали

ctx.scale(1, b/a);

// рисуем дугу

ctx.arc(0, 0, a, t1, t2);

// восстанавливает контекст

ctx.restore();

if (colorLine!=‘none’)

ctx.strokeStyle = colorLine;

if (widthLine>0.0)

ctx.lineWidth = widthLine;

ctx.stroke();

ctx.closePath();

}

На рисунке справа видим, что все встало на свои места. Идеальная дуга )

Координаты точки наклонного эллипса

Перенесено в отдельную статью.

Практика

Две функции. Первая находит параметр t по углу. Вторая производит расчет координат. Из второй не вызываю первую, т.к. получится двойное вычисление полуосей. Код не настолько велик, чтобы его нельзя было продублировать.

//******************************************************************

// Найти угол, который будет использован в расчете точки на элипсе

// Т.е. тот самый параметр t в параметрическом уравнении эллипса:

// x = a * cos t

// y = b * sin t

//******************************************************************

function GetEllipseAngleParam(ARect : TRectF;

Angle : Extended) : Extended;

var sn,cs : Extended; // синус/косинус

a,b : Extended; // полуоси по X/Y

begin

a := ARect.Width/2;

b := ARect.Height/2;

SinCos(Angle,sn,cs);

result := ArcTan2(a * sn, b * cs);

end;

//********************************************************************

// Найти координату точки на эллипсе по углу отклонения

//********************************************************************

function CalcEllipsePointCoord(ARect : TRectF;

Angle : extended) : TPointF;

var sn,cs : Extended; // синус/косинус

a,b : Extended; // полуоси по X/Y

cnt : TPointF; // центр

t : Extended; // параметр для уравнения эллипса

begin

// инициализация полуосей

a := ARect.Width/2;

b := ARect.Height/2;

// центр эллипса

cnt := ARect.CenterPoint;

// находим параметр (некий угол) для уравнения

SinCos(Angle,sn,cs);

t := ArcTan2(a * sn, b * cs);

// считаем результат по параметрическому уравнению

SinCos (t, sn, cs);

result.X := cnt.x + a * cs;

result.Y := cnt.Y + b * sn;

end;

Скачать исходник + исполнямый файл

Друзья, спасибо за внимание!

Надеюсь, материал после правок стал понятней.

Подписывайтесь на телегу.

Если есть вопросы, с удовольствием отвечу )

Источник

Все просто, если сначала перенести начало координат в центр окружности, решить простейшую систему уравнений, сводящуюся к извлечению корня:

а потом вернуться в старую систему координат.

Если вы еще не учились примерно в 9 классе, то вот вам полное решение:

Решений, как видите, два. Один из знаков соответствует точке с минимальным расстоянием, второе — с максимальным. Какой именно знак для минимума, а какой для максимума — зависит от взаимного расположения точки и окружности.

Как вычислять по этим формулам и сравнивать значения, надеюсь, рассказывать не нужно?

Источник